Sistemas dinâmicos caóticos [com minha participação]

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Sistemas dinâmicos caóticos [com minha participação]

  1. 1. Sistemas Dinâmicos Caóticos Elton Ribeiro da Cruz Licenciando em Matemática Orientadora: Profa. Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa UFLA – Lavras – MG 2º Semestre de 2011
  2. 2. Introdução • A humanidade procurou descrever os fenômenos que se passam no universo, utilizando as Ciências Naturais. • Mas qual como fazer um modelo capaz de simular esses fatos e acontecimentos? • Sistemas de Equações Diferenciais e Equações de Diferenças!
  3. 3. Equações Diferenciais • Igualdade que envolve uma função desconhecida e sua taxas de variação, as derivadas, com diferentes ordens. • Exemplo: Equação de Euler Equações de Diferenças )( 2 2 xfcy dx dy bx dx yd ax • Equação onde envolvem as diferenças entre os sucessivos valores de uma função de variável inteira. • Exemplo: Modelo Populacional de Malthus )()1()1( tNrtN São muito importantes! Aparecem em muitos ramos da Ciência, como a Economia, Geografia, Geologia, Biologia, Química... E até mesmo na Música!
  4. 4. Os Sistemas Dinâmicos • São conjuntos de uma ou várias equações diferenciais (ou de diferenças), cujo estado muda com o tempo. • Uma forma de se tentar prever o futuro (ou explicar o passado) de modo científico.
  5. 5. Classificação dos Sistemas Dinâmicos Segundo Monteiro (2006), são classificados pelos atributos de cada modelo: • Em relação à variável de tempo, podem ser de tempo contínuo ou de tempo discreto; • Quanto ao tipo de modelo, um sistema pode ser linear ou não linear; • Em relação aos parâmetros, pode ser a parâmetros fixos ou dependentes do tempo; • Quanto à derivada, pode ser ordinárias ou parciais; • Quanto à memória, um sistema pode ser instantâneo ou dinâmico.
  6. 6. Sistemas Dinâmicos Caóticos De acordo com o livro texto de Villate (2007) , um sistema é caótico se apresenta as seguintes características: • Possuem comportamento aleatório, não periódico; • Sensibilidade às condições iniciais; • Estrutura fractal.
  7. 7. Para esboçar os gráficos e figuras serão utilizados os programas: • Maxima – Sistema algébrico computacional (CAS) manipulador de equações algébricas. • Xaos – Programa criador de figuras fractais, associadas à dinâmica caótica.
  8. 8. O Modelo Populacional de Verhulst: Caso contínuo • Pierre François de Verhulst (1804-1849) propôs um modelo não linear para tentar prever o crescimento populacional de uma espécie, a Equação Logística: Com r > 0 e k > 0. )(1 NF k N rN dt dN
  9. 9. • A equação logística é do tipo separável, basta isolar os termos dependentes de N dos termos dependentes de t. • Fazendo algumas manipulações algébricas e integrando temos a solução: Sendo N0 uma condição inicial em t = 0. rt rt eNNk keN tN 00 0 )( )(
  10. 10. Campo de direções do Modelo de Verhulst tomando, por exemplo, k = 3 e r = 1, com algumas curvas para valores distintos de N0 Comandos utilizados no Maxima: load("plotdf")$ plotdf(y*(1-(y/3)), [xcenter,4], [ycenter,4], [xradius,5], [yradius,5]);
  11. 11. Análise da função N(t) • Em geral, para qualquer N0 > 0, tem-se: • Se N0 = 0 ou N0 = k, o sistema permanece no valor inicial para sempre, porque dN/dt = 0; • Se N0 > k a taxa dN/dt é negativa, indicando que N(t) decresce até o valor limite N(t) = k; • Caso 0 < N0 < k, dN/dt é positivo e o valor de N(t) cresce até atingir N(t) = k. ktN t )(lim
  12. 12. • Agora seja F(N) dada por: • Essa função é uma parábola com concavidade voltada para baixo, tendo um ponto de máximo em N = k/2. • Para 0 < N0< k/2, N(t) apresenta comportamento sigmoidal (com forma de “S”), com ponto de inflexão em N(t) = k/2. Isso significa que a população cresce até atingir o valor de k/2 e depois cresce mais lentamente; • Para N0 ≥ k/2, a função cresce monotonamente até alcançar N(t) = k. k N rNNF 1)(
  13. 13. • A forma discreta do Modelo de Verhulst é dada por: • Podendo ser reescrita como: Sendo: A equação é chamada de mapa logístico. Possui uma riqueza de comportamentos conforme varia o parâmetro µ. O Modelo Populacional de Verhulst: Caso discreto )1()( 1 tttt xxxxF 01, )1( rN rk r x tt k N rNNN t ttt 11
  14. 14. Análise da função F(xt) • É uma parábola com concavidade voltada para baixo, tendo um ponto de máximo em xt = 1/2. • Se o parâmetro está situado no intervalo 0 < µ ≤ 4 e 0 ≤ x0 ≤ 1, então xt (t = 1, 2,...) também pertence ao intervalo [0, 1]. • Caso µ > 4, em alguma iteração se obtém um ponto xt negativo, embora 0 < x0 < 1.
  15. 15. • De acordo com Monteiro (2006), seja xt um ponto localizado na vizinhança do ponto fixo x*, denotado por: Sendo ηt = xt − x* e |ηt| << 1. O ponto xt+1 pode ser escrito como: • Desse modo, a estabilidade de x* é determinada comparando as distâncias |ηt| e |ηt+1|. • Se |ηt+1| < |ηt|, então x* é assintoticamente estável; se |ηt+1| > |ηt|, x* é instável. ,* tt xx 1 * 1 * 1 )()( tt ttt xx xfxfx
  16. 16. • Considere a distância |ηt| “pequena”. Expandindo f(xt) na série de Taylor em torno de x* e tomando apenas até o termo linear, obtém-se: • Como f(xt) = x* + ηt+1 e f(x*) = x*, a expressão acima pode ser simplificada para: • Sendo λ um autovalor dado por: t xx tt dx xdf xfxfxf * ** )( )()()( tt 1 * )( xxdx xdf
  17. 17. • |ηt + 1| < |ηt| implica −1 < λ < 1, o que corresponde à estabilidade assintótica. Se 0 < λ < 1, as sucessivas iterações aproximam-se de x* monotonamente. Se −1 < λ < 0, as sucessivas iterações aproximam-se de x* de forma oscilatória. • No caso em que |ηt + 1| > |ηt|, indica instabilidade. Para λ > 1, as sucessivas iterações afastam-se monotonamente de x*. Para λ < −1, elas se afastam de modo oscilatório. Nesses casos, x* é um ponto fixo instável.
  18. 18. Voltando ao Mapa Logístico... • Para saber quais são os ponto fixos de F(xt), basta resolver a equação F(x*) = x*: 0 1 1 )1( ** *** xx xxx 0* 1x 1 1* 2xou
  19. 19. • Tem-se que dF/dx = µ(1 − 2x). Então, os autovalores associados são: • Logo, a origem é assintoticamente estável para 0 ≤ µ < 1 e instável para µ > 1. O outro ponto fixo é instável para µ < 1 ou µ > 3 e assintoticamente estável para 1 < µ < 3. • A convergência para x* = 1 − (1/µ) é monótona para 1 < µ < 2, e oscilatória para 2 < µ < 3. • Se 3 < µ < 4, aparecem órbitas periódicas. • Conforme aumenta o valor de µ, o número de órbitas periódicas vai aumentando até que a evolução do mapa se torna desordenada. 2 1 1 2 0 1 x x dx dF dx dF
  20. 20. Considere agora alguns casos de evolução do mapa logístico onde 0 < µ ≤ 4, com x0 = 0,1: • Para µ = 2, os pontos fixos são x1 * = 0 e x2 * = 1/2. Os autovalores valem, respectivamente, λ1 = 2 e λ2 = 0. Assim, a origem é instável e outro ponto é assintoticamente estável. • Para µ = 3,1; os pontos fixos são x* = 0 e x* ≈ 0,677. Os autovalores valem, respectivamente, λ1 = 3,1 e λ2 ≈ −1,1. Logo, a origem e o ponto x* ≈ 0,677 são instáveis. • Para µ = 4, os pontos fixos são x* = 0 e x* = 3/4. Os autovalores valem, respectivamente, λ1 = 4 e λ2 = −2. Logo, a origem e o ponto x* = 3/4 são instáveis. Mas o que houve para obtermos dois pontos fixos instáveis?
  21. 21. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial x0 = 0,1 e µ = 2 Comandos utilizados no Maxima: load("dynamics")$ staircase(2*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]); A sequência para µ = 2 converge rapidamente para o ponto fixo x* = 1/2
  22. 22. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial x0 = 0,1 e µ = 3,1 Comandos utilizados no Maxima: load("dynamics")$ staircase(3.1*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]); Aparece aqui uma órbita de período 2.
  23. 23. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial x0 = 0,1 e µ = 4 Comandos utilizados no Maxima: load("dynamics")$ staircase(4*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]); O estado do sistema evolui sem seguir nenhum padrão, implicando a presença de caos.
  24. 24. Observações • Quando o comportamento do mapa logístico é periódico, é fácil prever as condições futuras, pois obedecem a uma regularidade que, em longo prazo, se estabiliza na forma de um atrator. • Mas, no regime caótico, quaisquer variações nas condições presentes (condições iniciais) provocam grandes variações nas condições futuras. O atrator perde qualquer regularidade, por isso é denominado atrator estranho.
  25. 25. • A melhor maneira de observar a transição para o comportamento caótico é traçando o conjunto de atratores do mapa logístico para diferentes valores do parâmetro μ. • Esta transição para o caos é conhecida como rota de duplicação de período. As duplicações ocorrem nos pontos de bifurcação. • Bifurcação é um ponto onde há perda de estabilidade do atrator.
  26. 26. Existem três tipos diferentes de atratores para o mapa logístico: • Atrator tipo ponto fixo, quando o sistema evolui para um único ponto; • Atrator tipo duplo ciclo, quando se estabiliza numa repetição de dois pontos; • Atrator estranho, quando não há um padrão de repetição.
  27. 27. Por fim, a verdadeira face do mapa logístico é dado pelo diagrama de órbitas: 1 bifurcação 2 bifurcações 4 bifurcações Comandos utilizados no Maxima: load("dynamics")$ orbits(x*y*(1-y), 0.5, 50, 200, [x, 0.5, 4], [style, dots]); 2n bifurcações ↓ Caos
  28. 28. O Conjunto de Mandelbrot • É “um agrupamento de números complexos cuja sequência, com valor inicial na origem, não tende para o infinito” (Villate, 2007). • É gerado pelo mapa quadrático: sendo C uma constante complexa. • Trata-se de um sistema discreto no plano complexo. ,0 )( 0 2 1 z Czzzf nnn
  29. 29. Representação gráfica do Conjunto de Mandelbrot: Cardioide Círculo exato Infinidade de quase círculos Figura fractal
  30. 30. • Recebeu esse nome em homenagem ao matemático francês Benoit Mandelbrot (1924-2010). • Ele propôs um novo conceito de Geometria, a Geometria Fractal. • Historicamente, o conjunto de Mandelbrot foi definido pela primeira vez em 1905 por Pierre Fatou (1878-1929), um matemático francês que trabalhou no campo da dinâmica analítica complexa. • Fatou percebeu que a órbita de z0 = 0 sob a transformação z → z2 + C forneceria alguma introspecção sobre o comportamento de tais sistemas. Fatou não teve acesso a um computador capaz de plotar as órbitas de todas essas funções, mas ele tentou fazer isso a mão. Ele provou que uma vez que um ponto atinge uma distância da origem maior que 2, a órbita explode para o infinito. Mais adiante, Mandelbrot foi a primeira pessoa a utilizar um computador para plotar o conjunto.
  31. 31. O conceito de Fractal • O fractal é uma figura da Geometria não euclidiana (no caso, a Geometria fractal), em que suas partes se repetem recursivamente em escalas menores e menores; • A palavra fractal lembra frações, fragmentos; • Podem ser gerados por sistemas de funções iterativas, relações de recorrência em cada ponto do espaço (plano complexo) ou de forma aleatória.
  32. 32. Exemplos de fractais naturais: • O litoral de um país banhado pelo mar; • A superfície de uma montanha; • As nuvens; • Um rio e seus afluentes; • Os sistemas de vasos sanguíneos; • A samambaia.
  33. 33. O Conjunto de Julia • É um conjunto de números no plano complexo que conduzem a órbitas limitadas, segundo a definição de Villate (2007). • Nome em homenagem a Gaston Julia (1893-1978), um matemático francês. • A iteração segue de forma similar ao obter o conjunto de Mandelbrot, porém mantendo a constante C fixa e variando o valor de zn. • Para desenhar o conjunto, selecionam-se vários pontos numa região e calcula-se a sequência de iterações do mapa quadrático, até que a sequência dê um valor complexo com módulo maior que 2, ou n for igual a um número máximo de iterações.
  34. 34. • A estrutura da figura formada é fractal, porque analisando uma parte menor da estrutura corresponde aproximadamente ao todo. • E alterando o número de iterações não altera significativamente o tamanho. Apenas os limites da figura tornam-se mais definidos. • O Conjunto de Mandelbrot atua como um “catálogo” de Conjuntos de Julia, porque cada ponto no plano complexo corresponde a um Conjunto de Julia diferente.
  35. 35. Alguns exemplos Conjunto de Julia para C = 0,342326 + 0,011800i Zoom no ponto 0,473543583473 + 0,29002384797i
  36. 36. Alguns exemplos Conjunto de Julia para C = −1,202980 + 0,011088i Zoom no ponto −0,375770304757 − 0,239417314410i
  37. 37. Explorando o Conjunto de Mandelbrot com o Xaos
  38. 38. Observações • Os Conjuntos de Julia interessantes correspondem aos pontos próximos à fronteira do Conjunto de Mandelbrot: pontos mais internos ao conjunto de Mandelbrot correspondem a formas geométricas relativamente simples, enquanto os pontos mais externos lembram poeira rodeada por manchas de cores. • O conjunto de Mandelbrot também “contém” estruturas semelhantes aos conjuntos de Julia; de fato, para qualquer valor de C, a região do conjunto de Mandelbrot ao redor de C lembra o centro do conjunto de Julia com parâmetro C.
  39. 39. Referências Bibliográficas • ALMEIDA, R. M. C. de. A Ciência da Complexidade. Física na Escola, Porto Alegre, v. 6, n. 1. 2005. Disponível em: < http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol6/Num1/complexidade.pdf >. Acesso em: 18 out. 2011. • CONJUNTO DE MANDELBROT. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot>. Acesso em: 16 nov. 2011. • CONJUNTO DE JULIA. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Julia>. Acesso em: 16 nov. 2011. • FIGUEIREDO, D. G. de; NEVES, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1997. 301 p. (Coleção Matemática Universitária) • MONTEIRO, L. H. A. Sistemas Dinâmicos. 2ª ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006. 625 p. • UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS. Introdução ao Caos em Sistemas Dinâmicos. Disponível em: <http://www.geocities.ws/projeto_caos_ufg/minicurso/aula1.html>. Acesso em: 14 nov. 2011. • VILATTE, J. E. Introdução aos sistemas dinâmicos: uma abordagem prática com Máxima. Porto, 2007. Disponível em: <http://fisica.fe.up.pt/maxima/book/sistdinam-1_2.pdf>. Acesso em: 17 out. 2011.
  40. 40. Obrigado pela atenção!

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