Aula05 Tangentes

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Aula05 Tangentes

  1. 1. ´ ¸˜ Desenho Tecnico - Construcoes ´ Geometricas Em´lio Eiji Kavamura ı ˆ Eng. Mecanica Universidade Positivo 6 de fevereiro de 2009 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  2. 2. ´ SUMARIO 1 Tangentes ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado ˆ Circunferencia Tangente ˆ Tangente a Duas Circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  3. 3. ´ TOPICOS 1 Tangentes ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado ˆ Circunferencia Tangente ˆ Tangente a Duas Circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  4. 4. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto P fora dela. Tracar por P a tangente ¸ ` a α. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  5. 5. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas 2009-02-06 Tangentes ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado um ponto P fora dela. Tracar por P a tangente ¸ ` a α. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ ¸˜ ˆ ´ Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e a ˆ circunferencia que possui apenas um unico ponto em comum ´ com esta curva. ˆ ˆ Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a reta que une os seus centros.
  6. 6. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto P fora dela. α O Tracar por P a tangente ¸ ` a α. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  7. 7. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ P ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto P fora dela. α O Tracar por P a tangente ¸ ` a α. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  8. 8. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia ˆ P ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto P fora dela. α O Tracar por P a tangente ¸ ` a α. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  9. 9. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  10. 10. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  11. 11. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  12. 12. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P M α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  13. 13. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P M α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  14. 14. Problema no 14 - Tangente a uma circunferencia - solucao ˆ ¸˜ P α O eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  15. 15. ´ TOPICOS 1 Tangentes ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado ˆ Circunferencia Tangente ˆ Tangente a Duas Circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  16. 16. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  17. 17. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas 2009-02-06 Tangentes ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, ˆ Circunferencia Tangente um ponto P fora dela. ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por Problema no 15 - Circunferencia tangente P e A. ˆ ¸˜ ˆ ´ Definicao: circunferencia tangente (a uma curva) e a ˆ circunferencia que possui apenas um unico ponto em comum ´ com esta curva. ˆ ˆ Pelo ponto de tangencia de duas circunferencias passa a reta que une os seus centros.
  18. 18. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por α O P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  19. 19. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. A ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por α O P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  20. 20. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia P α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. A ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por α O P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  21. 21. Problema no 15 - Circunferencia tangente ˆ ˆ Dada uma circunferencia P α = {O, r } e um ponto dela qualquer A, um ponto P fora dela. A ˆ Tracar uma circunferencia ¸ tangente a α que passe por α O P e A. eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  22. 22. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  23. 23. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  24. 24. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  25. 25. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P M 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = N A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  26. 26. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P M I 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = N A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  27. 27. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P I 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  28. 28. Problema no 15 - Circunferencia tangente - solucao ˆ ¸˜ 1 OA; P I 2 PA; 3 {A, r } ∩ {P, r } = A {M, N}; 4 MN ∩ OA = {I}; α O 5 {I, IA}; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  29. 29. ´ TOPICOS 1 Tangentes ˆ Tangente a uma circunferencia por um ponto dado ˆ Circunferencia Tangente ˆ Tangente a Duas Circunferencia eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  30. 30. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia ˆ ˆ Dadas duas circunferencia α = {O, r } e α = {O , r }, Tracar uma reta tangente a ¸ αeα . eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  31. 31. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia ˆ ˆ Dadas duas circunferencia α = {O, r } e α = {O , r }, Tracar uma reta tangente a ¸ α O αeα . eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  32. 32. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia ˆ α O ˆ Dadas duas circunferencia α = {O, r } e α = {O , r }, Tracar uma reta tangente a ¸ α O αeα . eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  33. 33. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia ˆ α O ˆ Dadas duas circunferencia α = {O, r } e α = {O , r }, Tracar uma reta tangente a ¸ α O αeα . eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  34. 34. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  35. 35. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  36. 36. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; M N 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  37. 37. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; M I N 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  38. 38. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; M I N 5 β2 = {O, r − r }; β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  39. 39. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; I 5 β2 = {O, r − r }; β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; O 7 OP ∩ α = {A}; α β2 OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  40. 40. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; I 5 β2 = {O, r − r }; β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; P O Q 7 OP ∩ α = {A}; α β2 OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  41. 41. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O a > OO /2; 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; I 5 β2 = {O, r − r }; β1 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; A O D P Q 7 OP ∩ α = {A}; α β2 OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  42. 42. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O C a > OO /2; B 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; A O D 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  43. 43. Problema no 16 - Tangente a Duas Circunferencia - solucao ˆ ¸˜ 1 OO ; 2 {O, a} ∩ {O , a} = {M, N}, α O C a > OO /2; B 3 MN ∩ OO = {I}; 4 β1 = {I, IO}; 5 β2 = {O, r − r }; 6 β1 ∩ β2 = {P, Q}; A O D 7 OP ∩ α = {A}; α OQ ∩ α = {D}; 8 O B//OA; O C//OD; 9 AB; CD; eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  44. 44. Revisando α O O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  45. 45. Revisando α O O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  46. 46. Revisando α O M N O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  47. 47. Revisando α O I M N O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  48. 48. Revisando α O I β1 O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  49. 49. Revisando α O I β1 O α β 2 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  50. 50. Revisando α O I β1 P O Q α β 2 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  51. 51. Revisando α O I β1 A D P O Q α β 2 eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  52. 52. Revisando α O B C A D O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas
  53. 53. Revisando α O B C A D O α eek.up@hotmail.com ´ ¸˜ ´ Desenho Tecnico - Construcoes Geometricas

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