Apuntes de ecuaciones exponenciales cuyos conceptos son una guía en la resolución de este tipo de ecuaciones vistas en los cursos de álgebra lineal y/o superior

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE
MÉXICO
Facultad de Química
Apuntes de Álgebra lineal hechos por:
Eder Yair
13/09/2015

2. Ecuaciones exponenciales
Una ecuación exponencial es aquella ecuación que incluye alguna potencia en
cualquiera de sus términos y en que la incógnita aparece en el exponente. La
solución a dichas ecuaciones se ve en dos pasos:
1. Si el argumento o resultado se puede expresar como potencia de la base
solo se igualan exponentes.
2. Se aplican las propiedades de los logaritmos para encontrar el valor de la
incógnita
Adicionalmente se harán uso de sustituciones para hacer mas fácil la
manipulación de dichas ecuaciones. A continuación se muestran unos ejemplos
para su mayor comprensión.
Ejemplo
Resolver la siguiente ecuación exponencial 𝒆 𝟐𝒙
− 𝟐𝒆−𝟐𝒙
− 𝟏 = 𝟎
a) Primeramente debemos encontrar un valor para que sustituido en la
ecuación exponencial y se hagan las operaciones debidas de cero y se
cumpla la igualdad, ahora para este caso vamos a hacer una sustitución
algebraica para manipular mejor la ecuación, a simple vista no podemos
trabajarla de forma habitual pero si hacemos la sustitución:
𝒚 = 𝒆 𝟐𝒙
Ahora vamos a ver la ecuación de forma correcta:
𝒆 𝟐𝒙
−
𝟐
𝒆 𝟐𝒙
− 𝟏 = 𝟎
Y hacemos la sustitución:
𝒚 −
𝟐
𝒚
− 𝟏 = 𝟎
b) Multiplicamos ambos lados de la igualdad por 𝑦 para quitar el denominador
de la ecuación
𝒚 (𝒚 −
𝟐
𝒚
− 𝟏) = 𝟎 ∗ 𝒚
La ecuación queda como:
𝒚 𝟐
− 𝒚 − 𝟐 = 𝟎

3. c) Procedemos a resolver la ecuación cuadrática mediante factorización y
queda como:
( 𝒚 − 𝟐)( 𝒚 + 𝟏) = 𝟎
Igualamos cada factor a cero y tenemos lo siguiente:
𝒚 − 𝟐 = 𝟎
𝒚 = 𝟐
Y
𝒚 + 𝟏 = 𝟎
𝒚 = −𝟏
De las raíces de la ecuación tomamos la de signo positivo y nos quedamos
con1:
𝒚 = 𝟐
d) Tomando el valor de y del inciso anterior usamos la sustitución 𝒚 = 𝒆 𝟐𝒙
tomamos el valor de 𝑦 obtenido del inciso anterior tenemos lo siguiente:
𝟐 = 𝒆 𝟐𝒙
Aplicando las leyes de los logaritmos a ambos lados de la igualdad para
cancelar el término exponencial:
𝐥𝐧( 𝒆 𝒙) = 𝒙
Despejando a x de la ecuación:
𝐥𝐧( 𝟐) = 𝐥𝐧⁡( 𝒆 𝟐𝒙
)
𝐥𝐧( 𝟐) = 𝟐𝒙
𝒙 =
𝐥𝐧⁡( 𝟐)
𝟐
e) Sustituyendo a 𝑥 en la ecuación exponencial original:
𝒆 𝟐𝒙
−
𝟐
𝒆 𝟐𝒙
− 𝟏 = 𝟎
Tenemos:
1 Para que la sustitución tenga sentido siempre se trabajan con las raíces positivas dela ecuación algebraica,
de lo contrario sediceque la ecuación es inconsistente.

4. 𝒆
𝟐(
𝐥𝐧( 𝟐)
𝟐
)
−
𝟐
𝒆
𝟐(
𝐥𝐧( 𝟐)
𝟐
)
− 𝟏 = 𝟎
𝒆𝐥𝐧⁡( 𝟐)
−
𝟐
𝒆𝐥𝐧( 𝟐) − 𝟏 = 𝟎
Aplicando una ley de los exponenciales que cancela a los términos exponenciales:
𝒆𝐥𝐧⁡( 𝒙)
= 𝒙
Tenemos que:
𝟐 −
𝟐
𝟐
− 𝟏 = 𝟎
𝟐 − 𝟏 − 𝟏 = 𝟎
𝟎 = 𝟎
Por lo tanto la solución es
𝒙 =
𝐥𝐧⁡( 𝟐)
𝟐
Ejemplo 2
Encontrar el valor de la incógnita en la ecuación exponencial 𝟐 𝒙+𝟏
= 𝟑𝟐
a) Sabemos de antemano que 32 puede ser expresado como
𝟐 𝟓
= 𝟑𝟐
En la medida de lo posible en ecuaciones exponenciales debemos trabajar
con la misma base, he ahí la razón que expresamos 32 en potencia de dos.
b) Ahora reescribimos la ecuación como:
𝟐 𝒙+𝟏
= 𝟐 𝟓
Nos damos cuenta que tenemos la misma base que es 2 y los exponentes
son distintos (esta parte no importa tanto, es prioritario que se tenga la
misma base en ambos lados de la igualdad).
c) Si tomamos el punto 1 de la forma en cómo se resuelven estas ecuaciones
solamente vamos a igualar exponentes ya que asumimos que son lo

5. mismo, por lo tanto hacemos la igualdad entre el exponente del lado
izquierdo con el de lado derecho así:
𝒙 + 𝟏 = 𝟓
Resolvemos la ecuación de primer grado tenemos el valor de la incógnita
que es:
𝒙 = 𝟒
d) Probamos el valor de la incógnita en la ecuación original:
𝟐 𝒙+𝟏
= 𝟑𝟐
Sustituimos lo que vale x queda
𝟐 𝟒+𝟏
= 𝟑𝟐
𝟐 𝟓
= 𝟑𝟐
Si se sabe que 𝟐 𝟓
= 𝟑𝟐
𝟑𝟐 = 𝟑𝟐
Por lo tanto la solución es
𝒙 = 𝟒
Ejemplo 3
Hallar el valor de la siguiente ecuación exponencial: 𝟐 𝒙 𝟐
= 𝟖 𝟐𝒙−𝟑
a) Debe de observarse algo, a simple vista no se posee la misma base
¿cierto?, pero tenemos que 8 es resultado de una potencia de dos y se
expresa como sigue:
𝟐 𝟑
= 𝟖
Pero hay una ley de los exponentes que dice lo siguiente:
( 𝒙 𝒎) 𝒏
= 𝒙 𝒎∗𝒏
b) Así que transformamos la ecuación exponencial para que quede en
términos de base dos:

6. 𝟐 𝒙 𝟐
= ( 𝟐 𝟑) 𝟐𝒙−𝟑
Usando la ley de los exponentes anterior tenemos:
𝟐 𝒙 𝟐
= 𝟐 𝟔𝒙−𝟗
Igualando exponentes
𝒙 𝟐
= 𝟔𝒙 − 𝟗
c) Resolviendo la ecuación igualando a cero
𝒙 𝟐
− 𝟔𝒙 + 𝟗 = 𝟎
( 𝒙 − 𝟑) 𝟐
= 𝟎
𝒙 − 𝟑 = 𝟎
𝒙 = 𝟑
d) Sustituyendo el valor de la incógnita en la ecuación original
𝟐 𝒙 𝟐
= 𝟖 𝟐𝒙−𝟑
𝟐(𝟑) 𝟐
= 𝟖 𝟐(𝟑)−𝟑
Resolviendo las operaciones tenemos
𝟐 𝟗
= 𝟖 𝟑
Sabemos que 23
= 8 y aplicando las leyes de los exponentes se tiene
𝟐 𝟗
= (𝟐 𝟑
) 𝟑
𝟐 𝟗
= 𝟐 𝟗
Por lo tanto la solución es
𝒙 = 𝟑

7. Una alternativa de resolver estas ecuaciones exponenciales es con el uso de
logaritmos ya sea de base 10 también llamado logaritmo decimal o usando
logaritmo Neperiano (en base al número de Euler). Se muestran unos
ejemplos a continuación.
Ejemplo 4
Resolver la siguiente ecuación exponencial 𝟓 𝒙
= 𝟔𝟐𝟓
a) Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad
𝐥𝐨𝐠( 𝟓 𝒙) = 𝐥𝐨𝐠( 𝟔𝟐𝟓)
b) Se sabe que por leyes de los logaritmos que 𝐥𝐨𝐠( 𝒂 𝒙) = 𝒙 𝐥𝐨𝐠( 𝒂) donde a
puede ser la base del logaritmo o no; aplicamos al ejercicio
𝒙 𝐥𝐨𝐠( 𝟓) = 𝐥𝐨𝐠(𝟔𝟐𝟓)
c) Despejando a x tenemos
𝒙 =
𝐥𝐨𝐠(𝟔𝟐𝟓)
𝐥𝐨𝐠(𝟓)
𝒙 = 𝟒
d) Sustituyendo en la ecuación logarítmica
𝟓 𝟒
= 𝟔𝟐𝟓
Si elevamos cinco a la cuarta potencia tenemos que
𝟔𝟐𝟓 = 𝟔𝟐𝟓
Por lo tanto la solución es:
𝒙 = 𝟒

8. Ejemplo 5
Hallar el valor de x en la siguiente ecuación: 𝟕 𝟑𝒙−𝟑
= 𝟑𝟒𝟑
a) Aplicando logaritmos a ambos lados de la igualdad:
𝐥𝐧( 𝟕 𝟑𝒙−𝟑) = 𝐥𝐧( 𝟑𝟒𝟑)
b) Realizando las operaciones con logaritmos:
( 𝟑𝒙 − 𝟑) 𝐥𝐧( 𝟕) = 𝐥𝐧⁡( 𝟑𝟒𝟑)
c) Despejando a x
𝟑𝒙 − 𝟑 =
𝐥𝐧⁡( 𝟑𝟒𝟑)
𝐥𝐧⁡( 𝟕)
𝟑𝒙 =
𝐥𝐧⁡( 𝟑𝟒𝟑)
𝐥𝐧⁡( 𝟕)
+ 𝟑
𝒙 =
𝐥𝐧⁡( 𝟑𝟒𝟑)
𝐥𝐧⁡( 𝟕)
+ 𝟑
𝟑
𝒙 = 𝟐
d) Sustituyendo el valor de x en la ecuación
𝟕 𝟑𝒙−𝟑
= 𝟑𝟒𝟑
𝟕 𝟑( 𝟐)−𝟑
= 𝟑𝟒𝟑
𝟕 𝟑
= 𝟑𝟒𝟑
Si se sabe que 73
= 343 tenemos
𝟑𝟒𝟑 = 𝟑𝟒𝟑
Por lo tanto la solución es
𝒙 = 𝟐

9. Ejemplo 6
Resolver la ecuación: 𝟐 𝟐𝒙
− 𝟏𝟐( 𝟐 𝒙) + 𝟑𝟓 = 𝟎
a) Sabemos que el primer término de la ecuación se ve como:
𝟐 𝟐𝒙
= (𝟐 𝒙
) 𝟐
Reescribiendo la ecuación logarítmica tenemos (𝟐 𝒙
) 𝟐
− 𝟏𝟐( 𝟐 𝒙)+ 𝟑𝟓 = 𝟎
b) Haciendo el cambio de variable
𝒚 = 𝟐 𝒙
Y sustituyendo en la ecuación tenemos
𝒚 𝟐
− 𝟏𝟐𝒚 + 𝟑𝟓 = 𝟎
c) Resolviendo la ecuación auxiliar:
( 𝒚 − 𝟕)( 𝒚 − 𝟓) = 𝟎
𝒚 − 𝟕 = 𝟎
𝒚 = 𝟕
Y
𝒚 − 𝟓 = 𝟎
𝒚 = 𝟓
d) Al ser números positivos podemos usar ambas raíces, usamos por
comodidad la más chica, si volvemos a la sustitución de 𝑦 queda como
𝒚 = 𝟐 𝒙
Sustituyendo 𝑦:
𝟓 = 𝟐 𝒙
Hallando el valor de x
𝒍𝒐𝒈( 𝟓) = 𝒍𝒐𝒈(𝟐 𝒙
)
𝒍𝒐𝒈( 𝟓) = 𝒙𝒍𝒐𝒈(𝟐)

10. 𝒙 =
𝒍𝒐𝒈(𝟓)
𝒍𝒐𝒈(𝟐)
e) Sustituyendo el valor de 𝑥 en la ecuación logarítmica original:
𝟐 𝟐𝒙
− 𝟏𝟐( 𝟐 𝒙) + 𝟑𝟓 = 𝟎
𝟐
𝟐(
𝒍𝒐𝒈(𝟓)
𝒍𝒐𝒈(𝟐)
)
− 𝟏𝟐 (𝟐
(
𝒍𝒐𝒈(𝟓)
𝒍𝒐𝒈(𝟐)
)
) + 𝟑𝟓 = 𝟎
Queda
𝟎 = 𝟎
Usando 𝑦 = 7 el valor para 𝑥 queda como:
𝒙 =
𝒍𝒐𝒈(𝟕)
𝒍𝒐𝒈(𝟐)
Sustituyendo en la ecuación original queda como:
𝟐
𝟐(
𝒍𝒐𝒈(𝟕)
𝒍𝒐𝒈(𝟐)
)
− 𝟏𝟐 (𝟐
(
𝒍𝒐𝒈(𝟕)
𝒍𝒐𝒈(𝟐)
)
) + 𝟑𝟓 = 𝟎
0 = 0
Las soluciones quedan de la siguiente manera:
𝑥1 =
𝒍𝒐𝒈(𝟓)
𝒍𝒐𝒈(𝟐)
𝑥2 =
𝒍𝒐𝒈(𝟕)
𝒍𝒐𝒈(𝟐)