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Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o Método dos Elementos Finitos (Software ANSYS11)

  1. 1. Análise Dinâmica de uma Viga do tipo biapoiada utilizando o Método dos Elementos Finitos (Software ANSYS11) Vinicius Elias da Costa professorviniciuselias@hotmail.com Universidade de Brasília - UNB Mestrado em Integridade de Materiais da Engenharia Dezembro de 2011 Resumo A dinâmica relaciona as forças que atuam num corpo com seu movimento. E este movimento pode ser obtido através das equações de Lagrange. Um corpo rígido ou uma estutura nestas condições está sujeito à vibrações, onde o sistema oscila a partir de uma posição de equilíbrio. Este trabalho tem como objetivo explorar estes conceitos apresentando a formulação básica por elementos finitos e mostrar uma aplicação através do software ANSYS. Trata-se da análise dinâmica de um viga biapoiada buscando com isto verificar seu comportamento extraindo os modos de vibrar, frequências naturais e amplitude.1 IntroduçãoA análise de estruturas é uma das aplicações mais comuns do método dos elementos finitos (MEF). O termo”estrutura” não só diz respeito as estruturas de engenharia civil, mas também estruturas navais, aeronauticas,mecânicas e etc.Em geral, a análise de estruturas pode ser dividida em estática e dinâmica. E para realizar esta análise, faz-se necessário na maioria das vezes o auxilio de ferramentas computacionais, onde neste caso, foi utilizado osoftware ANSYS11. O ANSYS é software de elementos finitos que pode ser utilizado nas mais diversas classesde problemas em engenharia. Este ainda apresenta sete tipos de análise de estruturas: Estática, modal, harmônica,dinâmica transiente, espectral e dinâmica explicita.2 Elementos Finitos em DinâmicaNesta seção apresentaremos a formulação para análise dinâmica em elementos finitos (EF) para o caso dinâmicode uma estrutura. Este processo consiste basicamente na obtenção das equações de movimentos de Lagrange, ondeestas consitem apenas numa forma derivada dos principio dos trabalhos virtuais e o princípio de D’Alembert. 1
  2. 2. 2.1 Método GeralSeja l o comprimento de um elemento, e considere u(ξ, t) com ξ : 0 ≤ ξ ≤ l, a função deslocamento, escolhidasatisfazendo a continuidade apropriada. Se u1 , u2 , . . . , uk representam os graus de liberdade para o elemento,então k u(ξ, t) = φi (ξ)ui (t). (1) i=1onde φi (ξ) são chamadas funções de forma. A energia potencial do elemento é calculada usando a equação (6) para o deslocamento e tem a seguinte forma: 1 T V = u ku. (2) 2onde u = [u1 , . . . , uk ]T e k é a matriz de rigidez local ou matriz de rigidez do elemento considerado. A energia cinética para o elemento pode ser calculada também usando (6), e tem a seguinte forma 1 T T = u mu. ˙ ˙ (3) 2onde m é a matriz de massa local ou matriz de massa do elemento. O número total de graus de liberdade no modelo de EF é n = αβ − η, onde α é o número de elementos, β é onúmero de graus de liberdade por elemento e η é o número de condições de contorno geométricas. Considere o vetor deslocamento global dado por U = [U1 , . . . , Un ]T onde U1 , . . . , Un representam os des-locamentos a serem encontrados (ou não determinados). Desta forma, a energia potencial total do sistema tem aforma: 1 T V = U KU. (4) 2onde K é a matriz de rigidez global, obtida pelo cálculo das matrizes de rigidez locais. A energia cinética total dosistema tem a forma 1 ˙T ˙ T = U MU. (5) 2onde M é a matriz de massa global, obtida pelo cálculo das matrizes locais.2.2 Equações de Movimento - DinâmicaHumar (2002) afirma que em dinâmica problemas envolvendo deslocamento, velocidade, deformação, tensão ecarregamento são todos dependentes do tempo. O procedimento consiste em obter equações de elementos finitospara um problemas dinâmico, e que basicamente pode ser descrito pelos seguintes passos: 1. Idealize o corpo (objeto de estudo) num conjunto E de elementos finitos. 2. Considere o modelo de deslocamento de elemento e como:    u(x, y, z, t)        U (x, y, z, t) = v(x, y, z, t) = [N (x, y, z)]Q(e) (t). (6)       w(x, y, z, t)   onde U é o vetor de deslocamento [N ] é a matriz de funções de forma e Q(e) é o vetor de deslocamentos nodais, que é assumido em função do tempo t. 2
  3. 3. 3. Determine as matrizes de rigidez e massa (propriedades). De (6), a deformação pode ser expressa por: = [B]Q(e) . (7) E a tensão como: σ = [D] = [D][B]Q(e) . (8) Derivando (6) em respeito ao tempo, a velocidade pode ser obtida por ˙ ˙ U (x, y, z, t) = [N (x, y, z)]Q(e) (t), (9) ˙ onde Q(e) é o vetor de velocidade nodal. Para deduzir as equações de movimento dinâmico de uma estrutura, podemos usar as equações de Lagrange ou o princípio de Hamilton. Deste modo as equações de Lagrange são dadas por d ∂L ∂L ∂R − + = {0} (10) dt ˙ ∂Q ∂Q ˙ ∂Q Onde L = T − πp (11) é a função Lagrangiana, T é a energia cinética do sistema, πp é a energia potencial, R é a função de dissipa- ˙ ção, Q é o deslocamento nodal e Q a velocidade nodal.4. Montar as matrizes e vetores do sistema, e obter as equações de movimento total do sistema. Deste modo ainda podemos obter, 1 ˙T ˙ T = Q [M ]Q (12) 2 1 ˙T ˙ ˙ πp = Q [K]Q − QT P (13) 2 1 ˙T ˙ R = Q [C]Q (14) 2 onde E M = [M (e) ] e=1 E K = [K (e) ] e=1 E C = [C (e) ] e=1 M matriz de massa global da estrutura, K matriz de matriz de rigidez global da estrutura, M matriz de amortecimento global da estrutura, P (t) é o vetor de carga total. Deste modo, a partir de (10),(13) e (14) podemos deduzir as equações de movimento da estrutura ou corpo como: ¨ ˙ ˙ [M ]Q + [C]Q(t) + [K]Q(t) = P (t) (15) ¨ onde Q é o vetor de aceleração nodal no sistema global. Se o amortecimento for desconsiderado, temos ¨ ˙ [M ]Q + [K]Q(t) = P (t) (16) 3
  4. 4. 5. Finalmente este passo consiste em resolver as equações de movimento, aplicando as condições iniciais e de contorno. Na análise dinâmica de uma estrutura além de obter as equações de movimento, efetua-se a análise modalobtendo as frequências naturais e harmônica.2.3 Análise de Vibrações LivresSegundo Seto (1970), Vibração livre é um movimento periódico que se observa quando um sistema é deslocado dasua posição de equilíbrio estático. Uma vez considerando o movimento harmônico como Q = Qeiωt . (17)A equação de vibrações livres será dada por ([K] − w2 [M ])Q = 0. (18)onde Q representa a amplitude do deslocamento Q (Autovetor ou modo de vibração do sistema) e ω denotamospor frequência natural de vibração (Autovalor). A frequência natural é a frequência do sistema que tem vibraçãolivre sem atrito. Como Q por se tratar de um autovetor deve ser não-nulo, então segue que a solução para a equação (18) é dadapelo determinante dos coeficientes da matriz ([K] − w2 [M ]), isto é, ([K] − w2 [M ]) = 0. (19)3 Análise dinâmica via Software ANSYSConsidere uma viga bi-apoiada com as seguintes características: L = 1m, h = b = 5cm, A = 25cm2 , I =5.21.10− 7, ρ = 7800kg/m3 , v = 0, 3, E = 21000N/m2 .O modelo obtido no ANSYS pode ser visto na figura 1. Figura 1: Modelo da Viga bi-apoiada no ANSYS 4
  5. 5. 3.1 Análise ModalUma vez feito a modelagem e aplicando as condições de contorno, foi feito a análise modal e obtido os seguintesresultados para as frequências naturais Figura 2: Primeiro Modo de Vibrar. Figura 3: Segundo Modo de Vibrar. Figura 4: Terceiro Modo de Vibrar. 5
  6. 6. Modo de Vibração Frequências Naturais (Hz) 1 0,3717 2 0,148238 3 0,3319883.2 Análise HarmônicaPara esta análise consideramos uma carga de 10N aplicada no nó 7 da viga, assim como visto abaixo na figura 5. Figura 5: Viga com a força peso de 10N aplicada no nó 7.Nesta análise utilizou-se um domínio de 0 a 0,5HZ, tendo em vista as frequências obtidas pela análise anterior.Após aplicado todas as condições iniciais foi obtido o gráfico de amplitude em função da frequência para o nó 7. Figura 6: Gráfico de amplitude em função da frequência para o nó 7. É importante observar que os picos mais altos ocorrem próximo às frequências naturais.3.3 Análise TransienteEste tipo de análise, fornece o comportamento da estrutura a partir de uma força aplicada, em função do tempo.Deste modo, foi aplicado uma força em função do tempo próximo ao ponto central da viga. A análise foi consi-derada dentro de um intervalo de 50s, tempo suficiente para a observação de um período de oscilação da estrutura. 6
  7. 7. Para tanto, aplicando um impulso com largura de 1s e magnitude 10N, ao qual foi definido como uma função.Assim foi possível observar o comportamento da estrutura nestas condições, uma vez que o ANSYS efetua umaanimação no formato .avi, facilitando a compreensão desta análise. Figura 7: Animação produzida pelo Ansys.4 ConclusãoDe acordo com os resultados obtidos observa-se que a análise dinâmica pelo método dos elementos finitos uti-lizando uma ferramenta computacional que possibilite a obtenção de parâmetros como respostas com o tempo,modo de vibrar da estrutura e suas frequências naturais de trabalho são de fundamental importância para obter umprojeto adequado. Verifica-se também em relação ao dados obtidos, que foram satisfatórios levando como parâ-metro as referências consultadasm, mostrando a eficácia do MEF para este tipo de determinação. Em trabalhosfuturos, pretende-se fazer uma análise pelo MEF comparando a solução analítica com a obtida pela ferramentacomputacional.5 BibliografiaHUGHES, T.J.R., The Finite Element Method Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, DoverPublications, 1987.HUMAR, J.L. Dynamics od structures-2ed.Canadá - Balkema -2002.PAZ, M.;LEIGH,W. Structural Dynamics: Theory and Computation. 5ed,USA,Springer,2003.LIU, G.R.;QUEK,S.S. The Finite Element Method: A pratical Course.Butterworth-Heinemann,Oxford- 2003RAO, S. S., The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, Oxford, 1989.SADD, Martin H. Elasticity: Theory, Applications, and Numerics. Academic Press, August 2004.SETO, Willian W. Vibrações Mecânicas: Coleção Schaum, McGraw-Hill Int. Ed., 1970.SORTELO Jr, José . Introdução às Vibrações Mecânicas, 1ed-São Paulo: Edgar Blucher,2006.ZIENKIEWICZ, O.C., TAYLOR, R.L. The finite element method - Basic formulation and linear problems,Vol. 1, 4th.ed., McGraw-Hill Int. Ed., 1989. 7

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