A IMPOSSÍVEL PRETENSÃO DOS QUATERNIONISTASElysio R. F. RuggeriFurnas Centrais Elétricas SARESUMOA álgebra dos quatérnios f...
2No item 5 apresentamos um compacto de alguma matéria sobre os diádicos, necessária ao entendimentodeste artigo. Na obra [...
32.3 - Multiplicação de dois quatérniosUtilizando os quatérnios unitários e as operações definidas por (2.4) e (2.5), pode...
4M1=(M,0,0,0), (M1).Q=Q.(M1)=MQ,(M1).(M’1)=(M,0,0,0). (M’,0,0,0)= (MM’,0,0,0)=(MM’)1MM’1,(M1)+(M’1)=(M,0,0,0)+...
5Esses resultados mostram que os quatérnios do tipo Q=(D,A,0,0) se identificam com os clássicosnúmeros complexos. De fato,...
6Em resumo. O teorema do produto nulo permitiu comprovar vez por todas, que a associação e opostulado atrás referidos não ...
7caso em que m’(=Q.m) teria representação geométrica porque é um vetor. Assim, Q transforma um vetorora num quatérnio (sem...
8ou na forma equivalente:v=(v.a1)a1+(v.a2)a2+(v.a3)a3, (5.2)2.As expressões (5.2) representação a “decomposição cartesiana...
9vetores esses que, sem qualquer prejuízo, poderiam ser imaginados aplicados num mesmo ponto I doespaço (pois são vetores ...
10O diádico H/T rege transformação dos vetores no plano , transformação esta que preserva omódulo dos vetores. De fato te...
11O vetor r’, transformado de r mediante  usado como pré-fator é, então: r’=.r= A*a+p’, comp’=cos p+sen q, (8.5),eq=B*...
12em que, agora, os pares (b,c) e (b’,c’) são recíprocos no plano , isto é (b.b’=c.c’=1 e b.b’=c.c’=0), alémde (a,b,c) e ...
13REFERÊNCIAS1 – CROWE, M. J. – A History of VECTOR ANALYSIS (The evolution of the idea of a Vectorial System),Dover Publi...
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

A impossivel-pretensao-dos-quaternionistas

165 visualizações

Publicada em

0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
165
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
10
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
4
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

A impossivel-pretensao-dos-quaternionistas

  1. 1. A IMPOSSÍVEL PRETENSÃO DOS QUATERNIONISTASElysio R. F. RuggeriFurnas Centrais Elétricas SARESUMOA álgebra dos quatérnios foi desenvolvida por Hamilton a partir de 1843 com o objetivo de estender ainterpretação geométrica dos números complexos do plano para o espaço. Seus seguidores aspiravam queessa álgebra pudesse ter utilidade na Física da época, mas ela não foi do agrado de Gibbs que a conheceupossivelmente por volta de 1870. Gibbs, então, desenvolveu uma álgebra com vetores (reais ecomplexos); e deu à luz o utilíssimo Cálculo Vetorial. Neste artigo apresentamos argumentos que, àépoca, invalidariam as aspirações dos quaternionistas e reforçariam a adoção da álgebra de Gibbs. Essesargumentos, entretanto, estão baseados na simples e útil álgebra dos diádicos que passou despercebida porfísicos e matemáticos que se apegaram ao generalíssimo e emergente Cálculo Tensorial. É difícil entendercomo isso possa ter acontecido, pois todas essas idéias foram publicadas pela Yale University Press emconjunto com as lições de Gibbs em Analise Vetorial. O que assistimos durante o século XX foi, então, aadoção dos cálculos vetorial e tensorial, com formulações e notações bem distintas, e a conseqüenteabertura de um vazio entre eles que, na visão deste autor, pode muito bem ser preenchido pelo CálculoPoliádico que amplia o Cálculo Vetorial.1 - FATOS HISTÓRICOSTodos os fatos históricos aqui relatados são apresentados por Crowe [1] em excelente trabalho quedescreve todo o desenvolvimento do sistema vetorial e a luta de Gibbs contra os quaternionistasseguidores de Hamilton.Hamilton (Sir William Rowan Hamilton), que nasceu em 1805, em Dublin, descobriu em 1843 umcelebérrimo operador que transformava vetores paralelos a um plano em vetores paralelos a esse mesmoplano, alterando-lhes direção, sentido e módulo. Durante 22 anos desenvolveu a teoria e a generalizou, atéo ano de sua morte (1865). Publicou seu trabalho com o título: “Lectures on Quaternions”, em 1853, emDublin. Em Londres, em 1866, foram publicados os “Elements of Quaternions” (como uma segundaedição das “Lectures”).Gibbs (Josiah Willard Gibbs), que nasceu em New Haven em 1839, começou a lecionar sua “VectorAnalysis” em 1880 na Universidade de Yale. Foi o primeiro nos USA a conseguir um doutorado emengenharia (por Yale), em 1863. De 1866 até 1869 trabalhou na Europa (Paris, Berlin e Heidelberg)quando se interessou por ciência teórica e matemática. De 1871 até sua morte, em 1903, foi professor defísica-matemática na Universidade de Yale. Entre 1881 e 1884 foram publicados seus “Elements ofVector Analysis” na forma de panfletos (apostilas) em Yale. O sistema vetorial de Gibbs (e de Heaviside)- como ficou conhecido o atual Cálculo Vetorial (ou a Análise Vetorial) – parecia ser uma adaptação dasidéias de Hamilton às necessidades da física da sua época. Todas as suas lições e resultados de pesquisaforam registrados e publicados por seu pupilo Wilson [2].Os nomes de Hamilton e Gibbs estão por trás das mais expressivas pesquisas na área da matemática idealpara se expressar a física, até o ano de 1901. Com as mesmas intenções e aspirações quanto à utilidadedas teorias, quaternionistas de um lado e vetorialistas do outro se envolveram em uma disputa, que durouvários anos, quanto à supremacia de suas idéias e concepções. Esses argumentos foram todos registradosnas principais revistas da época (Nature, Philosophical Magazine, Philosophical Transactions of theRoyal Society of London, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh e outras).O sistema quaternionista foi aparentemente esquecido. O sistema de Gibbs foi mais expressivo e prático;por isso mesmo, possivelmente, ainda é largamente utilizado na atualidade na física clássica. Mas épossível também que nem todas as concepções e operações com vetores, desenvolvidas por Gibbs – quasetodas apresentadas por Wilson (o.c.) - tenham sido realmente entendidas e exploradas. Resta, entretanto,uma adaptação daquelas concepções para a Teoria da Relatividade (com suas quatro dimensões), onde oconceito de vetor ainda subsiste.
  2. 2. 2No item 5 apresentamos um compacto de alguma matéria sobre os diádicos, necessária ao entendimentodeste artigo. Na obra [3] do presente autor todas as concepções de Gibbs foram preservadas e estendidasaos poliádicos em geral com a finalidade de se tornarem ainda mais úteis á física.2 – O QUATÉRNIO DE HAMILTON2.1 - DefiniçãoUm quatérnio real, que denotaremos pela letra Q (em negrito) com algum adorno (um índice,asterisco, vírgula, aspas etc., em tom natural), é uma quadra ordenada de números reais D, A, B e C; eescreveremos:Q=(D,A,B,C), (2.1),gozando das seguintes propriedades:1 – A que cria o quatérnio nulo, denotado por 0 (zero, em negrito):0=(0,0,0,0), (2.2);2– A que estabelece um critério de igualdade. Dados: Q=(D,A,B,C) e Q’=(D’,A’,B’,C’), diremosque Q é igual a Q’, e escreveremos Q=Q’ se e somente se A=A’, B=B’, C=C’ e D=D’.Dentre os quatérnios distinguem-se quatro quatérnios unidades:1=(1,0,0,0), I=(0,1,0,0), J=(0,0,1,0) e K=(0,0,0,1), (2.3);O primeiro, 1, será denominado quatérnio unidade real e os demais quatérnios unidades imaginários I, Je K1.2.2 - Adição e multiplicação por número realDefinem-se e denotam-se as operações de adição de quatérnios (sinal+) e multiplicação dequatérnio por número real (sinal×) tal como na álgebra ordinária. Tem-se:Q+Q’=(D+D’,A+A’,B+B’,C+C’), (quatérnio soma) (2.4),eMQ=(MD,MA,MB,MC), (M real) (quatérnio produto) (2.5).O oposto de um quatérnio obtém-se multiplicando esse quatérnio por -1. A subtração de doisquatérnios tem então um significado: é a adição de um com o oposto do outro.PropriedadesDemonstra-se que essas operações gozam das mesmas propriedades das suas análogas da álgebraordinária. Assim:Q+Q’=Q’+Q, (Q+Q’)+Q”=Q+(Q’+Q”),MQ=QM, (MA)Q=M(NQ), M(Q+Q’)=MQ+MQ’ etc., (2.6).Os quatérnios Q e Q’=MQ serão ditos paralelos, demonstrando-se facilmente que:a condição necessária e suficiente para que dois quatérnios sejam paralelos é que asquadras (ordenadas) que os definem sejam proporcionais.1Essa nomenclatura é do autor e será justificada mais adiante.
  3. 3. 32.3 - Multiplicação de dois quatérniosUtilizando os quatérnios unitários e as operações definidas por (2.4) e (2.5), podemos escrever:Q=(D,A,B,C)=D1+AI+BJ+CK, (2.7).Por analogia com a nomenclatura das unidades definidas por (2.3), a parcela D1 de Q serádenominada sua parte real e AI+BJ+CK sua parte imaginária2. Escreveremos, quando necessário:(Q)re=D1 e (Q)im=AI+BJ+CK, (2.8).Com a representação (2.7), Hamilton definiu o produto de dois quatérnios Q=(D,A,B,C) eQ’=(D’,A’B’,C’), que indicaremos por Q.Q’3, como se estes fossem polinômios, mas aplicando aseguinte tábua de multiplicação dos quatérnios unidades:Tábua de multiplicação das unidades1 I J K1 1 I J KI I -1 K -JJ J -K -1 IK K J -I -1com a condição de que os elementos da primeira coluna representem o primeiro fator do produto aformar. Assim, segundo a tabela:I.J=K, J.I=-K, J.K=I, ..., K.J=-1, I.I=J.J=K.K=-1 etc.,devendo observar-se que o algarismo 1 em tom natural representa o número real 1. Os produtos dasunidades imaginárias por si mesmas (seus quadrados) mostram que todas têm uma “norma” idêntica à daclássica unidade imaginária i dos números. Tem-se, então:Q.Q’=(D1+AI+BJ+CK).(D’1+A’I+B’J+C’K)==DD’-(AA’+BB’+CC’)++D (A’I+B’J+C’K)+D’(AI+BJ+CK)+CBACBAKJI, (2.9),o pseudo-determinante tendo o significado clássico. É claro que o produto de dois quatérnios é umquatérnio, sendo:(Q.Q’)re=DD’-(AA’+BB’+CC’) e (Q.Q’)im=D (Q’)im+D’(Q)im+CBACBAKJI, (2.9)1,Se calculássemos o produto Q’.Q - e o resultado equivaleria a substituir na expressão (2.9) A porA’, B por B’, C por C’ e D por D’ - veríamos que apenas o sinal do determinante em (2.9) seria trocado; oque nos leva a concluir que a multiplicação de quatérnios não é operação comutativa em geral, a não serque (para certo par de quatérnios fatores) aquele determinante fosse nulo (os números A, B, C e A’, B’ eC’ seriam proporcionais).A tábua de multiplicação dos quatérnios unidades mostra que o produto de qualquer um deles peloquatérnio unidade real 1 é quatérnio idêntico ao quatérnio fator; e que o produto de I por si próprio (seuquadrado) é igual a +1. Têm-se, também:2Esta nomenclatura também é do autor e será justificada mais adiante.3A notação é do autor.
  4. 4. 4M1=(M,0,0,0), (M1).Q=Q.(M1)=MQ,(M1).(M’1)=(M,0,0,0). (M’,0,0,0)= (MM’,0,0,0)=(MM’)1MM’1,(M1)+(M’1)=(M,0,0,0)+(M’,0,0,0)=(M+M’,0,0,0)=(M+M’)1.Então, quatérnios da forma M1 se comportam algebricamente como números reais, o que mostra que oconjunto dos quatérnios encampa o conjunto dos números reais; e como sejam da forma (M,0,0,0), ficajustificado denominar-se D em (2.7), ou D1, a parte real do quatérnio (D,A,B,C). Além disso,poderemos, também, simplesmente escrever: D1=D e eliminar, sem perigo de confusão, o símbolooperatório  para indicar multiplicação entre números reais e entre reais e quatérnios. Manteremos,entretanto o símbolo operatório (o ponto: .) para indicar a multiplicação de quatérnios.O produto indicado em (2.9) pode, então, ser escrito na forma mais compacta:Q.Q’=(D1+AI+BJ+CK).(D’1+A’I+B’J+C’K)==DD’-(AA’+BB’+CC’)++D (A’I+B’J+C’K)+D’(AI+BJ+CK)+CBACBAKJI, (2.10),Teorema: (do produto nulo)Um produto de quatérnios só se anula se um deles é o quatérnio nulo.Vamos demonstrar esse teorema por redução ao absurdo. Suponhamos seja nulo o produto de doisquatérnios não nulos Q e Q’. A definição (2.10) exige que as quadras definidoras dos quatérniossatisfaçam o sistema:0,CDDCABBA0BDACDBCA0ADBCCBDA0DDCCBBAAdo qual poder-se-á determinar a quadra não nula (D’,A’,B’,C’) – a quadra das incógnitas – se dada aquadra (D,A,B,C); isto é, o sistema acima deve admitir uma solução não trivial (porque, por hipótese, oquatérnio Q’ é não nulo). A condição necessária e suficiente para que exista essa solução é que odeterminante do sistema seja nulo:0CDABBADCABCDDCBA.Mas esse determinante é igual a –(A2+B2+C2+D2)2, e só se anula se Q=0; o que é absurdo.Em outras palavras:É impossível anular um produto de quatérnios não nulos.2.4 - Quatérnios especiaisConsideremos o conjunto dos quatérnios do tipo especial: Q=(D,A,0,0), Q’=(D’,A’,0,0) ....Temos:Q+Q’=(D1+AI)+(D’1+A’I)= (D+D’)1+(A+A’)I,eQ.Q’=(D1+AI).(D’1+A’I)=DD’-AA’+(DA’-AD’)I=Q’.Q.
  5. 5. 5Esses resultados mostram que os quatérnios do tipo Q=(D,A,0,0) se identificam com os clássicosnúmeros complexos. De fato, pois na álgebra desses quatérnios especiais o quatérnio unidade real podeser identificado com o número real 1 e o quatérnio unidade imaginária I como a unidade imaginária i. Istojustifica parcialmente a nomenclatura adotada para a parte imaginária do quatérnio.É fácil constatar que os quatérnios do tipo Q=(D,0,B,0), Q’=(D’,0,B,0) ..., bem como os do tipoQ=(D,0,0,C), Q’=(D’,0,0,C’) ..., são também números complexos.O conjunto dos quatérnios do tipo Q=(D,A,B,0), Q’=(D’,A’,B’,0) ...., por outro lado, emboraencampe o conjunto dos números complexos, não se identifica com nenhum conjunto especial de novosnúmeros da Álgebra. Por outro lado, se decompusermos (arbitrariamente) o real D em duas parcelas M eN, escreveremos: Q=M+AI+N+BJ. Como os quadrados de I.I=J.J=-1, I e J poderiam ser vistos, semimpedimento, por força de postulado, como duas unidades imaginárias distintas embora apresentemquadrado e raiz quadrada iguais. Nesse caso, Q seria uma soma de dois números complexos “de camposdiferentes”, álgebra essa possivelmente desenvolvida por Hamilton. Por esse caminho talvez pudesse sermantida a cadeia da criação de conjuntos de novos números, cada um encampando os anteriores, comotem acontecido historicamente na Álgebra. Não sendo válido esse caminho, parece frustrar-se a“expectativa matemática” por uma “simetria” estrutural; mas isso parece não ser uma questãofundamental. O conjunto dos quatérnios em referência deve ser considerado, então, apenas um sub-conjunto do conjunto de todos os quatérnios.Entretanto, pode ser que essa interpretação do quatérnio – uma soma de três números complexosde “campos” distintos – possa retratar a preocupação de Hamilton relacionada com a extensão do conceitode número complexo ao espaço tridimensional.Devemos, finalmente considerar os quatérnios especiais do tipo Q=(0,A,B,C), Q’=(0,A’,B’,C’) ....O produto de dois quaisquer é obtido de (2.10) onde se façam, simplesmente: D=D’=0:Q.Q’=(01+AI+BJ+CK).(01+A’I+B’J+C’K)=-(AA’+BB’+CC’)+CBACBAKJI, (2.11),com(Q.Q’)re=-(AA’+BB’+CC’) e (Q.Q’)im=CBACBAKJI, (2.11)1,2.5 - Posturas impossíveisSegundo os seguidores e interpretes de Hamilton ([4], [5]): 1) - cada um dos três quatérniosimaginários foi associado com um dos três eixos cartesianos ortogonais de um sistema de coordenadascartesianas; 2) - esses quatérnios foram postulados como vetores reais (como os entendemos hoje). Masnão está claro que esta tenha sido de fato a postura de Hamilton.Válidas as interpretações do item 2.4, os quatérnios do tipo (0,A,B,C) poderiam ser imaginadosrepresentados por flechas, dotadas de origem e extremidade, e aplicados na origem O do sistema. Nessecaso o produto AI (um quatérnio particular) seria um vetor real paralelo ao eixo OX, BJ paralelo ao eixoOY, CK paralelo ao eixo OZ; e o quatérnio AI+BJ+CK um vetor real cuja flecha seria diagonal doparalelepípedo construído sobre os três primeiros vetores e teria origem em O.O produto (2.11) e o teorema do produto nulo, entretanto, mostram que esses postulados estão emvisível contradição com a álgebra de Gibbs. De fato, para que o produto de dois vetores (reais) fosse nulo– ou seja, insistimos, que o produto de dois quatérnios não nulos do tipo Q=(0,A,B,C), Q’=(0,A’,B’,C’)fosse nulo – o produto escalar (Q.Q’)re (parte real de (2.11)) e o vetorial (Q.Q’)im (parte imaginária de(2.11)) desses vetores deveriam ser simultaneamente nulos. Se a parte real fosse nula, os vetores seriamortogonais; se parte imaginária fosse nula, eles seriam paralelos. Logo, esses vetores reais devemsimultaneamente paralelos e ortogonais, o que é impossível.Hamilton morreu em 1865. Até 1863, Gibbs estava preocupado em conseguir seu doutorado emYale, sendo pouco provável que Hamilton soubesse da sua existência ou de seu trabalho. Assim,Hamilton não teve certamente a chance de esclarecer esse sofisma inserido (inadvertidamente?) em suas“Lectures on Quaternions”.
  6. 6. 6Em resumo. O teorema do produto nulo permitiu comprovar vez por todas, que a associação e opostulado atrás referidos não são compatíveis com os resultados de Gibbs; e nem poderia ser porque aprópria tábua de multiplicação adotada por Hamilton não permite essa identificação. Isso justifica por queé repugnante a idéia de somar um escalar com um vetor real (imagine o leitor o que seria a soma de umaforça com o momento de uma força em relação a um ponto!). Isso comprova também que as duasálgebras são distintas e válidas desde que a parte imaginária de um quatérnio seja entendida como um“vetor imaginário”, ou qualquer outro nome que o valha (pseudo-vetor, por exemplo). Logo, a geometriaa ser desenvolvida com os quatérnios (candidata a valer, quem sabe, no espaço de Minkowsky) édiferente da geometria desenvolvida com os vetores reais (válida no espaço euclidiano). Mas deve serprecisamente nesse ponto que Gibbs pode ter sentido a necessidade de adaptar melhor as idéias deHamilton às necessidades da Física de sua época. E isso foi providencial!3 – DUAS IDÉIAS COM A MESMA INTENÇÃOAs adaptações das idéias de Hamilton4, feitas por Gibbs, foram fundamentais para a estruturação dosistema vetorial (que se contrapunha ao sistema quaternionista). Essas adaptações, como as operaçõesentre vetores definidas por Gibbs, tornaram mais úteis os vetores, inclusive do ponto de vista gráfico.Conseguimos desenhar um vetor numa escala, para representar uma força, mas nunca representaremos umquatérnio. Com alguma aproximação podemos determinar graficamente o vetor soma de dois outros, masnunca o quatérnio soma de dois outros; etc. O sistema vetorial de Gibbs (e Heaviside) era prático pordemais para ser abandonado, como o foram os quatérnios; por isso o utilizaremos sempre.O sistema vetorial de Gibbs não só resolveu todos os problemas apresentados pelos quaternionistascomo resolveu outros possivelmente não abordados por eles. Isso, porém, não significa que taisproblemas não possam ser resolvidos (algebricamente) pelos quatérnios; mas existem dúvidas porque nãoexistem vetores reais na teoria dos quatérnios.Tanto na obra de Wilson [2], com na do presente autor [3], podemos encontrar vários tipos dediádicos regentes de transformações sobre vetores do espaço. Existem quatérnios regentes de rotações noespaço e no plano5, tal como existem diádicos de rotação; mas ao diádico cíclico (de Gibbs)6, que regerotações elípticas, parece não corresponder algum quatérnio com as mesmas prerrogativas.Mas não caberá mostrar aqui todo o potencial dos vetores e diádicos conforme concebidos porGibbs. Caberá simplesmente, através de um exemplo prático, mostrar uma “infeliz coincidência” quecorrobora a admissão das incompatibilidades referidas no item 2.4 – AS ROTO-HOMOTETIASSe, conforme os intérpretes de Hamilton, um quatérnio é a soma simbólica de um número real com umvetor, então um vetor é um quatérnio cuja parte real é nula (como visto no item 2.4). Ponhamos, paradado quatérnio Q: Q=(D,A,B,C)=D+AI+BJ+CK=D+u, e para outro quatérnio (vetor) qualquer, r,r=(0,P,Q,R)=0+r.Então, efetuando o produto desses dois quatérnios aplicando (2.10), temos:Q.r=0-u.r+Dr+ur, (4.1),expressão em que u.r e ur representam, respectivamente, o produto escalar e o vetorial dos vetores u er. Nesse ponto o leitor pode muito bem, mais uma vez, notar a proximidade das duas concepçõesalgébricas. Deve notar, ainda, que, para um vetor qualquer, r, o produto Q.r é um quatérnio e nãoconseguimos representá-lo geometricamente. Mas para todos os vetores r=m ortogonais a u (logo, todosparalelos a um plano  ortogonal a u) tem-se:Q.m=Dm+um=m’, pois u.r=0, (4.2),4Um outro trabalho que pode ter inspirado Gibbs nessa reestruturação, talvez de forma mais expressiva que o Hamilton em algunsaspectos, foi o do alemão Grassmann..5Brant., p. 417; Chatelun, p. 496.6Wilson, Capítulo VI, especialmente, p. 348 em diante.
  7. 7. 7caso em que m’(=Q.m) teria representação geométrica porque é um vetor. Assim, Q transforma um vetorora num quatérnio (sem representação geométrica), ora num vetor com representação geométrica, como éo caso da expressão (4.2). O quatérnio Q transforma por multiplicação, quando usado como pré-fator, ovetor m de  num vetor m’ do mesmo plano. O vetor transformado é a soma de dois vetores: um deles é ovetor Du que é paralelo a u, logo paralelo ao plano ; o outro é um vetor ortogonal a u e a m, logotambém paralelo a .Consideremos agora um vetor a qualquer do plano , e seja a’ o seu transformado por Q nascondições (4.2). Imaginemos todos os vetores a, a’, m e m’ aplicados num ponto I de ; e sejam A, A’, Me M’ as suas extremidades. É fácil comprovar que os triângulos MIM’ e AIA’ são diretamentesemelhantes. Isto significa que a’ provem de a por uma rotação de certo ângulo, seguida de umahomotetia de centro I, rotação e homotetia essas que não dependem de a.Podemos escrever (4.2) na forma simbólica:Q.m= m, com (D+u), (4.3),e entender o símbolo  como um operador que age sobre um vetor qualquer, m, de , transformando-oem um novo e bem determinado vetor m’ do mesmo plano . Esse operador faria, então, o mesmo papelque o quatérnio Q atuando como pré-fator em produto com vetores (que são quatérnios especiais)paralelos ao plano , transformando-os por roto-homotetia.Não fossem as impossibilidades assinaladas no item 2, seria absolutamente correto denominarquatérnio o operador , seguindo a proposta de Chattelun7.5 – RÁPIDA NOÇÃO DE DIÁDICOSConsideremos dois conjuntos ordenados de três vetores: {a1, a2, a3} e {b1, b2, b3} tais, que a um vetorcom certo índice de um conjunto corresponda o vetor de mesmo índice no outro. Esses conjuntos ocorremcom fartura nos fenômenos físicos. Com dois vetores correspondentes (de mesmo índice), digamos a1eb1, Gibbs concebeu o símbolo a1b1: um produto indeterminado de vetores simplesmente justapostos numadada ordem; e com a soma simbólica de díades, concebeu o novo símbolo: =a1b1+a2b2+a3b3. Aoprimeiro símbolo Gibbs denominou díade e ao segundo diádico. Mas poderia ter sido considerada a somade igual status que a anterior: T=b1a1+b2a2+b3a3, um novo diádico, denominado transposto (ouconjugado) do primeiro. Diremos que o primeiro diádico tem os vetores a’s por antecedentes e os vetoresb’s por conseqüentes; o diádico Tpode, então, ser obtido de  trocando-se neste antecedentes pelosrespectivos conseqüentes.Do diádico  podemos gerar dois números reais, denotados por E e 3, e um vetor, denotado porV, definidos pelas expressões respectivas:E=a1.b1+a2.b2+a3.b3, 3=(a1a2a3)(b1b2b3) e V=a1b1+a2b2+a3b3, (5.1),onde utilizamos as notações tradicionais: ponto para a multiplicação escalar de vetores, vê invertido paraa multiplicação vetorial de dois vetores e duplo parênteses para o produto misto dos vetores dentro domesmo. O diádico  será dito completo se for 30; incompleto em caso contrário (pelo menos um dosprodutos mistos em (5.1) é nulo).Se, digamos, os vetores do terno {a1, a2, a3} forem não coplanares, caso em que (a1a2a3)0, esseterno admitirá um terno recíproco, denotado por {a1, a2, a3}, seus vetores tendo com os vetores doprimeiro terno as relações representadas sinteticamente por ai.aj=ij, os números ijsendo os deltas deKronecker (valem +1 para índices i=j e 0 para índices ij). Vetores não coplanares (ou linearmenteindependentes), como {a1, a2, a3} constituem uma base vetorial no espaço dos vetores; da mesma forma,{a1, a2, a3} constitui uma base. Demonstra-se que qualquer vetor v desse espaço pode ser escrito naforma:v=(v.a1)a1+(v.a2)a2+(v.a3)a3, (5.2)1,7Chatelun, item 163, p. 479.
  8. 8. 8ou na forma equivalente:v=(v.a1)a1+(v.a2)a2+(v.a3)a3, (5.2)2.As expressões (5.2) representação a “decomposição cartesiana” do vetor v nas bases recíprocas.Com uma das decomposições (5.2) pode ser provado que, dado um diádico qualquer, este pode serrepresentado na forma =b1a1+b2a2+b3a3, dita trinomial, de que os antecedentes ou os conseqüentessejam vetores linearmente independentes.Escritos dois diádicos quaisquer,  e , em forma trinomial com os mesmos antecedentesindependentes (ou conseqüentes), diremos que eles são iguais se tiverem conseqüentes iguais (ouantecedentes). Poderá acontecer, por exemplo, que =Te o diádico será dito simétrico; nesse caso, seránecessariamente: V=o (o vetor de  é o vetor nulo); e reciprocamente.Na representação trinomial, pelo menos um dos fatores do terceiro do diádico é sempre diferentede zero; logo o diádico será completo ou incompleto se o outro fator for nulo ou não nulo. O diádico será dito planar se, sendo independentes os conseqüentes de uma sua representação trinomial, seusconseqüentes forem paralelos a um mesmo plano; será dito linear se os conseqüentes forem paralelos.Aos diádicos planares está associado sempre um par de planos que podem ser: ortogonais, e o diádico édito ortoplanar; ou coincidentes, e o diádico é dito uniplanar. Aos diádicos lineares está associado umpar de retas que podem ser: ortogonais, e o diádico é dito ortolinear; ou paralelas, e o diádico é ditounilinear.As operações de adição de diádicos e multiplicação de diádico por número real são definidascomo na álgebra dos vetores. Uma propriedade útil é a da transposição na adição de diádicos:(+)T=T+T. Particularmente, para qualquer , o diádico +Té sempre simétrico. Diádicos do tipo -Tserão ditos anti-simétricos, sendo -T=-(-T)T.O produto pontuado (ou escalar) do diádico  pelo vetor r é definido pela expressão:.r=(a1b1+a2b2+a3b3).r=(b1.r)a1+(b2.r)a2+(b3.r)a3, sendo, em geral, .rr. (a operação não écomutativa), mas .r=r.T. O produto r’=.r é um vetor (combinação linear dos antecedentes de ); paraum conjunto qualquer de vetores r, o diádico  pode ser entendido como um operador. Se as coordenadasdo vetor transformado, r’, forem funções lineares do vetor r a transformar - por exemplo, se os vetoresa’s de base forem constantes e os v’s não forem funções dos a’s - o diádico “regerá” ou “executará” uma“transformação linear” dos vetores r’s.Resulta imediatamente da definição de produto de diádico por vetor que o diádicoI=a1a1+a2a2+a3a3=a1a1+a2a2+a3a3, (5.3),um diádico completo (cujo terceiro é igual a +1), executa uma “transformação idêntica”, ou seja, deixainalterado qualquer vetor; Gibbs deu a esse diádico o nome de idem fator, ou diádico unidade.Uma segunda operação definida na álgebra dos diádicos é idêntica à anterior onde se troque o sinalda multiplicação escalar (ponto) pelo sinal de multiplicação vetorial (ou multiplicação cruzada). Assim,tem-se o produto cruzado de diádico por vetor: r=(a1b1+a2b2+a3b3)r=a1(b1r)+a2(b2r)+a3(b3r) –um novo diádico - onde a ordem dos vetores deve ser considerada. Essa operação também não écomutativa em geral, isto é, rr, podendo ser comprovado facilmente que r=-rT. Para qualquerr, o diádico r é sempre incompleto: planar se  é completo e não simétrico; uniplanar se  é completo esimétrico; linear se  é planar e não simétrico e unilinear se  é planar e simétrico.O diádico anti-simétrico Ir é uniplanar qualquer que seja r. Tem-se, particularmente, para quaisquer r ev:Ir=rI e r.(Iv)=rv=rI.v=-(vI).r, (5.4).6 – CONTORNANDO A SITUAÇÃO EMBARAÇOSAÉ conhecida do Cálculo Vetorial (de Gibbs) a chamada “fórmula do duplo produto vetorial” com trêsvetores quaisquer a, b e c:ac.bba.ccba )()()(  , (6.1),
  9. 9. 9vetores esses que, sem qualquer prejuízo, poderiam ser imaginados aplicados num mesmo ponto I doespaço (pois são vetores livres). O vetor resultante da operação (de dupla multiplicação vetorial) é,sempre, um vetor do plano  definido pelos vetores dentro dos parênteses no primeiro membro de (6.1) epoderia também ser imaginado aplicado ao ponto I. Então, o vetor c é inclinado em relação ao plano que contem os vetores a, b e (ab)c.Particularmente, poderíamos aplicar esta fórmula para o cálculo de (aa’)a, usando dois dadosvetores apenas (ao e a’), aplicados em I, bastando substituir-se b por a’ e c por a; deduziríamos então,sem dificuldades:aaaaaa.aaa  )(1)(122, (6.2).Nesse caso particular, o plano  está definido por ao e a’.Podemos escrever, sinteticamente:auaa  D , (6.3).fazendo)(1D 2a.aa e )(12aaau  , (6.4).O vetor u, perpendicular ao plano , é bem determinado pela segunda das expressões (6.4). S é umnúmero real também bem determinado pela primeira das expressões (6.4). Não é acidental a semelhançade (6.3) com (4.2).Observa Chattelun8que o símbolo (D+u) também é um operador, mas este poderia ser aplicado aqualquer vetor do espaço, e não é um quatérnio. Insiste Chattelun que o operador (4.3) é um quatérnioapenas para vetores ortogonais a u, ou paralelos ao plano  definido por a e a’, razão pela qual dá a esseplano  o nome de “campo de aplicação” do quatérnio9.É simples perceber a situação incômoda acarretada pela introdução dos postulados assinalados noitem 2. Para certos quatérnios (vetores paralelos a ) o operador  é um quatérnio; mas não o é para osdemais quatérnios do espaço (vetores não paralelos a ), muito embora para esses o resultado da operaçãoseja um quatérnio!7 – UM DIÁDICO PARTICULAR DE ROTAÇÃODenotando-se por uˆ o vetor unitário de u e por I o diádico unidade, a expressão análoga a (6.3), nocontexto dos diádicos, representa o produto pontuado seguinte do diádico completo H pelo vetor qualquera:H.aa  , com   uuH ˆ||S , (7.1).Como visto (item 5), o diádico uˆ é anti-simétrico e uniplanar; em [3] é denominado “diádicode Argand”. Tem-se: ( uˆ )V=-2 uˆ , isto é, o vetor de um diádico de Argand é ortogonal ao seu plano.O transformado de qualquer vetor r do espaço, mediante H, usado como pré-fator emmultiplicação pontuada, é o vetor do espaço: r’=Sr+ur, vetor esse muito bem determinado (item 4).Sem quaisquer restrições no tocante aos vetores r, o diádico H executa a mesma transformação que aparte imaginária do quatérnio (4.1).Para qualquer a de  tem-se, da mesma forma: a’=Sa+ua. Observando-se que ua é ortogonal aa deduzimos que |a’|=T|a| sendo T2=S2+u2. Denotando por  o ângulo dos vetores a e a’ tem-se: tg=|u|/S(sendo  agudo para S>0, e obtuso em caso contrário) e T=S/cos. Considerando que u=|u|uˆ resulta de(7.1), dividindo ambos os membros por S e lembrando as igualdades anteriores:  uH ˆsencosT1, (7.2).8Chatelun, p.480.9Chatelun, p. 474.
  10. 10. 10O diádico H/T rege transformação dos vetores no plano , transformação esta que preserva omódulo dos vetores. De fato tem-se, para qualquer m desse plano: mumm ˆsencos , donde 22222222sencosˆsencos mmmmumm  .Então o diádico H/T rege uma rotação no plano . Conseqüentemente H rege uma rotação de eixo uˆ eângulo , seguida (ou precedida) de uma homotetia de razão T, no plano .Com as restrições especificadas – vetores todos paralelos ao plano  ou ortogonais a u - o diádicoH, dado por (7.1), torna-se um operador que executa precisamente as mesmas operações que a parteimaginária do quatérnio (4.1). Mesmo que os quatérnios pudessem representar vetores reais eles sópoderiam representar rotações de vetores no plano, como o diádico particular H/T.8 – GENERALIZAÇÃO DO CONCEITOGibbs mostrou que o diádico  uuuuuu ˆsen)ˆˆ(cosˆˆ),ˆ( , (8.1),onde I é o diádico unidade, rege uma rotação no espaço tridimensional (de eixo uˆ e ângulo ), paraqualquer vetor r desse espaço; por isso mesmo foi denominado um “diádico de rotação”.Decomponhamos r numa componente paralela a uˆ e numa componente pertencente a um dado plano ortogonal a uˆ . Na rotação regida por ),ˆ(  u , a componente de r paralela a uˆ fica preservada, e a doplano  é (circularmente) rodada em torno de uˆ , no plano , de um ângulo igual .Mas o diádico (8.1), posto na forma  uuuu ˆsencosˆˆ)cos1(),ˆ( , (8.2),mostra também, sem qualquer restrição, que todos os vetores do plano  são rodados da mesma formacomo os rodariam (em torno de uˆ e do ângulo ) o diádico referido no item 7.É evidente que, se S é um escalar, o diádico ),ˆ(S u rege uma roto-homotetia (de eixo uˆ , ângulo e razão S) no espaço.*Consideremos agora os mesmos três vetores não coplanares a, b e c, com os quais calculamos oduplo produto vetorial (6.1); e denotemos por a*, b*e c*os seus respectivos recíprocos, isto é, vetorestais, que:a.a*=b.b*=c.c*=1 e a.b*=a.c*=b.a*=b.c*=c.a*=c.b*=0.Gibbs foi, ainda, o descobridor do diádico(aa*, ) )(sen)(cos  bccbccbbaa , (8.3),cujas propriedades são muito parecidas com as do diádico de rotação (8.1), mas esses diádicos operam demodos um pouco diferentes. O plano definido por um vetor qualquer r e o vetor a intercepta o plano definido por b e c segundo uma reta p. Decomponhamos o vetor r em duas componentes: uma paralela aovetor a e outra paralela a p. Ponhamos então, de conformidade com a decomposição cartesiana (5.2):cbar  CBA , com A*=r.a*, B*=r.b*e C*=r.c*,ou,r=A*a+p, com p=B*b+C*c, (8.4).
  11. 11. 11O vetor r’, transformado de r mediante  usado como pré-fator é, então: r’=.r= A*a+p’, comp’=cos p+sen q, (8.5),eq=B*c-C*b, (8.6).Logo:O diádico , atuando como pré-fator em multiplicação pontuada por vetor, deixainalterada a componente desse vetor paralela ao vetor a.A igualdade (8.5) mostra que p’ é raio vetor de argumento  da elipse (E’) de que p (de argumentozero) e q (de argumento /2) são semi-diâmetros conjugados. Logo:A componente p de r, contida em , é rodada elipticamente para o raio vetor de argumento da elipse (E’).Substituindo (8.4) e (8.6) em (8.5), temos:p’=B*r()+C*r(+/2), (8.7),comr()=cos b+sen c, (8.8),er(+/2)=-sen b+cos c, (8.9).O vetor r() é raio vetor de argumento  da elipse (E) de  da qual b e c são semi-diâmetrosconjugados; r(+/2) é semi-diâmetro conjugado de r() em (E). Da segunda das igualdades (8.4) e de (8.6)vemos que p e p’ são combinações lineares, de mesmos coeficientes (B e C), de dois pares de semi-diâmetros conjugados (b,c e r() ,r(+/2) ) da elipse (E). Então, as elipses (E) e (E’) são homotéticas.Seja  o valor do argumento  ao qual corresponde em (E) um raio vetor r(), tal que p’=KA r(),isto é, p’ e r() paralelos, KA sendo a razão da homotetia das elipses. Tem-se, então, escrevendo p’ emfunção de b e c, por substituição de (8.8) e (8.9) em (8.7):p’=(B*cos-C*sen)b+(C*cos+B*sen)c, (8.10).Para = em (8.8) escrevemos:r()=cos b+sen c.Logo:senBcosCsenKsenCcosBcosKAAdonde,(KA)2=B*2+C*2, ou 22A CBK  , (8.11).Gibbs denominou o diádico (8.3), que dá mais amplitude ao diádico de rotação, de diádico cíclico.Dentre os cíclicos destaca-se aquele cujo argumento seja do tipo 2/K, com K inteiro positivo. A potênciade expoente K desse diádico é o diádico unidade.*Consideremos agora o diádico (8.3) escrito na forma(aa*, ) )(sencos)cos1(  bccbaa  , (8.12),em que, relembremos, os vetores formam sistemas recíprocos. Se o campo de aplicação desse diádico foro plano  exclusivamente, poderemos escrevê-lo na forma(aa*, ) )(sencos)cos1( cbbcaa   , (8.13),
  12. 12. 12em que, agora, os pares (b,c) e (b’,c’) são recíprocos no plano , isto é (b.b’=c.c’=1 e b.b’=c.c’=0), alémde (a,b,c) e (a’,b’,c’) constituírem também sistemas recíprocos (no espaço), a e a’ sendo paralelos (eortogonais a ). Assim, tal como justificado, e tendo a elipse de semi-diâmetros conjugados b e c comoreferência, esse diádico roda elipticamente todo vetor de  (ou todo vetor ortogonal a a*). O diádicounidade I pode agora ser escrito na forma: I=aa’+bb’+cc’ e para qualquer vetor m de , tem-se:m=(m.b’)b+(m.c’)c=(m.b)b’+(m.c)c’. O diádico (8.13) é, então, um diádico uniplanar, sendo  o seuplano.Assim, um diádico mais geral que o diádico (7.2), é o diádico uniplanar)(sencosT1)a( cbbcH   , (8.14),em que I=aa’+bb’+cc’=b’b+c’c com (b,c) e (b’,c’) recíprocos no plano  de aplicação do diádico;diádico esse que roda elipticamente os vetores desse plano.Um diádico tão geral quanto T-1H(a) é o seu transposto:)(sencosT1 T)a( bccbH   , (8.15),de mesmo campo de aplicação que o primeiro.É evidente que tudo o que foi formulado nesta seção em relação ao plano (b,c) é válido também,mutatis mutandis, para os outros dois planos definidos pelo terno (a,b,c).9 – CONSIDERAÇÕES FINAISSomas simbólicas são “somas lógicas” e seus resultados podem não ser concretizáveis. Não se conhecenenhum conjunto cujo número de elementos seja um número complexo, nem alguma régua cuja medidaseja um número complexo. Da mesma forma, não conhecemos nenhuma grandeza física representável porum vetor complexo (símbolo da forma a+ib em que a e b sejam vetores reais). Mas é sabido que comvariáveis complexas são resolvidos muitos problemas em Física, por exemplo, e, portanto, emEngenharia.A díade – produto justaposto de dois vetores reais – é um símbolo, bem como o diádico (item 5)que é uma soma (simbólica) de díades. Uma grande e sensível diferença entre os diádicos e os quatérniosestá em que nos primeiros somam-se objetos de mesma natureza.Com todos esses objetos podem ser formuladas diferentes álgebras, duas quaisquer delas podendoser equivalentes em termos dos resultados concretos que podem alcançar. A transformação do vetor realm, ortogonal a uˆ , no vetor real m’, pelo quatérnio Q, mediante a lei (4.2), é um resultado concreto. Aesse mesmo resultado podemos chegar, como um resultado particular, quando um diádico opera sobre umvetor mediante a chamada “multiplicação pontuada” entre diádico e vetor.Utilizar a álgebra dos quatérnios ou a dos diádicos não pode ser, pelo exposto, simples questão deescolha porque na primeira existem posturas impossíveis (item 2.5) sem as quais não se chega aresultados concretizáveis (como é possível ao se utilizarem diádicos, números e vetores complexos,funções de variáveis complexas etc.). Na opinião do presente autor a teoria desenvolvida por Gibbs éadmiravelmente prática por utilizar pouca simbologia, o que torna o raciocínio menos abstrato.Com um pequeno esforço intelectual adicional e alguma abstração mais, os conceitos podem serampliados para que a matéria possa tornar-se ainda mais útil na Física com a abordagem de problemasmais complexos. Pode ser erigida, então, uma álgebra de poliádicos [3] cujos resultados sãoespantosamente admiráveis e generosos frente às necessidades da Física.
  13. 13. 13REFERÊNCIAS1 – CROWE, M. J. – A History of VECTOR ANALYSIS (The evolution of the idea of a Vectorial System),Dover Publications, New York, 1967.2 – WILSON, E. B. - “Vector Analysis”, Yale University Press, New Haven, 1901.3 – RUGGERI, E. R. F. – Tratado de Cálculo Poliádico: Tomo I – Álgebra dos Poliádicos: volume I(Vetores e diádicos) ISBN 978-85-907001-0-4, volume II (Poliádicos) ISBN 978-85-907001-1-1; TomoII (Análise), em preparação.4 – BRAND, Louis, “Vector and Tensor Analysis”, John Wiley, London, 1947.5 – CHATTELUN, L., “Calcul Vectoriel”, Gauthier-Villars, Paris, 1952.

×