1. LIMIT FUNGSI ALJABAR

2. Limit fungsi aljabar
LIMIT FUNGSI:
Mendekati hampir, sedikit lagi,
atau
harga batas .
Untuk lebih jelas perhatikan
contoh berikut :
Perhatikan fungsi berikut f(x) =
2x + 1, dengan x € R . Kita akan
menentukan f(x) dengan x ber
Hal.: 2 LIMIT FUNGSI Adaptif

3. Limit fungsi aljabar
Limit fungsi:
Suatu limit f(x) dikatakan
mendekati a
{f(x) a} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x a}
Dinotasikan
Lim f(x) = a
x a
Hal.: 3 LIMIT FUNGSI Adaptif

4. Limit fungsi aljabar
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi
(supaya bentuk tak tentu dapat dihindari)
adalah ….
1. Subtitusi langsung.
2. Faktorisasi.
3. Mengalikan dengan bilangan sekawan.
4. Membagi dengan variabel pangkat
tertinggi.
Hal.: 4 LIMIT FUNGSI Adaptif

5. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x a x a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x a x a
= k. A
2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x a x a x a
=A+B
Hal.: 5 LIMIT FUNGSI Adaptif

6. Limit fungsi aljabar
3. Lim {f(x) x g(x)}
x a x a
= Lim f(x) x Lim g(x)
x a x a
=AxB
 f ( x )  Lim
f ( x)
A
4. Lim g ( x)  = x→a
=
x→a   Lim g ( x) B
x→a
Hal.: 6 LIMIT FUNGSI Adaptif

7. Limit fungsi aljabar
5. n
 
Lim [ f ( x)] =  Lim f ( x) = A
n n
x→ a  x→ a 
6.
n n n
Lim f ( x) = Lim f ( x) =
x→ a x→ a
A
Hal.: 7 LIMIT FUNGSI Adaptif

8. Limit fungsi aljabar
Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Hal.: 8 LIMIT FUNGSI Adaptif

9. Limit fungsi aljabar
Pembahasan 1:
Lim 3x = 3(2)
x 2
=6
Pembahasan 2:
Lim 3x = 3 Lim X
x 2 x 2
= 3(2) = 6
Hal.: 9 LIMIT FUNGSI Adaptif

10. Limit fungsi aljabar
Jawab:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x 2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Hal.: 10 LIMIT FUNGSI Adaptif

11. Limit fungsi aljabar
2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x 2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Hal.: 11 LIMIT FUNGSI Adaptif

12. Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4
x 2
=4+4
=8
Hal.: 12 LIMIT FUNGSI Adaptif

13. Limit fungsi aljabar
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Hal.: 13 LIMIT FUNGSI Adaptif

14. Limit fungsi aljabar
Pembahasan 1:
Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
X 3 x 3
Pembahasan 2:
Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
X 3 x 3 x 3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12
Hal.: 14 LIMIT FUNGSI Adaptif

15. LIMIT FUNGSI ALJABAR
0
Limit fungsi bentuk
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)
Maka:
f ( x) ( x − a ).h( x)
Lim
x →a g ( x)
= Lim
x →a ( x − a ).k ( x )
h( x ) h( a )
=Lim k ( x) = k (a)
x →a
Hal.: 15 LIMIT FUNGSI Adaptif

16. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)
Sebagai berikut:
n −1
ax + bx + ... + c
n
Lim px m + qx m−1 + ... + r = R
x→ ~
Maka:
1. R= 0 jika n<m
2. R= a jika n=m
3. R= ~ jika n>m
Hal.: 16 LIMIT FUNGSI Adaptif

17. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)
Lim [ ]
a.
ax + b − px + q = R
~
x→
1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a<p
Hal.: 17 LIMIT FUNGSI Adaptif

18. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Lim [ ]
b.
ax 2 + bx + c − px 2 + qx + r = R
x→~
1. R= ~ jika a>p
b− q
2. R= jika a=p
2 a
3. R= -~ jika a<p
Hal.: 18 LIMIT FUNGSI Adaptif

19. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Soal latihan:
4. Nilai dari x 4 − 3x 2 + 4 x
Lim 2 x3 − x 2 − 2 x
x→0
adalah….
1
a. 3 d. −
2
b. 2
c. 1 e. -2
Hal.: 19 LIMIT FUNGSI Adaptif

20. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
x − 3x + 4 x
4 2
Lim 2 x 3 − x 2 − 2 x
x →0
0 − 3.0 + 4.0 0
4 2
= =
2.0 − 0 − 2.0 0
3 2
Jika 0 didistribusikan menghasilkan ~
(bukan solusi) sehingga soal diselesaikan dengan
cara faktorisasi
Hal.: 20 LIMIT FUNGSI Adaptif

21. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Maka:
x − x +4 x
4
3 2
Lim
x→0 2 x −x −2 x
3 2
=Lim
[ x x 3 − x +4
3 ]
x→[
0 x 2 x −x −2
2
]
x − x +4
3
3
=Lim
x→0 2 x 2 −x −2
0 −0 +4 4
= = =−2
0 −0 −2 −2
Hal.: 21 LIMIT FUNGSI Adaptif

22. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Soal latihan:
4. Nilai dari x 4 −3x 2 + 4 x
Lim 2 x 3 − x 2 − 2 x
x →0
adalah….
1
a. 3 d. −
2
b. 2
c. 1 e. -2
Hal.: 22 LIMIT FUNGSI Adaptif

23. LIMIT FUNGSI ALJABAR
5. Nilai dari x2 −4
Lim x →2 x2 + x −6
adalah….
a.1 2
d.
4 5
b.
5 e. −1
3
c.
5
Hal.: 23 LIMIT FUNGSI Adaptif

24. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
2
x −4
Lim x 2 + x − 6
x →2
( x −2)( x +2)
= Lim
x→ 2 ( x −2)( x +3)
x +2 2 +2 4
=Lim x + 3 = 2 + 3 = 5
x →2
Hal.: 24 LIMIT FUNGSI Adaptif

25. LIMIT FUNGSI ALJABAR
5. Nilai dari x −4
2
Lim
x →2 x + x −6
2
adalah….
a.1 2
d.
4 5
b.
5 e. −1
3
c.
5
Hal.: 25 LIMIT FUNGSI Adaptif

26. LIMIT FUNGSI ALJABAR
6. Nilai dari 4 x + 3x − 6
2
Lim 2 x 2 −8 x −1
x →~
adalah ….
a. -6 d. 16
b. 2 e. 32
c. 10
Hal.: 26 LIMIT FUNGSI Adaptif

27. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan 1:
4 x + 3x − 6
2
Lim 2 x 2 −8 x −1
x →~
2
4x 3x 6 3 6
2
+ 2 − 2 4+ − 2
= x2 x x = x x
2x 8x 1 8 1
− 2 + 2 2− + 2
x 2
x x x x
Hal.: 27 LIMIT FUNGSI Adaptif

28. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan 1:
3 6
4+ − 2
= ~ ~ = 4 + 0 −0
8 1 2 −0 +0
2− + 2
~ ~
4
= =2
2
Hal.: 28 LIMIT FUNGSI Adaptif

29. LIMIT FUNGSI ALBAJAR
Pembahasan 2:
4 x 2 + 3x − 6
Lim 2 x 2 −8 x −1
x →~
Perhatikan bahwa pangkat diatas sama
dengan pangkat bawah sehingga p = q
(p dibagi q)
p 4
L = = =2
q 2
Hal.: 29 LIMIT FUNGSI Adaptif

30. LIMIT FUNGSI ALJABAR
6. Nilai dari 4 x 2 + 3x − 6
Lim 2 x 2 −8 x −1
x →~
adalah ….
a. -6 d. 16
b. 2 e. 32
c. 10
Hal.: 30 LIMIT FUNGSI Adaptif

31. LIMIT FUNGSI ALJABAR
7. Nilai dari
Lim{ 4 x − 2 x + 6 − 4 x + 2 x − 1}
2 2
x→~
adalah….
a. -3 d. 0
b. -2 e. 1
c. -1
Hal.: 31 LIMIT FUNGSI Adaptif

32. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
b−q −2−2 −4
R= = =
2 a 2 4 2.2
−4
= = −1
4
Hal.: 32 LIMIT FUNGSI Adaptif

33. LIMIT FUNGSI ALJABAR
7. Nilai dari
Lim{ 4 x − 2 x + 6 − 4 x + 2 x − 1}
2 2
x→~
adalah….
a. -3 d. 0
b. -2 e. 1
c. -1
Hal.: 33 LIMIT FUNGSI Adaptif

34. Limit fungsi sljabar
8. Nilai dari (8 x − 2)2
Lim (4 x + 1)2
x→ ~
adalah….
a. -4 d. 4
b. 0 e. 8
c. 2
Hal.: 34 LIMIT FUNGSI Adaptif

35. LIMIT FUNGSI ALJABAR
Pembahasan:
(8 x − 2) 2 64 x 2 − 32 x + 4
Lim (4 x −1)2 = Lim 16 x 2 + 8 x +1
x→~
x→~
64
= =4
16
Hal.: 35 LIMIT FUNGSI Adaptif

36. LIMIT FUNGSI ALJABAR
8. Nilai dari
(8 x − 2) 2
Lim (4 x + 1) 2
x→ ~
adalah….
a. -4 d. 4
b. 0 e. 8
c. 2
Hal.: 36 LIMIT FUNGSI Adaptif

37. LIMIT FUNGSI ALJABAR
9. Nilai dari x −x 2
Lim x 2 + 2 x
x →o
adalah….
a. -~ d. 0
b. -2
1 1
c. − e.
2 2
Hal.: 37 LIMIT FUNGSI Adaptif

38. Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
x −x2
x( x − 1)
Lim x 2 + 2 x = Lim x( x + 2)
x →0 x →0
x −1 0 −1 1
= Lim = =−
x→0 x + 2 0+2 2
Hal.: 38 LIMIT FUNGSI Adaptif

39. Limit fungsi aljabar
x2 − x
9. Nilai dari Lim 2
x →o x + 2 x
adalah….
a. -~ d. 0
b. -2
1 1
−
c. e. 2
2
Hal.: 39 LIMIT FUNGSI Adaptif

40. Limit fungsi aljabar
10. Nilai dari 6 x − 4 x + 2 x −1
2 2
Lim 3x 4 − 2 x 3 + 5 x + 2
x →~
adalah….
1
a. − d. 2
2
b. 0 e. 3
1
c. 2
Hal.: 40 LIMIT FUNGSI Adaptif

41. Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
6 x − 4 x + 2 x −1
2 2
Lim 3x 4 − 2 x 3 + 5 x + 2
x →~
Perhatikan
Pangkat tertinggi diatas 3
Pangkat tertinggi dibawah 4
Jadi n < m
Nilai R = 0
Hal.: 41 LIMIT FUNGSI Adaptif

42. Limit fungsi aljabar
10. Nilai dari 6x − 4x + 2x −1
2 2
Lim 3x 4 − 2 x3 + 5 x + 2
x→ ~
adalah….
1
a. − d. 2
2
b. 0 e. 3
1
c. 2
Hal.: 42 LIMIT FUNGSI Adaptif

43. Limit fungsi aljabar
11. Nilai dari 2 x + 5 x −12
2
Lim 3x 2 −13x − 4
x →−4
adalah….
5 12
a. d.
13 13
8 14
b. e.
13 13
11
c.
13
Hal.: 43 LIMIT FUNGSI Adaptif

44. Limit fungsi aljabar
Pembahasan:
2 x 2 + 5 x −12
Lim 3x 2 −13x − 4
x →−4
( 2 x − 3)( x + 4)
Lim (3x −1)( x + 4)
x →−4
2 x − 3 2(−4) − 3
Lim 3x −1 = 3(−4) −1
x →−4
−11 11
= =
−13 13
Hal.: 44 LIMIT FUNGSI Adaptif

45. Limit fungsi aljabar
12. Nilai dari 2 x + 4 x −10
2
Lim 4 x 2 + 7
x →~
adalah….
1
a. d. -1
2
b. 0 e. -6
c. 1
−
2
Hal.: 45 LIMIT FUNGSI Adaptif

46. Limit fungsi aljabar
Pembahasan: 2 x 2 + 4 x −10
Lim 4 x 2 + 7
x →~
Pangkat diatas = Pangkat dibawah
Maka
2 1
=
4 2
Hal.: 46 LIMIT FUNGSI Adaptif

47. Limit fungsi aljabar
12. Nilai dari 2 x + 4 x −10
2
Lim 4 x 2 +7
x→~
adalah….
a. 1 d. -1
2
b. 0 e. -6
c. − 1
2
Hal.: 47 LIMIT FUNGSI Adaptif

48. Limit Fungsi Trigonometri
1. Bentuk lim f(x) = f(a)
x→a
Contoh :
Tentukan nilai lim sin 2x.
π
x→
4
Jawab :
π  π
Lim sin 2x = sin 2  = sin 2 =1
x→
π 4
4
Hal.: 48 LIMIT FUNGSI Adaptif

49. Limit Fungsi Trigonometri
f ( x)
2. Bentuk lim , dengan f(a) = 0 dan g(a) = 0
x → a g ( x)
Ingat !!!
Contoh : sin 2 x
Tentukan nilai dari : lim sin 2 x = 2 sin x cos x
x→
π
2
cos x
Jawab : cos 2 x = 1 − 2 sin 2 x
sin 2 x 2 sin x cos x π
lim = lim = lim 2 sin x = 2 sin = 2.1 = 2
π π π
x → cos x x→ cos x x→ 2
4 4 4
Hal.: 49 LIMIT FUNGSI Adaptif

50. Limit Fungsi Trigonometri
3. Bentuk lim tan x atau lim
sin x
x→0 x x→0 x
Catatan :
sin x x
1. lim = lim =1
x→0 x x → 0 sin x
tan x x
2. x → 0 x x → 0 tan x = 1
lim = lim
Secara umum
sin ax a tan ax a tan ax a
lim = , lim = , lim =
x → 0 bx b x → 0 bx b x → 0sin ax b
Hal.: 50 LIMIT FUNGSI Adaptif

51. Limit Fungsi Trigonometri
Contoh 1 :
Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut!
sin 8 x tan 3x 1 − cos 2 x
a. lim b. lim c. lim
x→0 2x x→0 sin 4 x x→0 x2
Jawab :
sin 8 x sin 8 x 8
a. Lim = lim . = 1.4 = 4
x→0 2x x →0 8x 2
tan 3x tan 3 x 4 x 3
b. lim = lim . .
x →0 sin 4 x x →0 3 x sin 4 x 4
3 3
= 1 .1 . =
4 4
Hal.: 51 LIMIT FUNGSI Adaptif

52. Limit Fungsi Trigonometri
1 − cos 2 x 1 − (1 − 2 sin 2 x)
c. lim 2
= lim
x →0 x x→0 x2
2 sin 2 x
= lim
x→0 x2
2
 sin x 
= lim 2. 
x →0
 x 
2
 sin x 
= 2. lim 
 x→0 x 
= 2.12 = 2
Hal.: 52 LIMIT FUNGSI Adaptif

53. Limit Fungsi Trigonometri
Contoh 2 :
cos 2 x − 1
Tentukan nilai dari lim
x→π sin x
Jawab :
cos 2 x − 1 (1 − 2 sin 2 x) − 1 − 2 sin 2 x
lim = lim = lim
x→π sin x x→π sin x x→π sin x
= lim(−2 sin x) = −2 sin π = −2.0 = 0
x→π
Hal.: 53 LIMIT FUNGSI Adaptif

54. Hal.: 54 LIMIT FUNGSI Adaptif