1. Aula 17
Integrais de¯nidas e o
Teorema Fundamental do C¶lculo
a
17.1 A integral de¯nida
Seja y = f (x) uma fun»~o cont¶
ca ³nua em um intervalo fechado [a; b].
Subdividamos o intervalo [a; b] atrav¶s de n + 1 pontos x0 ; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn ,
e
tais que
a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn¡1 < xn = b
O conjunto de pontos } = fx0 = a; x1 ; x2 ; : : : ; xn¡1 ; xn = bg constitui uma subdivis~o a
ou parti»~o do intervalo [a; b].
ca
Tomemos ainda pontos c1 ; c2 ; c3 ; : : : ; cn¡1 ; cn em [a; b], tais que
c1 2 [x0 ; x1 ] = [a; x1 ];
c2 2 [x1 ; x2 ];
.
.
.
ci 2 [xi¡1 ; xi ];
.
.
.
cn 2 [xn¡1 ; xn ]:
Sejam
¢x1 = x1 ¡ x0
¢x2 = x2 ¡ x1
.
.
.
¢xi = xi ¡ xi¡1
.
.
.
¢xn = xn ¡ xn¡1
146

2. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 147
E formemos a soma
P
n
S = f (c1 )¢x1 + f(c2 )¢x2 + ¢ ¢ ¢ + f (cn )¢xn = f(ci )¢xi .
i=1
Esta ¶ uma soma integral de f , no intervalo [a; b], correspondente µ parti»~o }, e
e a ca
µ escolha de pontos intermedi¶rios c1 ; : : : ; cn .
a a
Pn
Note que, quando f (x) > 0 em [a; b], a soma integral de f , S = f (ci )¢xi , ¶
e
i=1
a soma das ¶reas de n ret^ngulos, sendo o i-¶simo ret^ngulo, para 1 · i · n, de base
a a e a
¢xi e altura f(ci ). Isto ¶ ilustrado na ¯gura 17.1.
e
y
y = f(x)
f(cn)
.....
f(c3 )
f(c2 )
f(c1 )
x
a = x0 c1 x1 c2 x2 c3 x3 xn-1 c n xn = b
∆ x1 ∆ x2 ∆ x3 ∆ xn
Figura 17.1.
Seja ¢ o maior dos n¶meros ¢x1 , ¢x2 , : : : , ¢xn . Escrevemos
u
¢ = maxf¢x1 ; ¢x2 ; : : : ; ¢xn g = max ¢xi
Tal ¢ ¶ tamb¶m chamado de norma da parti»~o }.
e e ca
¶
E poss¶ demonstrar que, quando consideramos uma sucess~o de subdivis~es
³vel a o
a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, do intervalo [a; b], fazendo com que ¢ = max ¢xi torne-
se mais e mais pr¶ximo de zero (e o n¶mero n, de sub-intervalos, torne-se cada vez
o u
maior), as somas integrais S, correspondentes a essas subdivis~es, v~o tornando-se cada
o a
vez mais pr¶ximas deRum n¶mero R °, chamado integral de¯nida de f , no intervalo
o u real
b b
[a; b] e denotado por a f , ou por a f (x) dx.
Em outras palavras, quando formamos uma seqÄ^ncia de parti»~es }1 , }2 , : : : ,
ue co
}k , : : : , do intervalo [a; b], de normas respetivamente iguais a ¢1 , ¢2 , : : : , ¢k , : : : ,
associando a cada parti»~o um conjunto de pontos intermedi¶rios (os ci 's), e forman-
ca a

3. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 148
do ent~o uma seqÄ^ncia de somas integrais S1 ; S2 ; : : : ; Sk ; : : : , sendo lim ¢k = 0,
a ue
Rb k!+1
teremos lim Sk = ° = a f, para algum n¶mero real °.
u
k!+1
De modo mais simpli¯cado, a integral de¯nida de f, de a at¶ b (ou no intervalo [a; b])
e
¶ o n¶mero real
e u
Z b X n
°= f (x) dx = lim S = lim f (ci )¢xi
a ¢!0 max ¢xi !0
i=1
Observa»~o 17.1 Se f(x) > 0 no intervalo [a; b], quando max ¢xi ! 0, o n¶mero k,
ca u
de sub-intervalos tende a 1.
Os ret^ngulos ilustrados na ¯gura 17.1 tornam-se cada vez mais estreitos e nu-
a
merosos µ medida em que max ¢xi torna-se mais e mais pr¶ximo de 0.
a o
Pn
Neste caso, lim i=1 f (ci )¢xi de¯nir¶ a ¶rea compreendida entre a curva
a a
max ¢xi !0
y = f (x), o eixo x, e as retas verticais x = a, x = b.
Sumarizando,
Se f (x) > 0 em [a; b], temos
Z b
f(x) dx = (¶rea sob o gr¶¯co de f , de x = a at¶ x = b)
a a e
a
Rb
Observa»~o 17.2 Por outro lado, se f (x) < 0 para todo x 2 [a; b], teremos a f(x) dx
ca
= ¡A, sendo A a ¶rea (positiva) da regi~o plana compreendida entre o eixo x, o gr¶¯co
a a a
de f , e as retas x = a e x = b.
Note que, neste caso, feita uma subdivis~o a = x0 < x1 < x2 < ¢ ¢ ¢ < xn = b, e
a
escolhidos os pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, teremos
X
n
f (ci )¢xi < 0
i=1
pois f (ci ) < 0 para cada i, e ¢xi > 0 para cada i.
Observa»~o 17.3 Se o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b], ¶ como o gr¶¯co esbo»ado
ca a e a c
na ¯gura 17.2, ent~o, sendo A1 , A2 , A3 e A4 as ¶reas (positivas) indicadas na ¯gura,
a a
teremos Z b
f (x) dx = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4
a
Observa»~o 17.4 Pode-se demonstrar que se f ¶ cont¶
ca e ³nua em [a; b], o limite
Pn Rb
lim i=1 f(ci )¢xi = a f n~o depende das sucessivas subdivis~es a = x0 < x1 <
a o
max ¢xi !0
¢ ¢ ¢ < xn = b, e nem das sucessivas escolhas de pontos c1 ; c2 ; : : : ; cn , com ci 2 [xi¡1 ; xi ]
para cada i.

4. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 149
y
y = f(x)
A1 A3
b x
a
A2
A4
Rb
Figura 17.2. a
f = A1 ¡ A2 + A3 ¡ A4 .
Observa»~o 17.5 Se, para uma P c~o g, de¯nida em [a; b], n~o necessariamente
ca fun»a a
cont¶
³nua, existir o limite lim i=1 g(ci )¢xi (xi 's e ci 's tal como antes), dizemos
n
max ¢xi !0
que g ¶ integr¶vel em [a; b], e de¯nimos, tal como antes,
e a
Z b X
n
g(x) dx = lim g(ci )¢xi
a max ¢xi !0
i=1
R1
Exemplo 17.1 Sendo f(x) = x2 , calcular 0 f (x) dx, ou seja, determinar a ¶rea com-
a
preendida entre a par¶bola y = x2 e o eixo x, no intervalo 0 · x · 1.
a
Para calcular a integral pedida, vamos primeiramente subdividir o intervalo [0; 1] em n
sub-intervalos de comprimentos iguais a ¢x = 1=n, ou seja, tomaremos
x0 = 0, x1 = 1=n, x2 = 2=n, : : : , xn¡1 = (n ¡ 1)=n e xn = n=n = 1.
Neste caso, ¢x1 = ¢x2 = ¢ ¢ ¢ = ¢xn = 1=n.
Tomaremos ainda ci = xi = i=n, para i = 1; 2; : : : ; n.
Teremos a soma integral
X
n X
n
1
S= f (ci )¢xi = f (i=n) ¢
i=1 i=1
n
X µ i ¶2 1 X i 2
n n
= ¢ =
i=1
n n i=1
n3
1 X 2 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2
n
= 3 i =
n i=1 n3
Pode ser demonstrado que 12 + 22 + ¢ ¢ ¢ + n2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), fato que usaremos
6
aqui.
Assim, como ¢x ! 0 se e somente se n ! 1, temos

5. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 150
Z 1 Z 1 X
n
f (x) dx = x2 dx = lim f (ci )¢xi
0 0 max ¢xi !0
i=1
2 2 2
1 + 2 + ¢¢¢n
= lim
n3 n!1
n(n + 1)(2n + 1) 2 1
= lim = =
n!1 6n 3 6 3
A ¶rea procurada ¶ igual a 1=3 (de unidade de ¶rea).
a e a
Proposi»~o 17.1 Se f ¶ cont¶
ca e ³nua no intervalo [a; b], sendo m e M os valores m¶ximo
a
³nimo de f, respectivamente, no intervalo [a; b], ent~o
e m¶ a
Z b
m(b ¡ a) · f(x) dx · M (b ¡ a)
a
y
M
A" B"
m A' B'
A B
a b x
Rb
Figura 17.3. m(b ¡ a) · a
f · M (b ¡ a).
Abaixo, faremos uma demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Antes por¶m, daremos
ca ca e
uma interpreta»~o geom¶trica dessa proposi»~o, no caso em que f > 0 em [a; b]. Da
ca e ca
a ³nimo e m¶ximo de f (x)
¯gura 17.3, em que m e M s~o, respectivamente, os valores m¶ a
para x 2 [a; b], temos
¶rea ABB 0 A0 · (¶rea sob o gr¶¯co de f , no intervalo [a; b]) · ¶rea ABB 00 A00 .
a a a a
Da¶
³, Z b
m(b ¡ a) · f (x) dx · M(b ¡ a)
a
Demonstra»~o da proposi»~o 17.1. Tomando-se uma subdivis~o qualquer de [a; b],
ca ca a
a = x0 < x1 < ¢ ¢ ¢ < xn = b
e tomando-se pontos ci 2 [xi¡1 ; xi ], para i = 1; 2; : : : ; n, temos
X n Xn
f(ci )¢xi · M¢xi
i=1 i=1

6. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 151
pois f (ci ) · M , e ¢xi > 0, para cada i. Da¶
³,
X
n X
n X
n
f(ci )¢xi · M¢xi = M ¢xi = M (b ¡ a)
i=1 i=1 i=1
pois
X
n
¢xi = ¢x1 + ¢x2 + ¢ ¢ ¢ + ¢xn = b ¡ a
i=1
Logo,
X
n
lim f (ci )¢xi · M (b ¡ a)
max ¢xi !0
i=1
e portanto Z b
f(x) dx · M (b ¡ a)
a
Rb
Analogamente, deduzimos que a
f (x) dx ¸ m(b ¡ a).
Assumiremos sem demonstra»~o as seguintes propriedades.
ca
Proposi»~o 17.2 Se f e g s~o cont¶
ca a ³nuas em [a; b], ent~o, sendo k uma constante e
a
a < c < b,
Rb Rb Rb
1. a (f (x) + g(x)) dx = a f (x) dx + a g(x) dx
Rb Rb
2. a k ¢ f(x) dx = k ¢ a f (x) dx
Rc Rb Rb
3. a f (x) dx + c f (x) dx = a f(x) dx
Rb Rb
4. se f (x) · g(x), para todo x 2 [a; b], ent~o a f (x) dx · a g(x) dx
a
Observa»~o 17.6 Sendo f cont¶
ca ³nua em [a; b], s~o adotadas as seguintes conven»~es
a co
(de¯ni»~es).
co
Ra
(i) a f (x) dx = 0
Ra Rb
(ii) b f (x) dx = ¡ a f (x) dx
Adotadas essas conven»~es, a proposi»~o 17.2, acima enunciada, continua ver-
co ca
dadeira qualquer que seja a ordem dos limites de integra»~o a, b e c, podendo ainda dois
ca
deles (ou os tr^s) coincidirem.
e
Teorema 17.1 (Teorema do valor m¶dio para integrais) Se f ¶ cont¶
e e ³nua no in-
tervalo [a; b], existe c 2 [a; b] tal que
Z b
f (x) dx = f (c) ¢ (b ¡ a)
a

7. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 152
Adiante faremos a demonstra»~o deste teorema. Uma interpreta»~o geom¶trica
ca ca e
do teorema do valor m¶dio para integrais, no caso em que f (x) > 0 em [a; b], ¶ feita na
e e
¯gura 17.4.
y
A' B'
f(c)
A B
a c b x
Rb
Figura 17.4. Teorema do valor m¶dio para integrais:
e a
f = (¶rea sob o gr¶¯co de f)
a a
0 0
= (¶rea ABB A ) = f (c)(b ¡ a).
a
Para demonstrarmos o teorema do valor m¶dio para integrais, usaremos o Teorema
e
do valor intermedi¶rio.
a
y
f(b)
y
0
f(a)
a x b x
0
Figura 17.5. Para cada y0 , tal que f (a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal que
f (x0 ) = y0 .
Teorema 17.2 (Teorema do valor intermedi¶rio) Seja f uma fun»~o cont¶
a ca ³nua no
intervalo [a; b]. Para cada y0 , tal que f(a) · y0 · f (b), existe x0 2 [a; b] tal que
f (x0 ) = y0 .
Ilustramos geometricamente o teorema do valor intermedi¶rio na ¯gura 17.5.
a
Como conseqÄ^ncia do teorema do valor intermedi¶rio, temos o teorema do anu-
ue a
lamento, j¶ explorado na aula 7, µ p¶gina 66:
a a a

8. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 153
(Teorema do anulamento) Sendo a < b, e f cont¶ ³nua em [a; b], se f(a) < 0 e
f (b) > 0 (ou se f(a) > 0 e f(b) < 0), ent~o a fun»~o f possui uma raiz no intervalo
a ca
[a; b].
Demonstra»~o. Como f(a) < 0 < f(b), pelo teorema do valor intermedi¶rio, existe
ca a
x0 2 [a; b] tal que f (x0 ) = 0.
Demonstra»~o do teorema 17.1. Sendo f cont¶
ca ³nua no intervalo [a; b], pelo teorema de
Weierstrass, p¶gina 69, aula 8, existem m; M 2 R tais que m = minff(x) j x 2 [a; b]g
a
e M = maxff (x) j x 2 [a; b]g. Al¶m disso, existem pontos x1 ; x2 2 [a; b] tais que
e
f (x1 ) = m e f(x2 ) = M .
Pela proposi»~o 17.1,
ca
Z b
m(b ¡ a) · f (x) dx · M(b ¡ a)
a
Da¶
³, Z
1 b
m· f (x) dx · M
b¡a a
1
Rb
Sendo ® = b¡a a f(x) dx, como f(x1 ) = m · ® · M = f (x2 ), pelo teorema do valor
intermedi¶rio, existe c 2 [a; b] (c entre x1 e x2 ) tal que f(c) = ®. Logo,
a
Z b
1
f(c) = f (x) dx
b¡a a
e portanto Z b
f(x) dx = f(c)(b ¡ a)
a
17.2 O teorema fundamental do c¶lculo
a
Teorema 17.3 (Teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o) Seja
a a f
³nua no intervalo [a; b]. Para cada x 2 [a; b], seja
uma fun»~o cont¶
ca
Z x
'(x) = f(t) dt
a
Ent~o
a
'0 (x) = f (x); 8x 2 [a; b]
Uma das conseqÄ^ncias imediatas do teorema fundamental do c¶lculo ¶ que
ue a e
Toda fun»~o cont¶
ca ³nua f, em um intervalo [a; b], possuiRuma primitiva (ou anti-derivada)
x
em [a; b], sendo ela a fun»~o ', de¯nida por '(x) = a f(t) dt, para cada x 2 [a; b].
ca

9. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 154
Demonstra»~o do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o.
ca a a
Para x em [a; b], e ¢x 60, com x + ¢x em [a; b], temos
=
Z x+¢x Z x
¢' = '(x + ¢x) ¡ '(x) = f(t) dt ¡ f (t) dt
a a
Z x+¢x Z a Z x+¢x
= f (t) dt + f(t) dt = f(t) dt
a x x
(Veja ¯guras 17.6a e 17.6b.)
(a) (b)
y y
y = f(x) y = f(x)
ϕ (x)
∆ϕ
a x b x a x x +∆x b x
Figura 17.6. (a) Interpreta»~o geom¶trica de '(x), x 2 [a; b]. (b) Interpreta»~o ge-
ca e ca
om¶trica de ¢', para ¢x > 0.
e
Pelo teorema do valor m¶dio para integrais, existe w entre x e x + ¢x tal que
e
Z x+¢x
f (t) dt = f (w) ¢ [(x + ¢x) ¡ x]
x
Assim sendo,
¢' = '(x + ¢x) ¡ '(x) = f (w)¢x
o que implica
¢'
= f (w); para algum w entre x e x + ¢x
¢x
Temos w ! x quando ¢x ! 0. Como f ¶ cont¶
e ³nua,
¢'
'0 (x) = lim = lim f (w) = lim f (w) = f(x)
¢x!0 ¢x ¢x!0 w!x
Como conseqÄ^ncia do teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos a
ue a a
sua segunda vers~o, tamb¶m chamada f¶rmula de Newton-Leibniz. Ele estabelece uma
a e o
conex~o surpreendente entre as integrais inde¯nidas e as integrais de¯nidas.
a

10. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 155
Teorema 17.4 (Teorema fundamental do c¶lculo, segunda vers~o) Sendo f
a a
³nua no intervalo [a; b],
uma fun»~o cont¶
ca
Z Z b
se f(x) dx = F (x) + C ent~o
a f (x) dx = F (b) ¡ F (a)
a
Demonstra»R o. Pelo teorema fundamental do c¶lculo, primeira vers~o, temos que
c~
a a a
x
a fun»~o '(x) = a f (t) dt, a · x · b, ¶ uma primitiva de f (x) no intervalo [a; b], ou
ca e
seja, '0 (x) = f(x).
R
Se f(x) dx = F (x) + C, temos tamb¶m F 0 (x) = f(x). Logo, pela proposi»~o
e ca
15.1 existe uma constante k tal que
'(x) = F (x) + k; para todo x em [a; b]
Ra
Agora, '(a) = a
f(t) dt = 0. Logo, F (a) + k = 0, de onde ent~o k = ¡F (a).
a
Assim sendo, Z x
f (t) dt = '(x) = F (x) ¡ F (a)
a
Quando x = b, temos Z b
f (x) dx = F (b) ¡ F (a)
a
E costume denotar [F (x)]b = F (x)jb = F (b) ¡ F (a).
¶
R a a Rb
Ou seja, sendo f (x) dx = F (x) + C, temos a f (x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a).
a
Exemplo 17.2 Calcular a ¶rea compreendida entre a curva y = sen x e o eixo x, para
a
0 · x · ¼.
Solu»~o.
ca
Como sen x ¸ 0 quando 0 · x · ¼, y
y = sen x
temos que a ¶rea procurada ¶ dada pela
a
R¼ e
integral A = 0 sen x dx.
R
Temos sen x dx = ¡ cos x + C.
2 unidades de área
0 π x
R¼
Logo, A = 0
sen x dx = [¡ cos x]¼ = (¡ cos ¼)¡(¡ cos 0) = 1+1 = 2 (unidades
0
de ¶rea).
a

11. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 156
17.2.1 Integra»~o de¯nida, com mudan»a de vari¶vel
ca c a
Veremos agora que, quando fazemos mudan»a de vari¶vel (integra»~o por substitui»~o),
c a ca ca
no caso de uma integral de¯nida, podemos ¯nalizar os c¶lculos com a nova vari¶vel
a a
introduzida, sem necessidade de retornar µ vari¶vel original. Para tal, ao realizarmos a
a a
mudan»a de vari¶vel, trocamos adequadamente os limites de integra»~o.
c a ca
Suponhamos que y = f (x) de¯ne uma fun»~o cont¶
ca ³nua em um intervalo I, com
a; b 2 I, e que x = '(t) ¶ uma fun»~o de t deriv¶vel em um certo intervalo J ½ R,
e ca a
satisfazendo
1. f ('(t)) 2 I quando t 2 J.
2. '(®) = a, '(¯) = b, para certos ®; ¯ 2 J;
3. '0 (t) ¶ cont¶
e ³nua em J;
R
Sendo F (x) uma primitiva de f (x) em I, temos f(x) dx = F (x) + C, e como
vimos, tomando x = '(t), teremos dx = '0 (t) dt, e
R
f ('(t))'0 (t) dt = F ('(t)) + C.
Ent~o, Pelo teorema fundamental do c¶lculo,
a a
Z b
f(x) dx = F (x)jb = F (b) ¡ F (a) = F ('(¯)) ¡ F ('(®))
a
a
Z ¯
¯
= F ('(t))j® = f ('(t)) ¢ '0 (t) dt
®
R1 p
Exemplo 17.3 Calcular ¡1
x 1 + x2 dx.
R p p
Fazendo u = 1 + x2 , calculamos x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 + C.
3
Pelo teorema fundamental do c¶lculo,
a
R1 p p ¯1 p p
¡1
x 1 + x2 dx = 1 1 + x2 ¯¡1 = 38 ¡
3 3
8
= 0.
Por outro lado, poder¶ ³amos ter trocado os limites de integra»~o, ao realizar a
ca
mudan»a de vari¶vel. O resultado seria:
c a
para x = ¡1, u = 2; e para x = 1, u = 2 (!). Ent~o
a
R1 p R2p
¡1
x 1 + x2 dx = 2 u ¢ 1 du = 0.
2
Exemplo 17.4 Calcular a ¶rea delimitada pela circunfer^ncia de equa»~o x2 + y 2 = a2 .
a e ca

12. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 157
calcular a ¶rea A desse c¶
Parap a ³rculo, basta calcular a ¶rea sob o semi-c¶
a ³rculo
y = a2 ¡ x2 , acima do eixo x, entre os pontos x = ¡a e x = a, ou seja, calcular
Z ap
A=2 = a2 ¡ x2 dx
¡a
Faremos a substitui»~o x = a sen t, ¡¼=2 · t · ¼=2.
ca
Para t = ¡¼=2, x = ¡a; para t = ¼=2, x = a.
Teremos ent~o dx = a cos t dt, a2 ¡ x2 = a2 cos2 t e, como cos t ¸ 0 no intervalo
p a
[¡¼=2; ¼=2], a2 ¡ x2 = a cos t.
Ra p R ¼=2
Logo, ¡a a2 ¡ x2 dx = ¡¼=2 a2 cos2 t dt.
Temos cos2 t + sen2 t = 1 e cos2 t ¡ sen2 t = cos 2t, logo
cos2 t = 1 (1 + cos 2t).
2
Assim,
Z ap Z ¼=2
a 2 ¡ x2 dx = a2 cos2 t dt
¡a ¡¼=2
Z
a2 ¼=2
= (1 + cos 2t) dt
2 ¡¼=2
· ¸¼=2
a2 1
= t + sen 2t
2 2 ¡¼=2
2
· ¸ · ¸
a ¼ 1 a2 ¼ 1 ¼a2
= + sen ¼ ¡ ¡ + sen(¡¼) =
2 2 2 2 2 2 2
a ³rculo ¶ A = ¼a2 .
E portanto a ¶rea do c¶ e
17.2.2 Integra»~o de¯nida, por partes
ca
Suponhamos que u = u(x) e v = v(x) s~o fun»~es deriv¶veis no intervalo [a; b], com as
a co a
derivadas u0 (x) e v 0 (x) cont¶
³nuas em [a; b].
Temos (u ¢ v)0 = u0 ¢ v + u ¢ v0 = uv 0 + vu0 , e ent~o
a
Rb Rb Rb
a
[u(x)v(x)]0 dx = a u(x)v0 (x) dx + a v(x)u0 (x) dx.
Rb
Pelo teorema fundamental do c¶lculo, a [u(x)v(x)]0 dx = u(x)v(x)jb . Portanto
a a
Rb Rb
a
u(x)v0 (x) dx = u(x)v(x)jb ¡ a v(x)u0 (x) dx.
a
Em nota»~o abreviada,
ca
Z b Z b
u dv = uvjb
a ¡ v du
a a

13. ¶
Integrais definidas e o Teorema Fundamental do Calculo 158
17.3 Problemas
Calcule as integrais de¯nidas listadas abaixo.
R1 dx
1. ¡1 1+x2
. Resposta. ¼=2.
R p2=2
2. p dx . Resposta. ¼=4.
0 1¡x2
R ¼=3
3. 0
tg x dx. Resposta. ln 2.
Rx
4. 1
dt
t
. Resposta. ln x.
Rx
5. 0
sen t dt. Resposta. 1 ¡ cos x.
R ¼=2
6. 0
sen x cos2 x dx. Resposta. 1=3.
R ¼=2 1¡tg2 x
7. 0
Resposta. 2p5 . Sugest~o. Use a identidade cos x =
dx
3+2 cos x
. ¼
a 1+tg2
2
x , fa»a
c
2
u= tg 2 , e 2
= arc tg u.
x x
R4 p
8. 1 px dx . Resposta. 3 2=2.
2+4x
R1
9. dx
¡1 (1+x2 )2
. Resposta. ¼
4
+ 1 . Sugest~o. Fa»a x = tg u.
2
a c
R5 p
10. 1
x¡1
x
dx. Resposta. 4 ¡ 2 arc tg 2.
R ¼=2 cos x dx
11. 0
Resposta. ln 4 .
6¡5 sen x+sen2 x
. 3
Rtp
12. Calcule a integral 0 a2 ¡ x2 dx (0 · t · a), sem usar antiderivadas, interpre-
p
tando-a como ¶rea sob a curva (semi-c¶
a ³rculo) y = a2 ¡ x2 , e acima do eixo x,
no intervalo [0; t] (¯gura 17.7).
y
a
x
0 t
Figura 17.7.
p 2
Resposta. 2 a2 ¡ t2 + a2 arc sen a . Sugest~o. Subdivida a ¶rea a ser calculada
t t
a a
em duas regi~es, como sugere a ¯gura.
o