Estruturas alg´bricas - 1o Semestre de 2011              e        Mauri Cunha do Nascimento  mauri@fc.unesp.br - http://ww...
Sum´rio                                                              a1 No¸˜es preliminares     co                        ...
1     No¸˜es preliminares        co       Faremos aqui uma r´pida explana¸˜o a respeito dos conceitos matem´ticos necess´r...
Dois conjuntos A e B s˜o iguais quando tˆm exatamente os mesmos elementos. A igualdade de                           a     ...
Uma rela¸ao de A em B ´ um subconjunto de A × B.              c˜            e      Para uma rela¸˜o R, algumas vezes escre...
Exemplo 1.9 Para um conjunto A, iA : A → A ´ a fun¸˜o identidade em A que ´ definida por                                   ...
1 0       1 1          1 1                    =            .  1 0       0 0          1 1Exerc´ıcio 1.2 Verifique que:a) A c...
Adi¸˜o. Para quaisquer a, b, c ∈ Z valem as propriedades:    caa) Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c;b) Comutativa: a ...
b) ∃e ∈ Z tal que ea < b.Divisibilidade: Para a e b inteiros, dizemos que a divide b, ou que a ´ um divisor de b, se b    ...
O Teorema Fundamenta da Aritm´tica: Todo inteiro n > 1 se escreve de modo unico                                           ...
(iii) Se a ≡ b(mod n), ent˜o a · c ≡ b · c(mod n);                               a     (iv) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n)...
2     Grupos                                                    ´       O conceito de grupo surgiu dos estudos de Evariste...
Exemplo 2.3 (Z, −) n˜o ´ um grupo, pois n˜o satisfaz nenhuma das condi¸˜es G1, G2 e G3.                    a e            ...
Exemplo 2.7 Seja SL2 (R), o conjunto das matrizes reais invert´   ıveis 2 × 2. Das propriedades demultiplica¸˜o de matrize...
Nota¸˜o: Se f ∈ Sn denotamos f por (1, f (1), f (f (1)), ...)(i, f (i), f (f (i)), ...)..., como nos exemplos      caabaix...
Denotando por e o n˜o movimento e(ABCD) = ABCD, temos que                           aD = {e, σ, σ 2 , σ 3 , τ, στ, σ 2 τ, ...
Sejam G um grupo e a ∈ G. Denotamos a = {an | n ∈ Z}. Como a0 = e, am an = am+n ,(am an )ap = am (an ap ) e (an )−1 = a−n ...
2.7   SubgruposDefini¸˜o 2.2 Dizemos que um subconjunto H de um grupo (G, ∗) ´ um subgrupo de G, se (H, ∗) ´      ca       ...
Chamamos S de subgrupo de G gerado por S.Exemplo 2.19 Para o grupo S3 temos (1, 2) = {e, (1, 2)}; (1, 2, 3) = {e, (1, 2, 3...
Propriedade transitiva: Se a, b, c ∈ H com a ≡ b(mod H) e b ≡ c(mod H) ent˜o ab−1 ∈ H e bc−1 ∈ H.                         ...
H = {e, (1, 2)} (= H(1, 2))H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} (= H(1, 2, 3))H(1, 3) = {(1, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 3, 2))e assim...
Corol´rio 2.8 Se G ´ um grupo finito e a ∈ G ent˜o a|G| = e.      a              e                              aDemonstra¸...
Defini¸˜o 2.5 Sejam G um grupo e N um subgrupo de G. Dizemos que N ´ um subgrupo normal de       ca                        ...
Se N a = N a e N b = N b , ent˜o N aN b = N ab = (N a)b = (N a )b = (a N )b = a (N b) =                                   ...
a) f (e) = e ;b) f (a−1 ) = (f (a))−1 ;c) {a ∈ G | f (a) = e } G’;d) Im(f ) = {f (a) | a ∈ G} < G ;e) f (an ) = (f (a))n ....
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  1. 1. Estruturas alg´bricas - 1o Semestre de 2011 e Mauri Cunha do Nascimento mauri@fc.unesp.br - http://wwwp.fc.unesp.br/∼mauri/ Curso de Licenciatura em Matem´tica a Faculdade de Ciˆncias - UNESP - Campus de Bauru e
  2. 2. Sum´rio a1 No¸˜es preliminares co 3 1.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Opera¸˜es com conjuntos . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Rela¸˜es . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Rela¸˜o de equivalˆncia . . . ca e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Fun¸˜es . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.6 Opera¸˜es . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.7 Os Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.8 Opera¸˜es aritm´ticas em Zn co e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 Grupos 12 2.1 Defini¸˜o e exemplos . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Propriedades de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.3 Produto Cartesiano de grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.4 Grupos de permuta¸˜es . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.5 Grupos de simetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6 Grupos c´ıclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.8 Classes laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.9 Subgrupos normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.10 Grupo quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.11 Homomorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 An´is e 28 3.1 Defini¸˜o e exemplos . . . . . . . . . . . . ca . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Os an´is Zn . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 30 3.3 Produto Direto de An´is . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 31 3.4 Propriedades de an´is. . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 31 3.5 Suban´is . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 33 3.6 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.7 Homomorfismos de an´is . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . 37 3.8 N´cleo de um homomorfismo . . . . . . . u . . . . . . . . . . . . 37 3.9 Anel Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.10 O Teorema do Isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.11 O corpo de fra¸˜es . . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . 42 3.12 Anel de polinˆmios . . . . . . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 43 3.13 Ideais principais e m´ximo divisor comum a . . . . . . . . . . . . 46 3.14 Polinˆmios irredut´ o ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.15 Fatora¸ao em polinˆmios irredut´ c˜ o ıveis . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.16 Polinˆmios sobre os inteiros . . . . . . . . o . . . . . . . . . . . . 51Bibliografia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53´Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 2
  3. 3. 1 No¸˜es preliminares co Faremos aqui uma r´pida explana¸˜o a respeito dos conceitos matem´ticos necess´rios para o a ca a adesenvolvimento dos conte´dos que vir˜o a seguir. u a1.1 Conjuntos Denotaremos os conjuntos por letras mai´sculas e seus elementos por letras latinas min´sculas. u u As nota¸˜es abaixo s˜o utilizadas para os conjuntos num´ricos: co a e Z = {0, ±1, ±2 · · · } o conjunto dos n´meros inteiros; u N = {0, 1, 2, 3, . . . } o conjunto dos n´meros naturais; u a Q = { | a, b ∈ Z, b = 0} o conjunto dos n´meros racionais; u b R o conjunto dos n´meros reais, que consiste dos n´meros racionais e dos irracionais; u u C = {a + bi | a, b ∈ R, i2 = −1} o conjunto dos n´meros complexos. u Se A ´ um conjunto de n´meros, denotamos por A∗ ao conjunto A sem o zero. Por exemplo e uN∗ = {1, 2, 3, . . . }. Podemos tamb´m representar um conjunto colocando seus elementos entre chaves. Por exemplo, e{a, b, c}, B = {0, 2, 4, ..., 2n, ...}, P = {x ∈ B | x > 5}. Escrevemos a ∈ A para indicar que a pertence ao conjunto A e a ∈ A quando a n˜o pertence ao / aconjunto A.Exemplo 1.1 Para o conjunto A = {−1, 0, 1} temos: −1 ∈ A, 2 ∈ A, 0 ∈ A, .... / O conjunto vazio ´ o unico conjunto que n˜o cont´m elementos. Denotamos o conjunto vazio e ´ a epor { }, ou por ∅. Um conjunto ´ unit´rio se possui apenas um elemento. Por exemplo, A = {a} e B = {x ∈ e aZ|x 2 = 0} s˜o conjuntos unit´rios. a a Conjunto universo: ´ o conjunto que cont´m todos os elementos que est˜o sendo considerados. e e aPor exemplo, na Geometria Euclidiana Plana, o conjunto universo ´ o plano euclidiano. e Um conjunto A ´ subconjunto de um conjunto B quando todos os elementos de A pertencem a eB. Neste caso dizemos tamb´m que A est´ contido em B ou que B cont´m A. e a eNota¸˜o: A ⊆ B. ca Para qualquer conjunto A, temos ∅ ⊆ A e A ⊆ A. Estes dois subconjuntos s˜o denominados ade subconjuntos triviais de A. O conjunto A ´ um subconjunto pr´prio de B se A ⊆ B e A = B. e oNota¸˜o: A ⊂ B. caExemplo 1.2 Para A = {−1, 0, 1} e B = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} temos A ⊂ B. Neste caso, tamb´m ´ e ecorreto escrever A ⊆ B. 3
  4. 4. Dois conjuntos A e B s˜o iguais quando tˆm exatamente os mesmos elementos. A igualdade de a econjuntos ´ denotada por A = B. eExemplo 1.3 Dados os conjuntos A = {0, 1, 2} e B = {x ∈ N | x ≤ 2}, podemos verificar que A e Bpossuem os mesmos elementos. Logo, indicamos isto por A = B.1.2 Opera¸oes com conjuntos c˜Para os conjuntos vamos considerar as opera¸˜es de uni˜o, intersec¸˜o e diferen¸a de conjuntos. co a ca c Para A e B conjuntos definimos: A uni˜o: ´ o conjunto A ∪ B dos elementos que pertencem a A ou a B. a e A intersec¸˜o: ´ o conjunto A ∩ B dos elementos que pertencem a ambos. ca e A diferen¸a entre A e B ´ o conjunto A − B formado pelos elementos que pertencem a A, mas c en˜o pertencem a B. a Dois conjuntos A e B s˜o disjuntos quando A ∩ B = ∅. a Propriedades das opera¸˜es com conjuntos. : coPropriedades da uni˜o: a A ∪ A = A [Idempotˆncia] e A ∪ B = B ∪ A [Comutatividade] (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) [Associatividade] A ∪ ∅ = A [Elemento neutro]Propriedades da intersec¸˜o: ca A ∩ A = A [Idempotˆncia] e A ∩ B = B ∩ A [Comutatividade] (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) [Associatividade] A ∩ ∅ = ∅ [Elemento absorvente]Propriedades distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)Propriedades de absor¸˜o e diferen¸a: ca c A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A A−B =A∩BExerc´ ıcio 1.1 Verificar as propriedades das opera¸˜es com conjuntos. co1.3 Rela¸˜es coO produto cartesiano do conjunto A com o conjunto B ´ o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) etais que a ∈ A e b ∈ B. Assim, A × B = {(a, b) | a ∈ A e b ∈ B}. O produto cartesiano pode ser generalizado para uma fam´ de conjuntos: ılia A1 × A2 × · · · × An = {(a1 , a2 , . . . , an ) | ai ∈ Ai } 4
  5. 5. Uma rela¸ao de A em B ´ um subconjunto de A × B. c˜ e Para uma rela¸˜o R, algumas vezes escrevemos xRy no lugar de (x, y) ∈ R. No caso da rela¸˜o ca cade ordem ≤ no conjunto dos n´meros reais R, temos que R = {(x, y) ∈ R×R | x ´ menor ou igual a y}, u econtudo, usualmente denotamos esta rela¸˜o por “x ≤ y” e n˜o por “(x, y) ∈ R”. ca a Uma rela¸˜o em um conjunto A ´ um subconjunto R do produto cartesiano A × A. Dizemos ca eque a rela¸˜o R ´: ca e (i) reflexiva quando, para todo a ∈ A, aRa; (ii) sim´trica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb, ent˜o bRa; e a (iii) transitiva quando, para todos a, b, c ∈ A, se aRb e bRc, ent˜o aRc; a (iv) anti-sim´trica quando, para todos a, b ∈ A, se aRb e bRa, ent˜o a = b. e aExemplo 1.4 A rela¸˜o R = {(a, b) ∈ R | a ≤ b} ´ usualmente denotada por a ≤ b, e ´ reflexiva, ca e etransitiva e anti-sim´trica. e1.4 Rela¸˜o de equivalˆncia ca eUma rela¸˜o de equivalˆncia sobre um conjunto A ´ uma rela¸˜o que ´ reflexiva, sim´trica e transitiva. ca e e ca e eExemplo 1.5 A rela¸˜o de igualdade em qualquer conjunto ´ sempre uma rela¸˜o de equivalˆncia. ca e ca eExemplo 1.6 A semelhan¸a de triˆngulos ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia. c a e ca e Dada uma uma rela¸˜o de equivalˆncia R em um conjunto A e a ∈ A, o conjunto [a] = {x ∈ ca eA | xRa} ´ a classe de equivalˆncia de a. e eExemplo 1.7 Se A = {1, 2, 3} e R = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)}, ent˜o R ´ uma rela¸˜o de a e caequivalˆncia e as suas classes de equivalˆncia s˜o dadas por: [1] = {1, 2}, [2] = {1, 2} e [3] = {3}. e e aTeorema 1.1 Seja R uma rela¸˜o de equivalˆncia em um conjunto A. Ent˜o: ca e a (i) duas classes de equivalˆncia s˜o iguais ou disjuntas; e a (ii) o conjunto A ´ a uni˜o de todas as classes de equivalˆncia. e a eDemonstra¸˜o: Fica como exerc´ ca ıcio. Quando R ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia em um conjunto A, o conjunto quociente de A pela e ca erela¸˜o R ´ o conjunto das classes de equivalˆncia de R: A|R = {[a] | a ∈ A} = {B ∈ P(A) | B = ca e e[a], para algum a ∈ A}.Exemplo 1.8 No exemplo anterior, A|R = {[1], [3]}.1.5 Fun¸oes c˜Uma fun¸˜o f de A em B ´ uma rela¸˜o de A em B tal que para cada x ∈ A existe um unico y ca e ca ´satisfazendo (x, y) ∈ f . Neste caso dizemos que A ´ o dom´ e ınio de f , B ´ o contradom´ e ınio de f e aimagem de f ´ o conjunto Im(f ) = {b ∈ B | b = f (a) para algum a ∈ A} e Em geral, denotamos uma fun¸˜o f de A em B por f : A −→ B. Esta nota¸˜o indica que f ´ ca ca euma fun¸˜o, A ´ o dom´ ca e ınio da f e B o contradom´ ınio. 5
  6. 6. Exemplo 1.9 Para um conjunto A, iA : A → A ´ a fun¸˜o identidade em A que ´ definida por e ca eiA (x) = x, para todo x ∈ A. Uma fun¸˜o f ´ sobrejetiva quando Im(f ) = B. A fun¸˜o f ´ injetiva quando, para x, z ∈ A, ca e ca ese x = z, ent˜o f (x) = f (z). Uma fun¸˜o ´ bijetiva quando ´ injetiva e sobrejetiva. a ca e e1.6 Opera¸oes c˜Uma opera¸˜o em um conjunto A ´ uma fun¸˜o f : A × A → A. Assim, uma opera¸˜o em A associa ca e ca caa cada par de elementos de A, um elemento de A.Exemplos 1.10a) A adi¸˜o ´ uma opera¸˜o em R, pois a soma de n´meros reais ´ um n´mero real. ca e ca u e uDo mesmo modo, a adi¸˜o ´ uma opera¸˜o em Z, Q, R e C. ca e cab) Tamb´m a multiplica¸˜o ´ uma opera¸ao em N, Z, Q, R e C. e ca e c˜c) A subtra¸˜o n˜o ´ uma opera¸˜o N, pois 0 ∈ N e 1 ∈ N, mas 0 − 1 ∈ N. Mas a subtra¸˜o ´ uma ca a e ca / ca eopera¸˜o nos conjuntos Z, Q, R e C. cad) No conjunto das matrizes quadradas de ordem n, a adi¸˜o e o produto de matrizes s˜o opera¸˜es. ca a co Assim como na adi¸˜o e na multiplica¸˜o, podemos denotar uma opera¸˜o gen´rica por um ca ca ca es´ ımbolo que indica a opera¸˜o. Por exemplo, se f : A × A → A ´ uma opera¸˜o, podemos denotar ca e caesta opera¸˜o pelo s´ ca ımbolo “∗”, escrevendo a ∗ b em lugar de f (a, b).Propriedades de opera¸˜es. Seja “∗” uma opera¸˜o em um conjunto A. co caPropriedade associativa: a opera¸˜o ´ associativa se para quaisquer x, y, z ∈ A, tem-se que x ∗ (y ∗ z) = ca e(x ∗ y) ∗ z.Propriedade comutativa: a opera¸˜o ´ comutativa quando para todos x, y ∈ A, tem-se que x∗y = y ∗x. ca eElemento Neutro: o conjunto A possui elemento neutro e ∈ A para a opera¸˜o, quando para todo cax ∈ A tem-se que x ∗ e = x = e ∗ x.Elemento Invert´ ıvel: um elemento x de A ´ invert´ e ıvel, segundo a opera¸˜o, quando existe x ∈ A tal caque x ∗ x = e = x ∗ x, onde e ´ o elemento neutro de A em rela¸˜o ` opera¸˜o. e ca a caLei do Cancelamento: para a opera¸˜o vale a lei do cancelamento se para todos x, y, z ∈ A tem-se caque: x ∗ y = x ∗ z ⇒ y = z e y ∗ x = z ∗ x ⇒ y = z.Propriedade Distributiva: sejam “∗” e “ # ” duas opera¸˜es em A. A opera¸˜o “#” ´ distributiva em co ca erela¸˜o a “∗” quando, para todos x, y, z ∈ A, valem: ca x#(y ∗ z) = (x#y) ∗ (x#z) e (y ∗ z)#x = (y#x) ∗ (z#x).Exemplos 1.11a) As opera¸oes usuais de adi¸˜o e multiplica¸˜o de n´meros reais s˜o associativas e comutativas. c˜ ca ca u ab) A subtra¸˜o n˜o ´ associativa nem comutativa: (9 − 3) − 5 = 1 = 7 = 9 − (5 − 3) e 4 − 2 = 2 = ca a e−2 = 2 − 4.c) A adi¸˜o e a multiplica¸˜o de matrizes reais n × n s˜o associativas. A adi¸˜o ´ comutativa, mas ca ca a ca e 1 1 1 0 2 0a multiplica¸˜o n˜o. Por exemplo, no caso de matrizes 2 × 2, ca a = e 0 0 1 0 0 0 6
  7. 7. 1 0 1 1 1 1 = . 1 0 0 0 1 1Exerc´ıcio 1.2 Verifique que:a) A composi¸ao de fun¸˜es de R em R ´ associativa. c˜ co eb) A potencia¸˜o em N n˜o ´ associativa, nem comutativa. ca a e ∗ n˜o ´ associativa, nem comutativa.c) A divis˜o em R a e aExemplos 1.12 (a) Os n´meros 0 e 1 s˜o respectivamente os elementos neutros para a adi¸ao e u a c˜multiplica¸˜o em N, Z, Q, R e C. ca(b) A adi¸˜o de matrizes em Mm×n (R) tem como elemento neutro a matriz nula m × n. ca(c) A subtra¸˜o n˜o tem elemento neutro em Z: 2 − a = 2 ⇒ a = 0; a − 2 = 2 ⇒ a = 4. ca aExemplos 1.13 (a) Todo n´mero inteiro tem seu inverso aditivo em Z: n + (−n) = −n + n = 0. u(b) O n´mero 2 n˜o ´ um elemento invert´ para a multiplica¸˜o em Z, pois n˜o existe n ∈ Z tal u a e ıvel ca aque 2n = 1.Exerc´ ıcios 1.3a) Mostrar que se uma opera¸˜o * admite elemento neutro, ent˜o ele ´ unico. ca a e´b) Indicar os elementos neutros para a adi¸˜o e para a multiplica¸˜o de matrizes reais 2 × 2. ca cac) Seja * uma opera¸˜o associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x tem inverso segundo *, caent˜o ele ´ unico (e o denotamos aqui por x ). a e´d) Seja * uma opera¸˜o com elemento neutro. Mostrar que: ca(i) se x ´ invert´ e ıvel, ent˜o x tamb´m ´ invert´ e (x ) = x; a e e ıvel(ii) se * ´ associativa e x, y ∈ A s˜o invert´ e a ıveis, ent˜o (x ∗ y) ´ invert´ e (x ∗ y) = y ∗ x . a e ıvele) Seja * uma opera¸˜o com elemento neutro num conjunto A. Mostrar que A tem pelo menos um caelemento invert´ ıvel.Exemplos 1.14(a) Para a adi¸˜o em Z, vale a lei do cancelamento. ca(b) Para a multiplica¸˜o em R, n˜o vale a lei do cancelamento, pois 0 · 3 = 0 · 4, contudo 3 = 4. ca aExerc´ıcio 1.4 Seja * uma opera¸˜o associativa e com elemento neutro. Mostrar que se x ´ invert´ ca e ıvel,ent˜o podemos cancelar x, isto ´, mostrar que se a ∗ x = b ∗ x ent˜o a = b. a e aExemplos 1.15a) Em R, a multiplica¸˜o ´ distributiva em rela¸ao ` adi¸˜o. ca e c˜ a cab) Em Mn (R), a multiplica¸˜o ´ distributiva em rela¸ao ` adi¸˜o. ca e c˜ a ca1.7 Os Inteiros N˜o pretendemos aqui fazer um desenvolvimento da Teoria dos N´meros que seria desej´vel a u aem um curso de gradua¸˜o. Nosso objetivo ´ apresentar conceitos e resultados necess´rio para tratar ca e ade conte´dos que vir˜o mais adiante. Esses resultados e conceitos s˜o encontrados em textos de u a aTeoria dos N´meros, como por exemplo em [Nascimento & Feitosa]. u Vamos considerar o conjunto dos inteiros, com as opera¸˜es de adi¸˜o e multiplica¸˜o satisfa- co ca cazendo propriedades: 7
  8. 8. Adi¸˜o. Para quaisquer a, b, c ∈ Z valem as propriedades: caa) Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c;b) Comutativa: a + b = b + a;c) Elemento neutro (zero): a + 0 = 0 + a = a;d) Inverso: −a ∈ Z e (−a + a = a + (−a) = 0;Multiplica¸˜o. Para quaisquer a, b, c ∈ Z valem as propriedades: caa) Associativa: a(bc) = (ab)c;b) Comutativa: ab = ba;c) Elemento neutro (um): a · 1 = 1 · a = a;d) Distributiva: a(b + c) = ab + ac;e) Multiplica¸˜o por zero: 0a = 0; caf) Produto nulo: ab = 0 ⇒ a = 0 ou b = 0;g) Regra do sinal: (−a)b = a(−b) = −(ab) e (−a)(−b) = ab;h) Desigualdades: a < b ⇔ a + c < b + c; a < b e c > 0 ⇒ ac < bc; a < b e c < 0 ⇒ ac > bc. Estaremos denotando a multiplica¸˜o de a por b por ab ou a · b. caPrinc´ ıpio da boa ordena¸˜o: Todo conjunto n˜o vazio de n´meros naturais possui um me- ca a unor elemento. Isto ´, se S ⊆ N e S = ∅, ent˜o existe s ∈ S tal que s ≤ n para todo n ∈ S. e aPrimeiro princ´ ıpio de indu¸˜o: Seja m ∈ N e seja P (n) uma proposi¸˜o para n ∈ N, sa- ca catisfazendo:a) P (m) ´ verdadeira; eb) Se n ≥ m e P (n) ´ verdadeira ent˜o P (n + 1) ´ verdadeira. e a eEnt˜o P (n) ´ verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m. a eSegundo princ´ ıpio de indu¸˜o: Seja m ∈ N e seja P (n) uma proposi¸˜o para n ∈ (N ), ca casatisfazendo:a) P (m) ´ verdadeira; eb) Para cada n ∈ N com n > m, se P (r) ´ verdadeira para todo r ∈ N onde m ≤ r < n ent˜o P (n) ´ e a everdadeira.Ent˜o P (n) ´ verdadeira para todo n ∈ N com n ≥ m. a e O principio da boa ordena¸˜o e os princ´ ca ıpios de indu¸˜o s˜o equivalente, isto ´, a partir de ca a eum deles podemos demonstrar os outros dois. A equivalˆncia ´ verificada da seguinte forma: (boa e eordena¸˜o ⇒ 2 ca o Princ´ ıpio de Indu¸˜o ⇒ 1 ca o Princ´ıpio de Indu¸˜o ⇒ boa ordena¸˜o) e pode ser ca caencontrada, por exemplo em [Nascimento & Feitosa].Propriedade arquimediana de Z: Se a e b s˜o inteiros e com a = 0, ent˜o: a aa) ∃d ∈ Z tal que da > b; 8
  9. 9. b) ∃e ∈ Z tal que ea < b.Divisibilidade: Para a e b inteiros, dizemos que a divide b, ou que a ´ um divisor de b, se b e´ um m´ltiplo inteiro de a.e uNota¸˜o: a | b ⇔ b = na para algum n ∈ Z. caPropriedades da divisibilidade. Para quaisquer a, b, c inteiros, valem:a) a | a, 1 | a e a | 0;b) a | b ⇒ a | bc;c) a | b ⇒ a | bn ∀n ∈ N, n ≥ 1;d) a | b e a | c ⇒ a | (b + c);e) a | b e a | (b + c) ⇒ a | c;f) a | b e a | c ⇒ a | (rb + sc), para quaisquer r e s inteiros;g) a | b e b > 0 ⇒ a ≤ b;h) ab = 1 ⇒ a = b = 1 ou a = b = −1;i) a | b e b | a ⇒ a = b ou a = −b. Se a1 , a2 , . . . , an s˜o inteiros tais que a | ai , para todo i, ent˜o, aplicando indu¸˜o e o ´ a a ca ıtem (d)das propriedades acima, prova-se que p | (a1 + a2 + . . . + an ).O algoritmo da divis˜o: Dados n e d inteiros com d > 0 ent˜o existem unicos inteiros q e a a ´r tais que n = qd + r e 0 ≤ r < d.O m´ximo divisor comum: Dados a e b inteiros n˜o ambos nulos, o m´ximo divisor co- a a amum de a e b ´ um inteiro positivo d satisfazendo: ea) d | a e d | b;b) se c ´ um inteiro tal que c | a e c | b ent˜o c | d. e aNota¸˜o: d = mdc(a, b) ca O conceito de m´ximo divisor comum pode ser estendido para um conjunto finito de inteiros, asendo nem todos nulos: O inteiro positivo d ´ o m´ximo divisor comum de a1 , a2 , . . . , an se: e aa) d | ai para todo i;b) se c ´ um inteiro e c | ai para todo i ent˜o c | d. e aNota¸˜o: d = mdc(a1 , a2 , . . . , an ) ca Os inteiros a1 , a2 , . . . an s˜o relativamente primos ou primos entre s´ quando a ımdc(a1 , a2 , . . . , an ) = 1.Propriedades do m´ximo divisor comum. Para a, b ∈ Z, temos: aa) se d = mdc(a, b) ent˜o d ´ o menor inteiro positivo da forma ra + sb, para r e s inteiros; a eb) se, para r, s ∈ Z, ra + sb = 1 ent˜o mdc(a, b) = 1; a a1 a2 anc) se d = mdc(a1 , a2 , . . . , an ) ent˜o mdc( , , . . . , ) = 1. a d d dN´ meros primos: Um inteiro p > 1 ´ primo se seus unicos divisores positivos s˜o p e 1. u e ´ a 9
  10. 10. O Teorema Fundamenta da Aritm´tica: Todo inteiro n > 1 se escreve de modo unico e ´como produto de primos, no seguinte sentido:n = pr1 pr2 · · · prt onde p1 < p2 < · · · < pt s˜o primos, e t, r1 , r2 , . . . , rt s˜o inteiros positivos. 1 2 t a aPropriedades de n´ meros primos. Se p ´ um n´mero primo, ent˜o: u e u aa) se p divide um produto de inteiros, ent˜o divide pelo menos um deles; ab) se n ´ um inteiro positivo menor que p ent˜o p n; e ac) se p n ent˜o mdc(n, p) = 1; ad) se a e b s˜o inteiros e p | ab mas p2 ab ent˜o p divide somente um dos dois n´meros. a a u1.8 Opera¸oes aritm´ticas em Zn c˜ eSejam a, b, n ∈ Z e n > 1. A rela¸˜o “a ´ congruente a b m´dulo n”, denotada por a ≡ b(mod n) ´ ca e o edefinida por: a ≡ b(mod n) ⇔ n|a − b (⇔ a − b = q · n para algum q ∈ Z).Exemplo 1.16 Temos 5 ≡ 2(mod 3), 7 ≡ −1(mod 4), −1 ≡ 13(mod 7) e 31 ≡ 31(mod 77). A congruˆncia m´dulo n ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia, pois: e o e ca e- para todo a ∈ Z, temos que a − a = 0 = 0 · n, isto ´, a ≡ a(mod n) e, portanto, a rela¸˜o ´ reflexiva; e ca e- para todos a, b ∈ Z, se a ≡ b(mod n), ent˜o a − b = c · n e, portanto, b − a = −(a − b) = −c · n. aLogo, b ≡ a(mod n) e, portanto, a rela¸˜o ´ sim´trica; ca e e- para todos a, b, c ∈ Z, se a ≡ b(mod n) e b ≡ c(mod n), ent˜o a − b = d · n e b − c = e · n. Logo, aa − c = a − b + b − c = d · n + e · n = (d + e) · n. Portanto, a ≡ c(mod n) e a rela¸˜o ´ transitiva. ca e Vamos determinar o conjunto quociente de Z pela congruˆncia m´dulo n: e oPelo algoritmo da divis˜o, para cada m ∈ Z existem unicos quociente e resto q, r ∈ Z, com 0 ≤ r < n a ´tais que m = qn + r. Assim, m − r = qn, ou seja, m ≡ r(mod n). Desse modo, para cada m ∈ Z,existe um unico r ∈ {0, 1, . . . , n − 1} tal que m ≡ r(mod n). Tamb´m, se 0 ≤ r < s < n ent˜o ´ e a0 < s − r ≤ s < n, ou seja, r e s n˜o s˜o congruentes m´dulo n. Denotando a classe de equivalˆncia a a o ede a ∈ Z por a, temos que a ∈ {0, 1, ¯ ¯ ¯ ¯ · · · , n − 1}. Como r = s se 0 ≤ r = s < n ent˜o o conjunto ¯ ¯ aquociente de Z pela congruˆncia ´ um conjunto com n elementos: e e Zn = {¯ ¯ · · · , n − 1}. 0, 1,Opera¸˜es aritm´ticas em Zn : para a, ¯ ∈ Zn , definimos: co e ¯ b a+¯ = a+b ¯ b e a·¯= a·b ¯ b Precisamos verificar que as opera¸˜es acima est˜o bem definidas, isto ´, se a = ¯ e c = d ent˜o co a e ¯ b ¯ ¯ aa + c = ¯ + d e a · c = ¯ · d, ou seja, mostrar que a + b = c + d e a · c = b · d. Como duas classes¯ ¯ b ¯ ¯ ¯ b ¯x e y s˜o iguais se, e somente se, x ≡ y(mod n), ent˜o basta mostrar que a + c ≡ b + d(mod n) e¯ ¯ a aa · c ≡ b · d(mod n). Isto ser´ feito na proposi¸˜o a seguir. a caProposi¸˜o 1.2 Sejam a, b, c, d, n ∈ Z, com n > 1. Ent˜o: ca a (i) Se a ≡ b(mod n), ent˜o a + c ≡ b + c(mod n); a (ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), ent˜o a + c ≡ b + d(mod n); a 10
  11. 11. (iii) Se a ≡ b(mod n), ent˜o a · c ≡ b · c(mod n); a (iv) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), ent˜o a · c ≡ b · d(mod n); aDemonstra¸˜o: (i) Se a ≡ b(mod n), ent˜o n|(a − b) = (a + c − c − b) = [(a + c) − (b + c)]. Portanto, ca aa + c ≡ b + c(mod n); (ii) Se a ≡ b(mod n) e c ≡ d(mod n), por (i), temos que a + c ≡ b + c(mod n) e b + c ≡b + d(mod n). Pela transitividade da rela¸˜o ≡, a + c ≡ b + d(mod n). caExerc´ ıcio 1.5 Completar a demonstra¸˜o da Proposi¸˜o 1.2. ca ca Como a = r, onde r ´ o resto da divis˜o de a por n, podemos ent˜o definir as opera¸˜es de ¯ ¯ e a a coadi¸˜o e multiplica¸˜o em Zn = {¯ ¯ · · · , n − 1} por: ca ca 0, 1,a + ¯ = c e a · ¯ = d, onde c e d s˜o, respectivamente os restos das divis˜es de a + b e a · b por n.¯ b ¯ b ¯ ¯ a oExemplo 1.17 Em Z15 temos 10 + 10 = 5; 3 + 7 = 10; 6 + 12 = 3; 5·5 = 10; 10·6 = 0. Propriedades das opera¸oes em Zn . Sejam a, b, c ∈ Zn Ent˜o: c˜ aa) Fechamento. a + b ∈ Zn e a·b ∈ Znb) Comutativa. a + b = b + a e a·b = b·ac) Associativa. a + (b + c) = (a + b) + c e a·(b·c) = (a·b)·cd) Distributiva. a·(b + c) = a·b + a·c e (a + b)·c = a·c + b·ce) Neutro para a adi¸˜o. a + 0 = 0 + a = a caf) Neutro para a multiplica¸˜o. 1·a = a·1 = a cag) Multiplica¸˜o por zero. 0·a = a·0 = 0 cah) Inverso aditivo. a + n − a = n − a + a = 0, se 0 < a < n e 0 + 0 = 0Demonstra¸˜o: a) Segue das defini¸˜es das opera¸˜es. ca co cob) Tamb´m seguem das defini¸˜es das opera¸˜es, pois a + b = b + a e a·b = b·a. e co coc) a + (b + c) = a + d = e e (a + b) + c = f + c = g onde d, e, f , e g s˜o respectivamente os restos das adivis˜es de b + c, a + d, a + b e f + c por n. Assim, existem n´meros naturais q1 , q2 , q3 e q4 tais que: o u(1) b + c = q1 n + d (2) a + d = q2 n + e (3) a + b = q3 n + f (4) f + c = q4 n + gDe (1) e (2) temos a + (b + c) = a + (q1 n + d) = q1 n + (a + d) = q1 n + (q2 n + e). Logo, a + b + c =(q1 + q2 )n + e, ou seja, e ´ o resto da divis˜o de a + b + c por n. e aDe (3) e (4) temos (a + b) + c = (q3 n + f ) + c = q3 n + (f + c) = q3 n + (q4 n + g). Logo, a + b + c =(q3 + q4 )n + g, ou seja, g ´ o resto da divis˜o de a + b + c por n. e aDa unicidade do resto da divis˜o, temos que e = g. Assim, a + (b + c)= e = g = (a + b) + c. De modo aan´logo, mostramos a · (b · c) = (a · b) · c. aExerc´ ıcio 1.6 Prove as demais propriedades das opera¸oes em Zn . c˜ Podemos fazer tabelas para a adi¸˜o e para a multiplica¸˜o em Zn . Por exemplo, para Z4 temos: ca ca + 0 1 2 3 · 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 1 2 3 0 1 0 1 2 3 2 2 3 0 1 2 0 2 0 2 3 3 0 1 2 3 0 3 2 1 Olhando para a tabela da adi¸˜o vemos que os inversos aditivos de 1, 2 e 3 s˜o, respectiva- ca amente, 3 , 2 e 1. Na tabela da multiplica¸˜o vemos que os inversos multiplicativos de 1 e 3 s˜o, ca a ¯ e ¯ n˜o tem inversos multiplicativos.respectivamente, 1 e 3, e que 0 2 a 11
  12. 12. 2 Grupos ´ O conceito de grupo surgiu dos estudos de Evariste Galois com equa¸˜es de polinˆmios, em co o1832. Embora Galois tenha utilizado a id´ia de grupo em todo o seu trabalho com equa¸˜es, ele n˜o e co ahavia dado explicitamente uma defini¸˜o. A defini¸˜o aparece na publica¸˜o do trabalho de Galois, ca ca cafeita por Liouville em 1846. Um ano antes, Cauchy apresentou o conceito, chamando-o de “sistemaconjugado de substitui¸˜es”. Durante algum tempo, esses dois termos “grupo” e “sistema conjugado code substitui¸˜es” foram utilizados. Contudo, em 1863, quando Jordan escreveu um coment´rio a co arespeito do trabalho de Galois, no qual ele usou o termo “grupo”, este passou a ser o termo utilizado,embora o termo “sistema conjugado de substitui¸˜es” tamb´m tenha sido utilizado por alguns at´, co e epor volta de 1880. Tanto Galois como Cauchy definiam grupos somente em termos de propriedade defechamento, n˜o aparecendo a associatividade e os elementos neutro e inverso. Ambos trabalhavam acom permuta¸˜es e, neste caso, essas propriedades surgiam automaticamente. Aos poucos, a partir code trabalhos de outros matem´ticos como Cayley, Kronecker, Burnside, e Heinrich Weber, a defini¸˜o a cade grupos, como a conhecemos, ficou estabelecida. Do estudo de opera¸˜es com n´meros inteiros, podemos ressaltar algumas propriedades da co uadi¸˜o. Para quaisquer a, b, c em Z valem: caG0) a + b ∈ Z; (Fechamento)G1) a + (b + c) = (a + b) + c; (Associativa)G2) 0 ∈ Z e a + 0 = 0 + a = a; (Elemento neutro da adi¸˜o) caG3) −a ∈ Z e a + (−a) = −a + a = 0. (Elemento inverso da adi¸˜o) ca Se em lugar de Z tomarmos Q , R, C , ou Mm×n (R) (o conjunto das matrizes reais m × n),as propriedades acima permanecem v´lidas. In´meros outros conjuntos e opera¸˜es satisfazem estas a u coquatro propriedades que s˜o importantes no estudo de algumas teorias matem´ticas, qu´ a a ımicas e f´ ısicas.Isso, de certa forma, justifica um estudo gen´rico de conjuntos com uma opera¸˜o satisfazendo estas e capropriedades, muito embora a origem da Teoria dos Grupos esteja nos trabalhos de Galois, a respeitode resolubilidade de equa¸˜es polinomiais em termos de permuta¸˜es de suas ra´ co co ızes.2.1 Defini¸˜o e exemplos caDefini¸˜o 2.1 Sejam G um conjunto n˜o vazio e “∗” uma opera¸˜o em G, isto ´, existe uma fun¸˜o ca a ca e caf : G × G → G onde f (a, b) = a ∗ b. Dizemos que (G, ∗) ´ um grupo se as seguintes condi¸oes s˜o e c˜ asatisfeitas:G1) Para quaisquer a, b, c ∈ G, a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c; (Propriedade associativa)G2) Existe e ∈ G tal que para todo a ∈ G, a ∗ e = e ∗ a = a; (Elemento neutro)G3) Para todo a ∈ G existe b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = e. (Elemento Inverso) Observe que se a, b ∈ G ent˜o a ∗ b ∈ G pois “∗ ” ´ uma opera¸˜o em G. a e caExemplos 2.1 (Z, +), (Q, +), (R, +), (C, +), (Zn , +), (R∗ , ·), (Q∗ , ·), (C∗ , ·), ({1, −1}, ·),({1, −1, i, −i}, ·), s˜o grupos, onde A∗ significa o conjunto A sem o zero, indicando tamb´m que ´ a e eum grupo multiplicativo. Vamos denotar por Z, Q, R e C esses grupos aditivos e por Q ∗ , R∗ , e C∗ osgrupos multiplicativos.Exemplo 2.2 (N, +) n˜o ´ um grupo pois 2 ∈ N mas n˜o existe n ∈ N tal que 2 + n = 0. a e a 12
  13. 13. Exemplo 2.3 (Z, −) n˜o ´ um grupo, pois n˜o satisfaz nenhuma das condi¸˜es G1, G2 e G3. a e a coExemplo 2.4 (R, ·) n˜o ´ um grupo, pois 0 ∈ R , mas n˜o existe r ∈ R tal que 0r = 1. Logo, n˜o a e a asatisfaz a condi¸˜o G3. Da mesma forma, (Q, ·) e (C, ·) n˜o s˜o grupos. ca a aExemplo 2.5 ({−1, 0, 1}, +) n˜o ´ um grupo, apesar de estarem satisfeitas as condi¸oes G1, G2 e a e c˜G3, pois “+” n˜o ´ uma opera¸˜o em {−1, 0, 1}: 1 ∈ {−1, 0, 1} mas 1 + 1 = 2 ∈ {−1, 0, 1}. a e ca /Exemplo 2.6 Para m e n inteiros positivos, o conjunto das matrizes reais m × n, Mm×n (R) ´ um egrupo com a opera¸˜o de adi¸ao de matrizes. ca c˜Quest˜o: (M2×2 (R)∗ , ·) o conjunto das matrizes reais n˜o nulas 2 × 2 ´ um grupo com a opera¸˜o de a a e camultiplica¸˜o de matrizes? ca2.2 Propriedades de grupos Na teoria de grupos, em geral, usa-se a nota¸˜o multiplicativa, isto ´, usa-se a · b ou ab para ca edenotar a ∗ b e a −1 para denotar um inverso de a. Para o elemento neutro usa-se a letra “e”. Assim,para a defini¸˜o de grupos, a nota¸˜o fica: ca caG0) para todos a, b em G, ab ∈ G;G1) para todos a, b, c ∈ G, a(bc) = (ab)c;G2) existe e em G tal que para todo a em G, ae = ea = a;G3) para todo a em G, existe a−1 em G tal que aa−1 = a−1 a = e. Observa¸˜o: Em vista da propriedade associativa (G1), podemos eliminar os parˆnteses: ca eabc = a(bc) = (ab)c.Propriedades: Se G ´ um grupo, ent˜o: e aa) o elemento neutro de G ´ unico; e´b) para todos a, b, c ∈ G, se ac = bc ou ca = cb ent˜o a = b; ac) para cada a ∈ G, o inverso de a ´ unico e ´ denotado por a−1 ; e´ ed) para todos a, b ∈ G, se ab = e ou ba = e ent˜o b = a−1 ; ae) para todo a ∈ G, (a −1 )−1 = a;f) para todos a, b ∈ G, (ab)−1 = b−1 a−1 .Demonstra¸˜o: a) Suponhamos e e e elementos neutros de G. Ent˜o e = ee = e . Logo existe um ca aunico elemento neutro.´b) Se ac = bc ent˜o acc−1 = bcc−1 , logo ae = be e portanto a = b. O caso ca = cb ´ an´logo. a e ac) Segue de (b).d) Se ab = e, seja a−1 o inverso de a. Como aa−1 = e = ab ent˜o aa−1 = ab. Logo, por (b), a−1 = b. aO caso ba = e ´ an´logo. e ae) Como a −1 (a−1 )−1 = e = a−1 a, ent˜o, por (b), (a−1 )−1 = a. af) Como (ab)(b −1 a−1 ) = a(bb−1 )a−1 = aea−1 = aa−1 = e, ent˜o, por (d), b−1 a−1 = (ab)−1 . a Observe que, nos exemplos dados, todos os grupos satisfazem a propriedade comutativa, isto ´, eab = ba para todos a e b. Um grupo satisfazendo a propriedade comutativa ´ chamado grupo abeliano eou grupo comutativo. Veremos, a seguir, que existem grupos que n˜o s˜o abelianos. a a 13
  14. 14. Exemplo 2.7 Seja SL2 (R), o conjunto das matrizes reais invert´ ıveis 2 × 2. Das propriedades demultiplica¸˜o de matrizes, vemos que SL2 (R), com esta opera¸ao, ´ um grupo. Mas SL2 (R) n˜o ´ um ca c˜ e a egrupo abeliano, pois 1 1 1 0 2 1 1 0 1 1 1 1 = e = . 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 Generalizando, o conjunto das matrizes n×n invert´ ıveis, n ≥ 2, com a opera¸˜o de multiplica¸˜o ca cade matrizes, ´ um grupo n˜o abeliano. Tome, por exemplo as matrizes A = (aij ) e B = (bij ) com e aaii = bii = 1; a12 = b21 = 1; e todos os outros elementos das matrizes A e B iguais a zero.Exemplo 2.8 Se G ´ um grupo n˜o abeliano, podemos ter ac = cb com a = b e e a 1 1 0 1(ab)−1 = a−1 b−1 . Por exemplo, no grupo SL2 (R) se A = , B = e 0 1 1 1 0 −1 1 2 −1 2C = ent˜o AB = BC = a . Tamb´m, (AB)−1 = e enquanto 1 2 1 1 1 −1 1 −1 −1 1 −2 1que A−1 B −1 = = . 0 1 1 0 1 02.3 Produto Cartesiano de grupos. Se (G, ∗) e (H, ◦) s˜o grupos, ent˜o (G × H, ·) ´ um grupo onde a opera¸˜o “·” ´ definida por a a e ca e ´ f´cil verificar que (G × H, ·) ´ um grupo(g, h) · (g , h ) = (g ∗ g , h ◦ h ) onde g, g ∈ G e h, h ∈ H. E a ecom elemento neutro (eG , eH ) onde eG e eH s˜o, respectivamente, os elementos neutros de G e H. aTamb´m (g, h) e −1 = (g −1 , h−1 ). Verifica-se facilmente que se G e H s˜o grupos abelianos ent˜o G × H a atamb´m ´ um grupo abeliano. e e Procedendo de maneira an´loga, podemos estender a constru¸˜o acima para o produto cartesiano a cade um conjunto finito de grupos: G1 × G2 × · · · × Gn .Exemplo 2.9 Temos que Z × SL2 (R) ´ um grupo com a opera¸˜o (a, A)(b, B) = (a + b, AB) onde, e cana primeira coordenada temos adi¸˜o de inteiros e, na segunda, produto de matrizes. caExemplo 2.10 Temos que Z2 × Z2 ´ um grupo abeliano com 4 elementos: {(¯ ¯ (¯ ¯ (¯ ¯ (¯ ¯ e 0, 0), 0, 1), 1, 0), 1, 1)}.2.4 Grupos de permuta¸oes c˜ Sejam S um conjunto n˜o vazio e P (S) = {f : S → S | f ´ bijetiva}. Temos que P (S) ´ um grupo a e ecom a opera¸˜o composi¸˜o de fun¸˜es, pois a composta de fun¸˜es bijetivas ´ uma fun¸˜o bijetiva, a ca ca co co e cacomposi¸˜o de fun¸˜es ´ associativa, a aplica¸˜o identidade ´ bijetiva e toda fun¸˜o bijetiva ´ invert´ ca co e ca e ca e ıvel.O conjunto P (S) com a opera¸˜o de composi¸˜o de fun¸˜es, ´ chamado grupo das permuta¸˜es de S. ca ca co e co Denotamos o grupo das permuta¸˜es de {1, 2, ..., n} por Sn . Como a cada fun¸˜o bijetiva de Sn co cacorresponde a uma permuta¸˜o f (1)f (2) · · · f (n) de 1, 2, . . . , n e o n´mero total destas permuta¸˜es ´ ca u co en!, ent˜o Sn tem n! elementos. a Para n ≥ 3, Sn ´ um grupo n˜o abeliano pois tomando f, g ∈ Sn com f (1) = 2, f (2) = 1, e af (3) = 3, g(1) = 2, g(2) = 3 e g(3) = 1 temos (f og)(1) = 1 e (gof )(1) = 3, logo, f og = gof . Assim,S3 ´ um exemplo de grupo n˜o abeliano com 6 elementos. e a 14
  15. 15. Nota¸˜o: Se f ∈ Sn denotamos f por (1, f (1), f (f (1)), ...)(i, f (i), f (f (i)), ...)..., como nos exemplos caabaixo. Para f, g, h ∈ S4 tais que f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 2, f (4) = 1, g(1) = 3, g(2) = 2, g(3) =1, g(4) = 4, h(1) = 3, h(2) = 4, h(3) = 1, h(4) = 2 denotamos f por (1, 3, 2, 4), g por (1, 3) e h por(1, 3)(2, 4). A justificativa de podermos usar essa nota¸˜o se encontra no livro “T´picos de Algebra” ca o ´- veja a bibliografia. Assim, os elementos de S3 s˜o: a e (fun¸˜o identidade); ca a = (1, 2, 3); a2 = (1, 2, 3)(1, 2, 3) = (1, 3, 2); a3 = a2 · a = (1, 3, 2)(1, 2, 3) = e = (1, 2, 3)(1, 3, 2) = a · a2 ⇒ a−1 = a2 ; b = (1, 2); b2 = e ⇒ b−1 = b; ab = (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3); ba = (1, 2)(1, 2, 3) = (2, 3). Assim, S3 = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2), (1, 3), (2, 3)} = {e, a, a2 , b, ab, ba}. Encontre o inverso para cada elemento de S3 .2.5 Grupos de simetria Vamos tomar um quadrado no plano de v´rtices A, B, C, e D e vamos denotar o quadrado epor ABCD, quando o v´rtice superior esquerdo for A, e os v´rtices B, C, D forem, respectivamente, e etomados no sentido hor´rio, a partir de A. a Uma rota¸˜o de 90o , no sentido hor´rio, leva cada v´rtice do quadrado no v´rtice seguinte. ca a e e Uma reflex˜o em torno da diagonal tomada do v´rtice esquerdo superior ao v´rtice direito a e einferior, deixa estes v´rtices fixos e troca os outros dois. e Denotando por σ a rota¸˜o e por τ , a reflex˜o, temos: ca aσ(ABCD) = DABCσ 2 (ABCD) = CDABσ 3 (ABCD) = BCDAσ 4 (ABCD) = ABCDτ (ABCD) = ADCBτ 2 (ABCD) = ABCDστ (ABCD) = σ(ADCB) = BADCσ 2 τ (ABCD) = σ 2 (ADCB) = CBADσ 3 τ (ABCD) = σ 3 (ADCB) = DCBA 15
  16. 16. Denotando por e o n˜o movimento e(ABCD) = ABCD, temos que aD = {e, σ, σ 2 , σ 3 , τ, στ, σ 2 τ, σ 3 τ } ´ um grupo. Podemos verificar isso, na tabela abaixo: e · e σ σ2 σ3 τ στ σ2τ σ3τ e e σ σ2 σ3 τ στ σ2τ σ3τ σ σ σ2 σ3 e στ σ2τ σ3τ τ σ2 σ2 σ3 e σ σ2τ σ3τ τ στ σ3 σ3 e σ σ2 σ3τ τ στ σ2τ τ τ σ3τ σ2τ στ e σ3 σ2 σ στ στ τ σ3τ σ2τ σ e σ3 σ2 σ2τ σ2τ στ τ σ3τ σ2 σ e σ3 σ3τ σ3τ σ2τ στ τ σ3 σ2 σ e Assim, podemos tomar D = {σ j τ i | 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j ≤ 3, τ 2 = σ 4 = e, στ = τ σ 3 , τ = e, σ j = e para j = 1, 2, 3} O exemplo acima pode ser estendido, tomando-se um pol´ ıgono regular de n lados e um eixo dereflex˜o passando por um v´rtice e pelo centro do pol´ a e ıgono. Tais grupos assim obtidos s˜o chamados agrupos de simetria ou grupos diedrais e tais grupos podem ser descritos por Dn = {σ j τ i | 0 ≤ i ≤ 1, 0 ≤ j < n, τ 2 = σ n = e, στ = τ σ n−1 , τ = e, σj = e para 1 ≤ j < n}. Note que, neste caso, quando o pol´ ıgono tem n lados, o grupo tem 2n elementos. Observe que cada elemento de Dn podem ser vistos como uma permuta¸˜o de n elementos, ou caseja, como um elemento do grupo de permuta¸˜es Sn , quando denominamos os v´rtices do pol´ co e ıgonode n lados pelos n´meros 1, 2, . . . , n. Assim, podemos considerar o grupo Dn contido no grupo Sn . u2.6 Grupos c´ ıclicos Sejam G um grupo, a ∈ G e n ∈ N denotamos a0 = e, an+1 = an a e a−n = (a−1 )n . Assim,temos definido an para todo n ∈ Z. As regras usuais de expoentes podem ser verificadas, isto ´, para equaisquer inteiros m e n tem-se:1) am an = am+n ; 2) (an )−1 = a−n ; 3) (a−n )−1 = an ; 4) (am )n = amn . Na nota¸˜o aditiva, ab significa a + b, a−1 significa −a e an significa na = a + a + · · · + a. Logo, cama + na = (m + n)a, n(ma) = (mn)a e −(na) = (−n)a = n(−a). 16
  17. 17. Sejam G um grupo e a ∈ G. Denotamos a = {an | n ∈ Z}. Como a0 = e, am an = am+n ,(am an )ap = am (an ap ) e (an )−1 = a−n ent˜o a ´ um grupo abeliano, chamado grupo c´ a e ıclico geradopor a. Na nota¸˜o aditiva temos a = {na | n ∈ Z}. caExemplo 2.11 Seja G = Z. Ent˜o a 1 = {n · 1 | n ∈ Z} = {n | n ∈ Z} = Z. −1 = {n · (−1) | n ∈ Z} = {−n | n ∈ Z} = Z. t = {n · t | n ∈ Z} ´ o conjunto dos inteiros m´ltiplos de t. e u Assim, Z ´ um grupo c´ e ıclico e podemos tomar 1 ou −1 como gerador.Exemplo 2.12 Verifica-se facilmente que Zn ´ um grupo c´ e ıclico gerado por 1.Exemplo 2.13 Verifica-se tamb´m facilmente que Z6 pode ser gerado por 1 e 5. eExemplo 2.14 Temos que S3 n˜o ´ um grupo c´ a e ıclico pois (1, 2)2 = (1, 3)2 = (2, 3)2 = e e (1, 2, 3)3 =(1, 3, 2)3 = e. Logo, nenhum elemento gera S3 .Exemplo 2.15 Temos que R∗ n˜o ´ um grupo c´ a e ıclico. Para verificar isso, suponha que sim, isto ´, eque exista a ∈ R ∗ tal que R∗ = a . Considere 2 = an e 3 = am e, a partir disso, chegue em umabsurdo.Exerc´ıcios 2.1 √ √1) Mostre que Z[ 2] = {a + b 2 | a, b ∈ Z} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de adi¸ao. e ca c˜2) Para a, b ∈ Z, definimos a ⊕ b = a + b + 1. a) Verifique que (Z, ⊕) ´ um grupo. e b) Verifique se (Z, ⊕) ´ abeliano. e c) Verifique se (Z, ⊕) ´ c´ e ıclico.3) Verifique se (R ∗ , ) ´ um grupo, onde a e b = a · b/2.4) Verifique se (R, ⊕) ´ um grupo nos casos abaixo: e a) a ⊕ b = a 2 + b2 b) a ⊕ b = a + b − 35) a) Descreva os elementos de S4 . b) Encontre elementos a e b de S4 tais que ab = ba.6) Verifique se G = {z ∈ C | |z| = 1} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de multiplica¸˜o de n´meros e ca ca ucomplexos.7) Verifique se G = {x ∈ R | |x| ≥ 1} ´ um grupo abeliano com a opera¸˜o de multiplica¸˜o de e ca can´meros reais. u8) Encontre a, b ∈ S3 tais que (ab)2 = a2 b2 .9) Verifique se o grupo Z2 × Z2 ´ um grupo c´ e ıclico.10) Verifique se o grupo Z2 × Z3 ´ um grupo c´ e ıclico.11) Quais elemento de Z5 geram Z5 ?12) Seja G um grupo abeliano. Mostre que se a, b ∈ G e m ∈ Z ent˜o (ab)m = am bm . a13) Verifique que todo grupo c´ ıclico ´ abeliano. e14) Mostre que se a1 , a2 , ..., an s˜o elementos de um grupo G ent˜o (a1 ·a2 ·...·an )−1 = a−1 ·...·a−1 ·a−1 . a a n 2 115) Seja G um grupo tal que a 2 = e para todo a ∈ G. Mostre que G ´ abeliano. e 17
  18. 18. 2.7 SubgruposDefini¸˜o 2.2 Dizemos que um subconjunto H de um grupo (G, ∗) ´ um subgrupo de G, se (H, ∗) ´ ca e eum grupo, isto ´, se H ´ um grupo com a opera¸˜o de G restrita a H. e e caNota¸˜o: H < G quando H ´ um subgrupo de G. ca eExemplos 2.16a) Se G ´ um grupo ent˜o G < G e {e} < G, s˜o os chamados subgrupos triviais de G. e a ab) Z < Q < R < C.c) Q∗ < R∗ < C∗ .d) R∗ n˜o ´ um subgrupo de R. a ee) ({−1, 1}, ·) < R∗ .f ) Z2 n˜o ´ um subgrupo de Z3 . a eProposi¸˜o 2.1 Seja H um subconjunto de um grupo G. Ent˜o H ´ um subgrupo de G se, e somente ca a ese, as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas: co a1) e ∈ H;2) ∀ a, b ∈ H, ab ∈ H (a + b ∈ H, no caso de grupos aditivos );3) ∀ a ∈ H, a−1 ∈ H ( −a ∈ H, no caso de grupos aditivos ). ca ´Demonstra¸˜o: E claro que se H < G ent˜o as trˆs condi¸˜es est˜o satisfeitas. a e co aPor outro lado, suponhamos as trˆs condi¸˜es satisfeitas. A condi¸˜o (1) garante que H = ∅ e possui e co caelemento neutro; a condi¸ao (2) diz que a opera¸˜o de G restrita a H ´ uma opera¸˜o em H; a c˜ ca e cacondi¸˜o (3) garante a existˆncia do inverso de cada elemento de H; como H ⊆ G, ent˜o vale a ca e apropriedade associativa para os elementos de H. Assim, H ´ um grupo com a opera¸˜o definida para e caG, logo, H < G. Observe que se H < G ent˜o o elemento neutro de H ´ o mesmo elemento neutro e de G. a eExemplo 2.17 Para G = S3 = {e, (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3), (1, 3, 2)} ´ f´cil verificar que: e a{e, (1, 2)} < S3 e {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 .Corol´rio 2.2 Seja H um subconjunto de um grupo G. Ent˜o H ´ um subgrupo de G se, e somente a a ese, as seguintes condi¸˜es s˜o satisfeitas: co a1) H = ∅2) ∀ a, b ∈ H, ab−1 ∈ H (a − b ∈ H no caso de grupos aditivos)Demonstra¸˜o: Fica como exerc´ ca ıcio.Exemplo 2.18 Seja 3Z = {3 · n | n ∈ Z} o conjunto dos m´ltiplos de 3. Temos: u1) 3Z = ∅ pois 0 = 3 · 0 ∈ 3Z;2) Se a, b ∈ 3Z, digamos, a = 3n e b = 3m, ent˜o a − b = 3(n − m) ∈ 3Z. aAssim, pelo corol´rio anterior, 3Z < Z. a Do mesmo modo, podemos mostrar que para qualquer m ∈ Z, mZ < Z. Seja a ∈ G onde G ´ um grupo. J´ vimos que a = {an | n ∈ Z} ´ um grupo com a mesma e a eopera¸˜o de G, ou seja, a < G. Dizemos que a ´ o subgrupo c´ ca e ıclico de G gerado por a. Se S ´ um esubconjunto n˜o vazio de G, definimos: a S = {(s1 ) r1 (s )r2 ...(s )rn | ∀ i, s ∈ S e r ∈ Z} 2 n i i Verifique que S < G e que S = ∩{H | H < G e S ⊆ H}. 18
  19. 19. Chamamos S de subgrupo de G gerado por S.Exemplo 2.19 Para o grupo S3 temos (1, 2) = {e, (1, 2)}; (1, 2, 3) = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}.Exemplo 2.20 S3 = {(1, 2), (1, 2, 3)} , pois:(1, 2) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}(1, 2, 3) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}e = (1, 2)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}(1, 3, 2) = (1, 2, 3)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}(2, 3) = (1, 2)(1, 2, 3) ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}(1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2) = (1, 2)(1, 2, 3)2 ∈ {(1, 2), (1, 2, 3)}Exerc´ ıcios 2.21) Mostre que H = {2n | n ∈ Z} ´ um subgrupo de R∗ . e a 02) Para G = M2×2 e H = | a, b ∈ R , mostre que H < G. b 03) Para G = Z × Z e H = {(2a, 3b) | a, b ∈ Z} mostre que H < G.4) Determine todos os subgrupos de Z2 × Z3 .5) Quais dos seguintes subconjuntos s˜o subgrupos (c´ a ıclicos) de Z12 ? ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 10} b) {¯ ¯a) {0, 2, 4, 6, 8, 0, 6} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ c) {0, 2, 3, 5, 8} ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 11} e) {¯ ¯ ¯ f ) {¯ ¯ ¯ ¯d) {1, 3, 5, 7, 9, 0, 4, 8} 0, 3, 6, 9}6) Determine os seguintes subgrupos de Z8 .a) ¯ b) ¯ c) ¯ d) ¯ ¯ 2 5 4 2, 37) Para o grupo de permuta¸˜es S4 : coa) Determine (1, 2, 3) .b) Determine (1, 2, 3, 4) .c) Seja H = {e, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}. Verifique se H ´ um subgrupo de S4 e se H ´ e eabeliano.8) Mostre que todo subgrupo de um grupo abeliano tamb´m ´ um grupo abeliano. e e9) Mostre que todo subgrupo de um grupo c´ ıclico ´ um grupo c´ e ıclico. Nos exerc´ ıcios abaixo, vamos considerar G um grupo.10) Sejam a ∈ G e C(a) = {g ∈ G | ag = ga}. Mostre que C(a) < G.11) Seja Z(G) = {g ∈ G | ga = ag ∀ a ∈ G}. Mostre que Z(G) < G.12) Mostre que se H e K s˜o subgrupos de G, ent˜o H ∩ K tamb´m ´ um subgrupo de G. a a e e13) Dˆ um exemplo onde H < G e K < G mas H ∪ K n˜o ´ um subgrupo de G. e a e14) Se H < G e g ∈ G mostre que gHg −1 < G, onde gHg −1 = {ghg −1 | h ∈ H}.2.8 Classes laterais Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Para a, b ∈ G, definimos a ≡ b(mod H) (lˆ-se a ´ e econgruente a b m´dulo H) se, e somente se, ab o −1 ∈ H. Vamos verificar que esta ´ uma rela¸˜o de e caequivalˆncia: ePropriedade reflexiva: ∀ a ∈ G, aa−1 = e ∈ H, logo, a ≡ a(mod H)Propriedade sim´trica: Se a, b ∈ G e a ≡ b(mod H), isto ´, ab−1 ∈ H, como H ´ um grupo, ent˜o e e e aba−1 = (ab−1 )−1 ∈ H, logo, b ≡ a(mod H). 19
  20. 20. Propriedade transitiva: Se a, b, c ∈ H com a ≡ b(mod H) e b ≡ c(mod H) ent˜o ab−1 ∈ H e bc−1 ∈ H. aComo H ´ um grupo, ent˜o ac−1 = ab−1 bc−1 ∈ H, ou seja, a ≡ c(mod H). e a A classe de equivalˆncia de um elemento a de G, ´ dada por e ea = {b ∈ G | b ≡ a(mod H)} = {b ∈ G| ba −1 ∈ H}. Temos ent˜o b ∈ a se, e somente se, existe h ∈ H atal que ba −1 = h, ou seja, se, e somente se, b = ha para algum h ∈ H. Assim, a = Ha = {ha | h ∈ H}.Chamamos Ha de uma classe lateral ` direita de H em G. a Denotamos o conjunto quociente de G pela rela¸˜o de equivalˆncia por ca e G/H = {Ha | a ∈ G}que ´ o conjunto das classes laterais ` direita de H em G. e aObserve que:a) a ∈ Ha, pois e ∈ H;b) Ha = Hb ⇔ a ∈ Hb, pois duas classes de equivalˆncia ou coincidem ou s˜o disjuntas; e ac) Ha = Hb ⇔ ab −1 ∈ H (verifique).d) Ha = H ⇔ a ∈ H. Nota¸˜o: Se X ´ um conjunto finito vamos denotar por |X| o n´mero de elementos de X. ca e uDefini¸˜o 2.3 Se G ´ um grupo finito, chamamos |G| de ordem de G. Se G ´ um grupo qualquer ca e ee se g ∈ G ´ tal que g ´ um grupo finito, chamamos de ordem de g ao n´mero | g |, o qual ser´ e e u adenotado simplesmente por |g|.Lema 2.3 Sejam G um grupo finito e H < G. Se a ∈ G ent˜o |Ha| = |H|. aDemonstra¸˜o: Seja a fun¸˜o f : H → Ha definida por f (h) = ha. Temos que f ´ injetiva, pois se ca ca ef (h) = f (k) ent˜o ha = ka, logo, h = k. Temos tamb´m que f ´ sobrejetiva pois se ha ∈ Ha ent˜o a e e af (h) = ha. Assim, f ´ bijetiva, portanto, |H| = |Ha|. eDefini¸˜o 2.4 Se H < G e G/H ´ um conjunto finito, chamamos |G/H| de ´ ca e ındice de H em G.Nota¸˜o: (G : H) = |G/H| ´ o n´mero de classes laterais ` direita de H em G. ca e u aTeorema 2.4 (de Lagrange) Se G ´ um grupo finito e H < G ent˜o |G| = |H|(G : H). e aDemonstra¸˜o: Como G ´ finito ent˜o G/H ´ finito, digamos, G/H = {Ha1 , Ha2 , ..., Han } com ca e a eHai = Haj se i = j. Como Hai e Haj s˜o classes de equivalˆncias distintas, para i = j, ent˜o a e aHai ∩ Haj = ∅ se i = j; como G = Ha1 ∪ Ha2 ∪ · · · ∪ Han ent˜o, |G| = |Ha1 | + |Ha2 | + · · · + |Han | = an|H| = |H|n, pelo lema anterior. Assim, |G| = |H|(G : H). Em vista do Teorema de Lagrange temos que se H ´ um subgrupo de G ent˜o a ordem de H e a ¯ ¯ ¯ ¯ n˜o ´ subgrupo de Z10 .divide a ordem de G. Assim, {0, 3, 6, 9} a eExemplo 2.21 Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Ent˜o, pelo Teorema de Lagrange, (S3 : H) = |S3 |/|H| = a6/2 = 3. Logo, temos 3 classes laterais: 20
  21. 21. H = {e, (1, 2)} (= H(1, 2))H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} (= H(1, 2, 3))H(1, 3) = {(1, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 3, 2))e assim, G/H = {H, H(2, 3), H(1, 3)} Se G ´ um grupo aditivo e se H ´ um subgrupo de G ent˜o a ≡ b(mod H) ⇔ a − b ∈ H e as e e aclasses laterais s˜o da forma H + a = {h + a | h ∈ H}. aExemplo 2.22 Seja H = {0, 2, 4} < Z6 . Ent˜o (Z6 : H) = |Z6 |/|H| = 6/3 = 2. Logo, temos 2 aclasses laterais:H = {0, 2, 4} (= H + 2 = H + 4)H + 1 = {1, 3, 5} (= H + 3 = H + 5)Exerc´ıcios 2.3 1) Encontrar G/H paraa) G = S3 e H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}b) G = Z10 e H = {0, 2, 4, 6, 8}c) G = Z10 e H = {0, 5}d) G = Z e H = 3Z2) Para H < G e a ∈ G definimos aH = {ah | h ∈ H} e aHa−1 = {aha−1 | h ∈ H}. Mostre que:a) aH = Ha ⇒ aHa−1 = Hb) aHa−1 = H ⇒ aH = Hac) aG = GCorol´rio 2.5 Se G ´ um grupo finito e se a ∈ G ent˜o |a| divide |G|. a e aDemonstra¸˜o: Pelo Teorema de Lagrange, |G| = |a|(G : a ), logo, |a| divide |G|. caCorol´rio 2.6 Se G ´ um grupo de ordem prima ent˜o G ´ c´ a e a e ıclico e ´ gerado por qualquer a = e. eDemonstra¸˜o: Seja p = |G|, onde p ´ um n´mero primo. Seja a ∈ G, a = e. Ent˜o |G| = ca e u a|a|(G : a ), isto ´, |a| divide |G| = p. Como |a| > 1 e os unicos divisores de p s˜o 1 e p, ent˜o e ´ a a|a| = p = |G|. Logo, a = G.Exemplo 2.23 Em Z7 , a = Z7 , para todo a = ¯ ¯ ¯ 0.Proposi¸˜o 2.7 Sejam G um grupo e a ∈ G tal que a , ´ um grupo finito. Ent˜o |a| ´ o menor ca e a einteiro positivo n tal que a n = e. ca ´Demonstra¸˜o: E claro que se a = e ent˜o n = 1 e a = {e}. Seja a = e. Como a = {an | n ∈ Z} a´ finito, ent˜o existem inteiros i e j (podemos supor i < j) tais que ai = aj . Logo, aj−i = aj a−i =e aa i a−i = e e j − i > 0. Assim, {n ∈ N∗ | an = e} = ∅ e portanto cont´m um menor elemento en. Vamos mostrar que a = {e, a, . . . , a n−1 }, que os elementos e, a, . . . , an−1 s˜o todos distintos e aconcluir que |a| = n. Sejam i, j ∈ Z tais que 0 < j ≤ i < n. Se a i = aj ent˜o ai a−j = aj a−j , logo, aai−j = aj−j = a0 = e. Como 0 ≤ i−j < n e n ´ o menor inteiro positivo tal que an = e, ent˜o i−j = 0, e aou seja, i = j. Assim, {e, a, . . . , an−1 } ´ um subconjunto de a que cont´m exatamente n elementos. e eSe b ∈ a , digamos b = a m para algum m ∈ Z, pelo algoritmo da divis˜o, existem q, r ∈ Z com a0 ≤ r < n tais que m = qn + r. Logo, b = a m = aqn+r = (an )q ar = eq ar = ear = ar ∈ {e, a, . . . , an−1 }.Assim, a = {e, a, ..., an−1 } e portanto, |a| = n. 21
  22. 22. Corol´rio 2.8 Se G ´ um grupo finito e a ∈ G ent˜o a|G| = e. a e aDemonstra¸˜o: Sejam |a| = n e |G| = m. Pelo Teorema de Lagrange, m = nr onde r = (G : a ). caEnt˜o a a m = anr = (an )r = er = e. Assim, a|G| = e.Exemplo 2.24 Como |S3 | = 6, logo, ∀ a ∈ S3 , a6 = e.Exemplo 2.25 Como |Z8 | = 8, logo, 8·a = 0, ∀ a ∈ Z8 . A fun¸˜o fi de Euler, denotada por φ, ´ definida no conjunto dos inteiros positivos por φ(1) = 1 ca ee, para m > 1, por φ(m) = n onde n ´ o n´mero de inteiros positivos menores que m e relativamente e uprimos com m.Exemplos 2.26 φ(2) = 1; φ(3) = 2; φ(4) = 2; φ(5) = 4; φ(6) = 2;... Observe que se p ´ um n´mero primo ent˜o φ(p) = p − 1. e u aExerc´ ıcios 2.41) Em Z12 , encontrar as ordens dos seguintes elementos:a) ¯ b) ¯ c) ¯ d) ¯ e) ¯ 2 3 4 5 62) Em S5 , encontrar as ordens dos seguintes elementos:a) (1, 2, 4, 3) b) (1, 3, 2) c) (1, 2)(3, 4) d) (1, 3) e) (1, 3)(2, 4, 5)3) Seja n um inteiro positivo e seja G = {¯ ∈ Zn | 0 < a < n e a ´ relativamente primo com n}. a eMostre que:a) G ´ um grupo com a opera¸˜o de multiplica¸˜o m´dulo n. e ca ca ob) ∀ a ∈ G, aφ(n) ≡ 1(mod n). ¯4) (Pequeno Teorema de Fermat)a) Se p ´ um n´mero primo e a ´ um inteiro tal que p n˜o divide a, ent˜o ap−1 ≡ 1(mod p). e u e a ab) Se p ´ um n´mero primo e a ´ um inteiro qualquer ent˜o a e u e a p ≡ a(mod p).2.9 Subgrupos normais Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Ao definirmos a congruˆncia m´dulo H, partimos e oda rela¸˜o de equivalˆncia b ≡ a(mod H) se ba ca e −1 ∈ H e definimos as classes laterais ` direita Ha. De a ca e ∼ a(mod H) quando a−1 b ∈ H chegaremos `maneira an´loga, partindo da rela¸˜o de equivalˆncia b = a adefini¸˜o de classe lateral ` esquerda aH = {ah | h ∈ H}, com resultados an´logos. E ca a a ´ claro que se G´ um grupo abeliano ent˜o aH = Ha. Se G n˜o for abeliano podemos ter aH = Ha.e a aExemplo 2.27 Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Temos H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3),(1, 3, 2)}. Logo, H(2, 3) = (2, 3)H.Exemplo 2.28 Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Como |H| = 3 e |S3 | = 6, temos ent˜o 2 classes alaterais ` direita: aH = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} (= H(1, 2, 3) = H(1, 3, 2) )H(1, 2) = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (= H(1, 3) = H(2, 3) ) De modo an´logo, temos 2 classes ` esquerda: a aH = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} (= (1, 2, 3)H = (1, 3, 2)H )(1, 2)H = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} (= (1, 3)H = (2, 3)H ) Neste caso, Ha = aH ∀ a ∈ S3 , mesmo S3 n˜o sendo abeliano. a 22
  23. 23. Defini¸˜o 2.5 Sejam G um grupo e N um subgrupo de G. Dizemos que N ´ um subgrupo normal de ca eG se uma das seguintes condi¸˜es equivalentes se verificar: coa) ∀ a ∈ G, aN = N ab) ∀ a ∈ G, aN a−1 = N onde aN a−1 = {ana−1 | n ∈ N }c) ∀ a ∈ G, aN a−1 ⊆ NNota¸˜o: N G ca Prova das equivalˆncias: e(a ⇔ b) Temos aN = N a ⇔ aN a−1 = N aa−1 = N e = N .(b ⇒ c) Claro.(c ⇒ b) Seja a ∈ G. Como a−1 ∈ G, ent˜o, por hip´tese, a−1 N a = a−1 N (a−1 )−1 ⊆ N . Assim, a oaa −1 N (a−1 )−1 a−1 ⊆ aN a−1 , ou seja, N = eN e ⊆ aN a−1 . Como, por hip´tese, aN a−1 ⊆ N , temos oigualdade.Exemplos 2.291) Se G ´ um grupo abeliano ent˜o todo subgrupo H de G ´ um subgrupo normal, pois aH = Ha para e a etodo a ∈ G.2) Se G ´ um grupo, verifica-se facilmente que {e} G. e3) Se G ´ um grupo, G G, pois para qualquer a ∈ G, aG = G e Ga = G (verifique). e4) Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . J´ vimos que para todo a ∈ S3 , aH = Ha. Logo H S3 . a5) Seja H = {e, (1, 2)} < S3 . Temos H(2, 3) = {(2, 3), (1, 2, 3)} e (2, 3)H = {(2, 3), (1, 3, 2)}. Logo,H(2, 3) = (2, 3)H e portanto, H n˜o ´ um subgrupo normal de S3 . a e Observe que aN = N a n˜o significa que an = na para todo n ∈ N . Significa que para cada an ∈ N , existe m ∈ N tal que an = ma.Exemplo 2.30 Seja H = {e, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} < S3 . Temos que H(1, 2) = (1, 2)H = {(1, 2), (1, 3),(2, 3)}, e (1, 2, 3)(1, 2) = (1, 3) = (1, 2)(1, 3, 2).Exerc´ ıcios 2.5 Vamos considerar G um grupo, H e K subgrupos de G e HK = {hk | h ∈ H ek ∈ K}. Prove as seguintes afirma¸˜es: co1) HK ´ um subgrupo de G se, e somente se, HK = KH. e2) Se G ´ abeliano ent˜o HK < G. e a3) Se H G ou K G ent˜o HK < G. a4) Se H G e K G ent˜o HK G. a5) Se H G e K G ent˜o H ∩ K G. a6) Se K G ent˜o H ∩ K H. a7) Se H G, K G e H ∩ K = {e} ent˜o hk = kh ∀ h ∈ H, ∀ k ∈ K. a8) Z(G) G onde Z(G) = {g ∈ G | ga = ag ∀ a ∈ G}.9) Se (G : H) = 2 ent˜o H G. a2.10 Grupo quociente Sejam G um grupo e N um subgrupo normal de G. Vamos definir uma opera¸˜o em caG/N = {N a | a ∈ G} de modo que G/N se torne um grupo. Para N a, N b ∈ G/N definimos (N a)(N b) = N (ab) ou, simplificando a nota¸˜o, N aN b = N ab. ca 23
  24. 24. Se N a = N a e N b = N b , ent˜o N aN b = N ab = (N a)b = (N a )b = (a N )b = a (N b) = aa (N b ) = (a N )b = (N a )b = N a b = N a N b . Assim, fica definida uma opera¸˜o em G/N . ca Vamos mostrar que G/N com essa opera¸˜o ´ um grupo. ca e- Propriedade associativa: (N aN b)N c = N abN c = N (ab)c = N a(bc) = N aN bc = N a(N bN c).- Elemento neutro: N e, pois N aN e = N ae = N a = N ea = N eN a.- Elemento inverso: N aN a−1 = N aa−1 = N e = N a−1 a = N a−1 N a. Logo (N a)−1 = N a−1 . Assim G/N ´ um grupo com a opera¸˜o N aN b = N ab e ´ chamado grupo quociente de G por N . e ca e Se G ´ um grupo aditivo, denotamos G/N = {N +a | a ∈ G}. Por exemplo, Z/5Z = {5Z+n | n ∈ eZ} = {5Z, 5Z + 1 , 5Z + 2, 5Z + 3, 5Z + 4} pois se n ∈ Z, existem q, r ∈ Z com 0 ≤ r < 5 tal quen = q5 + r, logo, n − r ∈ 5Z e portanto, n ≡ r(mod 5Z). Assim, 5Z + n = 5Z + r.Exerc´ ıcios 2.61) Mostre que se G ´ um grupo abeliano e H < G ent˜o G/H ´ um grupo abeliano. e a e2) Mostre que se G ´ um grupo c´ e ıclico e H < G ent˜o G/H ´ um grupo c´ a e ıclico.3) Mostre que se G ´ um grupo finito e se N ´ um subgrupo normal de G, ent˜o |G/N | = |G|/|N |. e e a2.11 Homomorfismos de gruposDefini¸˜o 2.6 Sejam (G, ·) e (G , ∗) grupos e f : G → G uma fun¸˜o. Dizemos que f ´ um homo- ca ca emorfismo de grupos se f (a · b) = f (a) ∗ f (b), isto ´, f ´ compat´ com as estruturas dos grupos. e e ıvelExemplos 2.311) A fun¸˜o identidade Id : G → G onde Id(a) = a ´ um homomorfismo, pois Id(ab) = ab = ca eId(a)Id(b).2) A fun¸˜o constante f : G → G onde f (a) = e e e ´ o elemento neutro de G ´ um homomorfismo, ca e epois f (ab) = e = e e = f (a)f (b).3) A fun¸˜o f : Z → Z definida por f (a) = na onde n ´ um inteiro fixo, ´ um homomorfismo, pois ca e ef (a + b) = n(a + b) = na + nb = f (a) + f (b).4) A fun¸˜o f : Z → R∗ dada por f (n) = 2n ´ um homomorfismo, pois f (n + m) = 2n+m = 2n 2m = ca ef (n)f (m).5) Seja n um inteiro positivo. A fun¸˜o f : Z → Zn definida por f (a) = r, onde r ´ o resto da divis˜o ca e ade a por n, ´ um homomorfismo, pois a + b = a + b. e6) Se H Gent˜o a fun¸ao f : G → G/H onde f (a) = Ha ´ um homomorfismo, pois f (ab) = H(ab) = a c˜ eHaHb = f (a)f (b).7) A fun¸˜o f : Z → Z definida por f (a) = a + 2, n˜o ´ um homomorfismo, pois f (2) = 2 + 2 = 4 = ca a e6 = 1 + 2 + 1 + 2 = f (1) + f (1).8) f : Z × Z → Z dada por f (m, n) = m + n ´ um homomorfismo e grupos, pois f ((m, n) + (a, b)) = ef (m + a, n + b) = (m + a) + (n + b) = (m + n) + (a + b) = f (m, n) + f (a, b).Exerc´ ıcio 2.7 Verifique que se f : (G, ·) → (G , ∗), ´ um homomorfismo de grupos e n ´ um inteiro e epositivo ent˜o para a1 , a2 , . . . , an ∈ G vale f (a1 · a2 · ... · an ) = f (a1 ) ∗ f (a2 ) ∗ ... ∗ f (an ). aProposi¸˜o 2.9 Seja f : G → G um homomorfismo de grupos. Se e e e s˜o respectivamente os ca aelementos neutros de G e G ent˜o: a 24
  25. 25. a) f (e) = e ;b) f (a−1 ) = (f (a))−1 ;c) {a ∈ G | f (a) = e } G’;d) Im(f ) = {f (a) | a ∈ G} < G ;e) f (an ) = (f (a))n .Demonstra¸˜o: a) Como f (e) = f (e · e) = f (e) ∗ f (e) ent˜o (f (e))−1 ∗ f (e) = (f (e))−1 ∗ f (e) ∗ f (e), ca alogo, e = e · f (e) = f (e).b) Como e = f (e) = f (a · a−1 ) = f (a) ∗ f (a−1 ) ent˜o (f (a))−1 = (f (a))−1 ∗ e = (f (a))−1 ∗ f (a) ∗ af (a −1 ) = e ∗ f (a−1 ) = f (a−1 ).c) Por (a), e ∈ N (f ), logo, N (f ) = ∅. Se a, b ∈ N (f ) ent˜o f (a) = f (b) = e . Logo, f (a · b−1 ) a=f (a) ∗ f (b −1 )= e ∗ (f (b))−1 = (f (b))−1 = e −1 = e . Assim, a · b−1 ∈ N (f ) e portanto N (f ) < G.Para mostrar que N (f ) G, vamos verificar que a(N (f ))a−1 ⊆ N (f ), ∀ a ∈ G. Se b ∈ a(N (f ))a−1 ,digamos, b = a · c · a−1 para algum c ∈ N (f ), ent˜o f (b) = f (a · c · a−1 ) = f (a) ∗ f (c) ∗ f (a−1 ) = af (a) ∗ e ∗ (f (a)) −1 = f (a) ∗ (f (a))−1 = e , logo, b ∈ N (f ).d) Temos que Im(f ) = ∅ pois e = f (e) ∈ Im(f ). Se c, d ∈ Im(f ), digamos, c = f (a) e d = f (b) ondea, b ∈ G, ent˜o c ∗ d−1 = f (a) ∗ (f (b))−1 = f (a) ∗ f (b−1 ) = f (a · b−1 ) ∈ Im(f ). Assim, Im(f ) < G . ae) Basta fazer indu¸ao sobre n. c˜ O conjunto {a ∈ G | f (a) = e } ´ chamado de n´cleo de f e ´ denotado por N (f ). Em vista da e u eproposi¸˜o anterior, temos N (f ) G. caProposi¸˜o 2.10 Seja f : G → G um homomorfismo de grupos. Ent˜o f ´ uma fun¸˜o injetiva se, ca a e cae somente se, N (f ) = {e}.Demonstra¸˜o: Fica como exerc´ ca ıcio.Defini¸˜o 2.7 Dizemos que um homomorfismo de grupos f : G → G ´ um isomorfismo se f for ca ebijetiva. Neste caso dizemos que G e G s˜o isomorfos. aNota¸˜o: G ≡ G quando G e G s˜o isomorfos. ca aProposi¸˜o 2.11 Se f : G → G ´ um isomorfismo ent˜o: ca e aa) f −1 ´ um isomorfismo; eb) Se G ´ abeliano ent˜o G ´ abeliano; e a ec) Se G ´ c´ e ıclico ent˜o G ´ c´ a e ıclico;d) Se a ∈ G e |a| estiver definida ent˜o |f (a)| est´ definida e |a| = |f (a)| (sugest˜o - Proposi¸˜o 2.7); a a a cae) Se H < G ent˜o f (H) < G ; af ) Se H G ent˜o f (H) G . aDemonstra¸˜o: A prova destas propriedades ficam como exerc´ ca ıcio. Observe que se dois grupos s˜o isomorfos ent˜o, do ponto de vista da teoria dos grupos, eles a an˜o diferem um do outro, pois existe uma bije¸˜o entre eles que preserva as estruturas dos grupos, a caidentificando suas propriedades.Teorema 2.12 (dos homomorfismos) Seja f : G → G um homomorfismo sobrejetivo com n´cleo N . uEnt˜o G/N ≡ G . aDemonstra¸˜o: Vamos definir um isomorfismo h entre G/N e G da seguinte maneira: ca 25

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