En tres oraciones: Un juego involucra a tres jugadores que cada uno pierde una vez en tres partidas. Al final cada jugador tiene 200 euros. Resolviendo el sistema de ecuaciones resultante, se determina que el primer jugador inicialmente tuvo 325 euros, el segundo 175 euros, y el tercero 100 euros.

1. Resolución de sistemas
Método de Gauss

2. En un juego participan tres jugadores. En cada
partida habrá un perdedor y dos ganadores, y
el primero dará a los otros tanto dinero como
éstos tengan en ese momento. Transcurridas
tres partidas, todos los jugadores han perdido
una vez y cada uno tiene en su poder 200
euros. ¿Qué dinero tenían al principio?

3. RESOLUCIÓN
Supongamos que el dinero que tenían al principio era
• Jugador que pierde la primera partida x
• Jugador que pierde la segunda partida y
• Jugador que pierde la tercera partida z

4. Disponemos los datos en una tabla
Después de la Después de la Después de la
1ª partida 2ª partida 3ª partida
Jugador 1 x x–y–z 2x – 2y – 2z 4x – 4y – 4z
Jugador 2 y 2y 2y – [x – y – z + 2z] = 6y – 2x – 2z
= 3y – x – z
Jugador 3 z 2z 4z 4z – [2x – 2y – 2z + 3y – x – z] =
= – x – y + 7z
El sistema que hemos de resolver es:
4 x  4 y  4 z  200 x  y  z  50
Simplificamos el
 2 x  6 y  2 z  200  x  3 y  z  100
sistema
 x  y  7 z  200  x  y  7 z  200

5. Lo resolvemos utilizando el método de Gauss
El método de Gauss es el método de reducción
para un sistema con cualquier número de
ecuaciones.
Dado un sistema de ecuaciones el método
consiste en encontrar otro sistema equivalente
haciendo ceros entre los coeficientes de las
incógnitas.

6. Las siguientes transformaciones realizadas en un sistema dan lugar a
otro equivalente:
• Cambiar de orden las ecuaciones de un sistema.
• Cambiar de orden las incógnitas.
• Multiplicar o dividir una ecuación por un número distinto de 0
• Despejar una incógnita y sustituirla en las demás ecuaciones.
• Suprimir o añadir una ecuación que sea combinación lineal de
las demás.
• Sustituir una ecuación por otra que sea combinación de ella y las
restantes siempre que el número por el que se multiplique dicha
ecuación sea distinto de 0.

7. x  y  z  50 Usaremos matrices y haremos
 x  3 y  z  100 ceros los coeficientes que están
debajo de la diagonal principal
 x  y  7 z  200
 1 1 1 50  1 1 1 50 
   
1 3  1 100  II + I 0 2  2 150 
 
7 200  6 250 
III + II
1 1  III + I 0 2 
1 1 1 50  1 1 1 50 
   
0 2  2 150  II /2 0 1  1 75 
 
0 0 4 400  III /4 0 0 1 100 


8. Volvemos a escribir el sistema con sus incógnitas
 x  y  z  50
Ya tenemos despejada z.
y  z  75 Sustituimos este valor en la segunda
z  100 ecuación y  100  75
y  175
Sustituimos los valores de y y z en la primera ecuación
para obtener x
x  175  100  50
x  325

9. Así pues el primer jugador tenía 325
euros, el segundo tenía 175 euros y
el tercero 100 euros