Clases Características y Curvatura

Seminario de la Banda Geómetra

Sobre Clases Características y
Curvatura
Efraín Vega Landa
2012-10-23, 13hrs, Salón S-104
Departamento de Matemáticas

Sobre Clases Características y Curvatura 2

La intención de esta plática es dar una introducción intuitiva a Clases Características
y mencionar alguna relación con el concepto de curvatura.

Mencionamos rápidamente que las Clases Características pueden estar presentes en
muchas áreas de matemáticas y física, algunos ejemplos son:



1 Geometría diferencial

Un objetivo central de geometría diferencial es entender como las propiedades ge-
ométricas de una variedad Riemanniana tales como su curvatura están relacionadas
con la topología de la variedad.
1. Teorema de Gauss-Bonnet-Chern.



2 Topología algebraica

Una manera de medir los hoyos de un espacio topológico X es a través de la k -teoría
que consiste en ver cuantos haces vectoriales diferentes sobre X existen. Las clases
características brindan un puente entre el grupo de la k -teoría de X , k 0 (X), y sus
grupos ordinarios de cohomología.
1. Teorema de Riemann-Roch theorem
2. Teorema de Atiyah-Singer



3 Topología diferencial

Las clases características de Stiefel-Whitney y Pontryagin determinan las clases de
cobordismo orientado de una variedad orientada.
1. La conjetura generalizada de Poincare generalizada (n 5) es resuelta usando
cobordismo.
2. Ideas de cobordismo son usadas para distinguir n-variedades que son homeomorfas
pero no difeomorfas a S n, es decir, esferas exóticas.



4 Ecuaciones diferenciales y foliaciones.

1. La topología de la variedad en donde está definido el flujo obliga la existencia de
puntos fijos en dicho flujo.
2. Más en general, también obliga a que haya ciertas regiones singulares cuando
intentamos foliar una variedad.



5 Teoría de singularidades

Dado un mapeo suave f : M ! N , para cualquier tipo de singularidad , el dual de
Poincare del lugar geométrico en M está dado por un polinomio de Thom en las clases
caractéristicas de Stiefel-Whitney wi (M ) y f wi (N ).



6 Clasiﬁcación de variedades

Sullivan prueba en 1977 que ha solo un número ﬁnito de variedades suaves cerradas
simplemente conexas de dimensión m 5 con cualquier tipo de homotopía dado y
dadas sus Clases de Pontryagin de su haz tangente.



7 Física

1. Teoría de instantones.
Nuevas clases características fueron encontrados por Simon Donaldson y Kotschick
Dieter en la teoría de los Instantones (soluciones a las ecuaciones de Yang-Mills).
2. Teoría cuántica de campos
Un ejemplo es la teoría de Chern-Simons (que es una teoría cuántica de campos
en dimensión 3) usada por E. Witten para interpretar invariantes de nudos y enlaces
de manera geométrica.



8 Haces Vectoriales.
Son variedades que se obtienen de ir pegando parches que son el producto de U Rn ,
donde U es un abierto de M m.

Al pegar globalmente la variedad resultante puede estar torcida, en este caso el haz
vectorial no es un producto M Rn o no es trivial.



Los haces vectoriales pueden estar torcidos

¿Como medir el torcimiento del haz?

Una forma es a través de las clases características.



Las clases características se deﬁnen habitualmente como elementos en las clases de
cohomología de la variedad base del haz
wi 2 H i (M m; Z2)
Visualizaremos dichas clases wi de cohomología a través de subvariedades1 D (wi)
utilizando la dualidad de Poincaré
wi 2 H i=Hm
e i 3 D (wi)

1
A veces serán subvariedades con singularidades.


Dichas clases de homología resultarán, cuando son distintas de cero, de intersec-
ciones inevitables entre dos subvariedades dentro de una variedad más grande.
0-variedades(puntos) ! D (wm)



Esas intersecciones pueden ser variedades (ciclos) de distintas dimensiones
[0-variedades (puntos)]2 H0 ! D (wm)
[1-variedades]2 H1 ! D (wm 1)
[2-variedades]2 H2 ! D (wm 2)
.
. .
. .
.
[(m 2)-variedades]2 Hm 2 ! D (w2)
[(m 1)-variedades]2 Hm 1 ! D (w1)



9 Deﬁnición de las clases características de
Stiefel-Whitney

Hq (M; Z) si q es impar o q = 0
D (wm q ) 2
Hq (M; Z2) si par y q > 0



Las clases características son un invariante de los haces vectoriales.

Si E y F son isomorfos, entonces las clases de Stiefel-Whitney wi (E) y wi (F ) son
iguales.

Si alguna clase de Stiefel-Whitney es diferente entonces E y F no son isomorfos.



10 La clase característica tope D (wm) del haz
tangente.

A esta clase característica le corresponde un elemento en H0 (M; Z).

¿Cómo obtenemos esta clase en H0 (M; Z)?

La idea es dar una sección arbitraria en el haz tangente T M (un campo vectorial).

¿Se anula la sección de manera inevitable?

¿Todo campo en M deberá tener ceros?

La topología de la variedad a través de la clase característica tope D (wm) (T M ) de-
termina si se anula inevitablemente la sección.


Ejemplos:
R

Hay campos sin ceros.



S1

Hay campos sin ceros.



11 El teorema del índice de Poincaré-Hopf.

La suma de los índices de los puntos singulares de un campo vectorial es igual a la
característica de Euler de la variedad.

X
In = (M )



Poincaré-Hopf nos dice que en algunos casos podremos separar la sección cero en el
haz tangente, así como sucedía con
R2



En el caso de la esfera NO podremos separar una sección que parta de la sección
cero
S2 = 2



En el caso del toro sí podremos separar una sección que parta de la sección cero.
T2 = 0



En el caso del doble, triple, ... n-toro NO podremos separar una sección que parta de
la sección cero
T 2#T 2# #T 2 = 2 (n 1)



En general podemos pensar la característica de Euler como las intersecciones inevita-
bles de un campo vectorial con la sección cero del haz.



Interpretemos el teorema de Poincare-Hopf con las ideas de intersección.
CAMPO=SECCION en T M
Una subvariedad de dimensión m en el haz tangente.

La sección cero es otra variedad de dimensión m.

La característica de Euler es el índice de intersección de dichas variedades.
(M ) = INTERSECCIÓN DE SUBVARIEDADES
Pues bien la característica de Euler es una expresión de la clase dual de Poincaré a la
m-ésima clase característica del haz tangente.

(M ) = D (wn (T M )) 2 H0 (M; Z) = Z



12 La idea que motivará las clases características de
Stiefel-Whitney
La OBSTRUCCIÓN a dar 1; :::; n secciones (campos) globales linealmente independi-
entes en el haz tangente2.

2
no necesariamente tiene que ser el haz tangente.


El teorema de Poincaré-Hopf es un caso particular de la idea anterior.
n=1
Un vector es linealmente independiente cuando es distinto de cero.

Así que se hará linealmente dependiente cuando el vector del campo sea CERO.

CEROS DEL CAMPO=OBSTRUCCIÓN a ser LI=INTERSECCIÓN



Poincaré-Hopf formulado en terminos de OBSTRUCCIÓN a que el campo sea lineal-
mente independiente.

Formulación usual:

La suma de los índices de los puntos singulares de un campo (CEROS) vectorial es
igual a la característica de Euler de la variedad.

Formulación con enfoque de OBSTRUCCIÓN a ser linealmente independientes:

Los puntos en M en los cuales se hace linealmente dependiente una sección (CEROS)
en T M da lugar a la m-ésima clase característica D (wm) (T M ) 2 H0 (M ) del haz
tangente.



La formulación con el enfoque de OBSTRUCCIÓN a ser LI da lugar a las demás clases
características:

Los puntos en M en los cuales se hace linealmente dependiente una sección (CEROS)
en T M da lugar a la m-ésima clase característica D (wm) (T M ) 2 H0 (M ).

Los puntos en M en los cuales se hacen linealmente dependientes dos secciones en
T M da lugar a la (m 1)-ésima clase característica D (wm 1) (T M ) 2 H1 (M ).

Los puntos en M en los cuales se hacen linealmente dependientes tres secciones en
T M da lugar a la (m 2)-ésima clase característica D (wm 2) (T M ) 2 H2 (M ).
.
.
Los puntos en M en los cuales se hacen linealmente dependientes k secciones en
en T M da lugar a la (m k + 1)-ésima clase característica D wm (k 1) (T M ) 2
Hk 1 (M ).


13 La obstrucción a ser LI a través de intersección
Usando teoría de intersección veremos que en efecto la región en M en la que se
hacen linealmente dependientes k secciones será un elemento de Hk 1 (M ).

k -marcos linealmente dependientes=OBSTRUCCIÓN a ser LI=INTERSECCIÓN

Generalizando el enfoque de intersección:

En Poincaré-Hopf intersecamos dos subvariedades contenidas en otra:
1. Haz tangente T M !Haz de k -marcos.
2. Sección en T M (campo) !Sección en el haz de k -Marcos (k campos)
3. Sección cero ! k -marcos linealmente dependientes sobre M (Un haz de conos)

La intersección del haz de conos con la sección en el haz de k -marcos nos dará (al
proyectar a la variedad base) las clases de Stiefel-Whitney.



14 ¿Cómo es el conjunto de k-marcos linealmente
dependientes (singulares) en Rm?



2-marcos en R2

Podemos interpretar cada 2-marco como la imagen de una base bajo un mapeo lineal
L : R2 ! R2 :
de modo que habrá tantos 2-marcos como mapeos lineales L

Es decir habrá tantos 2-marcos como M (2 2) matrices de 2 2 o puntos en R4.


Los marcos singulares son las matrices M0 (2 2) y M1 (2 2) de rango 0 y 1.

R4 tiene 3 estratos que corresponden a las matrices de rango 0; 1; 2:

M2 (2 e
2) es la 4-variedad de Stiefel (abierta) V22 en R4.

M1 (2 2) es T 2 R+, una 3-variedad (estrato) en R4.

M0 (2 2) es 0 2 R4, una 0-variedad (estrato) en R4.


La estratiﬁcación de los 3-marcos en R3

M3 (3 e
3) es la 9-variedad de Stiefel (abierta) V33 en R9.
M2 (3 3) es S 2 G2 R3 [T 3 (x; x; x)] R+, una 8-variedad (estrato) en R9.
M1 (3 3) es S 2 RP 2 R+; una 5 variedad en R9
M0 (3 3) es 0 2 R9, una 0-variedad (estrato) en R9.


k -marcos de vectores en Rm
Cada punto en Rkm es un marco de k vectores.

Sólo algunos de ellos representan marcos linealmente dependientes y son los puntos
que corresponden a Mk j (m k) con3 j = 1; :::; k .

Rkm quedará partido en k + 1 conjuntos que corresponden a Mk j (m k) con j =
0; :::; k:
Mk (m k) forman una variedad de Stiefel de dimensión km en Rkm
Mk 1 (m k) forman una variedad (estrato) de dimensión km (m (k 1)) en Rkm
.
.
Mk j (m k) forman una variedad (estrato) de dimensión km j (m (k j)) en Rkm
.
.
M0 (m k) forman una variedad (estrato) de dimensión 0 en Rkm
3
j es el corango, es decir, k menos la dimensión del espacio que generan lo k vectores de un marco.


En resumen

j dim (Mk j (m k))
0 km
1 km (m (k 1))
.
. .
.
j km j (m (k j))
.
. .
.
k 0



15 La estratificación que inducen los k-marcos en
Rkm para algunos valores de m; k y j .

k = m vectores en Rm
jnm 0 1 2 3 4 5 6 m
0 0 1 4 9 16 25 36 m2
1 0 3 8 15 24 35 m2 1
2 0 5 12 21 32 m2 4
3 0 7 16 27 m2 9
4 0 9 20 m2 16
5 0 11 m2 25
6 0 m2 36
.
. .
.
k 0
La tabla muestra la dimensión de las variedades de Stiefel Mk j (m k) que
2
estratifican a Rm .
(Por ejemplo la dimensión de las variedades M6 j (6 6) que estratifican R36)


k=m 1 vectores en Rm

jnm 0 1 2 3 4 5 6 m
0 0 2 6 12 20 30 (m 1) m 0 (1)
1 0 4 8 18 28 (m 1) m 1 (2)
2 0 6 14 24 (m 1) m 2 (3)
3 0 8 18 (m 1) m 3 (4)
4 0 10 (m 1) m 4 (5)
5 0 (m 1) m 5 (6)
.
. .
.
m 1 0

estratiﬁcan a R(m 1)m




jnm 0 1 2 3 4 5 6 m
0 0 3 8 15 24 (m 2) m 0 (2)
1 0 5 12 21 (m 2) m 1 (3)
2 0 7 16 (m 2) m 2 (4)
3 0 9 (m 2) m 3 (5)
4 0 (m 2) m 4 (6)
.
. ... .
.
m 2 0






jnm 0 1 2 3 4 5 6 m
0 0 4 10 18 (m 3) m 0 (3)
1 0 6 14 (m 3) m 1 (4)
2 0 8 (m 3) m 2 (5)
3 0 (m 3) m 3 (6)
.
. ... .
.
m 3 0





jnm 0 1 2 3 4 5 6 m
0 0 5 12 (m 4) m 0 (4)
1 0 7 (m 4) m 1 (5)
2 0 (m 4) m 2 (6)
.
. ... .
.
m 4 0





jnm 0 1 2 3 4 5 6 m
0 0 6 (m 5) m 0 (5)
1 0 (m 5) m 1 (6)
.
. ... .
.
m 5 0





Usando teoría de intersección veremos que en efecto la región en M en la que se
hacen linealmente dependientes k secciones será un elemento de Hk 1 (M ).

k -marcos linealmente dependientes=OBSTRUCCIÓN a ser LI=INTERSECCIÓN

Generalizando el enfoque de intersección:

En Poincaré-Hopf intersecamos dos subvariedades contenidas en otra:
1. Haz tangente T M !Haz de k -marcos.
2. Sección en T M (campo) !Sección en el haz de k -Marcos (k campos)
3. Sección cero ! k -marcos linealmente dependientes sobre M (Un haz de conos)

La intersección del haz de conos con la sección en el haz de k -marcos nos dará (al
proyectar a la variedad base) las clases de Stiefel-Whitney.


17 Ejemplo D (w1) T M 2 :generalizar a una pareja de
campos en una 2-variedad.
1. Haz tangente T M !Haz de 2-marcos.

El haz de 2-marcos es una 6-variedad.



2 Sección en T M (campo) !Sección en el haz de 2-Marcos (2 campos)

La sección en el haz de 2-Marcos (2 campos) es una subvariedad de dimensión 2.



3 Sección cero ! 2-marcos linealmente dependientes sobre M , un haz de conos.

El haz de conos es una 5-subvariedad4

4
Hay que tomar solamente la parte del cono singular que corresponde a M1 (2 2).


1. La dimensión del haz de 2-marcos es 6
2. La dimensión de la sección en el haz de dos marcos es 2.
3. La dimensión del haz de conos singulares es 5.

La suma 2 + 5 excede en 1 a la dimensión 6 del haz de 2-marcos.
Si las subvariedades se intersecan será5 en una variedad de dimensión 1.
5
genéricamente, es decir, cuando lo hacen de manera transversal.


Usando teoría de intersección vimos que la región en M 2 en la que se hacen lineal-
mente dependientes 2 secciones será un elemento de H1 (M ).

k = 2-marcos linealmente dependientes=OBSTRUCCIÓN a ser LI=INTERSECCIÓN

1. Haz de 2-marcos.
2. Sección en el haz de 2-Marcos (2 campos)
3. 2-marcos linealmente dependientes sobre M , un haz de conos.



19 Interpretación de las clases características

ENFOQUE OBSTRUCCIÓN A SER LINEALMENTE DEPENDIENTES:
Podemos ver las clases características a través de las subvariedades6 D (wm k+1)
en las cuales se vuelven linealmente dependientes k -secciones en el haz tangente
(corango j = 1).

ENFOQUE INTERSECCIÓN:
La intersección transversal del haz de conos de k -marcos singulares7 con la sección
en el haz de k -marcos nos dará (al proyectar a la variedad base) las clases de Stiefel-
Whitney D (wm k+1).

6
podrían ser singulares si el corango de la singularidad es mayor a 1.
7
Hay que tomar la parte del cono que corresponde al corrango j = 1, es decir, Mk 1 (m k).


20 D (wn 1) (T M ), un par de secciones en el haz
tangente.
La dimensión de los 2-marcos singulares (de rango 1):
dim M1 (m 2) = 2m (m 1) m + 2 = m + 1
que luego al sumar con m, la dimensión de la variedad nos da la dimensión del haz
singular
2m + 1
que al ser sumada con la dimensión m de la sección en el haz de 2-marcos nos da:
3m + 1
que excede en 1 a la dimensión 3m del haz de 2-marcos, por lo que, la dimensión de
la intersección entre el haz de 2-marcos singulares y la sección en el haz de 2- marcos
es una variedad de dimensión
1


21 D (wn 2) (T M ), un terna de secciones en el haz
tangente.
La dimensión de los 3-marcos singulares (de rango 2):
dim M2 (m 3) = 3m (m 2) = 2m + 2
singular
3m + 2
que al ser sumada con la dimensión m de la sección en el haz de 3-marcos nos da:
4m + 2
que excede en 2 a la dimensión 4m del haz de 3-marcos, por lo que, la dimensión de
la intersección entre el haz de 3-marcos singulares y la sección en el haz de 3- marcos
es una variedad de dimensión
2



22 D wn (k 1) (T M ), una k-tupla de secciones en el
haz tangente.
La dimensión los k -marcos singulares (de rango k 1):
dim Mk 1 (m k) = mk (m (k 1))
singular
km + (k 1)
que al ser sumada con la dimensión m de la sección en el haz de k -marcos nos da:
km + (k 1) + m = (k + 1) m + (k 1)
que excede en (k 1) a la dimensión (k + 1) m del haz de k -marcos, por lo que, la
dimensión de la intersección entre el haz de k -marcos singulares y la sección en el
haz de k -marcos es una variedad de dimensión
(k 1) :



23 Acercándonos a la definición

D (wm q ) 2

¿Qué significan los grupos de coeficientes Z y Z2?

La manera en que se acerca la sección en el haz de k -marcos al (k 1)-ciclo singular.

De nuevo, será algo análogo a lo que sucede con el índice en el teorema de Poincaré-
Hopf



24 El grupo de Coeficientes (o cómo se enreda la
sección)
Necesitamos analizar el análogo al índice de un campo vectorial.
El índice de un campo vectorial mide como se enreda la sección en el haz tangente
cuando atraviesa la sección cero.

En el caso de campos vectoriales tienes la gráfica de una función Rm ! Rm y el índice
2
es la manera en la cual interseca la gráfica al (0; 0) 2 Rm . Hay básicamente tantas
maneras de intersección como enteros.


25 La manera de atravesar la sección cero.
La manera en que se enreda el campo esta codiﬁcada por m 1 Sm 1
= Z que es el
índice del campo.



25.1 Compactiﬁcando los marcos
Si tomamos una curva campos que empiece en la sección original en T M y termine
en un campo unitario (ortonormal)

conseguiremos al ﬁnal un mapeo f1 : S m 1
! Sm 1
cuya clase de homotopía en
m 1
m 1 S = Z nos da el índice.



26 La sección en el haz tangente unitario U T M se
enreda en la ﬁbra sobre el punto singular

El elemento en m 1 S m 1 te dice como se enreda (en U T M ) la sección en f1 alrede-
dor de la ﬁbra S m 1 que está sobre el punto singular del campo.



Cómo se enreda una sección en el haz de 2-marcos
Cuando tienes un par de campos, se harán linealmente dependientes sobre una 1-
variedad.

La sección en el haz de 2-marcos es la gráﬁca de un mapeo de Rm ! R2m que a lo
largo de 1-variedad toma valores en el estrato singular M1 (m 2).

La idea es ver como la m-variedad que corresponde a sección en el haz de 2-marcos
se acerca a los puntos de la gráﬁca que están sobre la línea singular.


La manera en la cual se acerca la gráﬁca queda capturada si nos ﬁjamos en como se
acerca tomando valores en un (m 1)-espacio transversal a la línea singular.



La sección restringida a ese espacio será una gráﬁca de una función de Rm 1
! R2m,
es decir una (m 1)-variedad contenida en Rm 1 R2m.

Sobre Rm 1
n 0 2 Rm 1 e
, los valores estarán en la variedad de Stiefel V2m abierta8

Al 0 2 Rm 1
le corresponde un valor en el cono singular M1 (m 2) R2m.

8 e
V2m = M2 (m 2), marcos no singulares.


Cuando te acercas al 0 2 Rm 1 se da el enredamiento de la (m 1)-variedad de
marcos no singulares en torno al marco singular.

Podemos pensar que te acercas con esferas S m 2 Rm 1. Los valores sobre estas
e
esferas estarán contenidos en la variedad de Stiefel de marcos no singulares V2m.



Si compactificas los marcos obtenemos una sección en el haz de marcos cuya fibra es
la variedad de Stiefel compacta V2m (roja en la figura de la derecha).

La sección se enredará en una esfera S m 2
metida en V2m. es decir en un elemento de
m
m 2 (V2 ).


m
Es decir en un elemento del grupo de homotopía m 2 (V2 )
m
m 2 (V2 )

que mide las maneras en que puede enredarse la sección en el haz de 2-marcos
compactos.

Se sabe que dicho grupo de homotopía es
m Z si m 2 es par
m 2 (V2 ) = :
Z2 si m 2 es impar
Entonces si la dimensión de M es
1. par habrá tantas formas de acercarnos al marco singular como elementos en Z.
2. impar habrá tantas formas de acercarnos al marco singular como elementos en Z2.



En general, cuando pasamos a k -secciones o una sección en el haz de k -marcos

tendremos que la sección se enredará9 en la ﬁbra Vkm por arriba de los puntos del
(k 1)-ciclo singular de tantas maneras como elementos en m k (Vkm)
Dicho grupo dependerá de paridad de la dimensión m y de los valores de k :

m k (Vkm) = Z si m k 2 2Z o si k = 1.

m k (Vkm) = Z2 si m k es impar y k > 1.
9
En el haz de k -marcos con ﬁbra la variedad de Stiefel compacta Vkm .


Cada componente de la intersección de la sección de k -marcos con el haz de k -marcos
singulares dará un elemento en Z o Z2.
Al sumar estos elementos obtenemos el elemento de la clase característica
wm (k 1) = wm q

27 Deﬁnición de las clases características de
Stiefel-Whitney

D (wm q ) 2
Deﬁnición usual en términos de cohomología:
H m q (M; Z) si q es impar o q = 0
wm q 2
H m q (M; Z2) si par y q > 0
Con una reducción se consideran todas las clases características como elementos en
D (wm q ) 2 Hq (M; Z2) :


28 Clases de Chern
Tomas un haz vectorial E complejo de rango n, es decir, la ﬁbra será Cn sobre una
variedad M m de dimensión real m = 2n.

Las clases de Chern son las obstrucciones a poner 1; :::; n secciones (ojo ahora son
en una ﬁbra compleja) globales en el haz.

Aplicando el mismo razonamiento que usamos para las clases Stiefel-Whitney y toman-
do en cuenta que los marcos
n
C Vk

son ahora complejos se llega a que los duales de Poincaré a las clases de Chern serán
ahora subvariedades de dimensiones pares.


Obstrucción a 1 sección D (cn (E)) 2 H0 (M )
Obstrucción a 2 secciones D (cn 1 (E)) 2 H2 (M )
Obstrucción a 3 secciones D (cn 2 (E)) 2 H4 (M )
.
. .
.
Obstrucción a k secciones D (cn k+1 (E)) 2 H2(k 1) (M )
.
. .
.
Obstrucción a n secciones D (c1 (E)) 2 H2(n 1) (M )



¿Cómo es el conjunto de k -marcos complejos linealmente dependientes (singulares)
en Cm?

Linealmente dependientes Linealemente independientes



2
C V2 : 2-marcos en C2
Podemos interpretar cada 2-marco como la imagen de una base bajo un mapeo lineal

C : C2 ! C2 :
de modo que habrá tantos 2-marcos como mapeos lineales C

Es decir habrá tantos 2-marcos CV22 como M C (2 2) matrices complejas de 2 2o
puntos en C4.


C C
Los marcos singulares son las matrices M0 (2 2) y M1 (2 2) de rango 0 y 1.

C4 tiene 3 estratos que corresponden a las matrices de rango 0; 1; 2:
e
M2 (2 2) es la 4-variedad compleja de Stiefel (abierta) CV22 en C4.
C

C
M1 (2 2) es 3-variedad10 compleja (estrato) en C4.
C
M0 (2 2) es 0 2 R4, una 0-variedad (estrato) en C4.
10
¿CP 1 T2 C?



29 D (cn (E)) para una M una 4-variedad (dimensión 2
compleja)
1. La dimensión del haz tangente (1-marcos) es 4 (compleja)
2. La dimensión de la sección en el haz de 1- marcos es 2 (compleja).
3. La dimensión del haz de conos singulares (sección cero) es 2.

D (cn (E)) 2 H0 (M )


1. La dimensión del haz de 2-marcos es 6 (compleja)
2. La dimensión de la sección en el haz de dos marcos es 2.
3. La dimensión del haz de conos singulares es 5.

La suma 2 + 5 excede en 1 a la dimensión 6 del haz de 2-marcos.
Si las subvariedades se intersecan será11 en una variedad de dimensión 1.
11
genéricamente, es decir, cuando lo hacen de manera transversal.


30 El grupo de Coeﬁcientes

Tienes para k -secciones una variedad de dimensión compleja k 1.

Esto en un espacio de dimensión compleja n.

Tomas el espacio transversal que tendrá dimensión compleja n k + 1. Pasemos a
dimensión real, dicho espacio tendrá dimensión 2 (n k + 1), es decir, será R2n 2k+2,
la esfera en dicho espacio será S 2n 2k+1.
La manera en que te enredas en torno a la variedad singular estará dada entonces por
el siguiente grupo de homotopía de los k -marcos complejos en Cn :
n
2n 2k+1 (C Vk ) =Z
De modo que las clases de Chern quedan deﬁnidas de la siguiente manera
cn q 2 H 2(n q)
(M; Z)
donde q = k 1 es el número de secciones menos 1.


31 Clases de Pontryagin
Tomas un haz vectorial real E sobre una variedad M m.

Construimos la complejificación de dicho haz E iE que será un haz complejo sobre
M 4j=2n=m. (j es la dimensión real de la fibra de E , n = 2j es la dimensión de la fibra
de E iE ).

Las clases de Pontryagin son las obstrucciones a poner 1; 3; :::; 2 (j 1) + 1 secciones
complejas (ojo ahora son en una fibra compleja) globales en el haz E iE . Sus duales
de Poincaré seran ciclos de dimensiones reales 0; 4; :::; 4 (j 1)
pj (E) = ( 1)j c2j (E iE) 2 H 4j (M; Z)


Obstrucción a 1 sección D (pj ) = D (cn (E)) 2 H0 (M )
Obstrucción a 3 secciones D (pj 1) = D (cn 2 (E)) 2 H4 (M )
.
. .
.
Obstrucción a 2 (k 1) + 1 secciones D pj (k 1) = D cn 2(k 1) (E) 2 H4(k 1) (M )
.
. .
.
Obst. a 2 (j 1) + 1 = n 1 secc. D P1=j (j 1) = D c2=n 2(j 1) (E) 2 H4(j 1) (M )



32 Teorema de Gauss-Bonnet
Hay dos ideas respecto al teorema de Gauss-Bonnet.
1. Verlo desde el punto de vista extrínseco, esto es pensarlo como una hipersuperﬁcie
M n Rn+1. El haz tangente determina un mapeo
M n ! Gn+1 = Gn+1 = S n
n 1

a través de la aplicaciónde Gauss. Las clases de homotopía de dicho mapeo estan
en relación directa con el torcimiento del haz tangente.
2. Pensarlo intrínsecamente como la obstrucción a dar una sección en el haz tangente.
Independientemente de la conexión que escojamos la integral
Z
! n ( ) = vol S n 1 (M )
M
de ! n relacionada con la 2-forma de curvatura nos da el volumen de la esfera.
Así que es equivalente hablar de clases de homotopía no triviales en el mapeo de
Gauss o hablar del torcimiento del haz tangente y su correspondiente clase caracterís-
tica Tope o de Euler


1. Cuando haces la integral de la curvatura en el teorema de Gauss-Bonnet extrínseco
(clásico) estás calculando el número de veces que tapas a la esfera.
Z
ext (M ) (M )
k =2 (M ) = 4 = vol S 2 = deg N vol S 2
2 2
Por otro lado cuando haces la integral de la forma de curvatura (relacionada con la
forma de curvatura) estás calculando el volumen de las ﬁbras sobre las cuales se
enreda la sección.
Z
int
vol S 1 (M ) = k = 2 (M )

En general tendremos que
Z
n 1 int ext n (M )
Cvol S (M ) = P f ( ) = vol (S ) = vol (S n) deg N
2
donde P f ( ) es una m-forma relacionada con la 2-forma de curvatura.



La curvatura en la dirección de un par de vectores ; de tamaño 1 puede ser expre-
sada en términos del tensor de curvatura por la fórmula
k( ; ) = h ( ; ) ; i
donde los corchetes denotan el producto escalar dada la métrica riemanniana. Lo que
hacen es proyectar el vector del campo ( ; ) evaluado en el vector al vector para
obtener la velocidad con la que gira el campo proyectado al plano que generan los
vectores ( ; ).



Tomando una base adecuada fe1; :::eng se puede ver de una manera más sencilla que
k (e1; e2) k (en 1; en) = P f ( ) = k1k2 kn 1kn = det (dN )
el producto de las n curvaturas seccionales, es decir, el Pfafﬁano de la forma de cur-
2
vatura P f ( ), será igual al producto de las curvaturas principales, es decir, al deter-
minante de la diferencial de la aplicación de Gauss.
La topología de la variedad a través de la clase característica tope wm (T M ) determina
si se puede o no deﬁnir tal sección.



Esto signiﬁca que al hacer la integral obtendremos que
Z Z
(M )
Pf ( ) = det (dN ) = deg N (vol (S m)) = vol (S m)
M M ! 2
m+2 m
(M ) 2 2 2
=
2 (m 1)!!
donde
(M )
deg N =
2



La no trivialidad del mapeo de Gauss o de la elección de la primera sección implica no
trivialidad en el haz tangente (complementario a la primera sección).



Gracias a todo

el Seminario de la banda geómetra.



J. Milnor & J. Stasheff, Characteristic Classes, Princeton.
S. Halperin & D. Toledo, Stiefel-Whitney Homology Classes.
T. Gowers, The Princeton companion to mathematics
N. Steenrod, The Topology of ﬁber bundles, Princeton.
V.Arnold, R. Uribe & G. Capitanio, Geometry.
V.Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics.
E. Tellez, Introducción a Formas Diferenciales, Tesis de Licenciatura, UNAM (2012).
J. Dieudonné, A History of Algebraic and Differential Topology 1900-1960, Birkhauser.
O. Romero, El teorema de Guauss-Bonnet-Chern, Tesis de maestria, UAM (2012).
R. MacPherson, Singularities of Vector Bundle Maps.
N. Jaramillo, Sobre el teorema de Gauss-Bonnet-Chern, Tesis de licenciatura, UNAM
(2006).
J. Baez, Gauge Fields, Knots and Gravity, World Scientiﬁc.
X. Gómez Mont, Dualidad en geometría, plática impartirda en el festejo del 100 aniver-
sario de la muerte de Poincaré, Colegio Nacional (septiembre 2012).
E. Vega, Debrayes sobre la Curvatura, Tesis de licenciatura, UNAM (2009).
O. Palmas & H. Sánchez Geometría Riemanniana, La Prensa de Ciencias (2008).
http://en.wikipedia.org/wiki/Stiefel-Whitney_class


http://en.wikipedia.org/wiki/Stiefel_manifold
http://en.wikipedia.org/wiki/Chern_class
http://en.wikipedia.org/wiki/Pontryagin_class


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