TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONES

TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

ADRIANA BERBESI RODRIGUEZ LIBARDO CARRASCAL EDGAR MARQUEZ DE AVILA DAYANA MONTERO LOZADA DELMIDES NAVARRO RANGEL MAILE NIETO MUÑOZ SAMIA PAYARES ARDILA VICTOR PEREZ MENDEZ ANDREA RODRIGUEZ

CUANDO UN PROBLEMA DE VALOR INICIAL MODELA MATEMÁTICAMENTE UNA SITUACIÓN FÍSICA, LA EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCIÓN ES DE SUMA IMPORTANCIA, PUES, CON SEGURIDAD SE ESPERA TENER UNA SOLUCIÓN, DEBIDO A QUE FÍSICAMENTE ALGO DEBE SUCEDER . POR LO TANTO, AL CONSIDERAR UN PROBLEMA DE VALOR INICIAL ES NATURAL PREGUNTARSE POR: - EXISTENCIA: ¿EXISTIRÁ UNA SOLUCIÓN AL PROBLEMA? - UNICIDAD: ¿EN CASO DE QUE EXISTA SOLUCIÓN, SERÁ ÚNICA? - DETERMINACIÓN: ¿EN CASO DE QUE EXISTA SOLUCIÓN, COMO LA DETERMINAMOS? ,[object Object]

EXISTENCIA Y UNICIDAD DE SOLUCIONES Para una gran clase de problemas de valor inicial, la existencia y unicidad de una solucion puede ser demostrado. El teorema de Picard-Lindelöf garantiza una solución única en el intervalo que contiene algunos t o si ƒ y sus derivadas parciales ∂ƒ/∂y son continuas en una región que contiene t o e y o . Una prueba de la edad de Picard-Lindelöf el teorema construye una secuencia de funciones que convergen a la solución integral de la ecuación, y por lo tanto. La solucion del problema de valor inicial. Dicha construcción a veces se denomina “el método de Picard” o “el método de aproximaciones sucesivas”.

[object Object],Sea R una región rectangular del plano xy , definida por a≤ x ≤b, c≤ y ≤d, que contiene al punto (x 0 , y 0 ). Si ƒ (x, y) y ∂ƒ/∂y son continuas en F, entonces existe un intervalo I , centrado en x 0 , y una función única, y(x) definida en I, que satisface el problema de valor inicial expresado por las ecuaciones. El resultado anterior es uno de los teoremas mas comunes de existencia y unicidad para ecuaciones de primer orden, ya que es bastante fácil comprobar los criterios de continuidad de ƒ (x, y) y ∂ƒ/∂y. En la figura podemos ver la interpretación geométrica del teorema.

EJEMPLO 1: Determine si existe una solución única para el problema de valor inicial SOLUCIÓN: Tenemos lo siguiente: y vemos que una complicación potencial surge para los puntos (x, y) para los cuales x 2 + y 2 = 9 . Supongamos que estamos alejados de tales puntos al escoger por ejemplo una región R dentro del círculo x 2 + y 2 = 8 (ver Figura), la cual incluye al punto (1,2) descrito por la condición inicial. Entonces, puesto que se cumplen las condiciones del teorema, podemos concluir que sí existe una solución única al problema de valor inicial. En otras palabras, existe una única curva solución C contenida en la región R que pasa por el punto (1,2) como se indica en la Figura.

PROBLEMA 2: Use el teorema de existencia-unicidad para determinar si existe una solución única para el problema de valor inicial siguiente: SOLUCIÓN: Tenemos lo siguiente: Así esperamos tener complicaciones en regiones que incluyan puntos donde y = 0 . Del teorema de existencia-unicidad no podemos garantizar la existencia o unicidad de una solución en tale? regiones. Probando y = 0 vemos que es una solución lo cual muestra que al menos una solución existe, pero no sabemos si es única.

[object Object],A continuación analizaremos las condiciones para la existencia y unicidad del P.V.I. con la E.D. de primer orden: TEOREMA 1 Sea f(t, x) continua para todos los valores de t y x donde la función está definida. Entonces el P.V.I. (1) es equivalente a la ecuación integral: (Es decir, x(t) es solución de (1), x(t) es solución de (2))

[object Object],Demostración: Si x(t) satisface (1) entonces: Si x(t) satisface (2) entonces derivando (2): y

[object Object],[object Object],[object Object],[object Object],[object Object]

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