Turbulence Et Sa Modilisation(Matene Elhacene)

CHAPITRE II TURBULENCE ET SA MODELISATION

TURBULENCE ET
SA
MODILISATION

MATENE ELHACENE
Ingénieur d’état en génie climatique
Inscrit première année magister (post de graduation)
E-mail : elhacenematene@gmail.com
TEL : +213 771 403 380
ALGERIE
Janvier 2010

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II.1. Généralités :
Lorsque le nombre de Reynolds d'un écoulement augmente, celui-ci développe des
instabilités dont le résultat ultime est la turbulence. L'importance relative des termes
visqueux (et linéaires) décroit au profit des termes convectifs, non-linéaires puisque
quadratiques. Le caractère le plus remarquable de la turbulence est son imprédicibilité qui
fait que, à un instant et en un point donné, il est impossible de prévoir la valeur exacte du
champ de vitesse ou même de pression ou de température. Ceci est donc bien différent du
régime laminaire décrit par les équations de Navier-Stokes qui sont parfaitement
déterministes et permettent donc de prévoir la solution avec précision.
Dans le cas d'un écoulement turbulent, l'importance des conditions aux limites
devient telle que la moindre différence entre deux expériences a priori identiques fait que
la solution sera en fait différente. La figure II.1.1 montre comment les enregistrements de
vitesse en un point donnée diffèrent d'une expérience à l'autre.
Il est donc intéressant de définir la vitesse par sa valeur moyenne �� et sa partie fluctuante
��. dont la moyenne temporelle sera nulle.
Lorsque l'on retranche la valeur moyenne �� des enregistrements de la figure II.1.1 on
obtient les fluctuations de �� représentée sur la figure II.1.2. Le problème de la turbulence
consiste à comprendre et modéliser l'effet de ces fluctuations sur l'écoulement moyen.

Figure. II.1.1. Enregistrements temporels de vitesse en un point donné pour la même
expérience répétée 4 fois.

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Figure. II.1.2. Fluctuations de vitesse autour de la valeur moyenne pour les
enregistrements de la figure II.1.1.
II..1. Les équations de Reynolds [76] :
Pour l'ensemble des trois composantes de vitesse, on pose donc:
�� = �� + �� = 0
�� = �� + �� = 0 (II.1.1)
�� = �� + �� = 0

L'équation de continuité devient donc, avec ces notations:
��
�� =1,2,3 �� + �� = 0
�� (II.1.2)
��
Tandis que les équations du mouvement deviennent, dans chaque direction i:
�� 1 ��
�� + �� + �� =1,2,3 �� + �� + �� = − �� + �� + ��∆ �� + �� (II.1.3)
��
�� = 0
On moyenne ensuite ces équations sur un temps suffisamment long pour que l'hypothèse
�� = 0 devienne justifiée et, après calculs, on retrouve l'équation de continuité et celle de
chaque composante ��:
��
�� =1,2,3 �� =0 (II.1.4)
��
�� 1 ��
+ �� =1,2,3 ��
�� = − �� + ��∆�� − �� =1,2,3 �� (II.1.5)
��
Le nombre d'équations est inchangé (4 au total dont 3 pour le mouvement et 1 pour la
continuité) mais le nombre d'inconnues est maintenant égal a 10! ( ��1 , ��2 , ��3 , �� 6 �� )
La détermination des grandeurs �� constitue tout le problème de la turbulence. Le
dernier terme de l'équation (II.1.5) est nouveau.

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Remarquons d'abord qu'il peut s'écrire sous la forme: ��(�� ) de façon tout a fait
similaire au terme ��(�� ) rencontré dans les équations de Navier-Stokes. Les grandeurs
�� peuvent s'interpréter comme des contraintes d'où le nom de tenseur des contraintes de
Reynolds donné au tenseur associé a ces quantités. Pour distinguer ces contraintes des
contraintes visqueuses on les dénomme contraintes turbulentes.
Afin de pouvoir discuter le contenu et le mode d'action de ces contraintes sans faire
de lourds calculs, limitons nous au cas d'un écoulement unidirectionnel "en moyenne" tel
que l'écoulement au voisinage d'une paroi plane lorsque celui-ci est suffisamment loin de la
zone d'entrée pour que l'on puisse négliger toute composante transverse de vitesse
moyenne. L'écoulement s'écrit alors: �� + �� ; �� ; �� et la composante suivant �� des
équations de Reynolds devient:
�� 1 �� ²
�� + �� ≈ − �� + �� − �� − (II.1.6)
��
Les deux premiers termes du membre de gauche sont du même ordre de grandeur et,
de plus, seules les dérivées normales à la paroi, c'est- à -dire suivant ��, subsistent dans
l'expression des contraintes visqueuses puisque c'est dans cette direction que l'on trouve les
plus forts gradients. Ainsi l'équation précédente devient:
�� 1 ��
�� ≈ − �� + �� − �� (II.1.7)

II.1.2. Interprétation de la contrainte −��[77] :
Considérons un profil de vitesse ��(��) tel que le montre la figure II.1.3. A la cote ��
ou la vitesse vaut �� superposons un tourbillon de taille caractéristique ℓ�� , centré en ��.
Ce tourbillon va donc prélever de la quantité de mouvement dans la zone supérieure A où
��
la vitesse vaut : �� + ℓ�� ;pour la transporter vers la zone B de plus basse vitesse où la
��
vitesse ne vaut que : �� − ℓ�� .On pressent donc l'effet de mélange que va jouer la
��
turbulence qui va donc avoir tendance a lisser les gradients de vitesse moyenne par l'action
des structures tourbillonnaires qu'elle contient (ce même effet de lissage aura également
lieu pour les champs de température ou de concentration qui se trouveront dans une zone
tourbillonnaire).
Les expériences de laboratoire montrent que �� et �� sont du même ordre de grandeur.
Ainsi:
��
�� ≈ �� ≈ ℓ�� (II.1.8)
La contrainte turbulente de Reynolds peut alors s'écrire:
��
�� = ��ℓ�� 2 �� ² (II.1.9)
��
Toutefois, �� doit être du même signe que �� (c'est-a- dire positif sur la figure II.1.3). Pour
cela, on préfère l'expression suivante:
��
�� = ��ℓ�� 2 (II.1.10)
��
Par analogie avec la loi de comportement des fluides newtoniens, on peut être tenté
d'introduire une viscosité turbulente �� définie par:
��
�� = ℓ�� 2 �� (II.1.11)
de sorte que l'équation de la couche limite deviendra:
�� 1 ��
�� ≈ − + (�� + �� ) (II.1.12)
��

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La longueur ℓ�� intervenant dans l'expression de �� est dite longueur de mélange et
a été formulée par Prandtl en 1925. La longueur de mélange peut être considérée comme le
rayon d'action des structures turbulentes de plus grosse taille. La valeur de ℓ�� n'est hélas
pas connue a priori et varie pour chaque type d'écoulement.

Figure. II.1.3. Modèle de longueur de mélange.

II.1.3. Généralités sur les écoulements dans les conduites circulaires [78] :
II.1.3.1.Définitions :
a)-Régime de l’écoulement :
Le paramètre principal qui caractérise le régime d’écoulement est le nombre de
Reynolds, qui est défini par :
��
�� = �� (2.1.13)
Où �� est la densité, �� est la vitesse moyenne, �� est le diamètre et �� est la viscosité
dynamique.
Nous pouvons définir un nombre de Reynolds critique , �� : Pour �� < �� ,
l’écoulement est laminaire et pour �� > �� il est turbulent.
Pour l’écoulement dans les conduits on a �� = 2300. Mais en réalité, il existe un régime
de transition entre les deux régimes laminaire et turbulent, qui est caractérisé par :
2300 < �� < 10000
Donc nous pouvons distinguer deux régimes avec leur caractéristique comme suit :
*Écoulement laminaire : la vitesse locale est indépendante de temps, mais elle peut
être variable de point de vu spatial dû au cisaillement visqueux et la géométrie.
*Écoulement turbulent : la vitesse locale a une moyenne constante mais elle a un
composant fluctuant d’une façon statistique et aléatoire due à la turbulence dans
l’écoulement.
Lorsque les filets du fluide ne restent plus parallèles à la direction de l'écoulement,
un brassage des filets adjacents se produit, et le transfert de quantité de mouvement n'est
plus dû à une dissipation d'énergie visqueuse mais à une dégradation d'énergie cinétique
locale. La vitesse locale en régime stationnaire n'est plus constante, mais elle fluctue autour
d'une valeur moyenne au cours du temps.
Ainsi :
�� = �� + �� (II.1.14)
Avec
1 �� 1 ��
�� = lim ��→∞ �� 0 �� et �� = lim ��→∞ �� 0 ��
La moyenne dans le temps des fluctuations de vitesse est nulle mais pas la moyenne
du carré des fluctuations de vitesse. Lorsque la vitesse locale fluctue au cours du temps
autour d'une valeur moyenne, l'écoulement est dit turbulent, et la valeur moyenne des
carrés des fluctuations de vitesse permet de caractériser la nature de la turbulence.

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Il n'est pas simple de résoudre les équations de bilan de quantité de mouvement. Il
est cependant possible de prévoir la variation de la pression totale à partir de la
connaissance de la distribution des vitesses locales moyennes.
Un écoulement turbulent est caractérisé par :

 son irrégularité à la fois en temps et en espace : la simulation est, de ce fait, très
délicate. Il est très sensible aux perturbations, même faibles, celles-ci ayant
tendance à s'amplifier du fait de la faible viscosité. D'où la difficulté d'une
prédiction détaillée (dans les prévisions météorologiques à moyen et long terme, les
instabilités peuvent provenir des perturbations dues aux erreurs sur les mesures).
L'analyse de tels écoulements se fait de manière statistique (calcul de quantités
moyennes) ;
 la présence de structures de tailles très différentes qui interagissent entre elles : plus
le nombre de Reynolds est grand, plus la différence de taille entre les plus grandes
et les plus petites structures présentes dans l'écoulement est grande ;
 son caractère dissipatif : la présence de nombreuses échelles, qui interagissent entre
elle, augmente le taux de dissipation d'énergie ;
 son caractère diffusif : la turbulence augmente le taux de mélange et de diffusion
d'espèces chimiques et de la température.

*Ecoulements stationnaires et instationnaires :
On dit qu'un écoulement est stationnaire si toutes les variables décrivant le
mouvement sont indépendantes du temps. Ainsi la pression p, la vitesse v , la densité ρ,
l'énergie e d'un écoulement stationnaire sont des quantités indépendantes du temps. Un
écoulement est dit instationnaire si les variables décrivant le mouvement dépendent du
temps. Les écoulements turbulents sont par nature instationnaires, cependant on dit qu'un
écoulement turbulent est stationnaire si les variables moyennes sont indépendantes du
temps et si les corrélations d'ordre deux constituées à partir de ces variables sont invariantes
par translation. Une autre simplification des équations de la dynamique des fluides est de
considérer toutes les propriétés du fluide comme étant constantes dans le temps. Ceci
s'appelle alors un flux stationnaire et est applicable à de nombreux problèmes, tels que la
poussé ou la traînée d'une aile ou un flux traversant un tuyau. Dans le cas particulier d'un
flux stationnaire, les équations de Navier-Stokes et d'Euler se simplifient donc.

*Ecoulement établi :
L’écoulement établi est défini comme suit :
Un écoulement établi est un écoulement dont le profil transversal de vitesse est le
même quelle que ce soit la section transversale à l’écoulement.
Noter que La section doit évidemment être constante.

b)-Fluide compressible et incompressibles :
Un fluide est appelé compressible si les changements de la densité du fluide ont des
effets significatifs sur l'ensemble de la solution. Dans le cas contraire, il s'agit d'un fluide
incompressible et les changements de densité sont ignorés.
Afin de savoir si le fluide est compressible ou incompressible, on calcule le nombre
de Mach. Approximativement, les effets de la compression peuvent être ignorés pour les
nombres de Mach en dessous de 0,3. Presque tous les problèmes impliquant des liquides se
trouvent dans cette catégorie, à commencer l'eau, et sont définis comme incompressibles.

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Les équations de Navier-Stokes incompressible sont des simplifications des
équations de Navier-Stokes dans lesquelles la densité est considérée comme constante.
Elles peuvent être utilisées pour résoudre les problèmes impliquant des fluides
incompressibles de manière prépondérante, ce qui peut être assez restrictif.
Alors, on dit qu'un fluide est incompressible si sa masse spécifique varie faiblement
avec la pression ou la température. Cependant, dans un certain nombre de situations, cette
hypothèse n'est pas justifiée et il faut prendre en compte les très faibles variations de
densité produites par un gradient de température ou de pression. Ainsi, dans les
écoulements de convection naturelle, une différence de température introduite aux limites
du domaine produit une variation naturelle de densité du fluide et cette variation de densité
induit le mouvement. Ce type d'écoulement appartient à l 'expérience courante, il intervient
par exemple lorsqu'on réchauffe de l'eau dans un récipient.
Considérons à présent le cas des gaz. Très généralement, les gaz sont traités comme des
fluides compressibles. Cependant nous verrons qu'aux faibles vitesses d'écoulement (aux nombres
de Mach petits M <<< 1; la définition du nombre de Mach est donnée par l’équation IV.24), les
variations de densité sont faibles et de l'ordre de grandeur du carré du nombre de Mach :
∆��
= ��2 �� ≪ 1 (II.1.15)
��
Dans ces conditions, on peut traiter l'écoulement à l'aide des équations qui régissent les
écoulements incompressibles. En définitif, la distinction incompressible/compressible se rapporte
plutôt au type d'écoulement considéré qu'au fluide lui-même.

c)-Viscosité et les fluides Newtoniens [79]:
Les problèmes dus à la viscosité sont ceux dans lesquels les frottements du fluide ont
des effets significatifs sur la solution. Dans le cas où les frottements peuvent être négligés,
le fluide est appelé non-visqueux.
Le nombre de Reynolds peut être employé pour estimer quel type d'équation est
approprié pour résoudre un problème donné. Un nombre de Reynolds élevé indique que les
forces d'inertie sont plus importantes que les forces de frottement. Cependant, même
lorsque le nombre de Reynolds est élevé, certains problèmes nécessitent de prendre en
compte les effets de la viscosité. En particulier, dans les problèmes où l'on calcule les
forces exercées sur un corps (comme les ailes d'un avion), il faut prendre en compte la
viscosité. Comme illustré par le paradoxe d'Alembert, un corps immergé dans un fluide
non visqueux n'est soumis à aucune force.
Les équations normalement utilisées pour l'écoulement d'un fluide non visqueux sont les
équations d'Euler. Dans la dynamique des fluides numérique, on emploie les équations
d'Euler lorsqu'on est loin du corps et équations tenant compte de la couche limite lorsqu'on
est à proximité du corps.
La notion de viscosité a trait à la résistance plus ou moins grande qu'oppose
tout fluide à sa mise en mouvement. Considérons l'expérience suivante :
Soit un fluide visqueux disposé entre deux plans parallèles séparés par une distance h.
La paroi inférieure est fixe. La paroi supérieure est mobile et a une vitesse U. On met le
fluide en mouvement grâce au déplacement du plan mobile (fig. II.1.4).
Pour certains fluides, l'expérience montre que le profil de vitesse entre les deux parois
est linéaire. On constate de plus qu'on détermine la force F à exercer sur la paroi
supérieure d'aire A grâce à l 'équation suivante :
��
= ��~ �� (II.1.16)
��
Où τ est la contrainte tangentielle.

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Figure. II.1.4 :Fluide en écoulement uniforme entre deux plaque plane.
Puisque le profil de vitesse u(y) est linéaire, on peut écrire :
��
��~ �� (II.1.17)
La constante de proportionnalité est le coefficient de viscosité dynamique du fluide. On a
alors :
��
�� = �� (II.1.18)
Le coefficient de viscosité dynamique �� a pour unités [��−1 �� −1 ] .Dans le système
international (SI), on emploie les kilogrammes par mètre-seconde [kg/ (m.s)].
On utilise également le coefficient de viscosité cinématique :
��
�� = �� (II.1.19)
Dont l'équation aux dimensions est [L²] [T-'], soit des mètres carrés par seconde (m²/s) dans
le SI.
Les fluides pour lesquels la contrainte de cisaillement �� est directement
��
proportionnelle au taux de déformation ( ��) s'appellent des fluides newtoniens.
Quand la contrainte de cisaillement n'est pas directement proportionnelle au taux de
déformation, on parle de fluides non newtoniens (fig. II.1.5a). Les fluides les plus
communs, comme l'eau, l'essence et l'air, font partie des fluides newtoniens.

Figure II.1.5a) Effort tangentiel en fonction du taux de déformation; b) viscosité apparente
en fonction du taux de déformation.

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Dans un écoulement unidimensionnel, l'équation de la contrainte de cisaillement est la
suivante :
��
�� = �� (II.1.20)
où n représente l'indice de comportement de l'écoulement et k, l'indice de consistance.
Pour les fluides newtoniens, n = 1 et k = µ. On peut écrire l'équation (II.1.20) comme suit :
�� −1
�� = ��
�� = ��
��
�� (II.1.21)
Avec ��, la viscosité apparente.
Le fait que la viscosité apparente soit fonction du temps rend l'étude des fluides non
newtoniens très complexe �� = ��(��)
Pour certains fluides, la viscosité apparente diminue avec l'augmentation du
taux de déformation ( �� < 1). Il s'agit de fluides pseudo-plastiques. La plupart des
fluides non newtoniens entrent dans cette catégorie, par exemple :
 les solutions de polymères;
 les solutions colloïdales (gélatine);
 la pâte à papier dans l'eau.
Si la viscosité apparente croît avec l'augmentation du taux de déformation (�� > 1), on a
affaire à des fluides dilatants (fig. II.1.5b). Mentionnons les suspensions avec du sable,
le dentifrice, la boue de forage, etc., le plastique idéal ou le plastique de Bingham.
On observe dans les fluides réels des tensions tangentielles entre les filets. Ces
tensions dépendent de la vitesse à laquelle se produit la déformation d'une particule
fluide. Elles sont également proportionnelles aux gradients de vitesse dans un fluide, le
coefficient de proportionnalité étant le coefficient de viscosité.
Il apparaît dans les fluides un mouvement turbulent dont la vitesse varie, à
chaque point, en grandeur et en direction sans aucune régularité, avec une fréquence
parfois très grande. Les mouvements turbulents ne mettent cependant en cause aucune
propriété intrinsèque des fluides autre que la viscosité, mais le mouvement d'agitation
des particules du fluide qui se superpose au mouvement moyen donne naissance à une
dissipation d'énergie par frottement visqueux.

II.1.3.2. Facteurs influant sur l'écoulement des fluides dans les conduites [80] :
Les principaux facteurs influant sur l'écoulement des fluides dans une conduite sont les
suivants :
*Vitesse du fluide : elle dépend de la charge qui force le fluide à traverser la conduite.
Plus la charge est élevée, plus le débit de fluide est important (les autres facteurs restants
constants) et, par conséquent, plus le volume d'écoulement est important.
Le diamètre de la conduite influe également sur le débit. Si l'on double le diamètre de la
conduite, le débit potentiel augmentera selon un coefficient quatre.
*Frottement de la conduite : il réduit le débit du fluide dans les tuyaux et la vitesse du
fluide est plus lente près des parois de la conduite qu'au centre. Il est donc considéré
comme un facteur négatif. Plus la conduite est lisse, propre et de grand diamètre, et moins
le frottement de la conduite a d'effet sur le débit général du fluide.
*Viscosité dynamique du fluide : elle réduit, tout comme le frottement, le débit du fluide
près des parois de la conduite. Elle augmente ou diminue en fonction des variations de
température.
* Masse volumique du fluide : elle influe également sur le débit, car un fluide plus dense
exige une charge supérieure pour maintenir le débit souhaité. Le fait que les gaz soient
compressibles exige souvent l'utilisation de méthodes différentes pour mesurer des débits
de liquides, de gaz ou de liquides contenant des gaz.

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II.1.3.3.Écoulement à l’Entrée de conduits [81] :
L’écoulement à l’entrée de conduit est montré à la figure II.1.6. Nous pouvons
constater que l’écoulement est en développement près de la paroi due aux effets de
cisaillement et l’accélération du fluide dans la région loin de la paroi. En conséquence le
gradient de la distribution de pression dans la région de l’entrée est plus grand par rapport à
celui de l’écoulement développé.
Pour l’écoulement laminaire la longueur de la région d’entrée est donnée par :
��
≅ 0,06 �� (II.1.22)
��
Et pour l’écoulement turbulent :
��
≅ 4,4 �� 6
1
(II.1.23)
��

Où �� est la longueur de la région d’entrée.

Figure. II.1.6.La région d’entrée de conduits.
2.1.3.4. Taux de Cisaillement pour Écoulement laminaire ou Turbulent [82]
Pour un écoulement dans un conduit, en utilisant la quantité de mouvement et la
défintion du coefficient de friction, nous pouvons déduire la relation entre le taux de
cisaillement �� et le coefficient de friction �� comme suivant :
4��
�� = 1 (II.1.24)
�� ²
2
Note : cette relation aussi est valable pour l’écoulement laminaire ou turbulent, mais le
coefficient de friction doit être déterminé selon le régime de l’écoulement.

II.1.3.5. La vitesse d’écoulement dans les conduites [83]:
a. Profils des vitesses dans les tuyaux
Dans un écoulement laminaire complètement développé, le profil des vitesses vérifie
la loi de Poiseuille :
1 ∆�� 2 �� ²
�� = 4�� 2 1 − ��2 ou : = 1 − ��² (II.1.25)
��

La vitesse �� est maximale au centre et nulle sur la paroi ; et on suppose que :
�� = ��
��

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Dans un écoulement turbulent stationnaire, le profil des vitesses peut être représenté
par la formule empirique :
�� 1 ��
= 1 − �� (II.1.26)
��
Où l’exposant (1 ��) est fonction du nombre de Reynolds que l’on a déjà défini plus haut.
Cette formule empirique est appelée « loi puissance ». On peut préciser quelques valeurs
de l’exposant ��:
�� = 4 × 103 ; �� = 6
5
�� = 1,1 × 10 ; �� = 7
�� = 3,2 × 106 ; �� = 10

Le rapport entre la vitesse moyenne et la vitesse au centre du tube est donné par :
�� ²
= (II.1.27)
�� +�� (��+��)

1
Et on a aussi �� = , où �� est le coefficient de friction.
��
Dans la figure II.1.7. On a représenté différents profils de vitesses pour l’écoulement
laminaire et un écoulement turbulent dont le nombre de Reynolds est de 4000.

Figure. II.1.7.Profil de vitesse pour un nombre de Reynolds égal à 4000
b. Distribution universelle des vitesses moyennes en conduites cylindriques
lisses [84] :
La distribution des vitesses est repartie en trois zones :
Une zone laminaire : Au voisinage de la paroi où le transfert de quantité de mouvement
est dû à la nature visqueuse du fluide.
Un noyau turbulent : Au centre de la conduite où le transfert de quantité de mouvement
se fait par dégradation d'énergie cinétique locale.
Une zone intermédiaire : Où le transfert de quantité de mouvement est dû aux deux
causes :
1-Introduisons les grandeurs :
�� ∗ ��
��+ = �� ∗ et �� + = avec : ��∗ =
��
�� : est la distance à la paroi.
��
�� = �� : Est la viscosité cinématique.
�� : est la contrainte de frottement au voisinage de la paroi.

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2-La distribution de vitesse pour un écoulement turbulent d'un fluide incompressible
dans une conduite cylindrique lisse est donnée par les relations :
��+ = �� + Pour 0 < �� + < 5
+ +
�� = 5 ln �� + 3,05 Pour 5 < �� + < 30
��+ = 2,5 ln �� + + 5,5 Pour �� + > 30
Cette distribution a été proposée à l'origine par Von Karman et Prandtl et elle a été mesurée
expérimentalement par Nikuradse.

c. Approximation du profil de vitesse turbulent en conduite cylindrique[85] :
La figure. II.1.8 montre l'allure classique du profil de vitesse turbulent dans une
conduite circulaire. Il peut être commode de disposer d'une expression approchée unique
pour représenter ce profil de vitesse dans une conduite de rayon R. L'expression:

��
= (II.1.28)
��
Où �� désigne toujours la distance a la paroi est une bonne approximation.
Pour plus de précision, on peut également raccorder plusieurs lois de variation:
Dans la sous-couche visqueuse d'abord ou l'on sait que ��+ = ��+ puis dans la zone Log ou
l'on a déjà donnée une expression et enfin dans le cœur ou la loi en �� est valable.
La figure II.1.9 illustre cette description composite du profil de vitesse.

Figure. II.1.8.Profil de vitesse en écoulement turbulent en conduite cylindrique.

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Figure. II.1.9. Profil de vitesse composite en conduite cylindrique avec paroi lisse pour :
Re = 16000.

II.2. Modélisation de la turbulence [86]
II.2.1. Introduction:
La solution des équations exactes de Navier-Stokes permet l'étude des écoulements
laminaires caractérisés par un certain ordre à l'échelle moléculaire, ainsi que les
écoulements turbulents qui sont caractérisés par un désordre absolu à l’échelle macro et
micro moléculaire. Le développement des méthodes numériques modernes pour le
traitement des équations différentielles et leur implémentation sur des calculateurs
électroniques permettent l'étude des deux types d'écoulements. Les détails importants de la
turbulence sont caractérisés par des échelles très petites. La solution numérique des
équations de Navier-Stokes pour les écoulements turbulents nécessitent donc des machines
très puissantes avec des capacités de stockage considérable. Launder, & Spalding(1972)
estiment que l'étude d'un écoulement simple à 2 dimensions nécessite un million de nœuds
de résolution. Une capacité qui dépasse la majorité des ordinateurs actuels. Une alternative,
est de résoudre des équations obtenues en faisant des moyennes statistiques (approche de
Reynolds). Cette méthode va générer de nouveaux termes dans les équations qui peuvent
formé des corrélations. Afin de fermer le système d'équations des modèles mathématiques
pour exprimer les corrélations sont proposé. Les modèles doivent être basés sur les
observations expérimentales et doivent décrire les phénomènes physiques.
Dans cette partie, nous allons examiner les modèles mathématiques présentés dans
la littérature et qui ont servi comme outil d'étude des écoulements turbulents pratiques. le
lecteur peut trouver des présentations exhaustives sur les modèles de turbulence dans
Launder et Spalding (1972),Rodi (1980),Markatos(1986) et plus récemment dans
Martinuzzi(1989).

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II.2.2.Equations de base pour un écoulement turbulent:
Les équations régissant les écoulements de fluides Newtoniens, ont été présentés a
la partie précédente .Ces équations qui décrivent les principes de conservation de la masse,
de quantité de mouvement, et de l'énergie sont rappelées ici en notation tensorielle pour le
cas d'un écoulement de fluide incompressible.

-Equation de continuité:
��
=0 (II.2.1)
��
-Equations de Navier-Stokes:
�� 1 �� ²��
+ �� = − �� + �� + �� (II.2.2)
��

-Equation de l'énergie (scalaire : température ou concentration):
�� ²��
+ �� = ��. �� ² + �� (II.2.3)
��
Avec :
�� : représente la vitèsse instantanée dans la direction x .
�� : Est la préssion stastique.
��: Représente une quantité scalaire ou extensive (eg: température T)
S�� : Terme de source provenant par éxample de la génération de la chaleur par
réaction chimique.
�� et λ représentent respectivement la viscosité cinématique et la diffusivité
(moléculaires) du scalaire.
Les équations (II.2.1),( II.2.2) et (II.2.3) avec l'équation d'état qui fait l'accouplement
entre la pression ‘p’, la masse volumique �� , et la température T : �� = �� forme un
système d'équations exactes .
Comme nous l'avons vu, ces équations peuvent être résolues dans le cas des
écoulements laminaires et des solutions exactes peuvent être obtenues
À ce stade, il n'est pas possible de résoudre ces équations pour le cas des
écoulements turbulents qui présentent plus d'intérêt pratique que les écoulements
laminaires. L'approche statistique de Reynolds pour les écoulements turbulents, spécifie
que tout paramètre instantané, �� , de l'écoulement peut être décompose en une valeur
moyenne dans le temps, ��, et une valeur fluctuante aléatoire �� ,soit :
�� = �� + ��(��) (II.2.4)

ou la valeur moyenne dans le temps, �� , est définie par :
1 ��0+��
�� = �� 0 �� (II.2.5)
��: est un intervalle de temps assez long en comparaison avec le temps caractéristique de
la turbulence.
L’introduction de l'équation (II.2.4) dans (II.2.1), (II.2.2), et (II.2.3) en faisant la moyenne
selon (II.2.5) permet d'écrire le système d'équation suivant pour un écoulement turbulent:
-Equation de continuité:
��
=0 (II.2.6)
��
-Equation de quantités de mouvement :
�� 1 ��
��
+ �� = − ��
+ �� − �� + ��
(II.2.7)
��

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-Equation d'énergie (scalaire : température ou concentration):
��
+ �� = �� − �� + �� (II.2.8)
��
Les équations (II.2.6) à (II.2.8) représentent un système d'équations pour la description des
écoulements turbulents.

II.2.3. Position du problème de la modélisation :
Les équations (II.2.6) à (II.2.8) sont les équations de base pour la description des
variations dans les écoulements turbulents. Elles sont exactes du moment qu'aucune
supposition n'a était faite pour leur dérivation. Cependant, elles ne forment plus un système
d'équations fermé du à l'apparition des termes de corrélations entre les fluctuations des
vitesses dans les différentes directions (ρ�� ), et entre les fluctuations des vitesses et des
paramètres scalaire (-ρ �� ).
Physiquement, ces corrélations représentent le transport des quantités de
mouvement de chaleur et de masse du au mouvement de fluctuation turbulent. Le terme (-
ρ�� ) représente le transport de la quantité de mouvement �� dans la direction �� ; son
action est considérée comme une contrainte superficièlle (normale ou tangentièlle) sur le
fluide. Elles sont dites les contraintes de turbulence ou de Reynolds. Le terme (-ρ �� ),
représente le transport de la quantité scalaire, dans la direction �� . Donc c'est le flux de la
chaleur ou de masse dans la direction �� .
Les équations (II.2.6) à (II.2.8) peuvent être résolues dans le cas des écoulements
turbulents si on arrive à déterminer des expressions ou des représentations mathématiques
à ces nouveaux termes (corrélations de turbulence, (ρ�� ) et(ρ �� )). Au fait, c'est ça le
problème de la modélisation mathématique de la turbulence. il est toujours possible
d'obtenir des équations exactes pour ces corrélations turbulentes ; mais ces équations vont
contenir d'autres corrélations d'ordre plus élevés. Donc, un problème de fermeture des
équations se pose. Un modèle de turbulence doit être introduit pour exprimer les
corrélations en fonction de corrélation d'ordre inferieur ou des quantités moyenne de
l’écoulement.
��
Dans certains écoulements turbulents ou les termes indiquant l'inertie ( �� )dans
��
les équations de quantité de mouvement (II.2.7) sont équilibrés principalement par le
gradient de pression et / ou le terme de gravitation de la pesanteur (�� ), les termes de
transport turbulent sont négligeables. Dans ce cas des simulations de la turbulence ne sont
pas nécessaires et des calculs de l'écoulement potentiel sont suffisants. Cependant, dans la
plupart des écoulements turbulents, les termes de transport turbulent jouent un rôle
dominant dans l'équilibre de quantité de mouvement. Donc leur représentation correcte est
indispensable pour la solution des équations pour un écoulement turbulent.

II.2.4. Equations du transport des contraintes de Reynolds :
L’équation exacte du transport des contraintes de Reynolds (-ρ�� ) est obtenue à
partir des équations complètes de Navier-Stokes.
D'après Hinze (1975), cette équation s'écrit:

�� 1 ��
�� + �� = − �� − �� + + �� −
��
��
�� − β ��i �� + �� + �� + �� − 2�� . (II.2.9)
��

36


On note :
��
�� = �� C’est le transport convectif.
��
��
�� = �� k − �� Production par déformation
��
�� = β ��i �� + �� Production gravitationnelle.
�� 1 ��
�� = �� − + Transport diffusif.
��
��
�� = �� + �� Effet de pression.
��
��
�� = 2�� . �� Dissipation visqueuse.
��
Les termes de l'équation (II.2.9) sont décrits comme suit :
�� : est le terme de transport convective du à l'écoulement moyen.
�� : est le taux de production ou de génération de (-ρ�� ) du à l'interaction directe
avec les déformations moyennes de l’écoulement.
�� : Represente la production du à l'éffet des forces de volumes (champs de force de
gravité par exemple).
�� : est le taux de diffusion du aux fluctuations de la vitesse, de la pression et au
transport moléculaire.
�� : Represente le terme de redistribution de (-ρ�� ) du à la pression.
�� : est le terme de dissipation visqueuse du aux forces de viscosité agissant sur le
mouvement turbulent au niveau de l'échelle de Kolmogorov.

La contraction de l'équation (II.2.9) permet d'obtenir six équations pour les
différentes composantes du tenseur des contraintes de Reynolds. Cette équation représente
la base des modèles mathématiques pour la représentation de la turbulence. elle permet
même d'obtenir une équation pour le transport de l'énergie cinétique,��, et son taux de
dissipation ,ε, dans l'écoulement .

II.2.5. Equation de l'énergie cinétique :
Des équations pour les contraintes normales de Reynolds peuvent être obtenues à
partir de l'équation (II.2.9) en posant (�� = �� = 1,2,3).
La somme des trois équations obtenues permet d'obtenir une équation pour l'énergie
cinétique, définie par :
1
�� = 2 �� ² (II.2.10)
L'équation s'écrit d'après Hinze (1975) :
��
+ �� = �� + �� − �� − �� − �� . �� (II.2.11)
�� 2 ��
On note que chaque terme a une signification physique :
��
: Taux de change
��
��
�� : Transport convectif
��
��
�� + �� : Transport diffusif
�� 2
��
�� : Production par déformation ��
��
�� : Production ou destruction due au champ de gravité
��
�� . �� : Dissipation visqueuse
��

37


Le taux de variation de l'énergie cinétique est balancé par le transport convectif du à
l'écoulement moyen, le transport diffusif du aux fluctuations des vitesses et de la pression.
La production de l'énergie de turbulence,��, se fait par l'interaction des contraintes de
Reynolds (-ρ�� ) et les gradients des vitesses moyennes et la dissipation de �� par l'action
de la viscosité moléculaire a l'échelle de Kolmogorov .
Dans les écoulements en présence de champs de forces, un terme de production ou
de destruction s'ajoute. Le terme de production P représente le transfert de l'énergie
cinétique de l'écoulement moyen vers le mouvement fluctuant.

II.2.6. Concept de Boussinesq de la turbulence [87]:
Bousines (1877) a proposé une représentation mathématique des contraintes de
Reynolds (-ρ �� ) par analogie aux contraintes visqueuses laminaires, les contraintes
turbulentes sont supposées proportionnelles aux gradients des vitesses moyennes de
l'écoulement:
�� 2
−�� = �� + �� − 3 �� (II.2.12)
��
Où :
�� : est la viscosité turbulente qui n'est pas une propriété du fluide comme la viscosité
cinématique (laminaire)�� . Mais elle dépend de l'écoulement et de l'état de la turbulence.
�� : est le delta de kronecker défini par :
�� = 1 Pour �� = ��
�� = 0 Pour �� ≠ ��
Pour �� = �� , l'équation (II.2.9) permet d'écrire :
��
��² = −2��
��
��² = −2�� (II.2.13)
��
��² = −2��
�� : étant l'énergie cinétique égale à
1 1
�� = 2 �� ² = 2 [��2 + �� 2 + ��²] (II.2.14)
L'équation (II.2.9) ne représente pas un modèle mathématique puisque de nouveaux
termes sont apparus ( �� , �� ) qui nécéssitent des équations pour leur description. Elle
constitue toute fois la base de modèles mathématiques de turbulence trés populaires.

II.2.7. Concept de diffusivité turbulente :
Par analogie, au transport des quantités de mouvement, le transport de quantité de
chaleur ou de masse est proportionnel au gradient de la quantité transportée :
��
−�� = Г�� (II.2.15)
Où Г�� peut être le coefficient de diffusivité matérielle dans le cas du transport de la
masse ou celui de la conductivité thermique dans le cas du transport de la chaleur.
Ce paramètre n'est pas une propriété du fluide ; il dépend principalement de la nature
de l'écoulement turbulent, et des flux de masse ou de chaleur transportés.
L'analogie de Reynolds entre le transport de quantité de mouvement et de chaleur ou de
masse s'exprime par la relation :
��
Г�� = ℑ�� (II.2.16)
��
ℑ�� : est le nombre de turbulence de Prandtl (transfert de chaleur)
ℑ�� : est le nombre de turbulence de Smidt (transport de masse)

38


L'équation (II.2.15) décrit le transport des quantités scalaires ou extensives dans un
écoulement turbulent. C’est une représentation des équations de Fick et de Fourier.

II.2.8. Classification des modèles de turbulence [88]:
Un modèle de la turbulence est une représentation mathématique de la corrélation
(ρ �� ) responsable du transport turbulent dans l’écoulement. Généralement, des
expressions algébriques ou bien des équations différentielles sont utilisées pour fermer le
système des équations de Navier-Stokes et constituent le modèle mathématique de la
turbulence.
Le modèle mathématique doit avoir les caractéristiques suivantes :
* Basé sur des concept de base (eg : concept de Boussinesq ).
* Représentant le phénomène de la turbulence.
* Mathématiquement simple.
* Numériquement stable.
* Domaine d'application vaste.
Pour représenter le transport de la turbulence, plusieurs modèles utilisant différentes
équations pour les paramètres caractérisant l'écoulement turbulent ont été proposés. Les
équations proposées contiennent des termes qui représentent :
 Le transport convectif de la turbulence par l'écoulement moyen à l'échelle de la
micro turbulence ;
 Le transport diffusif par l'écoulement de fluctuations turbulentes à l'échelle de la
micro turbulence.
L'utilisation des équations exactes de transport de la turbulence pour les différents
paramètres de l'écoulement assure que tous les phénomènes associés à la turbulence sont
représentés dans les équations du modèle. Donc plus de réalisme peut être assuré avec ces
équations mais a l'encontre d'une complexité mathématique augmentée.
On distingue deux grandes catégories de modélisation :
 Modèle du premier ordre (modèles à viscosité turbulente) basé sur l’hypothèse de
Boussinesq qui consiste à modéliser directement les tensions de Reynolds a l’aide
de la viscosité turbulente �� . Relativement facile a utiliser mais la qualité de
modélisation de �� , influe directement sur la qualité de l’écoulement moyen.
 Modèle du second ordre : Les tensions de Reynolds sont calculées directement, la
modélisation se porte alors sur des moments d’ordre supérieur. La mise en œuvre
est plus délicate mais les résultats sont de meilleures qualités.

Nous allons adopter dans ce qui suit une classification des modèles de turbulence sur
la base du nombre des équations différentielles de transport de la turbulence utilisées. Une
revue très exhaustive sur les modèles de turbulence à été faite par Launder et Spalding
(1970), Rodi (1980) et Markatos (1985).

II.2.9. Modèle de turbulence à zéro-équation :
Les modèles de cette catégorie utilisent le concept de la viscosité turbulente de
Bousinesq qui s'écrit pour un écoulement cisaillé :
��
−�� = �� (II.2.17)

�� : est la viscosité de turbulence

39


Prandtl (1925) a proposé le premier modèle de turbulence dit modèle de longueur du
mélange de Prandtl. En analogie avec la théorie de la cinétique des gaz, Prandtl suppose
que la viscosité turbulente est proportionnelle à une vitesse caractéristique �� , et une
longueur caractéristique ℓ �� , soit :
�� ∝ �� . ℓ �� (II.2.18)
Où : �� Est une vitesse moyenne de fluctuation; caractéristique de la turbulence.
ℓ �� : Longueur du parcourt du mélange turbulent.
Tel que :
��
�� = ℓ �� . �� (II.2.19)
Avec ses relations, la viscosité turbulente peut être exprimée (en supposant la constante de
proportionnalité comme étant l’unité) par :
��
�� = ℓ �� ². �� (II.2.20)
La relation (II.2.20) est l'hypothèse de la longueur du mélange de Prandtl. Elle
exprime la viscosité turbulente,�� , en fonction du gradient local de la vitésse moyenne
��
,. Elle introduit de même une nouvelle inconnue ℓ �� .
��
La longueur du mélange, ℓ �� , varie dans les différentes régions de l'écoulement . Elle
est prescrite d'après les résultats expérimentaux :
 dans les régions d'écoulement à Reynolds important :
ℓ �� = К. �� (II.2.21)
Avec К = 0,41 : est la constante de Von-karman ;
�� : est la distance par rapport à la paroi solide

 Dans les couches limites :

ℓ �� = ��(К��, �� ) (II.2.22)
�� :Epaisseur de la couche limite.

 Dans les écoulements établis dans les conduites et les canaux :
La distribution de ℓ �� est bien décrire par la formule de Nikuradse :
ℓ �� 2 �� 4
= 0,14 − 0,08 1 − �� − 0,06 1 − �� (II.2.23)
��

Où R est le rayon de la conduite ou la demi-largeur du canal.
Von-karman a proposé une relation entre ℓ �� et les gradients de vitésse :
��
��
ℓ �� = �� ²�� (II.2.24)
�� ²
Cette formule est en accord avec l'expérience dans les régions d'écoulement prés des parois
solides, mais pour des profites de vitesses présentant des points d'inflexion (jet ou sillage),
produisent des valeurs de ℓ �� infini.

40


 Dans la région proche à la paroi solide, caractérisée par un nombre de Reynolds
faible, Van-Driest a proposé la formule suivante :
��
ℓ �� = �� 1 − �� ∗
(II.2.25)
�� ∗
��

�� ∗ = �� : est la contrainte de frotement à la paroi ;
��∗= 26 : est une constante.
Le modèle de la longueur du mélange (ou a zéro-équation) a été utilisé pour le calcul
des écoulements turbulents simples avec et sans transfert de chaleur et de masse.
Dans le cas des écoulements avec transfert de chaleur et de masse, on détermine le
coefficient de diffusivité turbulente à partir de la viscosité turbulente en utilisant l'équation
(II.2.16). Le nombre de Prandtl/ Smith, est une constante pour un écoulement donné :
ℑ�� = 0.9: ecoulement à proximité de paroie solide.
ℑ�� = 0.5 : jets plans.
ℑ�� = 0.7 : jets circulaire.
Le modèle de la longueur de mélange de Prandtl est très populaire. Il a été utilisé
largement pour étudier les écoulements cisaillés simple (écoulement en couche limite) où
la distribution de la longueur du mélange turbulent,ℓ �� , peut être obtenu empiriquement . Il
est basé sur des concepts simples. Il est économique du point de vue calcul numérique.
Toute fois le modèle à zéro-équation présente les inconvénients cités ci-dessous:
* Le modèle n'est pas fiable pour les écoulements où les procès de transport convectif et
diffusif sont importants comme le cas des écoulements :
-En développement rapide
-Avec des zones de recirculation.
* Le modèle ne peut pas être utilisé dans les écoulements complexes où la distribution
de lm est difficile à obtenir (eg : écoulement tridimensionnel dans une turbine).
* Le modèle est basé sur les concepts obtenus de l’empirisme.

II.2.10. Modèle de turbulence a une équation :
La viscosité turbulente, �� , est exprimée en fonction d'une vitesse et d'une longueur
caractéristiques de la turbulence L :
�� = �� . �� (II.2.26)

Les vitesses de fluctuations sont caractérisées par une échelle caractéristique �� = ��

Où �� représente l'énergie cinetique de la turbulence définie par la relation (II.2.14).
Comme l'énergie cinétique turbulente, ��, est associée principalement aux fluctuations
des agrégats présents à l'échelle de la macro-turbulence, où l'énergie se produit , le terme
�� est considéré comme une échelle de vitesse caractéristique de la macro-turbulence.
Dans ce cas la relation (II.2.26) s'écrit donc :
�� = �� . ��. �� (II.2.27)
�� : est une constante empirique.
L'expression (II.2.27) est dite formule de Kolmogorov-Prandtl.
L'énergie cinétique de turbulence, ��, peut etre obtenue après résolution de l'équation
(II.2.11) de transport de l'énergie �� . En pratique, cette équation ne peut etre résolue pour
les paramètres de l’écoulement, car des nouvelles inconnues apparaissent dans les termes
de diffusion et de dissipation.

41


Afin de fermer le système d'équations on doit poser des suppositions pour exprimer
ces termes en fonction des paramètres moyens de l’écoulement. Par analogie à l'expression
de la diffusion turbulente (II.2.15) ,

le flux de diffusion de �� est exprimé par :
��
�� + �� = ℑ �� . �� (II.2.28)
2 ��

ℑ�� : est une constante empérique de diffusion.
La dissipation �� est exprimée par :
�� 3 2
�� = �� . (II.2.29)
��

Où CD : constante empirique

Ainsi une équation modelée de l'énergie cinétique de turbulence,��, est obtenue :
�� 3 2
+ �� = �� . �� − �� + �� ℑ �� . �� − �� . (II.2.30)
�� ℑ��

Les constantes empiriques qui apparaissent dans l'équation sont :
ℑ�� ≈ 1 et �� . ��0 = 0,8
Les équations (II.2.27) et (II.2.30) représentant les modèles à une équation
introduisent comme inconnue, l'échelle de longueur L qui doit être spécifiée afin de fermer
le système d'équations et compléter le modèle. D’une façon générale, on fait appel à des
relations empiriques similaire à celles donnant la distribution de ℓ �� . Il est à noter ici que
les relations proposées dans la littérature pour la distribution de L varient d'un écoulement
à un autre.

II.2.11. Modèles de turbulence à deux –équations :
Les modèles de turbulence à zéro et à une équation, nécessitent la prescription
algébrique de la longueur caractéristique, L, ou la longueur du mélange turbulent, ℓ �� , dans
l'écoulement . Ceci rend leur utilisation restreinte à des écoulements de géométrie simple et
bien documentés.
La pratique de spécifier la distribution des longueurs, L, caractéristiques dans les
écoulements turbulents n'est pas très commode pour les raisons suivantes :
* L est une fraction de la largeur de l'écoulement (cas des jets et des sillages). Cette
fraction diffère d'un cas à un autre.
* la présence de courbure dans la géométrie de l’écoulement, et de champs de forces
influentes sur la distribution de L.
* le transport convectif influe sur la distribution de L dans les écoulements présentant
des zones de circulations.
Donc une autre approche, évitant l'utilisation de l'échelle de longueur L , doit être
utilisée. L’équation de l'énergie cinétique �� (II.2.30) est retenu pour construire le modèle
du moment qu'elle contient peu d’empirisme.
Une deuxième équation de toute variable indépendante de la forme �� = �� . �� peut servir
le tableau (II.2.1) donne quelques propositions de la variable z avec leur signification
physique.

42


Tableau II.2.1 – proposition de la variable �� = ��. ��
Variable Z Signification physique auteurs
��. �� Rodi et Spalding(1970)
Rotta(1968)
1 Fréquence de turbulence f Kolmogorov(1942)
�� 2
��
�� Vorticité turbulente ω Spalding(1968) Saffman et
��² Wilcox(1976)et(1980)
�� 3 2 Taux de dissipation de Davodov(1961)Jones et
�� l’énergie de turbulence ε Launder (1972)
Il faut noter qu’une équation exacte peut être dérivée pour la variable �� à partir des
équations de Navier-Stokes.
La variable la plus utilisée dans la littérature est le taux de dissipation de l'énergie
�� 3 2
cinétique de turbulence, �� = , dont l'équation de transport s'écrit :
��
�� ²
+ �� = �� . + ��1 �� − ��2 �� (II.2.31)
�� ℑ��
Noter que chaque terme a une signification physique :
��
: Taux de change
��
��
�� : Convection
��
��
. : Diffusion
�� ℑ��
��
��1 �� : Génération
��²
−��2 �� : Destruction
Le modèle à deux-équations obtenu est dit le modèle k-ε. La viscosité turbulente est
exprimée en fonction de �� et de �� telle que :
��²
�� = �� . �� (II.2.32)
Sans les forces de volumes, l'énergie cinétique de turbulence, ��, est donnée par son
équation de transport qui s'écrit sous forme :
��
= �� . + �� − �� (II.2.33)
�� ℑ��
Le taux de sa dissipation, ��, est obtenue a partir de son équation de transport :
�� ²
= �� . + ��1 �� − ��2 �� (II.2.34)
�� ℑ��
Où �� : représente la production de l'énergie cinétique par l'écoulement moyen ; elle est
définie par :
��
�� = −�� . �� (II.2.35)
��
Les constantes empiriques du modèle k-ε sont montrées dans le tableau II.2.2 :

Tableau II.2.2- constantes du modèle k-ε
�� 1 ��2 ℑ�� ℑ��
0 ,09 1,44 1,92 1 1,3
Pour le calcul des écoulements avec transfert de masse ou de chaleur l'équation
��
(2.2.15) est utilisée : −�� = Г �� = ℑ�� . ��
��
ℑ�� :Est le nombre de Prandtl/ Smith pour la turbulence.

43


Le modèle de turbulence à deux équations �� − �� à été appliqué avec succès pour la
simulation d'une variété d'écoulements turbulents (couches limites, écoulement dans des
conduits circulaires, écoulements cisaillés libres, jets, sillages, écoulements avec des zones
de recirculation etc. .....). Ce modèle est considérer à l'heure actuelle comme le modèle le
plus populaire et le plus fiable parmi les modèles de turbulence; il combine la simplicité de
la formulation mathématique, le réalisme des phénomènes de transport turbulent et
l'économie en termes de calcul numérique.

II.2.12- Modèles de turbulence du transport des tensions de Reynolds(RSM):
Les modèles décrits ci-dessus sont basés sur le concept de Boussinesq de la viscosité
turbulente. Ce concept suppose que la turbulence est localement isotropique : c'est à dire
que la turbulence en un point de l'écoulement est caractérisée par une seule échelle de
vitesse �� . Dans des situations d'écoulements industriels présentant des zones de
recirculation, et dans des géométries courbées (coudes de conduites, aube de turbines etc.
.....) À cette supposition n'est pas vrai et ces modèles ne sont plus fiables. Ceci a motivé le
développement de nouveaux modèles mathématiques ou la turbulence est représentée par
les équations exactes de transport des contraintes (ou tentions) de Reynolds (-ρ�� ).
L'équation exacte donnant les tensions de Reynolds (II.2.9) peut être exprimée
symboliquement par :
��
+ �� = �� + �� + �� − �� (�� ) − �� (II.2.36)
��
Les différents termes de l'équation (2.2.36) ont été expliqués ci-dessus.
Les termes de la diffusion, �� , le terme de préssion , �� , et de dissipation , �� ,
contiennent des correlations qui doivent etre modélées pour fermer le système d'équations .
Le terme de dissipation est exprimée par :
2
�� = 3 �� . �� (II.2.37)
Où �� : est le taux totale de dssipation de l'énergie décrit par l'équation (2.2.34).
Le terme de pression �� , s’écrit :
�� = �� ,1 + �� ,2 + �� ,3 (II.2.38)
Avec :
�� ,1 : représente la contribution des fluctuations de pression ;
�� ,2 : représente l'effet de l'interaction avec les fluctuations des vitesses ;
�� ,3 : représente la construction des forces de volume a la pression.
Dont les expressions sont les suivants :
�� 2
�� ,1 = −��1 �� (�� − 3 �� . ��) (II.2.39)
��2 +8 2 30��2 −2 �� 8��2 −2 2
�� ,2 = − �� − 3 �� . �� − + �� − (�� − 3 �� . �� )
11 55 �� 11
2
�� ,2 = −��(�� − �� . �� ) (II.2.40)
3
Avec :
��
�� = − �� . �� + �� . �� (II.2.41)
��
�� : représente la production des tentions turbulentes (-ρ�� )
�� : est la production de l'énergie cinétique de turbulence , �� .
Le terme représentant l'effet des forces de volumes donné par :
2
�� ,3 = −��3 (�� − 3 �� . �� ) (II.2.42)
Où �� et �� sont respectivement la génération des tentions (-ρ�� ) et de l’énergie, ��,
causées par l'effet des forces de volume sur l'élément fluide .

44


Les termes de la diffusion sont :
��
�� = ��Г . �� . ( �� . �� . ) (II.2.43)
��
��
�� = �� . �� . ( �� . �� . �� ) (II.2.44)
��
L'équation (II.2.36) du transport des tensions de Reynolds (-ρ�� ) constitue avec les
équations (II.2.33) et (II.2.34) un modèle complet de la turbulence. C’est le modèle
complet du transport des contraintes de Reynolds. Ce modèle a l'avantage d'être exacte
donc le plus précis parmi les modèles de turbulence, du moment que chaque contrainte de
Reynolds est représentée par sa propre équation de transport. En théorie, les modèles de
turbulence aux tensions de Reynolds peuvent traiter n'importe quel écoulement turbulent.
Ces modèles sont caractérisés par un domaine d'application vaste ; ils ont été utilisés dans
la littérature pour étudier des écoulements complexes tels que les écoulements dans les
chambres de combustion, des écoulements tridimensionnels, de giration et de recirculation.
Launder, Rodi et autres (1989) ont présente l'état d'avancement et d'application de ces
modèles pour la simulation des écoulements turbulents complexes. il a été noté que
l'étendue vaste du domaine mathématique et un cout numérique élevés par rapport aux
modèles à deux équations.

II.2.13- Traitement de la région proche à la paroi solide [89]:
Les modèles de turbulence discutés précédemment forment un système fermé
d'équation pour la description des écoulements turbulents caractérisés par un nombre de
Reynolds élevé; la zone d'écoulement adjacente à une paroi solide est caractérisée par des
forces de viscosité importantes et des échelles de turbulence négligeable, donc d'un nombre
de Reynolds faible. Les modèles de turbulence ne sont plus valides dans cette région
d’écoulement, et ont doit procéder à un traitement spécial de cette région.
Deux différentes approches ont été reportées dans la littérature :
-Méthode des fonctions de la paroi (Launder et Spalding (1974), Chieng
&Launder(1980) et Amano(1984)).
-Modèles de turbulence à faible nombre de Reynolds (Nagano et Hichida (1990) où des
corrections dans les équations pour l'effet de diminution du nombre de Reynolds sont
introduites. des équations sont donc résolues dans toutes les régions de l'écoulement
jusqu'à la paroi, nécessitant des grilles numériques fines pour capter les grandes variations
dans l'écoulement se produisant dans cette région.
Les méthodes des fonctions de la paroi, ont été utilisées largement pour les
simulations des écoulements turbulents avec ou sans transfert de chaleur ou de masse.
Nous illustrons dans ce qui suit la méthode qui est basée sur la loi logarithmique de la
paroi.
La région adjacente à la paroi, est considérée comme une couche unique de
l'écoulement où la répartition de la vitesse obéit à la loi logarithmique :
�� 1 ��
= К ln( �� ) (II.2.45)
��
�� : est la distance à partir de la paroi ;
�� : est la vitésse de frottement à la paroi ;
К : est la constante de Von-karman (К = 0,41);
E : est un coefficient de rugosité (E =9 pour les surfaces lisses).
L'hypothèse de l'équilibre locale est considéré dans cette région ; donc :
�� 3
�� = �� = �� (II.2.46)

45


II.2.14- Conclusion :
Le choix d'un modèle de turbulence pour réaliser des simulations d'un cas
d'écoulement doit se fait dans l'optique des arguments suivants :
- leur capacité prévisionnelle
-le volume des calculs nécessaires
L'appréciation des modèles de turbulence se fait après comparaisons par rapport aux
méthodes expérimentales. D’une façon générale, les modèles simples à zéro-équation basé
sur les expressions algébriques empiriques ont un domaine d'application très limité associé
à un volume de calcul nécessaire faible. Les modèles à deux équations dans les échelles de
vitesse et de longueur des phénomènes fluctuant sont défini par des équations des
transports différentielles, peuvent associer au mieux un domaine d'application étendu et un
volume de la définition de contrainte de Reynolds et de flux thermique ou massique par
des équations de transport, sont supérieurs sur le plan testés (Launder, 1989). D'autres
part, ils nécessitent des calculs d'une ampleur considérable et dans la plus part des cas non-
justifiables.
Le choix entre les différentes modélisations doit s’effectuer en fonction du problème
à traiter.
D’un point de vue de l’ingénieur, il peut être suffisant de connaitre seulement le
mouvement moyen. Il donne accès aux caractéristique importantes des écoulements
(pertes de charge, frottement, coefficient d’échange …..). Les modèles a viscosité
turbulente sont plus stables et couramment utilisés. Il est alors possible de définir les
performances des prototypes d’en déterminer les caractéristiques géométriques, les
matériaux ….
L’utilisation de 0, 1 ou 2 équations de transport dépend de la complexité du problème
à traiter. Le recours à un empirisme élevé implique des connaissances préalable sur
l’écoulement a calculer. Les modèles a 1 ou 2 équations de transport sont plus adaptés aux
géométrie complexe ,3 D et a des nombres de Reynolds plus élevés.
L’introduction d’équations de transport permet de suivre l’évolution de certaines
grandeurs caractéristiques de la turbulence (énergie cinétique ��, dissipation ��). Il est alors
possible d’étudier les vibrations et les instabilités engendrées par le mouvement fluctuant,
la fatigue des structures, le bruit généré…..
Toutefois la connaissance du mouvement turbulent lui-même (champs fluctuants
moyennés) peut s’avérer nécessaire. Dans ce cas l’utilisation de modèles du second ordre
est obligatoire.

46

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