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  1. 1. Aula 15Integrais inde¯nidas15.1 AntiderivadasSendo f (x) e F (x) de¯nidas em um intervalo I ½ R, dizemos que F ¶ uma antiderivada ou uma primitiva de f , em I, se F 0 (x) = f(x) epara todo x 2 I. Ou seja, F ¶ antiderivada ou primitiva de f se F ¶ uma fun»~o cuja derivada ¶ f. e e ca e Como primeiros exemplos, temos f(x) primitiva de f (x) 3x2 x3 2 2x ex ex sen x ¡ cos xObserva»~o 15.1 Se F ¶ antiderivada de f em I, e c ¶ uma constante, ent~o F + c ca e e atamb¶m ¶ uma antiderivada de f em I. e e De fato, se F 0 (x) = f (x), para todo x 2 I, ent~o a [F (x) + c]0 = F 0 (x) = f (x), e portanto F (x) + c tamb¶m ¶ uma antiderivada de e ef (x) em I. p Assim, por exemplo x3 , x3 + 5 e x3 ¡ 2 s~o primitivas de 3x2 . a Veremos agora que, em um intervalo I, duas primitivas de uma mesma fun»~o cadiferem entre si por uma constante.Proposi»~o 15.1 Se F1 e F2 s~o antiderivadas de f , em I ½ R, ent~o existe c 2 R ca a atal que F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I. 125
  2. 2. Integrais indefinidas 126 Para demonstrar a proposi»~o 15.1, faremos uso do seguinte resultado. caLema 15.1 Se f ¶ cont¶ e ³nua no intervalo [a; b] e f 0 (x) = 0 para todo x 2]a; b[, ent~o af ¶ constante em [a; b], ou seja, existe c 2 R tal que f (x) = c para todo x 2 [a; b]. e Poder¶³amos aceitar o lema 15.1 como evidente e seguir adiante. No entanto, estelema ¶ conseqÄ^ncia de um teorema importante sobre fun»~es deriv¶veis, conhecido e ue co acomo teorema do valor m¶dio. Como tornaremos a fazer uso do teorema do valor m¶dio e emais adiante, julgamos oportuno cit¶-lo agora. aTeorema 15.1 (Teorema do valor m¶dio) Suponhamos que f ¶ uma fun»~o con- e e ca ³nua no intervalo [a; b] e deriv¶vel no intervalo ]a; b[. Ent~o existe w 2 ]a; b[ tal quet¶ a a f (b) ¡ f (a) = f 0 (w) b¡a Aceitaremos este teorema sem demonstra»~o, e faremos uma interpreta»~o ge- ca caom¶trica de seu resultado. e f (b) ¡ f(a) ¢f O quociente ¶ a taxa de varia»~o m¶dia, e ca e , da fun»~o f , no inter- ca b¡a ¢xvalo [a; b], sendo ¢x = b ¡ a e ¢f = f (b) ¡ f (a). Ele ¶ o coe¯ciente angular da reta passando por A = (a; f (a)) e B = (b; f (b)). eO teorema do valor m¶dio diz que essa taxa de varia»~o m¶dia ¶ tamb¶m a taxa de e ca e e evaria»~o instant^nea de f , em rela»~o a x, df =dx, em algum ponto w no interior do ca a caintervalo. Em termos geom¶tricos, a inclina»~o da reta AB coincide com a inclina»~o e ca cade uma reta tangente ao gr¶¯co de f em um ponto (w; f(w)), para algum w 2 ]a; b[ . aA ¯gura 15.1 ilustra o teorema do valor m¶dio. e y B f(b) A f(a) 0 a w b f (b) ¡ (f (a) Figura 15.1. = f 0 (w). b¡a Uma interpreta»~o cinem¶tica do teorema do valor m¶dio ¶ a seguinte: a velocidade ca a e em¶dia de um ponto m¶vel, em movimento retil¶ e o ³neo, no intervalo de tempo [t1 ; t2 ],coincide com sua velocidade instant^nea em algum instante t0 2 ]t1 ; t2 [, isto ¶, a e ¢s s(t2 ) ¡ s(t1 ) = = s0 (t0 ) em um instante t0 , com t1 < t0 < t2 ¢t t2 ¡ t1
  3. 3. Integrais indefinidas 127 Por exemplo, se um carro, com velocidade vari¶vel, faz um percurso de 180 km aem duas horas, sua velocidade m¶dia ¶ 180km = 90 km/h. Intuitivamente, sabemos que e e 2hem algum instante do percurso, seu veloc¶³metro acusar¶ a velocidade instant^nea de a a90 km/h.Demonstra»~o do lema 15.1. Suponhamos f 0 (x) = 0 para todo x 2 I, sendo I ½ R um caintervalo. Mostraremos que, quaisquer que sejam x1 e x2 em I, x1 < x2 , tem-se f (x1 ) =f (x2 ), e portanto f ¶ constante em I. e ³nua em [x1 ; x2 ] e deriv¶vel em ]x1 ; x2 [. Temos f cont¶ a f (x2 ) ¡ f (x1 ) Pelo teorema do valor m¶dio, e = f 0 (w) para algum w 2 ]x1 ; x2 [ . x2 ¡ x1 Como f 0 (w) = 0, temos f (x1 ) = f (x2 ), e nossa demonstra»~o termina aqui. ca 0 0Demonstra»~o da proposi»~o 15.1. Suponhamos que, F1 (x) = F2 (x) = f (x) para todo ca cax 2 I, I um intervalo de R. Consideremos a fun»~o = F1 ¡ F2 . ca Ent~o, 0 (x) = F1 (x) ¡ F2 (x) = f (x) ¡ f (x) = 0, para todo x 2 I. a 0 0 Pelo lema 15.1, ¶ constante no intervalo I. e Assim, existe c 2 R tal que F1 (x) ¡ F2 (x) = c para todo x 2 I. Portanto F1 (x) = F2 (x) + c, para todo x 2 I.De¯ni»~o 15.1 (Integral inde¯nida) Sendo F uma primitiva de f no intervalo I, cachama-se integral inde¯nida de f , no intervalo I, µ primitiva gen¶rica de f em I, a eF (x) + C, sendo C uma constante real gen¶rica. Denotamos tal fato por e Z f (x) dx = F (x) + CNesta nota»~o, omite-se o intervalo I. ca15.2 Integrais imediatasColetaremos agora algumas integrais inde¯nidas cujo c¶lculo ¶ imediato. a eProposi»~o 15.2 ca R x®+1 1. x® dx = + C, se ® 6¡1. = ®+1 Z 1 2. dx = ln jxj + C. x
  4. 4. Integrais indefinidas 128 R 3. sen x dx = ¡ cos x + C. R 4. cos x dx = sen x + C. R 5. ex dx = ex + C. R ax 6. ax dx = (a > 0; a 61). = ln a R 7. sec2 x dx = tg x + C. R 8. cosec2 x dx = ¡ cotg x + C. R 9. sec x ¢ tg x dx = sec x + C. R 10. cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C. Z 1 11. dx = arc tg x + C. 1 + x2 Z 1 12. p = arc sen x + C. 1 ¡ x2 Para a dedu»~o das integrais acima, basta veri¯car que a derivada do segundo camembro, em cada igualdade, ¶ a fun»~o que se encontra sob o sinal de integra»~o. e ca caComo exemplos, µ ®+1 ¶0 x x®+1¡1se ® 6¡1, = = (® + 1) ¢ = x® . ®+1 ®+1(ln jxj)0 = 1=x:se x > 0, (ln jxj)0 = (ln x)0 = 1=x; 1se x < 0, (ln jxj)0 = (ln(¡x))0 = ¢ (¡x)0 = 1=x. ¡x µ ¶0 ax ax ln a(ax )0 = ax ¢ ln a, logo = = ax . ln a ln a15.3 Manipula»~es elementares de integrais co R RSuponhamos f(x) dx = F (x) + C1 , e g(x) dx = G(x) + C2 . Ent~o a 1. [F (x) + G(x)]0 = F 0 (x) + G0 (x) = f (x) + g(x), logo R R R (f (x)+g(x)) dx = F (x)+G(x)+C = f(x) dx+ g(x) dx (C = C1 +C2 ). 2. Sendo k uma constante real, [k ¢ F (x)]0 = k ¢ F 0 (x) = k ¢ f(x), logo R R kf (x) dx = kF (x) + C = k f (x) dx (kC1 = C)
  5. 5. Integrais indefinidas 129 Reunimos os fatos acima, com outros tamb¶m ¶teis, na seguinte proposi»~o. e u ca R RProposi»~o 15.3 Se f (x) dx = F (x) + C e g(x) dx = G(x) + C, ent~o, sendo ca aa; b 2 R, a 60, = R 1. [f(x) + g(x)] dx = F (x) + G(x) + C R 2. k ¢ f (x) dx = k ¢ F (x) + C R 3. f (x + b) dx = F (x + b) + C R 4. f (x ¡ b) dx = F (x ¡ b) + C R 5. f (b ¡ x) dx = ¡F (b ¡ x) + C Z 1 6. f (ax) dx = F (ax) + C a Z 1 7. f (ax + b) dx = F (ax + b) + C aDemonstra»~o. As duas primeiras propriedades j¶ foram deduzidas acima. Das cinco ca apropriedades restantes, as quatro primeiras s~o conseqÄ^ncias imediatas da ¶ltima, a a ue uunica que deduziremos.¶ Por hip¶tese, F 0 (x) = f(x). o Logo [F (ax + b)]0 = F 0 (ax + b) ¢ (ax + b)0 = af (ax + b), de onde µ ¶0 1 1 F (ax + b) = ¢ af(ax + b) = f (ax + b). a a Z 1 Portanto f(ax + b) dx = F (ax + b) + C. a15.4 Exemplos elementares R 1. cos x dx = sen x + C. Logo, R (a) cos 3x dx = 1 sen 3x + C 3 R ¡ ¢ ¡ ¢ (b) cos 2x ¡ 2 dx = 1 sen 2x ¡ 3¼ 2 3¼ 2 +C R x 2. e dx = ex + C. Logo, R (a) ex¡5 dx = ex¡5 + C R (b) e2¡x dx = ¡e2¡x + C R (c) e5x dx = 1 e5x + C 5 R 2 3. Calcular tg x dx.
  6. 6. Integrais indefinidas 130 R sec2 x dx = tg x + C. Temos cos2 x + sen2 x = 1, logo 1 + tg2 x = sec2 x. Logo, R 2 R R R tg x dx = (sec2 x ¡ 1) dx = sec2 x ¡ 1 dx = tg x ¡ x + C R 4. Calcular (5 cos x + cos 5x) dx. Z Z Z (5 cos x + cos 5x) dx = 5 cos x dx + cos 5x dx 1 = 5 sen x + sen 5x + C 5 R 5. Calcular sen x cos x dx. Temos sen 2x = 2 sen x cos x, logo sen x cos x = 1 sen 2x. Da¶ 2 ³ Z Z 1 sen x cos x dx = sen 2x dx 2 1 1 1 = ¢ (¡ cos 2x) + C = ¡ cos 2x + C 2 2 4 Z p x+1 6. Calcular dx. x Z p Z µp ¶ x+1 x 1 dx = + dx x x x Z p Z x 1 = dx + dx x x Z Z ¡1=2 1 = x dx + dx x x1=2 p = + ln jxj + C = 2 x + ln jxj + C 1=215.5 Integra»~o por mudan»a de vari¶vel ou ca c a integra»~o por substitui»~o ca caSuponhamos que Z f (x) dx = F (x) + C (15.1) Suponhamos que x = (t) ¶ uma fun»~o deriv¶vel de t, para t em um intervalo e ca aI ½ R.
  7. 7. Integrais indefinidas 131 Na aula 14 de¯nimos a diferencial de x, como sendo dx dx = dt = 0 (t) dt dt No contexto daquela aula, a diferencial dx foi de¯nida como uma boa aproxima»~o cade ¢x, quando dt = ¢t ¶ su¯cientemente pequeno. e Neste cap¶ ³tulo, a diferencial ter¶ um sentido simb¶lico, sendo empregada quando a orealizamos troca de vari¶veis no c¶lculo de integrais. a a Suponhamos de¯nida em I a fun»~o composta f ((t)). ca Como veremos agora, podemos substituir x = (t) na express~o 15.1, fazendo a 0dx = (t) dt, ou seja, de 15.1 obtemos Z f((t)) ¢ 0 (t) dt = F ((t)) + C (15.2)De fato, aplicando deriva»~o em cadeia, ca d d dx [F ((t))] = [F (x)] ¢ dt dx dt 0 0 = F (x) ¢ (t) = F 0 ((t)) ¢ 0 (t) = f((t)) ¢ 0 (t) Rlogo, f ((t)) ¢ 0 (t) dt = F ((t)) + C. Portanto Z Z f (x) dx = F (x) + C =) f ((t)) ¢ 0 (t) dt = F ((t)) + Cpela mudan»a de vari¶vel x = (t), tomando-se dx = 0 (t) dt. c a R Na pr¶tica, quando calculamos f ((t))0 (t) dt, tendo-se as considera»~es acima, a co passamos pela seqÄ^ncia de igualdades: ue Z Z 0 f ((t)) (t) dt = f (x) dx = F (x) + C = F ((t)) + CAlgumas vezes, no entanto, fazendo x = (t), passamos por uma seqÄ^ncia de igual- uedades Z Z f (x) dx = f ((t))0 (t) dt = F ((t)) + C = F (x) + C Rfazendo uso da integral mais complicada" f ((t)0 (t) dt para ¯nalmente calcularR f (x) dx. Isto ¶ o que ocorre em substitui»~es trigonom¶tricas, assunto que ser¶ e co e aestudado adiante.
  8. 8. Integrais indefinidas 132 Neste caso, estamos assumindo implicitamente que Z Z 0 f ((t)) ¢ (t) dt = F ((t)) + C =) f (x) dx = F (x) + Co que ¶ justi¯cado desde que possamos tamb¶m expressar tamb¶m t = Ã(x), como e e efun»~o inversa e deriv¶vel de x = (t), para que possamos, ao ¯nal dos c¶lculos, obter ca a aa integral inde¯nida como fun»~o de x, a partir de sua express~o em fun»~o de t. ca a ca Z 1Exemplo 15.1 Calcular p dx. 3 ¡ 2xSolu»~o. Come»amos fazendo a substitui»~o u = 3 ¡ 2x. ca c ca du Ent~o du = a ¢ dx = (3 ¡ 2x)0 dx = ¡2dx. dx Portanto dx = ¡ 1 du. 2 Assim, temos Z Z µ ¶ Z 1 1 1 1 1 u¡1=2+1 p dx = p ¢ ¡ du = ¡ u¡1=2 du = ¡ ¢ 1 +C 3 ¡ 2x u 2 2 2 ¡2 + 1 p p = ¡u1=2 + C = ¡ u + C = ¡ 3 ¡ 2x + C RExemplo 15.2 Calcular tg x dx. Z Z sen xSolu»~o. ca tg x dx = dx. cos x Como (cos x)0 = ¡ sen x, tomamos u = cos x, e teremos du = (cos x)0 dx = ¡ sen x dx. Assim, Z Z Z sen x ¡1 tg x dx = dx = du = ¡ ln juj + C = ¡ ln j cos xj + C cos x u RExemplo 15.3 Calcular sec x dx.Solu»~o. Calcularemos esta integral por uma substitui»~o que requer um truque esperto. ca ca Z Z Z sec x ¢ (sec x + tg x) sec2 x + sec x ¢ tg x sec x dx = dx = dx sec x + tg x sec x + tg xAplicamos a mudan»a de vari¶vel c a u = sec x + tg xe teremos du = (sec x + tg x)0 dx = (sec x tg x + sec2 x)dx. Z Z 1 Logo, sec x dx = du = ln juj + C = ln j sec x + tg xj + C. u
  9. 9. Integrais indefinidas 133 RExemplo 15.4 Calcular cosec x dx.Solu»~o. Imitando o truque usado no exemplo anterior, o leitor poder¶ mostrar que ca a R cosec x dx = ¡ ln j cosec x + cotg xj + C. Z xExemplo 15.5 Calcular p dx. x2 + 5Solu»~o. Note que (x2 + 5)0 = 2x. Isto sugere fazermos ca 1 u = x2 + 5, de onde du = 2x dx, ou seja, x dx = du. 2 Temos ent~o a Z Z Z p x 1 1 1 p dx = p ¢ du = u¡1=2 du = u1=2 + C = x2 + 5 + C x2 + 5 u 2 215.6 Ampliando nossa tabela de integrais imediatasCom a ¯nalidade de dinamizar o c¶lculo de integrais inde¯nidas, ampliaremos a lista ade integrais imediatas da se»~o 15.2, adotando como integrais imediatas" as quatro caseguintes, que deduziremos em seguida.Proposi»~o 15.4 Sendo a > 0, e ¸ 60, ca = Z dx 1 x 1. 2 + x2 = arc tg + C. a a a Z ¯ ¯ dx 1 ¯a + x¯ ¯ ¯ + C. 2. = ln a2 ¡ x2 2a ¯ a ¡ x ¯ Z dx x 3. p = arc sen + C. a 2 ¡ x2 a Z p dx 4. p = ln jx + x2 + ¸j + C x2 + ¸ Z Z dx 1 1Demonstra»~o. ca 2 + x2 = 2 dx a a 1 + ( x )2 a Fazendo x a = y, temos dx = a dy, e ent~o a Z Z Z dx 1 a 1 1 2 + x2 = 2 dy = dy a a 1+y 2 a y 2+1 1 1 x = arc tg y + C = arc tg + C a a a
  10. 10. Integrais indefinidas 134 Para deduzir a segunda integral, lan»amos m~o da decomposi»~o c a ca 1 1 1 = 2a + 2a a2 ¡ x2 a+x a¡x Assim sendo, Z Z Z 1 1 1 1 1 dx = dx + dx a2 ¡ x2 2a a+x 2a a¡x 1 1 = ln ja + xj ¡ ln ja ¡ xj + C 2a 2a ¯ ¯ 1 ja + xj 1 ¯a + x¯ = ln +C = ln ¯ ¯+C 2a ja ¡ xj 2a ¯ a ¡ x ¯Para deduzir a terceira integral, fazemos uso da integral inde¯nida Z 1 p dx = arc sen x + C 1 ¡ x2e procedemos a uma mudan»a de vari¶vel, tal como no c¶lculo da primeira integral c a aacima. O leitor poder¶ completar os detalhes. a Para deduzir a quarta integral, apelaremos para um recurso nada honroso. Mos-traremos que p 1 (ln jx + x2 + ¸j)0 = p 2 x +¸ p p 1 De fato, sendo u = x + x2 + ¸, e sendo ( w)0 = 2pw ¢ w0 , temos p 1 (ln jx + x2 + ¸j)0 = (ln juj)0 = ¢ u0 u 1 p = p ¢ (x + x2 + ¸)0 x + x2 + ¸ 1 1 = p ¢ (1 + p ¢ = x) 2 x + x2 + ¸ = x2 + ¸ 2 p 1 x2 + ¸ + x 1 = p ¢ p 2 =p 2 x + x2 + ¸ x +¸ x +¸15.6.1 Nossa tabela de integrais imediatasAdotaremos como integrais imediatas as integrais da tabela 15.1 dada a seguir. Estatabela inclui as integrais imediatas da proposi»~o 15.2, as integrais calculadas nos exem- caplos 15.3 e 15.4, e as integrais da proposi»~o 15.4. ca
  11. 11. Integrais indefinidas 135Tabela 15.1. Tabela ampliada de integrais imediatas (nas ultimas linhas, a > 0 e ¸ 60). ¶ = Z R ® x®+1 1 x dx = + C, (® 6¡1) = dx = ln jxj + C ®+1 x R R sen x dx = ¡ cos x + C cos x dx = sen x + C R R ax ex dx = ex + C ax dx = (a > 0; a 61) = ln a R R sec2 x dx = tg x + C cosec2 x dx = ¡ cotg x + C R R sec x ¢ tg x dx = sec x + C cosec x ¢ cotg x dx = ¡ cosec x + C R R sec x dx = ln j sec x + tg xj + C cosec x dx = ¡ ln j cosec x + cotg xj + C R R tg x dx = ¡ ln j cos xj + C cotg x dx = ln j sen xj + C Z Z 1 1 dx = arc tg x + C p dx = arc sen x + C 1 + x2 1 ¡ x2 Z Z ¯ ¯ dx 1 x dx 1 ¯a + x¯ = arc tg + C = ln ¯ ¯ + C. a2 + x2 a a a2 ¡ x2 2a ¯ a ¡ x ¯ Z Z p dx x dx p = arc sen + C p = ln jx + x2 + ¸j + C a 2 ¡ x2 a x2 + ¸15.7 ProblemasCalcule as seguintes integrais inde¯nidas, utilizando, quando necess¶rio, mudan»a de a cvari¶veis. Sempre que julgar conveniente, fa»a uso da tabela de integrais inde¯nidas da a ctabela 15.1. R p p x) dx. Resposta. x + 2x3 x + C. 2 1. (x + 2 R³ 3 p ´ ¡ p 1 p ¢ 2. p ¡ x x x 4 dx. Resposta. 6 x ¡ 10 x2 x + C. R 2 p 3. xpdx x . Resposta. 2 x2 x + C. 5
  12. 12. Integrais indefinidas 136 R³ 1 ´2 x5 p p 2 + 3 x2 x2 + 3 3 x + C. 3 4. x + p 3x dx. Resposta. 5 4 R 5. sen ax dx. Resposta. ¡ cos ax + C. a R ln x ln2 x 6. x dx. Resposta. 2 + C. R 7. 1 sen2 3x dx. Resposta. ¡ cotg 3x + C. 3 R 1 8. dx 3x¡7 . Resposta. 3 ln j3x ¡ 7j + C. R 9. tg 2x dx. Resposta. ¡ 1 ln j cos 2xj + C. 2 R 1 10. cotg(5x ¡ 7)dx. Resposta. 5 ln j sen(5x ¡ 7)j + C. R 11. cotg x dx. Resposta. 3 ln j sen x j + C. 3 3 R 1 12. tg sec2 d. Resposta. 2 tg2 + C. Sugest~o. Fa»a u = tg . a c R 13. ex cotg ex dx. Resposta. ln j sen ex j + C. Sugest~o. Fa»a u = ex . a c R sen3 x 14. sen2 x cos x dx. Resposta. 3 + C. Sugest~o. Fa»a u = sen x. a c R 4 15. cos3 x sen x dx. Resposta. ¡ cos x + C. 4 R x dx p 16. p2x2 +3 . Resposta. 1 2x2 + 3 + C. Sugest~o. Fa»a u = 2x2 + 3. 2 a c R x2 2 p 17. p dx . x3 +1 Resposta. 3 x3 + 1 + C. R sen x dx 1 18. cos3 x . Resposta. 2 cos2 x + C. R cotg x 2 19. Resposta. ¡ cotg x + C. sen2 x dx. 2 R p 20. cos2 xptg x¡1 . Resposta. 2 tg x ¡ 1 + C. dx R sen 2x dx p 21. p1+sen2 x . Resposta. 2 1 + sen2 x + C. Sugest~o. Fa»a u = 1 + sen2 x. a c R arc sen x dx arc sen2 x 22. p 1¡x2 . Resposta. 2 + C. R arccos2 x dx 3 23. p 1¡x2 . Resposta. ¡ arccos 3 x + C. R 1 24. x dx x2 +1 . Resposta. 2 ln(1 + x2 ) + C. R 1 25. x+1 x2 +2x+3 dx. Resposta. 2 ln(x2 + 2x + 3) + C. R cos x 1 26. 2 sen x+3 dx. Resposta. 2 ln(2 sen x + 3) + C. R 27. dx x ln x . Resposta. ln j ln xj + C. Sugest~o. Fa»a u = ln x. a c R (x2 +1)5 28. 2x(x2 + 1)4 dx. Resposta. 5 + C.
  13. 13. Integrais indefinidas 137 R tg3 x 29. tg4 x dx. Resposta. 3 ¡ tg x + x + C. Sugest~o. Mostre que tg x = tg2 x ¢ tg2 x = sec2 x ¢ tg2 x ¡ sec2 x + 1. a 4 R 30. cos2 x(3 tg x+1) . Resposta. 1 ln j3 tg x + 1j + C. dx 3 R tg3 x tg4 x 31. cos2 x dx. Resposta. 4 + C. R 32. e2xdx. Resposta. 1 e2x + C. 2 R 2 ax 2 33. xax dx. Resposta. 2 ln a + C. R ex 1 34. 3+4ex dx. ln(3 + 4ex) + C. Resposta. 4 R dx 1 p 35. 1+2x2 . Resposta. p2 arc tg( 2x) + C. R dx 1 p 36. p1¡3x2 . Resposta. p3 arc sen( 3x) + C. R 37. p16¡9x2 . Resposta. 1 arc sen 3x + C. dx 3 4 R dx 38. 9x2 +4 . Resposta. 1 arc tg 3x + C. 6 2 R dx ¯ 2+3x ¯ 39. 4¡9x2 . Resposta. 12 ln ¯ 2¡3x ¯ + C. 1 R dx p 40. px2 +9 . Resposta. ln(x + x2 + 9) + C. R x2 dx ¯ p ¯ ¯ 3 ¯ p ln ¯ x +p5 ¯ + C. 1 41. 5¡x6 . Resposta. 6 5 x3 ¡ 5 Sugest~o. Fa»a x6 = (x3 )2 , e ent~o u = x3 . a c a R 42. px dx 4 . Resposta. 1 arc sen x2 + C. Sugest~o. Fa»a u = x2 . 1¡x 2 a c R 1 2 43. x dx x4 +a4 . arc tg x2 + C. Resposta. 2a2 a R cos x dx ¡ ¢ 44. a2 +sen2 x . Resposta. a arc tg sen x + C. 1 a R 45. p dx 2 . Resposta. arc sen(ln x) + C. x 1¡ln x R arccos x ¡ x p 46. p 1¡x2 dx. Resposta. ¡ 1 (arccos x)2 + 2 1 ¡ x2 + C. R x¡arc tg x 1 47. 1+x2 dx. Resposta. 2 ln(1 + x2 ) ¡ 1 (arc tg x)2 + C. 2 R p1+px 4 p p 3 48. p x dx. Resposta. 3 (1 + x) + C. R cos3 x 1 1 49. sen4 x Resposta. sen x ¡ 3 sen3 x + C. dx. R cos3 x R cos2 x¢cos x R (1¡sen2 x) cos x Sugest~o. Fa»a sen4 x dx = a c sen4x dx = sen4 x dx, e ent~o u = a sen x.

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