1. Se calcula la integral doble de una función en una región limitada transformando las coordenadas cartesianas a coordenadas polares. Se obtienen los límites de integración y se resuelve la integral.
2. Igualmente, se transforman coordenadas cartesianas a polares para calcular otra integral doble en una región limitada por circunferencias, encontrando los límites y resolviendo la integral.
3. De manera análoga, se calcula otra integral doble transformando a coordenadas polares y resolviendo.
INSUMOS QUIMICOS Y BIENES FISCALIZADOS POR LA SUNAT
integral doble ejercicios resueltos método conversión polares a rectangulares
1. 1. Calcular
1
2 2 2
4D
dx dy
x y
, donde D es el recinto dado por 2 2
2 0x y x
SOLUCIÓN:
Si transformamos a coordenadas polares:
2 2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
1 1
x y r
x y x
r rCos
x y x
x y
Donde los limites son:
0 2 os
2 2
r C
; dA rdrd
2
22 2
2
1 22 2 2
0
2 2 0
4
44
Cos
Cos
D
dA rdr
I r d
rx y
2 2
2 2
2 2
4 4 2 2 2 1I Cos d Cos d
2
2 2
2
2
2 2 1 2 2I Cos d Cos
2 2 2 2 0 0 2
2 2 2 2
I Cos Cos
2. Calcular
2 2
x y
D
e dxdy
,donde D es la región acotada por la circunferencia
2 2
1x y y 2 2
9x y
SOLUCIÓN:
Si transformamos a coordenadas polares:
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1
9 9 3
x y r x y r r
x y r x y r r
De donde los limites son:
2. 1 3 0 2r ; dA rdrd
2 2 2 2
32 3 2
29 1 8 8
0
0 1 0 1
1 1 1
1 2 1
2 2 2
x y r r
D
I e dA e rdrd e d e e e e e e
8
1I e e
3. Calcular la integral doble
2 2
22 2
D
x y dx dy
x y
, donde D es el anillo 2 2
1 4x y
Si transformamos a coordenadas polares:
2 2 2
2 2
2
1 4
1 4
1 2
x y r
x y
r
r
De donde los limites son:
1 2 0 2r ; dA rdrd
2 2
2 2
2 2
2 20 12 2 2
D
rCos rSen rdrx y dx dy
I
x y r
2
2
2 2 2
2 2
0 1 0
1
1 2 1 2
2 2 2
Cos Cos r
I Cos Sen rdrd d
2
2 2
2
0 0
0
1 4 4 3 23 3 3 3
2
8 8 2 16 4 16 8
Cos Sen
I Sen d d
4. Calcular la integral doble
2 2
2 2
1
D
x y
dxdy
a b
0a , 0b , donde D es la
región limitada por la elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
SOLUCION:
Si transformamos a coordenadas polares:
x raCos ;
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
r a Cos r b Sen
y rbSen r
a b
De donde los limites son:
3. 0 1 0 2r ; dA abrdrd
2 2 2 2 2 2
2
2 2
1 1
D D
r a Cos r b Sen
I abrdrd ab r rdrd
a b
13 2 22
2
0
0
0
1 1 2
0 2
3 3 3 3
r ab ab
I ab d ab
5. Calcular la integral doble
D
xy dxdy , donde D es un dominio limitado por la
elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
y situado en el primer cuadrante.
Si transformamos a coordenadas polares:
x raCos ;
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
r a Cos r b Sen
y rbSen r
a b
De donde los limites son:
0 1 0 2r ; dA abrdrd
2 2
2 2 3 3
( ) 2
2D D D
a b
I raCos rbSen abrdrd a b r Sen Cos drd r Sen drd
22 2 2 2 2 212
4
0 0
0
2 2 4 0
8 16 16
a b a b a b
I r Sen d Cos Cos Cos
2 2 2 2
1 1
16 8
a b a b
I
6. Calcular la integral doble
2 2
2 2
4
D
dxdy
x y
a b
0a , 0b , donde D es la región
limitada por la elipse
2 2
2 2
1
x y
a b
Si transformamos a coordenadas polares:
x raCos ;
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
r a Cos r b Sen
y rbSen r
a b
De donde los limites son:
4. 0 1 0 2r ; dA abrdrd
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
4 4
D D
dxdy abrdrd
I
x y r a Cos r b Sen
a b a b
12
2
2 02 2 2 0
4
44D D
rdrd rdrd
I ab ab ab r d
rr Cos Sen
2
0
5 2 2 5 2I ab ab
7. Calcular la integral doble
2 2
D
xy
dxdy
x y
, donde D es el disco acotado por
2 2
2 2
1
x y
a b
Si transformamos a coordenadas polares:
x raCos ;
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1
r a Cos r b Sen
y rbSen r
a b
De donde los limites son:
0 1 0 2r ; dA abrdrd
3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
D D D
xy dxdy rCos rSen abrdrd r Cos Sen drd
I ab
x y a r Cos b r Sen r a Cos b Sen
1
3
2 2
2 2 2 2 2 2 2 20 0
0
33
r Cos Sen d Cos Sen dab
I ab
a Cos b Sen a Cos b Sen
1
2 2 2 2 203
Cos Sen dab
I
a a Sen b Sen
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
0
( ) ( )
3 3
ab ab
I a b a Sen a b a Sen
b a b a
3
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3
2
( ) ( )
3 3
ab ab
a b b a Sen a b a Sen
b a b a
5.
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3
ab ab
I a b a a a a b a
b a b a
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
3 3
ab ab
a b a a a a b a
b a b a
2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 3 3
ab ab ab ab
I b a a b b a a b
b a b a b a b a
4 4
3 3
ab b a ab
I
b a b a b a
8. Calcular 2 2 2
D
a x y dxdy , donde D es la región limitada por la hoja de
Lemniscata
22 2 2 2 2
x y a x y , 0x
Grafiquemos y transformamos a coordenadas polares:
22 2 2 2 2
x y a x y ;
0 x a ; x rCos ;
y rSen ; 2 2 2
r x y
2
2 24
0
4
a Cos
I a r rdrd
cos 23 32
4 42 2 2 2 32
4 4
0
1 1
2
3 3
a
I a r d a a Cos a d
3 3
4 2
4
1 2 1
3
a
I Cos d
4
3 3
4
2 2
3 3
a Cos
I Cos
3
16 2 20
3 3 9
a
I
9. Calcular
2 2
2 2
0 0
a a x
x y dydx
Transformamos a coordenadas polares.
2 2
y a x ; 0 x a ; x rCos ; y rSen ; 2 2 2
r x y
0 0 2r a
6. 23 3 3
2 2
2
0 0 0
0 0
3 3 6
a
a r a a
I r rdrd d