K funcao simplificar financeira

K-FUNÇÃO
Estratégia Formular de Simplificação Financeira

John Taylor Paiva
2
John Taylor Paiva
• Professor, Matemático e Especialista em Educação, Consultor Imobiliário e Financeiro e Escritor.
• Atua como PROFESSOR nas áreas de MATEMÁTICA, CÁLCULO, EDUCAÇÃO FINANCEIRA, FÍSICA
(Mecânica e Eletrônica), INFORMÁTICA, PROJETOS CULTURAIS e ARTES desde 1988 no
desenvolvimento de programas educacionais, e em várias ESCOLAS do PIAUÍ, na cidade de PARNAÍBA e no
CEARÁ, nas cidades de JUAZEIRO DO NORTE e FORTALEZA.
TRABALHOS DO AUTOR
 – 01. TAI – TÉCNICAS DE APRENDIZAGEM INTEGRADA – Processo de ensino-aprendizagem  na
versão FIGURATIVO fundamentado nas técnicas de memorização, refundidas para melhor compreensão,
aplicação e mais rápida assimilação, na associação de imagens e histórias inusitadas e versão ARTÍSTICO
fundamentado em recursos artísticos, na associação de músicas, teatro e cordel em rima, prosa e verso;
 – 02. ARTIFÍCIOS MATEMÁTICOS – BIZUZÃO  Dicas e táticas que facilitam a solução de problemas de
Concursos e Vestibulares.
 – 03. - O SEGREDO DA EDUCAÇÃO PARA SAÚDE FINANCEIRA – Incrível Guia de Planejamento e
Controle Financeiro  Fundamentos de Finanças que habilitam ao conhecimento do DNA Financeiro Pessoal e
Empresarial através do Poderoso Termômetro das Finanças P3 – Plano de Planejamento Programado.
 – 04. MANUAL DO PODEROSO TERMÔMETRO DAS FINANÇAS P3 – Plano de Planejamento
Programado  Conheça passo-a-passo essa poderosa ferramenta ”P3” que mede, visualiza e monitora a atual
situação financeira possibilitando o conhecimento do DNA Financeiro Pessoal e Empresarial e habilita a um
melhor direcionamento na realização e ascensão pessoal e/ou profissional.
 – 05. LINGUA MATEMÁTICA – Uma Forma Interessante e Útil de Ler o Mundo  O manual gerencial
do dia-a-dia para adquirir habilidades especiais para a tomada de decisões conscientes no cotidiano através de
teorias matemáticas com analogias à realidade, problemas curiosos e interessantes.
 – 06. K-FUNÇÃO – Estratégias para Facilitar a Matemática Financeira, uma Estratégia Formular de
Simplificação Financeira  Uma nova maneira de resolver operações comerciais e financeiras, usando uma única
função matemática com apenas três variáveis e/ou 10 configurações que substitui todas as outras fórmulas usadas
atualmente.
 – 07. TABUADA NOTÁVEL – Os Sete Fundamentos para Aprender Matemática  A Cartilha do
Cotidiano  Temas essenciais para o perfeito entendimento e desenvolvimento da matemática.
 – 08. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS  Matemática Básica (Aritmética e álgebra)
essencial aplicada em concursos.
 – 09. MATEMÁTICA PARA TODOS OS CONCURSOS  Matemática Financeira essencial aplicada em
concursos.
 – 10. QUESTÕES DE PROVAS RESOLVIDAS DE CONCURSOS MILITARES – são 162 questões –
EPCAR – AFA – EEAr – ESA – ExPECex – CN – EAM – PM – CFO – (EXÉRCITO – MARINHA –
AERONÁUTICA – PM)
Coleção a FILOSOFIA ZEN  O Segredo Implícito na filosofia dos Sábios:
 – 11. DIÁLOGO DAS MENTES  O Segredo que o segredo não revelou numa inédita e alucinante viagem à
sede dos pensamentos.
 – 12. O DIÁLOGO SECRETO  Ensinando o segredo a Mente Visão.
 – 13. O DIÁLOGO DOS SÁBIOS  Os erros dos grandes filósofos.
 – 14. A BÍBLIA ENIGMÁTICA  Faz de conta, a brincadeira da imaginação com o sexteto mandamental que
pode dar certo.
 – 15. A ARTE MATEMÁTICA DO SER  Princípios de precisão matemática para o cotidiano, o
autoconhecimento para a verdadeira educação.
 – 16. AS FACETAS DOS TERRÁQUEOS  Engrisilhos e leriados para sintonia e harmonia Interpessoal.
 – 17. O LÍDER VIRTUAL  Ações para atuação gerencial em táticas simples e básicas.
 – 18. INFORMÁTICA GERENCIAL  Informática essencial para o gerenciamento pessoal e/ou profissional;
O objetivo é dar uma visão geral sobre a informática (INFORmação autoMÁTICA), o computador atual e como
tudo funciona, já que ter informação e saber o que fazer com ela é fundamental hoje em dia.
 – 19. FERRAMENTAS PARA O CORRETOR DE IMÓVEIS – Fundamentos Básicos e Essenciais  para
Cálculo de Escala, Área, Avaliação de Imóveis e Viabilidade Econômica e Financeira.
 – 20. MÉTODO ATOCAR  Princípios Básicos  para o aprendizado de violão em 10 aulas.

K-FUNÇÃO
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AGRADECIMENTOS
Ao Ser Supremo, o espírito criador e preservador
do universo que fertilizou a inspiração com sua
inteligência infinita, e possibilitou a intersecção para
refundir experiências e transformar em técnicas para
facilitar o processo de ensino-aprendizagem.
A meus pais, esposa, filhos, irmãos, sobrinhos e
cunhados que sempre estiveram do meu lado.
A meus tios, primos e parentes que sempre que
possível condescenderam com meus ideais.
A todos meus amigos pela força e incentivo.
A todas as pessoas pelo apoio que viabilizou a
edição deste livro.
A todos os leitores que folhearem e queimarem as
pestanas no intuito de pensar esse trabalho como uma
ferramenta de estudo.

John Taylor Paiva
4
Sumário
A K-FUNÇÃO ( KF ) ..............................................................7
ESTRATÉGIA FORMULAR DE SIMPLIFICAÇÃO
FINANCEIRA ......................................................................7
DEFINIÇÃO DA K-FUNÇÃO - KF .....................................10
A K-FUNÇÃO – KF...........................................................12
USO DA KF........................................................................13
PROCEDIMENTO PARA USO DA K-FUNÇÃO – KF ...14
CONFIGURAÇÕES SIMPLES.............................................16
REGRA DE SINAL + OU – ..................................................19
CONFIGURAÇÕES ENVOLVENDO PRESTAÇÕES........20
CONFIGURAÇÕES COMPOSTAS .....................................21
REGRAS DA MANEIRA CONVENCIONAL.....................23
REGRAS DA MANEIRA MUSICAL...................................26
1. MÚSICA DICA para LEMBRAR a K-FUNÇÃO – KF.26
2. MÚSICA DICA PARA SABER QUANDO  “X = -1”
.............................................................................................26
3. MÚSICA DICA PARA SABER QUANDO  “X = 0” 28
RESUMO GERAL.................................................................30
I – PORCENTAGEM ............................................................32
II – OPERAÇÕES PERCENTUAIS......................................33
OPERAÇÕES com LUCRO...............................................33
OPERAÇÕES COM PREJUÍZO........................................37
ACRÉSCIMOS e DESCONTOS........................................39
LUCROS ou ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS.....................42
DESCONTOS ou ABATIMENTOS SUCESSIVOS..........43
III – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO SIMPLES................45
JUROS SIMPLES...............................................................45
14. QUAL O VALOR DOS JUROS DO CAPITAL DE R$
1.200,00, APLICADO A JUROS SIMPLES À TAXA DE 3%
A.M., DURANTE 8 MESES E 20 DIAS...............................48

K-FUNÇÃO
5
15. QUE VALOR, APLICADO DURANTE 8 MESES E 20
DIAS, À TAXA DE 3% A.M., RENDEU DE JUROS O
VALOR DE R$ 312,00..........................................................49
18. O VALOR DE R$ 1.200,00, FOI APLICADO A JUROS
SIMPLES DURANTE 8 MESES E 20 DIAS, À TAXA DE
3% A.M.. CALCULE O MONTANTE. ................................51
20. O VALOR DE R$ 1.200,00 FOI APLICADO A JUROS
SIMPLES DURANTE 8 MESES E 20 DIAS, FORMANDO O
MONTANTE DE R$ 1.512,00. QUAL A TAXA DE JUROS.
................................................................................................53
21. O VALOR DE R$ 1.200,00 FOI APLICADO A JUROS
SIMPLES, À TAXA DE 3% A.M., FORMANDO O
MONTANTE DE R$ 1.512,00. QUANTO TEMPO FICOU
APLICADO?..........................................................................54
IV – DESCONTOS SIMPLES...............................................56
DESCONTO RACIONAL ou POR DENTRO...................56
DESCONTO COMERCIAL ou POR FORA......................57
DESCONTO BANCÁRIO..................................................59
V – EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA..................................60
VI – CAPITALIZAÇÃO MISTA ..........................................64
JUROS SIMPLES NA PARTE FRACIONÁRIA ou
CONVENÇÃO LINEAR....................................................64
JUROS COMPOSTOS na PARTE FRACIONÁRIA ou
CONVENÇÃO EXPONENCIAL.......................................65
VII – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO COMPOSTA.........66
MONTANTE ou VALOR FUTURO..................................66
30. UMA PESSOA APLICOU O VALOR DE R$ 600,00 À
TAXA DE 2% A.M. DURANTE 5 MESES,
CAPITALIZADO MENSALMENTE. CALCULE O
MONTANTE. ........................................................................66
CAPITAL ou VALOR PRESENTE ...................................67
31. QUE VALOR, APLICADO A JUROS COMPOSTOS, À
TAXA DE 2% A.M., CAPITALIZADA MENSALMENTE

John Taylor Paiva
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DURANTE 5 MESES, FORMOU O MONTANTE DE R$
662,45?...................................................................................67
TEMPO ou PERÍODO........................................................67
JUROS COMPOSTOS........................................................69
34.: QUANTO RENDEU DE JUROS O CAPITAL DE R$
600,00, APLICADO A JUROS COMPOSTOS DURANTE 5
MESES À TAXA DE 2% A.M., CAPITALIZADA
MENSALMENTE..................................................................69
DESCONTO COMPOSTO.................................................70
DESCONTO RACIONALMENTE COMPOSTO .............71

K-FUNÇÃO
7
A K-FUNÇÃO ( KF )
ESTRATÉGIA FORMULAR DE SIMPLIFICAÇÃO
FINANCEIRA
Vamos descrever neste texto parte do trabalho da
monografia de pós-graduação do autor, que em síntese é
uma nova proposta para uma abordagem da Matemática
Comercial e Financeira. Uma nova maneira de resolver
operações comerciais e financeiras, usando uma única
função matemática com apenas três variáveis e/ou 10
configurações que substitui todas as outras fórmulas
usadas atualmente.
Na monografia é desenvolvida minuciosamente
com demonstrações e aplicações, uma nova função
matemática que substitui mais de uma centena de outras
fórmulas matemáticas, usadas em operações comerciais e
financeiras, sendo cerca de 30 fórmulas diretas e mais de
70 indiretas, ao ser feito os seus devidos
desmembramentos.
Trocando em miúdos, a “K-Função (KF)”
substitui mais de 100 outras fórmulas usadas nessa área,
simplesmente direcionando o usuário, segundo os dados
do problema e algumas regras, para se chegar à outra
fórmula, a usada no problema em questão, onde se deve
apenas substituir as variáveis e algebrizar a equação para
atingir a solução do problema.

John Taylor Paiva
8
Diante disso, concluímos que o princípio de
funcionamento da nova expressão é que no seu
desmembramento, é possível chegar à fórmula que o
problema pede sem a necessidade de ter que decorar
todas elas. Sendo assim, através desse desmembramento,
se chega à configuração de 10 (dez) tipos, modelos de
fórmulas final, baseadas em somente 03 (três) variáveis
(V, C e J), e o “P” para prestações, significando que a
partir da sua criação, o usuário tem mais duas opções no
estudo e na resolução dos problemas dessa área da
Matemática:
1. Aprender a empregar a K-Função (KF)
conhecendo suas regras e utilizar somente ela na
resolução de problemas da área;
2. Ou gravar as suas configurações, ou melhor, os
seus 10 (dez) tipos, modelos de fórmulas finais sem
precisar saber suas regras, em vez de decorar um mínimo
de 30 fórmulas diretas como é feito atualmente.
E ainda, constataremos que aos poucos, com a
prática, automaticamente, iremos memorizar alguns tipos
ou mesmo todos, o que facilitará o trabalho de ter que
usar o caminho para se chegar à configuração desejada.
Esse aprendizado é vantajoso, pois evita a complicada e
tediosa tarefa de ter que decorar mais de 100 (cem)
fórmulas, com mais de 20 (vinte) variáveis, como era
feito antes da KF.
Nesse trabalho, não faremos demonstrações, mas
daremos uma ideia geral dos princípios básicos de

K-FUNÇÃO
9
funcionamento desse novo algoritmo, assim como
aplicações, dando um exemplo de cada um dos temas
onde ela atua, ou seja, é resolvido um problema ou mais
dos vários assuntos de Matemática Comercial e
Financeira onde a nova fórmula opera, exceto em
prestações, para que os leitores possam entender o porquê
das várias configurações que serão usadas no nosso
estudo.
O autor

John Taylor Paiva
10
DEFINIÇÃO DA K-FUNÇÃO - KF
A K-Função (KF) é uma expressão matemática
com alguns recursos adicionais, que vem com duas
inovações: a primeira é a inclusão de uma nova função
“V  C
J”, chamada de “Função Base” e a segunda é a
inclusão de um fator “”, chamado de “Fator Múltiplo”,
assim definidos:
1.º) FUNÇÃO BASE – “V  C
J”
É uma nova função, definida por três variáveis,
(V, C e J), mas que representam várias outras, de acordo
com algumas regras e os dados do problema no
desenvolvimento de sua resolução.
IMAGEM DA FUNÇÃO BASE
A Função Base “V  C
J” é a igualdade de duas
variáveis dadas ou subtendidas, isto é, procurada ou a
igualdade de uma delas pela soma (em L e MG) ou
diferença (em P e VDA) das outras duas, quando são
dadas ou subtendidas as três.
SE LIGUE! Essas variáveis assumem as
seguintes imagens ou formas no desenvolvimento da KF:
V = C V = J V = C  J C = J

K-FUNÇÃO
11
2.º) FATOR MÚLTIPLO – “ ”
É um símbolo que é substituído por fatores de
acordo com algumas regras e os dados do problema no
desenvolvimento de sua resolução.
OS TIPOS de FATORES da KF
Na realidade, o Fator Múltiplo “” apenas
substitui os diversos fatores ou coeficiente de
capitalização ou de atualização de Juros Simples e
Compostos, de acordo com o seguinte esquema:
(1  it)  Em operações de Juros Simples;
(1 + i)t
 Em operações de Juros Compostos;
(1 + i)t
. (1 + ip)  Em convenção Linear;
(1 + i)t+p
 Em convenção Exponencial.
CA )1.(
1(
1)1( i
tii
ti 












CP












tii
ti
1(
1)1(
VA )1.(1)1( i
i
ti 










VP











i
ti 1)1(
Usados
em
PRESTAÇÕES

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12
A K-FUNÇÃO – KF
bkit
x
C
J
V


)(

Onde: V, C e J  são as variáveis que
representam todas as outras variáveis usadas em RCS e
RCC, definidas à frente.
i  Taxa
b  Taxa bancária – que será sempre “zero”
quando não for dada.
t  Tempo – que será sempre “1” quando não é
dado.
x  Expoente do Fator Múltiplo – que será “-1, 0
ou 1”, conforme dados do problema e algumas regras.
k  Expoente do produto (it = taxa/tempo) – que
será “0 ou 1”, conforme dados do problema e algumas
regras.
As VARIÁVEIS e SUAS EQUIVALENTES
V  Essa variável substitui:
O V = (Novo Valor), o Vn = (Valor Final c/
Acréscimo e Valor Final c/ Desconto), o Cn = (Capital
ou Valor Nominal referido à data focal), o Pv = (Preço de

K-FUNÇÃO
13
Venda), o M = (Montante ou FV = Valor Futuro nas
calculadoras), o N = (Valor Nominal, Valor de Resgate
Novo Título).
C  Essa variável substitui:
O C = (Capital, Custo, Valor Antigo ou PV =
Valor Presente nas calculadoras), o Vo = (Valor Inicial),
o Pc = (Preço de Custo), o A = (Valor Descontado Atual
ou Presente, Valor Atual Título Vencido, Valor Atual
Equivalente na data focal), o An = (Valor Atual
Equivalente).
J  Essa variável substitui:
O J = (Juros), o P = (Porcentagem, Prejuízo), o D
= (Descontos), o Dc = (Desconto Comercial ou Por
Fora), o Db = (Desconto Bancário), o Dr = (Desconto
Racional ou Por Dentro), o L = (Lucro).
USO DA KF
Como vimos, a K-Função (KF) pode ser usada de
duas maneiras:
1. COMO FÓRMULA ÚNICA – conhecendo 9
regras e substituindo mais de 100 outras fórmulas.
2. EM 10 CONFIGURAÇÕES COM APENAS
3 VARIAVEIS – sem conhecer as regras em vez de

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14
decorar mais de 30 fórmulas e 20 variáveis, como é feito
atualmente.
PROCEDIMENTO PARA USO DA K-FUNÇÃO –
KF
Para resolver problemas usando a k-Função (KF),
devemos seguir os seguintes passos:
1.° PASSO
Identificar a imagem da Função Base “ CV
J
 ”;
2.° PASSO
Definir o Fator Múltiplo “ ”;
3.° PASSO
Determinar os valores de “x”, “k” e “b”, através
das regras e os dados do problema.
AS REGRAS DA K-FUNÇÃO – KF
Na apresentação das regras da K-Função, nós
mostramos duas maneiras diferentes de aprendê-las:
1.ª) CONVENCIONAL – nesse caso, as regras
são apresentadas de maneira teórica.

K-FUNÇÃO
15
2.ª) MUSICAL – nesse caso, as regras são
apresentadas em forma de músicas.

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CONFIGURAÇÕES SIMPLES
KF.1 - Porcentagem – Juros Simples – Desconto
Racional ou Por Dentro – Lucro
it
J
C 
 J = P = Dr  Porcentagem, Desconto Por
Dentro, Juros.
 C = A  Capital, Valor Atual, Valor de Venda.
Variação (a) - KF.1a - Desconto Comercial ou
Por Fora (em função Custo = Valor Atual).
it
itJ
C
)( 

1
 C = A  Valor Atual
 J = Dc  Desconto Por Fora
KF.2 - Lucro – Prejuízo – Montante Geral –
Valor Descontado ou Atual
JCV 
 V = N = M  Venda, Vr Nominal, Montante.
 J = L = P = D  Lucro, Prejuízo, Descontos,
Juros.

K-FUNÇÃO
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 C = A  Custo, Capital, Valor Descontado
Atual ou Presente.
KF.3 - Atualização/Correção – Lucros ou
Acréscimos Sucessivos – Descontos ou Abatimentos
Sucessivos – Lucro Sobre Preço de Custo – Prejuízo
Sobre Preço de Custo – Montante Simples –
Equivalência de Capitais sob critério de Juros Por
Dentro, Desconto Racional ou Por Dentro.
)( itCV  1 Onde:
 V = Vn = Pv = M = Cn  Novo Valor, Valor
Final c/Acréscimo e c/Desconto, Preço de Venda,
Montante Simples, Capital ou Valor Nominal referido à
data Focal
 C = V0 = Pc = A  Valor Inicial, Preço de
Custo, Capital, Valor Atual Equivalente à data Focal
KF.4 - Lucro Sobre o Preço de Venda – Prejuízo
Sobre o Preço de Venda – Substituição de Títulos –
Equivalência de Capitais Diferidos – Equivalência de
Capitais Diferidos sob critério de Juros Por Fora,
Desconto Comercial ou Por Fora – Valor Descontado ou
Atual
)( it
C
V


1

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18
 V = Pv = N = Cn  Preço de Venda, Valor
Resgate Novo Título, Valor Nominal, Capital ou Valor
Nominal referido à data Focal
 C = Pc = A = An  Preço de Custo, Valor
Atual Título Vencido, Valor Atual Equivalente, Valor
Atual Equivalente à data Focal
KF.5 - Desconto Comercial ou Por Fora (em
função Venda = Vr Nominal) – Vr Descontado ou Atual
it
J
V 
Variação (a) - KF.5a - Desconto Racional ou Por
Dentro (em função Venda = Valor Nominal).
it
itJ
V
)( 

1
Variação b) - KF.5b - Desconto Bancário
bit
J
V


 V = N  Valor Nominal
 J = Dc  Desconto

K-FUNÇÃO
19
REGRA de SINAL + ou –
 No geral use + em operações de ganho e – em
operações de perda. E quando o fator estiver dividindo
inverta a ordem, ou seja, use + para perda e – para ganho.
 No caso particular de Descontos use + para
Dentro e – para Fora.
 Valor Descontado ou Atual, Substituição de
Títulos e Equivalência de Capitais são considerados
como operações de ganho, portanto, vale a regra geral.

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20
CONFIGURAÇÕES ENVOLVENDO
PRESTAÇÕES
KF.9A – Anuidade Antecipada
C = P ).(
)(
)(
i
ii
i
t
t








1
1
11
KF.9P – Anuidade Postecipada
C = P 







t
t
ii
i
)(
)(
1
11
KF.10A – Anuidade Antecipada
V = P ).(
)(
i
i
i t





 
1
11
KF.10P – Anuidade Postecipada
V = P 




 
i
i t
11 )(

K-FUNÇÃO
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CONFIGURAÇÕES COMPOSTAS
KF.6 - Montante - Desconto Composto.
t
iCV )(  1
Variação a) - KF.6a - Convenção Linear
).()( ip
t
iCV  11
Variação b) - KF.6b - Convenção Exponencial
pt
iCV

 )(1
 V = M = N  Montante, Valor Nominal
 C = A  Capital, Valor Atual
 t = parte inteira e p = parte fracionária
KF.7 - Desconto Racionalmente Composto
(envolvendo o Montante = Valor Nominal).
ti
J
V


)(11
 V = N  Valor Nominal (Montante)
 J = Dr  Desconto Racionalmente Composto

John Taylor Paiva
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KF.8 Juros Compostos – Desconto
Racionalmente Composto (envolvendo o Capital = Valor
Atual).
11 

ti
J
C
)(
Onde:
 J = Dc  Juros Composto, Desconto
Racionalmente Composto
 C  Capital, Valor Atual (Capital)

K-FUNÇÃO
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REGRAS da MANEIRA CONVENCIONAL
1) “x = -1” em Desconto Racionalmente
Composto, Prejuízo sobre Preço de Venda, Equivalência
de Capitais Diferidos, Equivalência de Capitais sobre
critérios de juros Por Fora, Lucro sobre Preço de Venda,
Substituição de Títulos.
(DRC – PPV – EqC – EqJF – LPV – ST)
2) “x = 0” em Prejuízo, Lucro, Montante Geral,
Valor Descontado ou Atual, Desconto Bancário,
Desconto Por Fora-Venda, Desconto Por Dentro-Custo,
Juros Simples e Porcentagem.
(P – L – MG – VDA – Db – DFV – DDC – J – Pg)
3) “x = 1” quando não for “-1 e 0”, ou seja, nas
demais operações, em Atualização/Correção,
Equivalência de Capitais sobre critério de juros Por
Dento, Lucros ou Acréscimos Sucessivos, Lucro sobre o
Preço de Custo, Montante simples e Composto em
função da Venda, Descontos ou Abatimentos Sucessivos,
Prejuízo sobre o Preço de Custo, Desconto Composto,
Desconto Racional ou Por Dentro em função da Venda,
Montante Composto, Juros Compostos Linear e
Exponencial, Desconto Comercial ou Por Fora em função
do Custo.
(AT/C – EqJD – LAS – LPC – MSCV – DAS – PPC – DC
– DDV – MC – JLE – DFC)

John Taylor Paiva
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4) “k = 0” quando é dado ou procurado o “V e o
C” ao mesmo tempo e em operações de Juros
Compostos.
5) “k = 1” nas demais operações que não tiver “V
e C”.
6) “b = 0 e t = 1” quando eles não forem dados ou
subtendidos.
7) Em Juros compostos quando o fator for o seu
inverso, e envolver o Capital (Valor Atual) e o Desconto,
ele, o fator será subtraído do “1” do denominador.
Quando envolver o Montante (Valor Nominal), o fator se
torna de descapitalização e o “1” do denominador será
subtraído dele.
8) Use o Fator Múltiplo com o sinal de “+” em:
Atualização/Correção, Equivalência de Capitais sobre
critérios de juros por Dentro, Lucros, Lucros ou
Acréscimos Sucessivos, Lucro sobre o Preço de Custo,
Montante Geral, Montante simples e Composto-Venda,
Desconto Composto, Desconto Racionalmente
Composto, Desconto Por Dentro-Venda, Desconto
Bancário, Prejuízo sobre o Preço de Venda e em
Operações de Juros Compostos.

K-FUNÇÃO
25
9) Use o Fator Múltiplo com o sinal de “–” em:
Descontos ou Abatimentos Sucessivos, Prejuízo,
Desconto Por Fora-Custo, Prejuízo sobre o Preço de
Custo, Valor Descontado ou Atual, Equivalência de
Capitais Diferidos, Equivalência de Capitais sobre
critérios de juros Por Fora, Lucro sobre o Preço de
Venda, Substituição de Títulos.

John Taylor Paiva
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REGRAS da MANEIRA MUSICAL
1. MÚSICA DICA para LEMBRAR a K-FUNÇÃO –
KF
G C C/G C
Vou Gamar Com Jeito e o fator elevar a “x”
Dm7/9 G
E vou dividir
F/A C G
Taxando o tempo a “k”ada hora mais meu bem
MÚSICAS PARA GRAVAR o VALOR de “X” e o
“SINAL + ou – ”
da EQUAÇÃO FINAL
2. MÚSICA DICA PARA SABER QUANDO  “X =
-1”
C G
Em DRC um Palácio
F C
No PPV um Casebre
Am D7
Na Equivalência da Rua
G F
Juros de Fora na fila Comer
C G
Mas o prato LPV vazio
C
Deu ST no choro

K-FUNÇÃO
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TRADUÇÃO:
A música informa quando “x = –1” e quando usar
o sinal de “+” ou de “– “ no Fator Múltiplo.
VEJA COMO:
1- Faça a associação das seguintes imagens:
- Palácio e o Casebre como algo positivo (+).
- Rua, Fila pra comer, Vazio e Choro como algo
negativo (–).
2- Agora mentalize as seguintes siglas:
- DRC – Desconto Racionalmente Composto (+).
- PPV – Prejuízo sobre Preço de Venda (+).
- Equivalência – Equivalência de Capitais (–).
- Juros de Fora – Equivalência sobre critérios de
juros Por Fora (–).
- LPV – Lucro sobre o Preço de Venda (–).
- ST – Substituição de Títulos (–).

John Taylor Paiva
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3. MÚSICA DICA PARA SABER QUANDO  “X =
0”
C6 D7/9 G C6
 Entrei em parafuso em K-Função enrolado
D7/9 Dm7/9 G C
E perdi um Pejuízo doido de Lucro danado
Dm7/9 G6* G7
- Ganhei um Montante Geral
C
Perdendo um Valor Descontado
F7+ F#º
 E ganhei ó ganhei
C A7
Um Desconto Bancário que neutralizou
(A7) D7/9
- Desconto Por Fora na Venda,
G C
Por Dentro no Custo Por Cento e Juros
Dm7/9 G6/9 G7 C A7
 E então no restante use mais
D7/9
Menos Desconto Sucessivo
G6/7 G C
Por Fora no Custo e Prejuízo no Custo

K-FUNÇÃO
29
TRADUÇÃO:
Perceba que a música informa quando “x = 0”,
ficando subtendido que as demais tem “x = 1” e quando
usar o sinal de “+” ou de “– “ no Fator Múltiplo.
VEJA COMO:
1- Aqui em vez de imagens, colocamos o nome da
operação que caracterizará o sinal do fator como “+” ou
“–“:
- Ganhei e danado como algo positivo (+).
- Perdi e perdendo como algo negativo (–).
2- A frase: “... Então no restante use mais...”,
significa que as operações não incluídas nas duas
músicas têm “x = 1” e deve usar o sinal (+), com exceção
das operações de Descontos Sucessivos, Desconto Por
Fora no Custo e Prejuízo no Preço de Custo, que usam o
sinal (–).
3- Neutralizar significa que não existe sinal na
equação resultante.

John Taylor Paiva
30
RESUMO GERAL
QUANDO X = –1
K = 0 (+) – Desconto Racionalmente Composto
(+) – Prejuízo sobre o Preço de Venda
...........................................................
(–) – Equivalência de Capitais Diferidos
(–) – Equivalência de Capitais sobre
critério de furos Por Fora
(–) – Lucro sobre o Preço de Venda
(–) – Substituição de Títulos
QUANDO X = 0
K = 0 (+) – Lucro
(+) – Montante Geral
...........................................................
(–) – Prejuízo
(–) – Valor Descontado ou Atual
...........................................................
K = 1 (+) – Desconto Bancário
(N) – Desconto Comercial ou Por Fora em
função da Venda
(N) – Desconto Racional ou Por Dentro
em função do Custo
(N) – Juros Simples
(N) – Porcentagem

K-FUNÇÃO
31
QUANDO X = 1
K = 0 (+) – Atualização/Correção
(+) – Equivalência de Capitais S/ critério
de juros Por Dento
(+) – Lucros ou Acréscimos Sucessivos
(+) – Lucro sobre o Preço de Custo
(+) – Montante simples e Composto em
função da Venda
...........................................................
(–) – Descontos ou Abatimentos
Sucessivos
(–) – Prejuízo sobre o Preço de Custo
...........................................................
K = 1 (+) – Desconto Composto
(+) – Desconto Racional ou Por Dentro em
função da Venda
(+) – Montante Composto
(+) – Juros Compostos Linear e
Exponencial
...........................................................
(–) – Desconto Comercial ou Por Fora em
função do Custo

John Taylor Paiva
32
I – PORCENTAGEM
01. Calcular 10% de 2854
Sol.: Pelos dados do problema, vemos que “C”
(Principal) é dado e “J” (Porcentagem) esta subtendido (é
pedido, procurado). Assim, pela definição da função
base, a sua imagem é C = J e, o fator múltiplo (1  it) e,
pelas regras, temos: por R2  x = 0, por R5  k = 1 e
por R6  b = 0.
Dd: C = 2854 J = ? i = 10% t = 1
FÓRMULA FINAL DA KF
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1
Usando a KF.1  J
C
it
  J = Cit  J = 2854 .
0,1 . 1  J = 285,4

K-FUNÇÃO
33
II – OPERAÇÕES PERCENTUAIS
OPERAÇÕES com LUCRO
1.º) CASO: LUCRO BASEADO no PREÇO de
CUSTO
02. Um comerciante deseja lucrar 40%, em
relação ao preço de aquisição de suas mercadorias. Uma
delas custou R$ 7.000,00. Por quanto deverá vendê-la?
Sol.: Aqui nós podemos raciocinar de duas
maneiras para definir a imagem da função base:
1.º RACIOCÍNIO  Pelos dados do problema,
vemos que “C” (Custo) é dado, o “V” (Venda) está
subtendido e o “J” (Lucro) é dado em função de “C”.
Assim, pela definição da função base, a sua imagem é V
= C  J e, o fator múltiplo (1  it) e, pelas regras, temos:
por R2  x = 0, por R4  k = 0 e por R6  b = 0.
Dd: C = 7.000 V = ? J = 40% de C
i = 40% t = 1
FÓRMULA FINAL da KF
( )
x
CV
J kit b




0
0
( )(1 )
( ) 0
C J it
V
it
 


 V C J 

John Taylor Paiva
34
SE LIGUE! Aqui, devemos notar que pela
definição, o sinal entre as variáveis é positivo (+).
Portanto, temos:
V C J   KF.2
Usando a KF.2  V C J 
Mas antes de aplicarmos a KF.2, podemos
calcular o lucro, já que temos a informação de que:
J = 40% de C  J = 0,40 . 7.000  J = R$
2.800,00
Agora aplicando a KF.2, temos que, o
equipamento deverá ser vendido por:
V = C + J  V = 7.000 + 2.800  V = R$
9.800,00
2.º RACIOCÍNIO  Podemos isolar o “J”
(Lucro) e trabalhar apenas com o “C” (Custo) dado e o
“V” (Venda) subtendido. Então, pela definição da função
base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo (1  it) e,
pelas regras, temos: por R3  x = 1, por R4  k = 0 e
por R6  b = 0.
Dd: C = 7.000 V = ? i = 40% t = 1

K-FUNÇÃO
35
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
SE LIGUE! Aqui, devemos notar que por R8, o
sinal do fator múltiplo é positivo ( + ). Portanto, temos:
(1 )V C it   KF.3
Usando a KF.3  (1 )V C it  
 1 0,4 .17000V   7000 .1,4V   V = R$ 9.800,00
2.º) CASO: LUCRO BASEADO NO PREÇO DE
VENDA
03. Uma mercadoria custou R$ 16.000,00.
Pretendo vendê-la com 20%, de lucro sobre o preço de
venda. A que preço devo vendê-la?
Sol.: Aqui também podemos raciocinar de duas
maneiras para definir a imagem da função base:
1.º RACIOCÍNIO  Pelos dados do problema,
vemos que “C” (Custo) é dado, o “V” (Venda) está
subtendido e o “J” (Lucro) é dado em função de “V”.
= C  J e, o fator múltiplo (1  it) e, pelas regras, temos:
por R2  x = 0, por R4  k = 0 e por R6  b = 0.

John Taylor Paiva
36
Dd: C = 16.000 V = ? J = 20% de V
i = 20% t = 1
( )
x
CV
J kit b




0
0
( )(1 )
( ) 0
C J it
V
it
 


 V C J 
SE LIGUE! Aqui, devemos notar que pela
definição entre as variáveis é positivo ( + ). Portanto,
temos:
V C J   KF.2
Usando a KF.2  V C J   V = C + J  V =
16.000 + 0,2.V  1.V – 0,2.V = 16.000  0,8.V =
16.000  16000
0,8
V   V = R$ 20.000,00
2.º RACIOCÍNIO  Pelos dados do problema o
“C” (Custo) é dado e o “V” (Venda) está subtendido.
= C e, o fator múltiplo (1  it) e, pelas regras, temos: por
R1  x = -1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd: C = 16.000 V = ? i = 20% t = 1
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it





(1 )
C
it
V



K-FUNÇÃO
37
sinal do fator múltiplo é negativo (– ). Portanto, temos:
(1 )
C
it
V

  KF.4
Usando a KF.4 
(1 )
C
it
V

 
16000 16000
1 02 0,8
VV  

  V = R$ 20.000,00
OPERAÇÕES COM PREJUÍZO
3.º) CASO: PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE
CUSTO
04. Comprei um aparelho de som por R$ 450,00.
Precisando de dinheiro, fui obrigado a vendê-lo, com
22%, de prejuízo. Por quanto vendi o aparelho?
Sol.: Supondo que não se considere o “J”
(Prejuízo) em função de “C” ou se encare a operação de
maneira original, ou seja, Prejuízo Baseado no Preço de
Custo, pelos dados do problema o “C” (Custo) é dado e o
“V” (Venda) está subtendido. Assim, pela definição da
função base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo (1
 it) e, pelas regras, temos: por R3  x = 1, por R4 k =
0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 450 V = ? i = 22% t = 1

John Taylor Paiva
38
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
sinal do fator múltiplo é negativo ( – ). Portanto, temos:
(1 )V C it   KF.3
Usando a KF.3  (1 )V C it   V = 450(1 –
0,22 . 1)  V = 450 . 0,78  V = R$ 351,00
SE LIGUE! Quando o problema não indicar
sobre qual valor incide o Lucro ou Prejuízo, ficará
entendido que será sempre sobre o valor do Custo.
4.º) CASO: PREJUÍZO SOBRE O PREÇO DE
VENDA
05. Comprei um vídeo por R$ 600,00 e vendi com
um prejuízo de 20% sobre o preço de venda. Por quanto
vendi o vídeo?
Sol.: Supondo que não se considere o “J”
(Prejuízo) em função de “V” ou se encare a operação de
maneira original, ou seja, Prejuízo Baseado no Preço de
Venda. Pelos dados do problema o “C” (Custo) é dado e
o “V” (Venda) está subtendido. Assim, pela definição da

K-FUNÇÃO
39
 it) e, pelas regras, temos: por R1  x = -1, por R4 k
= 0 e por R6  b = 0.
Dd: C = 600 V = ? i = 20% t = 1
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it





(1 )
C
it
V


sinal do fator múltiplo é positivo (+ ). Portanto, temos:
(1 )
C
it
V

  KF.4
Usando a KF.4 
(1 )
C
it
V

 
600 600
1 02 1,2
VV  

  V = R$ 500,00
ACRÉSCIMOS e DESCONTOS
06. Um funcionário ganha, mensalmente, R$
500,00. No próximo mês, esse funcionário receberá um
reajuste salarial de 30% do seu salário atual. Qual é o
valor do novo salário e o valor do reajuste salarial?
Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Salário
Antigo) é dado e o “V” (Novo Salário) está subtendido.

John Taylor Paiva
40
R3  x = 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 500 V = ? i = 30% t = 1
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
(1 )V C it   KF.3
Usando a KF.3  (1 )V C it   V = 500(1 +
0,30 . 1)  V = 500 .1,30  V = R$ 650,00
O fator de aumento foi: 1,30
 Calculando o reajuste salarial (i . C), vem:
i.C = 30% de C = 0,30.500  i.C = R$ 150,00
07. Um funcionário ganha, por mês, R$ 500,00.
Em cada mês, seu salário é descontado, em média, 10% a
titulo de previdência social e imposto sobre a renda. Qual
é o valor do salário liquido desse funcionário? Qual o
valor descontado mensalmente?

K-FUNÇÃO
41
Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Valor
Antigo) é dado e o “V” (Novo Valor) está subtendido.
R3  x = 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 500 V = ? i = 10% t = 1
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
(1 )V C it   KF.3
Usando a KF.3  (1 )V C it   V = 500(1 –
0,10 . 1)  V = 500 . 0,90  V = R$ 450,00
O fator de desconto foi: 0,90
Calculando o valor descontado mensalmente (i .
C), vem:
i.C = 10% de C = 0,10 . 500  i.C = R$ 50,00

John Taylor Paiva
42
LUCROS ou ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
08. Em janeiro de 2001, o salário de José era de
R$ 1.800,00. Nos meses de maio e junho receberá
reajustes de 10% e 12%, respectivamente. Qual será o
novo salário após o 2.º reajuste?
R3  x = 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 1.800 V = ? i = 10% e 12%
t = 1
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
(1 )V C it   KF.3
Usando a KF.3  (1 )V C it 
SE LIGUE! Como o t = 1 e os reajustes são
sucessivos, adaptando temos:

K-FUNÇÃO
43
1 2(1 )(1 )V C i i    V = 1.800(1 + 0,10)(1 + 0,12)
 V = 1.800 . 1,1 . 1,12 
V = R$ 2.217,60
DESCONTOS ou ABATIMENTOS SUCESSIVOS
09. Uma mercadoria de R$ 3.000,00 sofreu os
descontos sucessivos de 10%, 5% e 4%. A quanto ficou
reduzido o preço dessa mercadoria e qual foi o valor do
desconto?
R3  x = 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 3.000 V = ?
i = 10%, 5% e 4% t = 1
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
(1 )V C it   KF.3

John Taylor Paiva
44
Usando a KF.3  (1 )V C it 
SE LIGUE! Como o t = 1 e os descontos são
sucessivos, adaptando temos:
1 2 3(1 )(1 )(1 )V C i i i     V = 3000(1 – 0,10)(1 –
0,05)(1 – 0,04)
V = 3.000 . 0,90 . 0,95 . 0,96  V = R$ 2.462,40
 É o novo preço
Portanto, o desconto é: R$ 3.000,00 – R$
2.462,40 = R$ 537,60

K-FUNÇÃO
45
III – REGIME de CAPITALIZAÇÃO
SIMPLES
JUROS SIMPLES
TAXA e TEMPO na MESMA UNIDADE
10. Qual o valor dos juros do capital de R$ 800,00
aplicado a juros simples à taxa de 5% a.m., durante 6
meses.
(Capital) é dado e “J” (Juros) esta subtendido (é pedido,
procurado). Assim, pela definição da função base, a sua
imagem é C = J e, o fator múltiplo (1  it) e, pelas regras,
temos: por R2  x = 0, por R5  k = 1 e por R6  b = 0
Dd: C = 800 J = ? i = 5% a.m. t = 6 m
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1
Usando a KF.1  J
C
it
  J = Cit  J = 800 .
0,05 . 6  J = R$ 240,00
11. Que valor, aplicado durante 6 meses, à taxa de
5% a.m., rendeu de juros o valor de R$ 240,00.

John Taylor Paiva
46
(Capital) está subtendido e “J” (Juros) é dado. Assim,
pela definição da função base, a sua imagem é C = J e, o
fator múltiplo (1  it) e, pelas regras, temos: por R2  x
= 0, por R5  k = 1 e por R6  b = 0.
Dd: C = ? J = 240 i = 5% a.m. t = 6 m
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1
Usando a KF.1  J
C
it
  C =
6.05,0
240

3,0
240
 C = R$ 800,00
12. O valor de R$ 800,00 foi aplicado a juros
simples durante 6 meses, rendendo de juros $ 240,00.
Calcule a taxa de juros.
(Capital) e “J” (Juros) são dados. Assim, pela definição
da função base, a sua imagem é C = J e, o fator múltiplo
(1  it) e, pelas regras, temos: por R2  x = 0, por R5 
k = 1 e por R6  b = 0.
Dd: C = 800 J = 240 i = ? t = 6 m

K-FUNÇÃO
47
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1
Usando a KF.1  J
C
it
  J
i
Ct
  i =
6.800
240

4800
240
 i = 0,05 ou 5% a.m.
SE LIGUE! Como o tempo foi utilizado em
meses, a taxa também será ao mês.
simples, à taxa de 5% a.m., rendendo de juros R$ 240,00.
Quanto tempo ficou aplicado?
k = 1 e por R6  b = 0.
Dd: C = 800 J = 240 i = 5% a.m. t = ?
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1

John Taylor Paiva
48
Usando a KF.1  J
C
it
  J
t
Ci
 
240
40
240
800 . 0,05
tt    t = 6 meses
SE LIGUE! Como a taxa foi utilizada ao mês, o
tempo será em meses.
TAXA e TEMPO em UNIDADES DIFERENTES
14. Qual o valor dos juros do capital de R$
1.200,00, aplicado a juros simples à taxa de 3% a.m.,
durante 8 meses e 20 dias.
(Capital) é dado e “J” (Juros) está subtendido. Assim,
= 0, por R5  k = 1 e por R6  b = 0.
Dd: C = 1200 J = ? i = 3% a.m. t = 260 d
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1
Usando a KF.1  J
C
it
  J = Cit 
.260
0,03
1200.
30
J   J = R$ 312,00

K-FUNÇÃO
49
15. Que valor, aplicado durante 8 meses e 20 dias,
à taxa de 3% a.m., rendeu de juros o valor de R$ 312,00.
(Capital) está subtendido e “J” (Juros) é dado. Assim,
= 0, por R5  k = 1 e por R6  b = 0.
Dd: C = ? J = 312 i = 3% a.m. t = 260 d
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1
Usando a KF.1  J
C
it
  0,03
.260
30
312
C  
312
0,001. 260
C   312
0,26
C  J = R$ 1.200,00
16. O valor de R$ 1.200,00 foi aplicado a juros
simples durante 8 meses e 20 dias, rendendo de juros R$
312,00. Calcule a taxa de juros.
k = 1 e por R6  b = 0.

John Taylor Paiva
50
Dd: C = 800 J = 240 i = ? t = 260 d
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1
Usando a KF.1  J
C
it
  J
i
Ct
 
312
312000
312
1200 . 260
ii    i = 0,1% a.d.
SE LIGUE! Como o tempo foi utilizado em dias,
a taxa será ao dia. Querendo saber a taxa ao mês, apenas
multiplique por 30.
simples, à taxa de 3% a.m., rendendo de juros R$ 312,00.
Quanto tempo ficou aplicado?
k = 1 e por R6  b = 0.
Dd: C = 1200 J = 312 i = 3% a.m. t = ?
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 J
C
it
  KF.1

K-FUNÇÃO
51
Usando a KF.1  J
C
it
  J
t
Ci
 
312
1200 . 0,03
t   t =8,666666
tempo será em meses.
1 mês 30 dias
0,666667 meses x


0,666667 x 30
x =
1  x = 20  Aplicado durante
8 meses e 20 dias
MONTANTE ou VALOR FUTURO
18. O valor de R$ 1.200,00, foi aplicado a juros
simples durante 8 meses e 20 dias, à taxa de 3% a.m..
Calcule o montante.
Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Capital) é
dado e o “V” (Montante) está subtendido. Assim, pela
definição da função base, a sua imagem é V = C e, o
= 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 1200 V = ? i = 3% t = 260

John Taylor Paiva
52
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
(1 )V C it   KF.3
0,03
1 .260
30
1200V
 
 
 
  V = 1200(1+ 0,26)  V = 1.200
. 1,26  V = R$ 1.512,00
CAPITAL OU VALOR PRESENTE
19. Um valor foi aplicado a juros simples durante
8 meses e 20 dias, à taxa de 3% a.m., formando o
montante de R$ 1.512,00. Qual o valor aplicado.
Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Capital)
está subtendido e “V” (Montante) é dado. Assim, pela
= 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = ? V = 1.512 i = 3% a.m. t = 260 d

K-FUNÇÃO
53
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
(1 )V C it   KF.3
(1 )
V
it
C

 
1.512 1.512
0,03 1,26
1 .260
30
CC  

  C = R$ 1.200,00
TAXA de JUROS
simples durante 8 meses e 20 dias, formando o montante
de R$ 1.512,00. Qual a taxa de juros.
Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Capital) e o
“V” (Montante) são dados. Assim, pela definição da
0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 1.200 V = 1.512 i = ? t = 260 d

John Taylor Paiva
54
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
(1 )V C it   KF.3
1
V
C
t
i

 
1512
1
1,26 11200
260 260
ii


   0,26 1
260
i

 
i = 0,1% a.d. ou 3% a.m.
TEMPO ou PERÍODO
simples, à taxa de 3% a.m., formando o montante de R$
1.512,00. Quanto tempo ficou aplicado?
0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 1.200 V = 1.512 i = 3% a.m. t = ?

K-FUNÇÃO
55
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it



 (1 )V C it 
(1 )V C it   KF.3
Usando a KF.3  (1 )V C it 
1
V
C
i
t

 
1512
1
1,26 11200
0,03 0,03
tt


   0,26
0,03
t   t
= 8,666666
tempo também será em meses.
1 mês 30 dias
0,666667 meses x


0,666667 x 30
x =
1  x = 20
 Ficou aplicado durante 8 meses e 20 dias

John Taylor Paiva
56
IV – DESCONTOS SIMPLES
DESCONTO RACIONAL ou POR DENTRO
22. Determinar o desconto racional de um título
de R$ 8.000,00, à taxa de 10% a.a., vencível em 1 ano, 1
mês e 10 dias.
Sol.: Pelos dados do problema o “V” (Valor
Nominal) é dado e o “J” (Descontos) está subtendido.
= J e, o fator múltiplo (1  it) e, pelas regras, temos: por
R3  x = 1, por R5 k = 1 e por R6  b = 0.
Dd.: V = 8.000 J = ? i = 10% a.a. t = 400d
( )
x
CV
J kit b




1
1
(1 )
( ) 0
J it
V
it



 (1 )
it
J it
V


(1 )
it
J it
V

  KF.5a

K-FUNÇÃO
57
Usando a KF.5a  (1 )
it
J it
V

 
(1 )it
Vit
J

 
0,1
.400
360
0,1
1 .400
360
8000.
J

 
1,1111
8000 . 0,111
J   V=R$
800,00
DESCONTO COMERCIAL ou POR FORA
23. Qual o desconto comercial, sofrido por uma
NP de R$ 7.000,00, à taxa de 6% a.m., 2 meses antes do
vencimento?
R2  x = 0, por R5 k = 1 e por R6  b = 0.
Dd.: V = 7.000 J = ? i = 6% a.a. t = 2m
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( ) 0
J it
V
it



 J
it
V   KF.5
Usando a KF.5  J
it
V   J = Vit  J =
7.000 . 0,06 . 2  J = R$ 840,00

John Taylor Paiva
58
24. Qual o desconto por fora de um título que, 3
meses antes do vencimento gerou um valor atual de R$
2.399,46, à taxa de 6% a.a.?
Atual) é dado e o “J” (Descontos) está subtendido.
Assim, pela definição da função base, a sua imagem é C
R3  x = 1, por R5 k = 1 e por R6  b = 0.
Dd.: V = 2.399,46 J = ? i = 6% a.a.
t = 3m
( )
x
CV
J kit b




1
1
(1 )
( ) 0
J it
C
it



 (1 )J it
it
C


(1 )J it
it
C

  KF.1a
Usando a KF. 1a   (1 )J it
it
C

 
(1 )
Cit
it
J

 
0,06
2.399,46. .3
12
0,06
1 .3
12
J

  35,9919
0,985
J   J = R$ 36,54

K-FUNÇÃO
59
DESCONTO BANCÁRIO
25. Um título de R$ 5.500,00 foi descontado no
Banco do Brasil, que cobra 2% de taxa administrativa. Se
a taxa de mercado é de 40% a.a. e o desconto ocorreu 3
meses antes do vencimento, qual o desconto bancário?
R2  x = 0, por R5 k = 1 e pelos dados do problema
 b = 2%.
Dd: V = 5.500 J = ? i = 40% a.a.
t = 3 m b = 2%
( )
x
CV
J kit b




0
1
(1 )
( )
J it
V
it b



 J
V
it b


 KF.5b
Usando o KF.5b  ( )
J
V J V it b
it b
   

0,40
5.500. . 3 0,02
12
J
  
   
  

1,2 1,44
5.500 0,02 5.500
12 12
J J
   
      
   
 $ 660,00J R

John Taylor Paiva
60
V – EQUIVALÊNCIA FINANCEIRA
(De CAPITAIS - FLUXO de CAIXA -
SUBSTITUIÇÃO de TÍTULOS)
26. Um cliente que tem um compromisso de R$
6.000,00, hoje, solicita uma prorrogação da dívida para
90d. Se o banco está operando com uma taxa comercial
de 5% a.m., qual o valor de resgate do novo título?
Sol.: Nos problemas de equivalência financeira
nós raciocinamos da seguinte maneira:
BIZUZÃO  Para desmembrar a KF, podemos
raciocinar que tanto o “C” (Valor Atual) como o “V”
(Valor Futuro) é dado e subtendido ou vice-versa. Depois
fazemos a definição como valor presente ou futuro de
acordo com a data focal.
Pelos dados do problema o “C” (Valor Atual =
título vencido) é dado e o “V” (Valor Futuro Novo Título
= resgate) está subtendido. Assim, pela definição da
 it) e, pelas regras, temos: por R1  x = -1, por R4 k
= 0 e por R6  b = 0.
Dd: C/V = 6.000 V = ? i = 5% a.m. t = 3 m

K-FUNÇÃO
61
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it





(1 )
C
it
V


(1 )
C
it
V

  KF.4
Usando a KF.4 
(1 )
C
it
V


SE LIGUE! Aqui nós temos: capital anterior a
data focal – achar o valor futuro  Transportando o
capital para a data focal zero (Dc).
6.000 6.000
1 0,05 . 3 0,85
VV  

 V = R$ 7.058,82
27. Um título de valor nominal equivalente a
10.000,00, vencível em 3 meses, vai ser substituído por
outro, com vencimento para 5 meses. Admitindo-se que
esses títulos podem ser descontados à taxa de 10% a.m.,
qual o valor nominal do novo título?
Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Valor Atual
= título vencido) é dado e o “V” (Valor Futuro Novo
Título = resgate) está subtendido. Assim, pela definição
da função base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo

John Taylor Paiva
62
(1  it) e, pelas regras, temos: por R1  x = -1, por R4
k = 0 e por R6  b = 0.
Dd: C/V = 10.000 V = ? i = 10% a.m. t = 3 m
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
C it
V
it





(1 )
C
it
V


sinal do fator múltiplo é negativo (–). Portanto, temos:
(1 )
C
it
V

  KF.4
Usando a KF.4 
(1 )
C
it
V


SE LIGUE! Agora, nós temos que transportar o
valor conhecido e o desconhecido para a data focal zero e
depois igualar os dois para saber quanto é hoje o valor
futuro. Portanto, nós temos: capital posterior a data focal
– achar o valor presente  Transportando os valores
atuais para a data focal zero (Dc)
Transportando o valor conhecido
3 3(1 )itC V   3 10.000(1 0,1.3)C   
3 10.000 . 0,7C   C3 = R$ 7.000,00

K-FUNÇÃO
63
Transportando o valor desconhecido:
5 5(1 )itC V   5 5(1 0,1.5)C V   5 50,5.C V  C3
= R$ 7.000,00
SE LIGUE! Mas na data focal zero teremos: C3 =
C5, portanto:
50,5. 7000V   5
7000
0,5
V   V5 = R$ 14.000,00

John Taylor Paiva
64
VI – CAPITALIZAÇÃO MISTA
PERÍODO FRACIONÁRIO ou NÃO-INTEIROS
JUROS SIMPLES NA PARTE FRACIONÁRIA ou
CONVENÇÃO LINEAR
28. Um capital de R$ 1.000,00 é emprestado à
taxa de juros compostos de 10% a.a., por 5 anos e 6
meses. Tendo por base a capitalização anual, qual será o
montante, utilizando-se a convenção linear?
fator múltiplo (1 )(1 )t
ipi  e, pelas regras, temos: por R3
 x = 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 1.000 V = ? i = 10% a.a. t = 5 a 6 m
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )][(1 )
( ) 0
t
ipC i
V
it



 (1 )(1 )t
ipV C i   
KF.6a
Usando a KF.6a  (1 )(1 )t
ipV C i   
5 56
(1 01. )
12
1000(1 0,1)V   

K-FUNÇÃO
65
5
(1 0,1 . 0,5)1000(1,1)V   V = 1.000 . 1,61051 .
1,05  V = R$ 1.691,04
JUROS COMPOSTOS na PARTE FRACIONÁRIA
ou CONVENÇÃO EXPONENCIAL
29. Calcular o montante pela convenção
exponencial do capital de R$ 1.000,00 colocado a juros
compostos à taxa de 5% a.a. capitalizados anualmente, no
fim de 7 anos e 3 meses.
fator múltiplo (1 )t p
i 
 e, pelas regras, temos: por R3  x
= 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 1.000 V = ? i = 5% a.a. t = 7 a 3 m
( )
x
CV
J kit b




1
0
(1 )
( ) 0
t p
iC
V
it

  

 (1 )t p
V C i 
  
KF.6b
Usando a KF.7b  (1 )t p
V C i 
 
3
7
12
1000(1 0,05)V

  
29
4
1000(1,05)V 
V = 1.000 . 1,4243687  V = R$ 1.424,37

John Taylor Paiva
66
VII – REGIME DE CAPITALIZAÇÃO
COMPOSTA
MONTANTE ou VALOR FUTURO
30. Uma pessoa aplicou o valor de R$ 600,00 à
taxa de 2% a.m. durante 5 meses, capitalizado
mensalmente. Calcule o montante.
fator múltiplo (1 )t
i e, pelas regras, temos: por R3  x =
1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 600 V = ? i = 2% a.m. t = 5 m
( )
x
CV
J kit b




1
0
][(1 )
( ) 0
t
C i
V
it



 (1 )t
V C i   KF.6
Usando a KF.6  (1 )t
V C i  
5
600(1 0,2)V    5
600 .1,02V  = V = R$ 662,45

K-FUNÇÃO
67
CAPITAL ou VALOR PRESENTE
31. Que valor, aplicado a juros compostos, à taxa
de 2% a.m., capitalizada mensalmente durante 5 meses,
formou o montante de R$ 662,45?
Sol.: Pelos dados do problema o “C” (Capital)
está subtendido e o “V” (Montante) é dado. Assim, pela
fator múltiplo (1 )t
i e, pelas regras, temos: por R3  x =
1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = ? V = 662,45 i = 2% a.m. t = 5 m
( )
x
CV
J kit b




1
0
][(1 )
( ) 0
t
C i
V
it



 (1 )t
V C i   KF.6
V C i  
(1 )t
V
i
C

 
5
662,45
(1 0,02)
C

  5
662,45
1,02
C   662,45
1,104081
C   C = R$
600,00
TEMPO ou PERÍODO
compostos, à taxa de 2% a.m., capitalizada mensalmente,
formando o montante de R$ 662,45. Quanto tempo ficou
aplicado?

John Taylor Paiva
68
função base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo
(1 )t
i e, pelas regras, temos: por R3  x = 1, por R4 k
= 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = 600 V = 662,45 i = 2% a.m. t = ?
( )
x
CV
J kit b




1
0
][(1 )
( ) 0
t
C i
V
it



 (1 )t
V C i   KF.6
V C i  
(1 )t
V
i
C

 
(1 )t V
i
C
   (1 )log
V
C
i t  
ln
ln(1 )
V
C
t
i
 
 
 


662,45
ln
600
ln(1 0,02)
t
 
 
 


ln 1,104083
ln 1,02
t   0,099015
0,019803
t   t = 5 m
TAXA DE JUROS
33. O valor de R$ 600,00 aplicado a juros
compostos, durante 5 meses, com capitalização mensal,
formou o montante de R$ 662,45. Calcule a taxa de juros.
função base, a sua imagem é V = C e, o fator múltiplo
(1 )t
i e, pelas regras, temos: por R3  x = 1, por R4 k
= 0 e por R6  b = 0.

K-FUNÇÃO
69
Dd.: C = 600 V = 662,45 i = ? t = 5 m
( )
x
CV
J kit b




1
0
][(1 )
( ) 0
t
C i
V
it



 (1 )t
V C i   KF.6
V C i  
(1 )t
V
i
C

 
1t
V
i
C
   5
662,45
1
600
i  
5
1,104083 1i    i = 2,000047% a.m.
JUROS COMPOSTOS
34.: Quanto rendeu de juros o capital de R$
600,00, aplicado a juros compostos durante 5 meses à
taxa de 2% a.m., capitalizada mensalmente.
dado e o “J” (Juros) está subtendido. Assim, pela
definição da função base, a sua imagem é C = J e, o fator
múltiplo (1 )t
i e, pelas regras, temos: por R1  x = -1,
por R4 k = 0, R6  b = 0 e por R7  o fator.
Dd.: C = 600 J = ? i = 2% a.m. t = 5 m

John Taylor Paiva
70
( )
x
CV
J kit b




1
0
][(1 )
( ) 0
t
J i
C
it





1(1 )t
J
C
i 


 KF.8
Usando a KF.8 
1(1 )t
J
C
i 


  1 1
t
iJ C   
 

 
5
1 0,02 1600J   
 
  J = 600 . 0,104081  J =
R$ 62,45
DESCONTO COMPOSTO
35. Determine o valor atual de um título de R$
5.000,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento à taxa
de desconto (composto) de 2% ao mês.
Atual) está subtendido e o “V” (Valor Nominal) é dado.
= C e, o fator múltiplo (1 )t
i e, pelas regras, temos: por
R3  x = 1, por R4 k = 0 e por R6  b = 0.
Dd.: C = ? V = 5.000 i = 2% a.m. t = 4 m
( )
x
CV
J kit b




1
0
][(1 )
( ) 0
t
C i
V
it



 (1 )t
V C i   KF.6

K-FUNÇÃO
71
V C i  
(1 )t
V
i
C

 
4
5.000
(1 0,02)
C

  4
5.000 5.000
1,02 1,082432
CC    C = R$
4.619,22
DESCONTO RACIONALMENTE COMPOSTO
36. Uma Nota Promissória no valor de R$
1.000,00, foi liquidada 6 meses antes do vencimento.
Sabendo-se que a taxa de desconto da operação
(composta) foi de 2% a.m., qual o desconto racional.
= J e, o fator múltiplo (1 )t
i e, pelas regras, temos: por
R1  x = -1, por R4 k = 0, R6  b = 0 e por R7  o
fator.
Dd.: V = 1.000 J = ? i = 2% a.m. t = 6 m
( )
x
CV
J kit b




1
0
][(1 )
( ) 0
t
J i
V
it





1 (1 ) t
J
V
i 

 
 KF.7
Usando a KF.7 
1 (1 ) t
J
V
i 

 

 1 1
t
iJ V

  
 
   
6
1 1 0,021.000J

  
 


John Taylor Paiva
72
J = 1.000 . (1 – 0,88797)  J = 1.000 0,11203 
J = R$ 112,03

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