Este documento define los conceptos de subespacio vectorial, intersección de subespacios, suma de subespacios y subespacios suplementarios. Un subespacio vectorial es un subconjunto no vacío de un espacio vectorial que también es un espacio vectorial. La intersección de dos subespacios siempre es un subespacio, mientras que la unión no necesariamente. La suma directa de dos subespacios es cuando su intersección es solo el vector cero. Dos subespacios son suplementarios si su intersección es el vector cero y su suma es el
3. Dado un espacio vectorial V
sobre un cuerpo IK, un
subconjunto S ⊂ V no vacío se
dice un subespacio vectorial de
V si S es un espacio vectorial
sobre IK con la restricción de
las operaciones de V .
4. El elemento neutro los denotamos como ~0
(para distinguirlo del elemento neutro del
cuerpo K) , y lo llamaremos el vector cero.
Además hay definida una operación llamada el
producto de un escalar por un vector, es decir,
una aplicación K ×V →V , verificando para
cualesquiera λ, λ1, λ2 ∈ K y para cualesquiera u, v
∈V que:
1. λ(u + v) = λu + λv
2. (λ1 + λ2)u = λ1u + λ2u
3. λ1(λ2u) = (λ1 · λ2)u
4. 1 · u = u
5. Ejemplo
El conjuntoV = R × R es un espacio
vectorial sobre el cuerpo R con
respecto de la operaciones
(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2),
λ · (x1, x2) = (λ · x1, λ · x2)
El vector cero es ~0 = (0, 0)
7. S1∩S2 es no vac´ıo, porque ¯0 ∈ S1 y ¯0
∈ S2. Ahora comprobamos la
condici´on de subespacio vectorial.
Sean ¯x, y¯ ∈ S1∩S2 y α, β ∈ IK. Se
tiene:
x, ¯ y¯ ∈ S1 ∩ S2 ⇒ x, ¯ y¯ ∈ S1 ⇒ α · x¯ +
β · y¯ ∈ S1 x, ¯ y¯ ∈ S1 ∩ S2 ⇒ x, ¯ y¯ ∈ S2
⇒ α · x¯ + β · y¯ ∈ S2 ⇒ α·x¯+β·y¯ ∈
S1∩S2.
8. Suma de subespecies vectoriales
En primer lugar observemos que la
unión de subespecies vectoriales no
tiene por que ser un subespecie
vectorial. Por ejemplo consideramos
9. V = IR2 ; S1 = {(x, 0) ∈ IR2 , x
∈ IR}; S2 = {(0, y) ∈ IR2 , y ∈
IR}.
10. Suma directa.
Sean S1, S2 dos subespacios
vectoriales de U. Si S1 ∩ S2 =
{¯0}, entonces al espacio
S1 + S2 se le llama suma
de S1 y S2 y se denota por:
S1 ⊕ S2
