1. INTRODUCCIÓN AL
CÁLCULO VECTORIAL
Esquema/Sumario
1. INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL
1.1 Magnitudes vectoriales y escalares. Campos
1.2 Representaciones de vectores: módulo de un vector, cosenos directores
Operaciones elementales con vectores
1.3 Producto de un vector por un escalar
1.4 Suma y diferencia de vectores: regla del paralelogramo, suma por componentes
1.5 Producto escalar
1.6 Producto vectorial
1.7 Derivada de un vector
1.8 Integral de un vector
2. ANEXO: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO DIFERENCIAL
3. ANEXO: INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO INTEGRAL
RESUMEN DE OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES
TABLA DE INTEGRALES
ERRATAS DETECTADAS
1

2. %
¹fÁ ! Á
$# ¡©¹
î ³›¡Ÿ­¾¦ ¡¨ž¨­œ¡†Ÿ¡$³žŠe½še®š¸¬³›Ÿ½¾¨ ¡¡»¤S½šÂ³š¶Š©»ÜíØ5³Ç§¥
§ž › § ¦ ›¾¦ § · ¼ § ž ¬ž © ¼ §ó ¨ Ëñ ð ¦
³ß¨›½§³ ¡¤£³·¡¸¤›
¬ §±
³Õ¨›¡Ÿ­¾¦ ¡¨ž¨­œ¡S¨›¦§¥·—³žÚí¨Õeš æ ¡¨¤Äe“šªž ¨·¦§³Õ³›²Ÿ½¾¸ ¡³žÂ½œ¡cŸ¡Ó¤¨ßŸ½¾eš æ ¦œ½›ÂX³¼Â¡³ž­§¥ ˜eÆše³š¦¬¨›§
§ž › § ¦ ¢ § × › · ¬ › §ž › § ¦ ›¾¦ ž ä · ¼ ¾ œ § § ¢ · ¼
¾± œ ¬ § §¤¯ › ¼ § › ¢ž¤± › ¼ ›¾¦ ¢ §¦ ¢ž ž ¬ š¼ ¬ ¢¾ ¤ § ¬ §± › š œ ¼ §
YÂe³š‡³¼º¡°ŠŸ½¾V³ž…Ÿ¥¾‘¡²ŠŸ½¾ŠŸ²¶¦¾º¡Â¥¾‘¡¸¤Î៳¾aÀ¼†eÆš¨ ¡³ž¦§eY­±¡°³¯˜½§¨ “¤£¨·Y²¦¤S¨eÆš­¼˜¶ó
Ë ÝÉý ÛÜ ÝùûÇ Ü ËÇ Ýý Çþ ÝÉ ÍÇñ ¡
“»Ê‘P5ÖÇ“¤»ñPH¶Øt5»Ùÿ†€»Ç‘¿Öú°¤ù ¢
ß5YÔÙÿØT5ÌÇ“»Ê‘¶®ÇÛ
ËÇ Ýý Çþ Ü È Ë ÝÉý
üÜ ÝùûÇ È ÝÉ ÍÇ ñ È ž ¬ ›š ¼ › · ¼ § ›¾± ¬ › ¼ ø ›¾± œ ¬ › § §¦ ¾ž¤ š¦
¡¤Ìña55»Ç‘¿Öú°¤³ùØe½š³ 5¦¾eº¨›½§Ð¸§c¨›¦§e½še®š¸¬³›˜Ÿ¨Àœ®š˜Ÿ½¾qШߟ¨e³šSŸ¦¾¸¢¨›¨¡$¡¡“e³š¬
š ¾¦šž ¬ · ¢ § œš § › ¢ ¬ž ¬ ›¾¦ ´ ä Ë Í ÛÉÇÙ Ü ñ ðÊÉ ž¤ ›¾ ·¦
ƒ›Ÿ¡e¡Ÿ½¾¨ eÆš¨¼¦§¦§‘³žÂe“õô³¬¸§¥·}¢³›ÂŸ¥¾²¨±³§¡e³¾gŸ¡÷³ž¥§}¢½›¶íĐߓÌÊÞÝ#ÖÜe5!¤Ø“Ÿ÷¡gŸÂ³œ¦§²¡³ž¦§¢
öÕeÆš ¸Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ¨›¿¦ ‡°¡»Ê“Ÿ®É5T¨§½¬¡ƒ¸§ò¨e³š¿³¼H³Õe½še®š¸¬³›‚³›$¡¥¤£¢¡Ÿe¨ò“õô­¬¡¿¶º²³š½¬¸ › }ª«$²¥¤­¢²Ÿe¨œ
¼ · § ›ÏÍ ËÊ ÈÇ ¦ › ¾± œ ¬ § · ¼ § § ¦ žš œ š ¦ ó ß © ¦ žš
š“¡¤g§¡Ÿ­¾eš æ ³¼­¾³ e“¸±³›¤¨¼¡$¦¾‘¡¡E“e³š—¨žò“½žÂ¦œ¨·¥§¨¢²Â²5ÚŸ®ªž ¾ ³ ¡²»¤E¡¡˜³›Ó¤Ø¡Ÿ—…ï
ž ¦ · ¼ § ¬š § §¦ ¢ž¤± š¦ ¬ § š §¦ §¤¯ ¬ž © šž¤ § Ü ñ ðÊÉ ž
ß ªš ž ¤ · ¾ ± ¾ ¦ ¬ ª§ ž š œ ¾ ± œ ¼ · ¾ ± œ ¬ § ¦ ¼ ± á î · ¤
aÀžt­œ$¡ŠeY¡e³š¦§³·ƒ¨¾½¬¦ ¨¢tŸÀÐg¨e³š¬ î e½š¦ Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ ¨e³š˜¡g½¾¡Â³œ¸§Yä Ÿf ¸§¡Ÿ­íì
¨ß³›½§À¼Æš¦ e¥¾¨¢¨¬§ æ ¨›¡¡¥¤£¢¡Ÿe¨VŸ¦¾fºë $®š¸ê³·¡»¤TÆšgvÁ Òçé—Ÿ®ªž ¾ ³ e¦š³·­§³¼³§À¬ƒÆš“µÕÁ µçèÅe“½¦¨ ¶­¾³¼§ æ
· §¦ žš œ ž › Á ¹ § © ¼ ¾ ¹ ¬ š ¼ ¹ ¦š ¬
Æš¶¡Ÿ¦À·“T³œ­ž¦ “³Ï¨›¦§e½še®š¸¬³›f¨›¡¡¦¤­¢¡ŸÀÐŸ¸¾ŠXÌäš “¸³·¡¨žTÆšgtÐÌœ¥šÀ›ÐT½š¡µÕ…»ã¥š¡¦¤À¢¥š¨·Y³œ¦§¢
¼ Õ ¾ š å § › · ¼ § § ¦ ž š œ ž › Á ç ¹ ª« § § ¼ ¾ Á ¹ š œ ¼ Á ¹ · § ±
Æš¿²½¾¡Â³œ¸§âáTŸPÚÀ߶»Ç“»ÊÞÝ®Üe¶Úe¨eÆš­¼E¦§¤¡¡­¦¥ ‘³ž¸§ØÓeÖªž ¾ ³ ¨¬³¬¸§½·¡¿ÒÕÔÁe³š¦§€¸¾³·Â¡ŒÌžÓ½¾¡²ŸtIJ¤
¼ Õ ¼± § ·¾à È Ë Í ÛÉÇÙ žš œ ¼ › Õ¾ ¢ › × ¦ ¼ · § œ ª¤ ¹ ¼ ¤ ¦ ª¾ œ ž
¥§‘že½š¡³¦ÂÀ›“e¥š¨›¦§¡¶Ò´V¨·¦§Ñe¥š­¢¦ ¨›³§¨¬¡—²5ÐeÆš­¼³¼¡°ece5ÎÇ¡ÌÊ¡Ÿ®É5te¨eÆš­¼Å¸§e³š¦§Ä¦¾¨·¨²ŒÃ²¤
¢ § œ š ¦ · ± § › ž § ž § ¤ ¯ › § ¤ ¯ š Ï È Í Ë Ê È Ç ž š œ ¼ › ¼ · § œ ª¤ ž ž
§¥‘že½š¡³¦Â¥Á³›¡À¦“½¦¡²¿³›¦§°¨ž½§¡²ŸY¸±³›¸§¦·Ÿ¨¾Pe½šT³ž»§º¦§¸›e¥š¨›¦§¡¶µ´ƒ¨ž¡³¦²¡v¡°e®š­¬¦ › ª«¨›¡¡¥¤£¢¡Ÿe¨e†™
¢ § œ § š ž¤ ¢ ¦ž¾ · ¬› ¼ ¹ · ·± § § §¤± §¤¯› © §¦ žš œ›š
”‰ Ž— –  • ”‰ˆ  ‘ ‰ˆ ’ ‰ˆ‘ ƒ  Ž „ˆ ‹ ‰ˆ ‡ … ƒ  €  |
˜ŠŒ€—Š…Œ‡v“f¢qf‡hŒŒvŠŒqŠ‚h†}„h‚hG~ }{X{
s rh k m j p x m s o p s r s i mh p o n m k i
8†zByu1w 7vut8lp 8r ¢¤q4p 8BBlj Ph g

3. Y
§¦ ¾ ¢ › § §¤¯ ¬ › §¦ ¹ ›š §¦ š ¾¦ ¢ ·¾ ›šž · ¬ ›š š § ·¾ ¬ §
¡ÿ¡­¦¥ ‘³ž¸§v³¼Ð¡°€®š“V£¦ ³·§ æ ¦§¤¨Õ½·¨ ³¬¡T¨›Ì§Ve¡õô³¬¦§¨·¡ÿ²eõš‘³ž­§¦ ŸSe“e½š¦ ³›¦§¸¢e³šTe“À¦“³ž¡¸¦Ÿ5³¾Ð²¦
š › ž¤ ¾¦š W ¼šž › § ¢ ¬š § § § ›š¦š § ·¾ ¬ §¦ š › ž¤ š ¢ § ¼š ›
Шœ¥§}¢½›¦ ڡСe‚Xß e“e½¾¦ ²³žÂ½œ¡­¦¦ ¥·ò­¾³ e¡¦±³›P³¼Ú³žŒe“e“¨ž¡¦¦e¶¨¾ƒ¡Ð¨³œ¥§}¢½›¸ ŲЃ¥§‘¨ž¨­œe“¦¤²¤
¨ž¦§¨·“£¸§ò¦§T¨›¦§Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ e†$²¥š¨¢³¬¸§$“õô­¬¡Ð¸§¡Ÿ¸¾õš‘¡¡À±E¡¡Ÿ²V½š³ e“í¡¡½¦¦ ‘³ž¦§ºŸÅ$‘Ö×eò¸§›
§ · › · ›¾™ ß · š ¦ ·å › ¢ž¤ š §¦ž¾¦ ¬šô Õ¾ ¢ › ·¾± × š ¾±š
§ ¤ ¯ ¼ · å › · ¼ Õ ¦ · ¾ ± · § ¦ ¦  ž ¼ ¼ § ¦ ¢ § › ¼ ¤ ¦ ª¾ œ · ¾ à ß Ü
¡°Â½šS¦§²Ÿ¦¾Ð¥š¨¢¨¬¦§¨½š#aŸÖªž ¾ ¨ ³¬¨¬¦§½·²hŸa¨ÏŸ¥¾µ¢³¬§ æ ³¼²$¡¦¤­¢Ÿ²Ÿ½¾gÆšc¡¡³ž­§¥ ‘³žS¦§g½¾¡²ŸthŸP†††öþÖÝÛ
üý È › × ÝÉÉ Ýþ ›Õ Ëù ð › ¬ § § · §ž § · ž¤ ¢ · · ·š
‡5³Ç€¦¤$ØY@ý Ü ‘‘5ÎÇÌÍÿ¦¤†ÌÜY@þ Ü Ú¦¤ŒÀ·®š“V£³ ³¬¦±¨›ò½¾¸ e¥š¨›³§¨¬¡³›H³ÕŸ¦¾¨¢³¬§ æ ¡À·õš‘³ž¸§³›¦§²³±¦§¨¥šePà
‰ ˆ  Ž „  ˆ ˆ ‡ ƒ  „ ˆ‰ ˆ —ˆ |
Š…ŒŒff‹ ‚4ŒUŽT vhPŒX¶Š…tX—S RQX{
î ¥¾‘¡²c¸§³›ŠŸ˜¦§e“º¡°g®š¦ê¨·¡»¤‚¡T®š²ž ª« T½šƒEÖÇY5#P¡ÖÊ…¨›¨¦¾‘¡¡ƒ“e³š¬
¢ž¤± § ·¾± ›š± §¤¯ § © §¦ § ¼ ¼ š ÛýÇIý Û § ¢ž¤± š¦
šve½š¦ ·Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ ¨Àœ®šv¨¼TŸ€¡e¡Ÿ½¸ eƒŸ¦¾¨¢³¬§ æ ³¼§ î À¦“³¦­§¡Ÿ¦¾²ò¥§‘³ž­§¡Ÿ­¦ $½šÄ³ž¡¨ž½§¦ ce³š¡ž ª« Teõš}¢¤ä
¼ ¾± ¬ § ·¾± ¾¦šž ›š · š ± ·± ¢ ¤ › ¼ § ¢ › § ¼ › ›
ßÊ ÍÇ þ Ü Ü ñ ðÊÉ Ç ÊÇ Ë š œ ¼ › §¤¯ ¼ ¢¤ › ¼ · ›¾± œ ¬ › ¼ ž
a‘EH°âùCGÇÑt¤—“ŸÄ†þ °†ý @ B ШeÆš­¼¨¸§g¡°V­¾Ð®š­ê½ ­¼¥ ²g¦§˜¨›½§e½š¦ Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ Ÿ¨e³š‚Ÿ½¾Å¤ä
Ê Í Ç C Ç þ Ü Ü ñ ð Ê É Ç þ Ê Ç @B 8
‘FE°†âùD†ÓÓ¤—“Ÿÿ†—°†ý A9
¨ßeÆše³š¦¬¨›ÂÂe®šV¡ƒ†e“e½š³ 5¦¾e†¨›½§e½š³ ¡¨ž¥§e½±²5¨¯†³›½§¨ “¤£¨·Y²¶ó ¶% ¦§²Ÿ½íì
· ¼ § ¾± œ ¬ ž¤ š ›š¦ ¬ ›š ¼ ¬ ¢¾ ¤ § ¬ §±¤ î ·¤
ß ·¤£ ¼ § §¤ œ › ¾ œ ¬Õ 5 ¦ · §¦ ¬ ©ž
²¦š¡Ÿ“7½š$¨žÂ¦š¥·¸¢¨›¡T˜¦§gŸ³¾“g0 6­¾¡e¦šº²g½š³ ¡¨ž¦§¨·»§²¡³¤¸¬½·¨ ¬
šž š §¦ž¾ · ¬ ž §¦ ¬ §± › š¦ ¬ §¤¯ · ì ß 0 §¦ · ž¤ ¼ ·š
“¡¤ Ó¡¡eY¸±³›¦§¸·Ÿ³¾‚¨¼§ æ ¡—²—­§³ “4£³·¡¦¤q“e®šÅ¡°ÿ¦§¸›e¦šá Py²3 2 1¡EŸ½¾À¼š æ ¡Ÿ­eš ¥še¡±
Á %¹ 0 !
)$#
î e³š“(£¸ ³·§ æ ¡°v²'©cŸ¦¾‘¡¡˜¡Â¥¾‘¡¸¤Þ៨¾‡³¼†Ÿ†e“½¦²“£¡V³ž²³ž½§ æ ¨¼§ æ ²º²h¨›½§³ ¡¤£³·¡¸¤Še†™
ž ¬ §¤¯ Á ¹ › ¢ž¤± §¦ ¢ž ž ¬ § ·¾± ›š ž §¦ § ž §¦ ¬ §± › ›š

4. „
Í Û É Ç ý ù Ç þ Ë ù þ @Ü ‰
#ÖÜe5Ù P€ØÌÜP9
¹
Á % f Y ç u % ! ç r f ! fç Y ç y
Á Ÿˆ‡¹ Á ¹ 3 3
‘i3 f ts3 ç u #! ç r f ! fç † ç r
Á ¹ 3 3
‘i3pi3 f ç u #! ç r #! fç f fç
¨È Ë ñ ðǦ
…»ÜíØ5³§¥
Á °v„¹ ƒ ‚ €
ç u ey ! ç r Xy ! fç Xy ç y
î ½·²½å¦ ¨·¦¬¨›ŠŸ¨¨œ¡5Y˜¡°ƒÐ¸œŸ»¾‚¡²¨ÕŸ½¾¸ eõš£¢¡¡…³›¸§Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ e½¾˜¡Â¡¡ƒ“e³š¬
§ ›¾ §¦¾± §¤¯ š · © §¦ › · ž¤ · › ¼ §¦ ¾ž¤ š¦
¦§¡Ÿ¸¾› y ¡ƒ¨›¡Ÿ­¾³ ³¬¨¬ŸÖצ¾²Se½šE¡c¨›¡¡¦¤­¢Ÿ¡e½¾SÀ›Æš€g³›¦§‘³ž½§²¡Ÿ¦±³›¸§¦·Ÿ¨¾¤µÕÁ € y П¦¾¨·¨²Œž
·å §¦ §ž § ·± › ¼ §¦ §¦ ž ¼ ¼ š ¢ ¦ž¾ · ¬ ¹ › § œ ª¤
¢ · ± ›š š § ·¾ ¬ §¦ š › ¾ ¦ §Õ¾¦ ¬ ¬ ·¦ · eš · ž ·
³›¦§¦·fŸç¾ “³Õe“À¦“³ž¡¸¦Ÿ5³¾º¡ƒÐ¨œ¥§¸¢­›¦ g¡õô­¬¡¨ž¡¡¡e³š½ê¸ ³·¥§µ¢e¥šÀ·®š¨¡šª ¡¡¨ž§ æ Õ ç y ¡X¸ ƒÕ ½¾ y e¥šX­¢¦·‚ y¡¸å…Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ …ï
Á Y¹ w 3 ¹ Á3 ¹ Á3 3 g
x fÁ pipv3 ç u ‘i f ts3 ç r q‘ipi ¹f hfç
î Ÿ$Àž“Ÿ½¸ ³›¡˜¸§…À›“e“¨ž¡¦¦Ÿ5³¾˜¡˜¸§âá§
·¾± šž §¦ › š¦š § ·¾ ¬ §¦
š¦ ¬ š ¢ ¦ž¾ · ¬ · › › ä Á š ž¤ ¼¤ œ §¦ §¦ ¹ Í Ýýù Í ÛÉÇ
“e®šò˜¨›¥§‘³ž­§¡¡Ÿ¦±¨›¦§¸·Ÿ³¾†³Õ¨›¦§Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ Ÿ¦¾¸¢¤˜µß#À¦“½¦¡²Ð½¾²¡Ÿª¦ ¾ ƒ¡a³Õ­·³ ¨¬¡³›»§÷ÌÜÞÝ¡ÖÊÔÛPV#ÖÜe5Ù
ž¤ ·šž š § §¤± ¼ › § š¦ ¬ šÕš § œ §¦ ¦š ž¤ šž¤ š¦ £ × ·¤£ ¼ §¦ § ¾ œ ¬¼
¡¿e“e½¦ À›h²³¦¡¡v½§Š¦§†¸§âá“e®š‚‘¶“½¦¡¨¦¨Š²ƒe“½¦²¡‚“¡“e¦šÞá7ŸÕ f ¦š¡Ÿ“e½šŠ¡¡³¼‚Ÿ¨¾²e¥š¢
µÕ‡7¸§á³¼²gš æ ¥ ­¢¸ Ÿ$Ÿ®ªž ¾ ³ ¨¬³¬¦§­·¡gÆšŒ¨›§ c¸§á‡eš a¸§âᆳ¼T¡¸¦³›¡†e¦š½·Ÿ‡À¼‚Ÿ¡õô¸¬Ÿ³¾e³še¥š³¼²c¨§¡eš æ š
Ád § §¦ ›¾± ¦ ¼ b §¼ ` § § § §¦ ·  š ›¾ · ¬ ¬ › §¦ ¬ž
ößeÆš¸ Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ¨Àœ®šV¡ƒ†e“e½š³ 5¦¾eg¨Àœ®š˜¡†e®š²ž e™ ²Y ¦§²Ÿ½íì
¼ · ¾ ± ¬ ž ¤ š › š ¦ ¬ › š ¾ ± ¬ § ¦ › § ª« î · ¤

5. ‡
î Ÿ¡e“¨ž¡¦¦e¶¨¾…¨›¸§áŠŸ­¾˜¡¨²¡Â¡e®šŸ¨¾¬
›¾¦š § ·¾ ¬ § › ¼ §¦ ¾ž¤ š¦ ¬ ž
š · © § ¤ ¯ › ¼ ¤  ž ªš › ¼ § ¦ › ¾ › ¬ › ¼
¨¦œŸ»¾Â¡°‚Ÿ½¾¡e¡e—Ÿ½¾g¡cŸ¡¨ž¦§Ÿ¨¾‚Ÿ½¾š · § ¦ È Í Û É Ý þ È É ž ¨  š ¼
ç y Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ ³¼¡ƒ5ÎÇ®Üe¶ÎÇ»ÍP$#5ÖÜýÍÜÎÇ ³Çe5ŸÎÇÜÉÈÛ ÿeÂYe†½¼ÜœÈ ½š 5³Ç¶óȧ Ü $
È ¶ ÌÍÝ þ ý ™
ß · ž
¡­¾¦ e¥š­¢¡²¤
· ž¤ š §¦ž¾ · ¬ ¾ œ ¬ 3 3 · §¦ › ¬ § žä¨ Ëñ ð ¦
Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ¡S²¡Ÿ¦±³›¸§¦·Ÿ¨¾SŸ³¾5Õ f #! ˜! f 5 ” fç ” Õ fç e¥¾¨¢¨¬§ æ ³¼¡S¦¾e³šY¨¼EeX©»ÜíØ5³Ç§¥
Á ‘s—¹ •
ƒ y ! ‚ y ! € y – y ” ç y ”
î ²5T¨¦œe»¾˜²¦
§¤¯ š · © §
¨Õe¥šŸee#šª £¢ef¡Œ¨³œ¦§e³¾²³¼h¡¡e³š½¬­ ¡e†¦§¸›³·¡¨ž¥§²ef¡³¦²¡¤Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ³¼²ÎùÔÛP»Ü@ Ü ÌÜY@þ Ü ¡¤ä
› ·¾ à §¦ š · §ã § ¾¦ž ¼±š § ¢å¾ § §¤± · §¦ þ ÝIý Ë Ëù ð¼
³ße¥¾¨¢¨¬§ æ ¡˜¡†³›¦§°¨ž¡Ÿ¨e¾ “î ‘¦§¡e½íì
· ž¤ §¦ ¢ §ž¾± œ ’ „ ·¤
X
Ay
Ax α
β
i
Y j
k
A
γ
Az
Z

6. —
Á H% ¹f Á n ¹ „Á ‡
Ÿqmte…„ ¹f § fÁ …„ Y % ÃP‘i—te…„ Y ¹ †ç € „ ç y
Á !Á ‡ ¹
Ÿq‡ % …„$ˆ‡¹ § fÁ …„ Y % ¹ w‘i—te…„ Y ç € ! ç y
¬ž ¢ § ×Á ‡ ¹ · › ¼ ›¾¦š W ¨ Ë ñ ð ¦
î ³›³§²Ÿ¥¾‘³ž¶µÕ fÁ …„ Y % ¹ ç € XŸi—te…„ Y ç y ³›¸§Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ Ÿ½¾ŠŸ²e‚)©»ÜíØ5³Ç§¥
Á Ÿ ¹ff € ƒ € ‚ € € ¹
ç u Á ƒ #! Xy ¹ ! ç r Á ‚ #! Xy ¹ ! fç Á € ˜! Xy ç u ƒ ˜! ç r ‚ #! fç € ƒ‚ç 00 0 0
î ¡šª ³·¸§g¨¡¸¤…e¥¾¨¢¨¬§ æ ¨¼§
›šœ›·
€ €
ç u ƒ ˜! ç r ‚ ˜! fç € †ç € €
Á‘3 ¹f ƒ ‚
ç u ey ! ç r Xy ! fç Xy ç y€
›š¦š § ·¾ ¬ § ›¾¦ ·± · ›¾¦ ›¾ § ¢
î e“e¡³ž¡¸¦Ÿ¶¨¾$¨žŒŸ²e¥š¨›¦§¡¶µ´§ ç € × ç y ³›¸§Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ Ÿ²…e¨¨œ¡³ž¦§a¶ó $
È ÛýÇýÜ ñ ðÜÉ ÍÜ ñ Ê ð
5ÖÇY5†Y¤—YŸò¤ÚØù ¡
ß % ¦š¡Ÿ“½š$¨žg¦š¥·}¢³›¡Tº¦§ƒÂŸ¨¾¬
·¤£ ¼ § §¤ œ › ¾ œ
Õ  ·š± §¦ ¼ · ¼ ¾¦ž ›¤ ¢ § œ ¬ · · · ¾ ·š œ › § §¤± · ›¾ ~
¡¾¨Àœ¥š·ŸŸ­¾³¼­§¼e¥še¡‘³¼¡f½šŸ³¸§†½šh²¡e¥š²X¦§‘³žÂe®š“F£“šª ŸX¦§¸›eõš}¢³›¦§†X¦§¸›e⦤S¨ž¡³¦²¡P¨›¦§Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ Ÿ‡™ …
Ü ð Í Ë Ë ÍÊñ ËÇþ ËI
Ø“ÎÊ#I ÌÜ5»Ç“ÎÊ¡v5Ú»Ê$Ç
‰ˆŽ„ˆ‹ ˆ‡ –… |
f…Œvf'‚¢t} |X{
f z u ¦ ƒõš}¢Ÿ³¾À¬c¸§E× f 2 u ¦ c‘¦e½šec¦§ƒ½¾²¡Ÿª¦ ¾ ‡³¼¡ÀÕ¥§‘³žÂ½œe¡“p²y{u
› · š › › š · ¼š › ¼¤ œ § ¢ § ¼šž£Ï3 z
¦ ƒ¾­¦ e¦š¥·¢‘Ÿ¨¾¬Â¾²½¦ ¥‘¨ž¦§›ƒTyxw¦ g¡½¦¦ ‘³ž¦§c¨¸œ½›Âa”œ ³¼²”§ Ï V²5EeÖªž ¾ ³ ¨¬³¬¸§½·¡S¨¦œ­›¨cÆš¡¨ž½§¦ ¢ ea¡¡Ÿ²¦
› · ž ¢ ¾ 3 ” 2 ” u › ¾ ¢ › ¾ çè § ¤ ¯ ¦ š œ ¼ § çè u § ¦ ž ¾
Á ‘so¹ Á ƒ è qu ‚ è qu € è ˆu2 eu
¹ çè
î ³›§³²Ÿ¾¥‘ž¤Xß³³›¦§‘³ž¡ŸÂŸ³¾…¡¦¤ŠeY¨¡e¥š¨›¦§¡¶Ò´hŸ¦¾¨¢¨¬§ æ ¡¤ ç è fÀ·Æše³š¦¬³›V¡v®š5ó
¬ž ¢ ä ¢ §ž¾± œ ¬ › › ·¾± ¾¦ ·± § · ž × ¼ § ž¤ u §
 ‘ ‰ˆ  …  Ž—  Ž „ˆ ‹  … ˆ ‡ Ž „ … ‡ Ž |
Œ‡v“f¢Œ4ŒŠŒŒffzŒq‚zv‚‚†t ˆsX{
ß §¼š ¼ ·š± § × r §
†‘¸§áHeg½¾¨¼½§e¦še“†³›Eƒa¸§á‡¨¼§
ž ž ¢ ž ¢ › ¾ ¦ ·  3 o § ¦ ¼ ¤  ž ªš ž ¤ š · § ¤ ¯ š × · § § § ¦ § ¾ œ
Ÿ³¾¬Â¾¨œe³¾¬òc§¸á§†¨¼§$Ÿ¨¾¬¨¦¾‘eõš†Ÿ¡e¦šŸƒqp¡g½¾¡Ÿ²e!²g¨¦œe»¾© fç ¡°ÂŸ“³Õe¦š³·¦±³›º¡g¥š¨·ÂŸ¨¾¬
Á ‘ns¹ 3 kfe Ï3 ife
” ƒ f ” l…xd ²† ” ‚ f ” jgxd Ï f ” € f ” j…xd hfe
f f f
Á · ž¤ · §¦ ¬ § žä¨ Ëñ ð ¦
î ‘i3pi3 ¹f çf ­¾¦ e¥š­¢¡¡…Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ ³¼¡Â¦¾À›®š‡³¼V¤f©»ÜíØ5³Ç§¥
Á Ÿˆm¹ ” ”y kfe ife
lgd ” y ” jgxd ” ”y Hgxd hfe
ƒ ey ‚ Xy € Xy

7. m
Œ › 3 ˆ
ç € †ç y ¸ g†ç € ‹ç y
ˆ
ç y ˆ ç € ç € ‹ç y
ÈÇþÊþ Ýñ Š
5†“5»Çí#ÎÜÍ …
Á jY ¹f ‰f ˆ
j…exd € y g ç € yç y
î ÀžšÐ¸œŸ¾»‚¡¤°Â­¾¼¡Ÿ¡žÀº³¼¡¦Â¡³ž¸§Ÿ¾³‡¨¼Š·Ÿf›Ÿ½¾²¡¶¾Â…¡¦¤˜¡Â¥¾µ¢¡¡5¦¾¡‡¨¼XÀ·®š½¬­ ¡½±¦ ­¢¡Sœ
· © § ¯ ¤  ªš § ¾ › ¬ § ¾ ± ¼ ¤ ¦ œ › › § ¦ ¬ ¤ ¦ · ± § ¼ ¼ ¤
§ § ¯· § ¾ ¬ ¼ § ¬ ¦ · › ž ¦ ›Õ · › ¼ ›¾ š
¡¦$¥š­¢¼¡¸¤›³¸§·¨¡¤°ºešÆÀ¼®š¦¬›¨e³¼§V¨œŸ¨¾˜·eÆše³š¦¬›¨¥¾µ¢¡¤¡5¦¾¡±—¦¤¨§¡“£§²¨¸§íÐç € × ç y ¨›¦§Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ Ÿ½¾˜Ÿ¡À¦‚W
 ‘ ‰ˆ Ž „ … ‡ Ž |
Œ‡v“fzv‚‚†t R‡X{
³ßÀ·Æše³š¦¬³›V¡ŠŸ…Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ¡˜¡g¥¾µ¢¡¡5¦¾¤à î c¸§¡Ÿ½Pì
¼ § ž¤ ·¾± · ž¤ §¦ ¬¤¦ · ‡ ·¤
λ A (−1λ0)
λ A (0λ1)
A λ A (λ−1)
λA (λ1)

8. n
Á ‚ € ƒ !
‘— ¹f ƒ € ƒey ! ‚ € Xy ! € € Xy Á ç u ˆ ç u ¹ ƒ € ey wÁ ç r ˆ ç r ¹ ‚ € Xy wÁ çf ˆ fç ¹ € € Xy †ç € yç y ‚ ! € ˆ
î ¡šª ³·¸§…À·Æše³š¦¬³›g¦¾¨¢¡¡5¦¾²$¸¤›
› ¼ § ¬¤¦ ·±
€ €
ç u ƒ ˜! ç r ‚ ˜! fç € †ç € €
Á Ÿ‡ ¹f ƒ ‚
ç u ey ! ç r Xy ! fç Xy ç y €
î ³›¸§Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ Ÿ²…e¨¨œ¡³ž¦§a¦ “¡¦¾°ÀžõšT½¾†Ÿà
· ›¾¦ ›¾ § ¢ ›Õ ¢ ¢ ¼ ·¾
3ƒ çf ˆ ç u ç u ˆ ç r ç r ˆ fç
Á °„ ¹f f ç u ˆ ç u ç r ˆ ç r fç ˆ fç
î ¡°¯
§¤
œ § ¢ ¦ § § ×› · ¤ · › ¼ §¤¯ §¤
¥¾¢ÞÆš ¡¨¦§¨¡­ž †³›²Õ ®ª«›˜¦§·¦‘³ž§†³›¸§·eÆš¼¡¨¤½¬ ¡²ž³¦±³·±òtŸ¾½¸ eõš£¢¡ž¡žŸ¦¾› ç u × ç r Õ fç ³›¸§Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ Ÿ½¾˜¡°Â¥¾¸¢¨›¡¤à
¨ÈÊ þÊ ýÇ þÍÜ ÜÉ ýÇ ý ÝÈÇÍ ñ 
…¡“†5Þ#aŸ75÷@ Ü ®5ÎP‡X¥
ˆ ¾ ›§·¾¢¬ ›¾ ¦ §·¢ ž§ ¼ ¤ ž
” çç   ”(” ç çè è ” ‰ ›Ÿ¨¬ î ³¦e¥¨¨§ æ Ÿ¡º¦¦‘³g½¾¡e¡Œª ø
§ Á ˆ ¹u
·e½š¼e®š¸¬³›u ÒÕƒç € yç y Žç € ˆ Á ç y ˆu¹
ˆ ! ˆ Á ! ˆ
ç 0 yç y ç € yç y cç 0 ç € ¹ ‹ç y
ß¾ œ · ¼ ·š± §¦ ¼  — ·¤
¡Âe¦šŸŸ½¾¨¼½§e¦še“‡¨¼¡TÆšŸ¨§ “î A¦§¡Ÿ­íì
Α
Β
Α+Β

9. o
Á ‘o ¹f ‰fe ‰fe
Hgxd y jgd ” ˆ
fç (”” ç y ” fç yç y
î ¡°¯
§¤
› ¦ · › ¼ §¦ ¾ž¤ ¾ œ ¬ ž §¦ ¼ · § ›¾ § §
Ÿ¾Âœ³¦§·²¡ž³¦§¢¶Õ ç u ª ¾ ç r Õ fç ³›§¦e¾¥¨¢¬¨§ æ Ÿ½¾²T¡¡TŸ¨¾òŸÖªž ¾ ¨ ½¬¡¡£¡ºÆšE³ž§ ç € Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ³¼fe¨¨œŸŸ³¾¸¬³›Y¶ó
¨ßŸ¥¾µ¢³¬§ æ ²º²Ÿ®ªž ¾ ³ ³¬¨¬ŸÖצ¾¤à î c¸§¡Ÿ­íì
· ž¤ §¦ § · m ·¤
X A i
θ
A
Y
@ý Ü ‘‘5ÞÇ»ÍÓ†PÞÇ” ³Üt@ý Ü ‘‘¶$Þܘ‘¡ÌÊ¡Ÿ®É5ØÖÜePaÞÜv5†þ @ý Ü ‘¡ÖÊ‘ÞÇÎñ°ÖÇYý …
ÝÉÉ Ýþ Êýù Í È ÝÉÉÇ“ Íñ ¨Í ËÊ ÈÇ ÛÉùþ Íñ ËÇ ÝÉ Û Í Í Û ’
Á‘n ¹f ƒ è ! ‚ è ! € è • ç è ˆ ç è 5 ” ç è ”
î ¨¸œ½›Âœ
¾
¾ ›ž ¬ · ¼ § ¬¤¦ ·± › ¾¦ž ¼ ¬ · ž¤ §¦ ¼¤ œ § § ¢å¾ ¼ ›¾± ›
Ÿ½¸ ¡Ÿ¨¾Ðe½še®š¸¬³›Ó¦¾¨¢¡¡5¦¾²7¦¤Ø²¡eÆš²³¤½¬À¼®šòŸ¦¾¨¢¨¬§ æ ¡¡—­¾¡¡Ÿª¦ ¾ Œ¨¼Ð¨·¡³ž¦§²ŸV½§¡­å¦ Ÿò¤ä
¨ Í Ü Û É Ç Ù ý ù Ç þ Ë ù þ @Ü ‰
‘®e¶÷ÿ†Ó»ÜPq
Á Ÿm ¹f — !
ƒ % ˆ Y 3 ˆ 3 ˆ
% ! f ˆ ƒç € yç y
î ³›¨§¡Ÿ¥¾‘¨ž²µÕÁ % pi3 ¹f
¬ž ¢ §
ç € ×XÁ Y % ps3¹ ç y ¶ó
¨ Ë ñ ðǦ
©»ÜíØ5³§¥

10. 3f
Á q% ¹ % fç ç u ˜ ç r ç u ç r ˜ fç ç r fç ˜ ç u
§¤¯ ×Õ¾ › š ¼ ·š± § ·± › · ž¤ §¤¯ §¤
¡°E5²¨¸œ½›Âœ ³ª«gƒ½¾¨¼½§e¦še“…³›‚¦§²¨¨œ½§¦ …Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ ¡c²5Â¥¾}¢³›¡²±
Á ¶% ¹ f 3 ƒ ç u ˜ ç u ç r ˜ ç r fç ˜ fç î ¡°Še“Ÿ¸¾¡¨e³¾a­¼³ eÀª¬ š Š¤ä
§¤¯ ·šå ·± œ ¬ © ›
¨ÈÊ þÊ ýÇ þÍÜ ÜÉ ýÇ ý ÝÈÇÍ ñ 
…¡“†5Þ#aŸ75÷@ Ü ®5ÎP‡X¥
Ÿ › 3 ˜
ç € ç y ¸ g††ç € œç y
Á ˜  Á ˜
cç 0 ˜ ç € ¹ œç y žç 0 ˜ ƒç € œç y ¹
„ ˜
ç y ˜ ç € œ†ç € œç y
! ˜ Á
ç 0 ˜ ç € yç 0 ›ç y ›ç 0 ˜ Tç € ! ç y ¹
¨ÈÇþÊþ Ý ñÜ Š
g¶†“†5ÌÇP#ÞÍ š
³ßeYTÀœš
›¾å
· ¾ ± ¾ ¦ š · © ¼ ¤  ž ªš § ¾ ¦ · š å
Ÿ‚¡e¨¦œŸ»¾‚½¾²Ÿ¡eh³¼˜¡²³ž½§¸ ¦·e¡i€ š ¡¸¦³›¡¤e¦š½·Ÿ“À¼vŸ²õô¦¬Ÿ¨¾e®še¦š#³¼¡…³§¡Àžš æ …¡#³¼º¡­¦¥ ‘³ž¸§›
§ §¦ ·  š ›¾ · ¬ ¬ › §¦ ¬ š §¦ § ¾ ¢
¾ œ ¬ × · › ¾ å œ š · ¾ ± ¾ ¦ š ç § ¦ ¾ ž ¼ ± ¼ š ¼ š · ¾ ž ¼ § ¦ ¼ ¦ ¾ œ ¬ Õ ž š ·
¨e³¾¨†¨›¦§Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ ŸTevŸT¡e“­ž¨¸œ³·¦§ç¨¢y ¡T²eÆš¡eYe¨¦œŸ¡cÆš¡cÆšòŸ®ªž ¾ ³ ¨¬³¬¦§­·¡TŸ³¾5ae¨¦œe»¾©
§ ¤ ¯ ¼ ¤  ž ªš § ¦ ¾ › § · ¾ ± › ¼ ¤ œ › ¾ å œ š § ¦ ¬ ¤ ¦ · ± § ¼ ¤ œ ¾ œ ¬ § ¢ § ¤ ¯ ·
¡°‚½¾¡Ÿ²e†³¼²c¡¨ž¦§¡¨¼¿Ÿ¿Ÿ­¾¡¡Ÿª¦ ¾ ¿ŸTe†¡˜¦¾¨¢¡¡5¦¾²“³¼­¾¡¡Ÿª¦ ¾ ‚¨e³¾f¡¨ž½§¦ †²5eŸ¦¾¨¢¨¬§ æ ¨¼§
¾ œ ¬Õ ˜ ¾ œ ¬ ¾¦ ¢ · · · ¬¤¦ ·± › §ž §¦ ›Õ · ›¾¦›¾ š
¨e³¾eòç € ™ç y Ÿ³¾‚²eõš‘³ž¸§³›¸§¡³±¸§eÕ À¼Æš¦ e¥¾¨¢¨¬§ æ ¥¾¨¢²¡¶¸¾¡ƒ¦¤v¡“£²v¦§eÐç € × ç y ³›¸§Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ Ÿ¡Ÿ¡À¦‚W
‘ ƒŽ„ˆ‹ Ž„…‡Ž |
ŒhŒŒvŠŒ4v‚‚†t ˆ—X{
ßÈ Ç Çþ Ê ð È ËÇ ýÇý úÇþ Çùû È Í Ýý
e5³Çx¦†ÅØ5ÖǨÛÌÈ®Ýf5t5í‘ÿ†aƒ»ÜÀݲÖÊ»Ûù
È Í ÛÉÇÙ È Ë Çþ Üý ÊþÊÉ ýÜÉ · ¾ ¦ §¦ · ¼ § ¬¤¦ ·± § · ¼ ¬ ž ¬ ›š
¶ÎÇ#ÖÜe5ÐÌÜØ7†ù †“Ÿ!ŸºŸ¥¾µ¢³¬§ æ ¡õô½¬¡g¡ŒeÆše³š¦¬¨›V¦¾¨¢¡²¶¸¾¡¿³¼heÆš²³¤½¬À¼®šÚŸ³¾ò¥š¸¢e¡å
Õ¡½¾¸ e¥š¦·­¢¡¸åeº³›¸§áS¡òШœ¥§}¢½›¦ ÿ²Å¨ž‚Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ²T¡‚e“À¦“³ž¡¸¦Ÿ5³¾ŒÀ›Æš…eÆš­¼e“ò¥šÀ·“ƒ¡°Ð¨¦œŸ»¾S²¦
· ·š § §¦ š › ž¤ § · ž¤ §¦ ›š š § ·¾ ¬ ¼ · ¼šô š± §¤¯ š · © §
Á‘3 % ¹ € € ƒ ‚ € ¹ ˆ
Xy UÁ fç ˆ fç ¹ y fç ˆ Á ç u ey ! ç r Xy ! fç Xy 2 fç yç y
î e“À¦“³ž¡¸¦Ÿ5³¾V³žŠŸ­¾¦ ³·¦§‘eЦ¾¨¢¡²¶¸¾¡‡³¼†ŸÂe¥š¨›¦§¡¶Ò´‡¶ó
›š š § ·¾ ¬ § · ¢žš ¬¤¦ ·± § ›¾ œ ·± §
È Ç Çþ Ê ð È ýù ýÇ ÈÊþÊýÇ ÍÜÜÉ ¨Í ËÊ ÈÇ ÛÉùþ Íñ ËÇ ÝÉ Û Í Í Û ’
¶¨Ç¦ÚØ5ÖǵÛöÈ®Ý775¨“†“†5Þþ#aŸº‘¡ÌÊ¡Ÿ®É5ØÖÜePaÞÜv5†þ @ý Ü ‘¡ÖÊ‘ÞÇÎñ°ÖÇYý …
ß ÝÉÉ Ýþ Ê Ýþ ý
e@ý Ü ‘‘5ÎÇÌÍÅF–ÌÉP75Ç ç •
»ÜÞÝ¡ÖÊÔÛPÃP$#¤ÿÖÇY5ØÞð¡»Ê“Ÿ®É5—»ÜÞË¡ŸÌÉöÝPÌñÖÝ»ÛÚòõš}¢e“²“e“ŸÖªž ¾ ¨ ³¬³¬¸§½·¡¨“¡S¸§¡Ÿ¸¾Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ
Í Ýýù ýù ÍÜ ñ ÛýÇ Í ËÊ ÈÇ ÍÊ Ë Ëù 𠛚åÕš¦š¦ ¦ šž¤ ·å › ·
ž¤ §¦ § ·± ¼ · ¼šô ·š±¼ § § ž ä · §¦ § § ·å › ÝÉÉÇ“ Íñ ¼ š
¡‚¡VŸÖªž ¾ ¨ ³¬³¬eÖצ¾¡S½šve½š½¼e¡T¥še“He¥š¨·¡³žŸ¤eß Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ ¨¼¡A¸§âáa³¼‚¸§¡Ÿ¸¾—@ý Ü ‘‘5tÎÜSÆšT¡¦
› ¾ ž ¬ ¼ § ¬ ¤ ¦ · ± § Õ ¢ ž ¢ ¼ · ¾ à ß § § ž š · © § ¤ ¯ ¼ ¤  ž ªš § § ¦ ž ¾
Ÿ¡ž fç e³¾vÀ·Æše³š¦¬³›S¥¾¨¢²¡¶¸¾¡H¨¼¶²¥¾‘eõšc½¾vePe†ey ¸§âáH³¼ÐŸ³¾¬ ç y иœŸ»¾Œ¡°c½¾¡Ÿ²e‚¨¼f³›§ ‰ ¡¡Ÿ²¦

11. f Ÿf
§¤¯ ¾ · ¢ž ¬ § š±  §¦ ¾ ¾ · · §¦ ¾ ¢ › ž¤ § § ¢ šž ›š › ¬ §±
¡°¡¸žŸ¥¾‘Ÿ¨¾t¨¼$¥šÀ·“$¸¾½·Ÿ¨¡$¡½¦¸ ¦·Ÿ¨¾³¬¸§Ð¡$¡½¦¦ °¨ž¦§Ó²S³·eŸ³¾¸¬³›SÀ›¥š¥·E“Ÿ­¦ eЦ§¨½§³ ¡¤£³·¡¸¤›
· Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ¥§}¢³›²Ó¡½¦¦ ‘³ž¦§†¤ä e½§¨ “¤£¨·Y²¦¤—¡õô½¬¡V¡—³š¦§e$e…e¡Ÿ½Ú½¾²¡Ÿª¦ ¾ tŸ³¾¬ €¨¦œ­›¨ÚƚŚ
§ § ¦ ¾ ¢ › ¼ ß ¬ § ± › š ¦ § ¦ · ªš ¼ š ¼ š ¤ ¼ ¤ œ ž × š œ ¼
¼e¨¦œe¡íŸ¦¾¨¢¨¬§ æ ¡ŸŠ¦§¸›eõš‘³ž¸§³›¸§¡³±¸§v¡¨¦¡¡T†“»ÊíT»Ç‘íÎú°¤†®ù°»ÇPHöû“†‘Š¡°†½¾­¼³¼Ÿí¤ä
š ·¾ž · ž¤·¾± · ¢ · · § §¤± Êý Ë ñ ÝÉ ÍÇ ñ È Í Ýù ËÊùÉ §¤¯ §·¾± ›
ß µ › ¾ œ › ¼ · ¾ ± ¾ ¦ š § ¦ ¾ ·  ¼ · š ± § ¦ · ªš ¼ š ¼ š ¤
f¶¨ÕŸ¨¸œ½›ÂŠŸ½¾ŠeYg¡e¡½žÂ¦œ³·¦§¨¢¡c¨Àœ¥šŸŸ­¾³¼­§e¥še¡‡³¼¡g®š¸§e˜eHe“Ÿ­
· ›¾¦ §¦ ¼ · ¬¤¦ ·± §¦ ¼¤ œ § §¤¯ ·šå ·± œ ¬ © ›
³›§ ç € × ç y ³›¸§Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ e¡E¡fe½š¦ Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ ¥¾µ¢¡¡5¦¾¡f¨¼¡€­¾¡¡Ÿª¦ ¾ Š³¼¡°Te¡Ÿ¦¾¡ÂŸ¨¾t­¼³ eÀª¬ š ƒ¤ä …
Ü ð Í Ë Ë ÍÊñ ËÇþ ÝÉ ÍÇ ñ È ¨ ÝÉ Û Í Í Û
Ø¡ÞÊ#I »Ü¶»Ç“ÎÊ¡v5€ÌÇ‘íÖú5¤†®ù‚U@ý Ü ‘¡ÖÊ‘ÞÇÎñ°ÖÇYý ’
³ß¨›¦§Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ Ÿ¡˜¡ae½š¦ Ÿ¦¾¨¢¨¬§ æ ¥¾¨¢²¡¶¸¾¤à î c¦§¡e½íì
· ›¾¦ §¦¼ · ¬¤¦ · n ·¤
A
¥¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¬ ¬
¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥§¨«¬
§¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥«¥«¥¬ ¬ ¬ ¬ ¬ «¥¬ ¬ ¬ ¬ ¬ «§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥ ¬ «¥
´
§¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥
¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¥¥¥¥¥¥¥¨¥¥¥¥¥¥§¨«¬
¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¦¥ §¥§¥§¥§¥§¥
§¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¥¥¥¥¥¥¥¥¦¤ ¥¥¥¥¥§¨«¬
¨§¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¨«¥¨«¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨«¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥ ¬¨¥¬¥«¥«¥«¥«¥«¥¬¥«¥«¥«¥«¥«¥
¥¨«¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨«¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥
´´ǴǴǴǴǴ´ǴǴǴǴǴ
¬¥¬¥«¥«¥«¥«¥«¥§¥«¥«¥«¥«¥«¥
«¨¥¨«¥¨¬¥¨¥¨¥¨¥¨¥¤ ¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥
¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¥¥¥¥¥¥¤¦ ¥¥¥¥¥§¨«¬
¨§¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¤¥ §¥§¥§¥§¥§¥
§¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¦¥¤¦ ¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥§¨«¬ ¥«¥¬¥«¥«¥«¥«¥§¥«¥«¥«¥«¥«¥
«§¥¨¥¨«¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¦ ¨¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥¨¬¥
¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¤¥ §¥§¥§¥§¥§¥
¬¨¥¬¥«¥¬ ¬ ¬ ¬ ¨©¥¬ ¬ ¬ ¬ ¬ ª¥«¥«¥«¥«¥§¥«¥«¥«¥«¥«¥
©¨¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥¦ ¨¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥ ¬¥
«¥
ª¥
¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¤¥ §¥§¥§¥§¥§¥
§¥¨¥¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¥¥¥¥¥¥¤¦ ¥¥¥¥¥§¨©ª
¨¥§¥¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¤¥ §¥§¥§¥§¥§¥
§¥¨¥§¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¥¥¥¥¥¥¤¦ ¥¥¥¥¥§¨©ª ª¥©¥©¥©¥©¥§¥©¥©¥©¥©¥©¥
©¥ª¥ª¥ª¥ª¥¥¥¥¥¥¥
ª¥©¥©¥©¥©¥§¥ª¥©¥©¥©¥©¥
©¨¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥¦ ¥¨©¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥¨ª¥ ª¥
©¥
ª¥ª
©¨¥©¥ª ª ª ª
S
¨¥§¥¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥
§¥¨¥§¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¥¥¥¥¥¨¥¥¥¥¥¥§¨©ª
¨¥§¥¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¤¥ §¥§¥§¥§¥§¥
§¥¨¥§¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¦¥¤¦ ¥¨¥¥¥¥§¨©ª ³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥ ¨ª¥¨ª¥¨ª¥
´ ¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¦¥¤¦ ¨¥¨¥©¥©¥©¥ ª¥©¥©¥©¥©¥ª¥ª¥©¥©¥©¥©¥
ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥¨¥§¥ª¥ª ª ª
´ ª ´ ª ´ ª ´ ¦ §¥ª¥ª
©¨¥¨ª¥¨¥¨¥¨¥¨©¥¨©¥¨¥¨¥¨¥¨¥
´ ©¥©¥©¥©¥¤¥ ¨©¥©¥ ª¥
©¥ ´
´
¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¤¥ §¥§¥§¥§¥§¥
§¥¨¥¨¨¥¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¥¤¦ ¥¨¥¥¥¥§¨©ª ´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥ ©¥©¥©¥
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³´ ¨ª¥¨ª¥¨ª¥
´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥ ©¥©¥©¥ ª©¥ª©¥ª©¥ª©¥ª©¥§¥ª¥ª©¥
©¥©¥©¥©¥©¥¥©¥©¥
B ª¥
©¥
¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥
§¥¨¥¨¥¨¨¥¥¨¥¨¥¨¥¨¥§¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥® ¥¨¥¨¥¨¥¨¥§¨©ª
¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥­¥ §¥§¥§¥§¥
§¥¨¥¨¥¨¥¨¨¥¥¨¥¨¥¨¥§¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¥­® ¨¥¨¥¨¥¨¥§¨©ª
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³´ ¨ª¥¨ª¥¨ª¥
´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥ ©¥©¥©¥
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³´ ¥¥¥ ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥
©¥©¥©¥©¥©¥¨©¥¨©¥©¥
ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥
©¥©¥©¥©¥©¥©¥¨©¥©¥
¨¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥
§¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¨¥¥¨¥¨¥¨¥¥¨¥¨¥¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥
¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¨¥§¥§¥§¥¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¨©ª ´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥ ©¥©¥©¥
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³´ ¥¥¥
´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥ ©¥©¥©¥
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³´ ¥¥¥ ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥
©¥©¥©¥©¥©¥©¥¨©¥©¥ª ª ª
¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¨¥¥¨¥¨¥¨¨¥¥¨¥§¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥
§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¨©ª
¨¨¥¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¨¥¥¨¥¨¥¨¨¥¥§¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥¨¥
§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥§¥
¥¨¥¥¥¥¥¥¥¨¥¥¥¥¨¥§¨¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥¥§¨§¨©ª©ª ´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥ ©¥©¥©¥
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³´ ¥¥¥ ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥
©¥©¥©¥©¥©¥©¥©¥©¥ª ª ª
ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥ª¥
©¥©¥©¥©¥©¥©¥©¥©¥
¥¥¥¥¥¥¥¥ª ª ª
´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥ ª ª ª
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥ ©¥©¥©¥
¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥³´ ¥¥¥
¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥
³´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥³´
¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³´
´³´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³´
´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥´¥
³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥³¥
¥¥¥¥¥¥¥¥³´³´ AxB =S
±² ¯°
¢¢ ¢¢
¢¢ ƒ € ‚ € € € ¢¢
Á °„ % ¹ ¢¢ ey Xy Xy £€ œy
ƒ ‚ € ¢¢ ˜
ç u ç r fç ç ç
î ¦§‘e“½ž ¦œ¨·¥§µ¢¡¦‚¥§‘ž³­§¡Ÿ­¦ †³¼¡†¨›ª § æ ¦š¥·ƒ¥§‘¨ž¨­œeиœŸ»¾‚¦§¸›½·¡­å¦ ³·¸¬³›º¡³¦²¡˜¡°¯
¢žš § ¢ ¤ › §¦ ¢ š ¢ § ¼š · © § § §¤± §¤
Y
Á …% ¹ ‚ € € ƒ ƒ
ç u Á € € Xy „ ‚ € Xy ¹ ! ç r Á ƒ € y „ € € ey ¹ ! fç Á ‚ € ey „ ƒ € Xy ¹ ‚
ƒ ‚ € ¹ ˜
Á ç u ƒ €˜! ç r ‚ €˜! fç € v€¹ ˜ Á ç u ey ! ç r Xy ! fç Xy ç € ›ç y
î ¥š¨›¦§¡¶Ò´c¸§aeÆš¸ Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ¦¾¨¢¡¡5¦¾²‡³¼“³Õ¨›¦§Ÿ­¾¦ ¨·¥§‘e†³›²Ÿ½¾¨ ¬
·± § ›¼ · ¬¤¦ ·± § · ¢žš §ž
¡ ¼§· › ¼ š¢ ž§ ¤¬ ž§ ¾ ¦ ž ž§¢ ×
F½š³¦…e½šòõ‘³¡¨ÿ³ò²¡³­§¡³¦VÕ ç u × ç r fç š § · ›š¦š § ·¾ ¬ § ¾¦ž ·±´
¦¾¨¢¨¬Y¸±³›¦§Œe“e“¨ž¡¦¦e¶¨¾ÿ³žGç € × ç y ¡²e¥š¨›¦§¡¶íä

12. % Hf
ÛÉùþ Íñ › §ž §¦ › ›š¦š § ·¾ ¬ § ›¾¦ ·± × · ¢ ›¾¦š
ÖÜe‡ÎÜP7¸¤€¡“x£¡¸§…¨Õe“e¡³ž¡¸¦Ÿ¶¨¾t³žEe¡e¥š¨›¦§¡¶Ò´§ ç 0 Dç € Õ ç y ³›¦§e¥¾¨¢¨¬§ æ ¨›¦§¦·ÂŸ²e‚W
³ß¨›¦§Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ ³›¦§¦·‚¡ƒ¥¾5£´ÂÂ¥¾¨¢²¡¶¸¾¤à î c¦§¡e½íì
· ¢ §¦ ¢ œ ¬¤¦ · o ·¤
¼Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä Ä ¼¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼¼» ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»½
üļļļļļļļļļļÃÄ »¼»¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼»½
¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼¼½¼½¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼¼»
ÄÃļüüüüüüüüüü ½ ÃÃà ½ »¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼
ļļļļļļļļļļļÃÄ »¼»¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼»½
üüüüüüüüüüü¼½¼½¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼¼» B
¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼ÃÄ ½¼½¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»½
ÃļüüüüüüüüüüÃļ»¼»¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼»½¼»
¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼¼¼¼¿¼¿¼¿¼¿¼ÑÒ ¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼ ¼» û¼»¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼½¼
ÄÃļüüüüüüüüüü ½ à ½ À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼
üļļļļļļļļļļÃÄ »¼»¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼ »½
¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¿À ¼¾» ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½ ½
À ¼À ¼À ¼À ¼À ¼À ¼À ¼À ¼À ¼À ¼À ¼
»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼»¼
¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼ÃÄ
Ãļüüüüüüüüüü¼Ã ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¿À ¾ ļļļļļļļļļļÃÄ À À À À À À À À À À À
¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼¼Ã ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¿À ¾
ÄÃļļļļļļļļļļļ
üüüüüüüüüüüÃÄ
¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼Ä¼¼Ã ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¿À ¾ À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼
À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼À¿¼
¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼
¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼ÃÄ
ÃļļļļļļļļļļļÃļà ¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿À ¾
 ËÌ Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â
¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ã¼Ãļ  À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼
Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼ À À À À À À À À À À À
Ãļ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼Ãà Á¼ ¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿À ¾¾
¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼
Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á ¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿À ¾ C
ËÌËÌ
¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼
Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á ¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿À ¾
¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼
Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á ¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿À ¾
ËÌËÌ
¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼Á À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼À¼¿À ¾
ÌÁ¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼Á¼ ¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼¿¼
˼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼Á ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¿À ¾¾ ÏÐ
ËÌËÌ ÏÐÏÐ ¾
ÏÐÏÐ A ¾¾
ËÌËÌ
Î ËÌËÌ
Í¼Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Î Ê ÍÎ Ê Ê¼Ê¼Ê¼Ê¼Ê¼Ê¼Ê¼Ê¼Ê¼Ê¼Ê¼ ¾
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼÉÊ
ͼμμμμμμμμμμμʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼ¼¾ É É¼É¼É¼É¼É¼É¼É¼É¼É¼É¼É¼ ¾
Ê ÏÐÏÐÏÐ Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê Ê
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼÉÊ
ËÌËÌ
ͼμμμμμμμμμμμʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼ¼¾ É
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼÉÊ
ͼμμμμμμμμμμμʼʼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼɼ¼¾ É ÍÎÍÎ ÏÐÏÐ
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼɼɼʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼʼÉÊ
ËÌËÌ
ͼμμμμμμμμμμμÊɼÊÉ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼Æ ¼¼¾ É
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼ¼¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼ ÊÉ
ͼμμμμμμμμμμμ¼¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼ÅÆ ¼É
A. (BxC) = V
ÍÎÍÎ ÏÐÏÐ
ËÌËÌ
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼ żżżżżżżżżżż
ͼμμμμμμμμμμμÍΠƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼÅÆ
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼ żżżżżżżżżżż
ͼμμμμμμμμμμμÍÎ ÓÔ Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼ÅÆ Ô Ó¼
×Ø ÕÖ ¼ ÏÐÏÐ
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼ żżżżżżżżżżż
ËÌËÌ
ͼμμμμμμμμμμμÍΠƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼÅÆ
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼ żżżżżżżżżżż
ͼμμμμμμμμμμμÍÎ ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ÅÆ ÏÐÏÐ
μͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼͼ
È ¼Í¼Í¼Í¼Í¼Í¼Í¼Í¼Í¼Í¼Í¼Í¼ żżżżżżżżżżż
Ç¼È ¼È ¼È ¼È ¼È ¼È ¼È ¼È ¼È ¼È ¼È ¼È ÍΠƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼ
¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼ żżżżżżżżżżżÅÆ ËÌËÌ
ͼμμμμμμμμμμμÍÎ Æ ÏÐÏÐ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ
¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼ żżżżżżżżżżż
ÇȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼÇÈ Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼Æ¼ÅÆ
¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼Ç¼ÇÈ Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼ÅÆ È¼È¼È¼È¼È¼È¼È¼È¼È¼È¼È¼È¼ ƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼ ÏÐÏÐ
ÈÇȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼ ƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼ
ǼǼǼǼǼǼǼǼǼǼǼǼǼÇÈ Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼Å¼ÅÆ
ȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼȼ ƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼƼ
ǼǼǼǼǼǼǼǼǼǼǼǼǼ żżżżżżżżżżż
¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ÇÈÇÈ ¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼¼ÅÆÅÆ ÏÐÏÐ
Ž„ ƒ Ž„…‡Ž |
ŒŒº¹G~ v‚‚†t R¸X{
ß ¬ §± › ¼ §¦ § š ¬šô ¢ž¤± · §Õš¦ ¬ § ¬ §± ›
e­§³ “4£³·¡¦¤ƒ½šº²g¦š³·¡»¤Þ©Â½š³ e¡Â¥š°²¡eš f · Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ ³¼“²¡e¥š¸·³·³§…³›˜­§³ “4£³·¡¦¤T½š¼
¾¦žš Õ ¢ž¤± ¾ ¦ § ¬ §± › §¦ ¢ § § · § ž §¦ ×¼ ¢ § § ¬ §±
¡¡e“¤ ’ ß f · ²¥¾‘¡¡c¡õô½¬¡E¨žŒ­§³ “4£³·¡¦¤²S¥¾‘¨ž¨¨œ½§³¼vŸ¥¾µ¢ç ³¬§ æ ³¼t½·¡¡£¡Â#eõš‘³žÂ³œ­§³¼h½§³ ¡¤£³·¡¸¤›
šž¤ · § ›ž ¬ § §¤± › šž ¼± ¾ž ¬ §± › šž¤ § ¤ ¼š ¢ž¤± ž¤ § §¦
“¡Ee¦š³·¡­¦¦ ç ¡Ÿ¨¾—²³¦¡¡Ú¸§Ó“eÆš²q²Å­§³ “4£³·¡¦¤Ä“²Å²¦ ¦š³·­§¡°½¯e“¨¤¬ ¥¾‘¡¡Ã¡Ã³ž…³Õ½·¨ ³¬¡¨›§
ÏÀ¥§‘³žÂ½œÀ¼®š5½¾º¾ æ À¼¥š‘aŸ®ªž ¾ ³ ­¬¡“£²¤Ÿ½¾¸ ³·¥§‘e‚½šc²½¦¥ ‘¨ž¦§Š¡¨ž½§¥ ˜¡˜‘Ÿ²¡eÆš¡e¨›º²h­§³ “4£³·¡¦¤½š“¶ó
¢ § ¬ ¼ ›Õ ž §¦ · ¢žš ¼ ¾ ¢ › § ¢ ¾ž š×Õšž ¼± § ¾ž ¬ §± › ¼
ß ¾ · ¢ ž ¬ § · · · š ± ¾ ¦ š ž › š ¾ ¢ › § ž ª¤ › ·  ¼ š › ¾ · ¬
²¡¦žŸ¦¾‘Ÿ³¾‡¨¼…¨·¦§¸·Ÿ³¾¨¬¦§ƒ¥še¡Â²e“Ÿ­¦ e¡­¦¥ ‘³ž¸§‡³¼V¡v³¸§fe¥š­·ŸaehŸ¡õô¸¬Ÿ³¾À¬®še¦š›
³¼¡$³§¡Àžš æ ¡h¨¼ò³›$½§¨ “¤£¨·Y¡¸¤òŸ¦¾¨¢³¬§ æ ¨¼¡Ó¡­¦¥ ‘³ž¸§h¨¼€¥§‘¨ž¨e¦š½›¨ ³¬¦§²Œe­§³ “4£³·¡¦¤ÅÆšÅØ®š²¶¸¾·
§¦ ¬ š §¦ § § ¬ §± › · §¦ ¾ ¢ › § ¢ § œ ·± Ï ¬ §± › ¼ š §¦

13. Y jf
! è · ¬¤¦ ·± §¦ š¦ §
¸ÁæÞÞ ¹ ·çê · ˜ ¸ÁæÞ¹ ç é ©¸ÁÞ¹ çê ˜ ¸ÁÞÞ¹ ·ç é · ¢¤ë¸ÁÞ¹ çê ˜ ¸ÁæÞ¹ ç é aÞ · · î À¼Æš¦ e¥¾¨¢¨¬§ æ ¥¾µ¢¡¡5¦¾¡‡¨¼¡ƒ“eš æ ¸ ³·W
! è · ¼ § ¬¤¦ ·± §¦ š¦ §
¸ÁæÞÞ ¹ ·çê · ˆ ¸ÁæÞ¹ ç é ©¸ÁÞ¹ çê ˆ ¸ÁÞÞ¹ ·ç é · ë ¸ÁÞ¹ çê ˆ ¸ÁæÞ¹ ç é aÞ · · î e½še®š¸¬³›g¥¾µ¢¡¡5¦¾¡‡¨¼¡ƒ“eš æ ¸ ³·W
›š¦š § ·¾ ¬ § ·±´
ç u ƒ Þ é · · ! ç r ‚ Þ é · · ! fç € Þ é · · U¸ÁÞ¹ ç é Þ · · î e¡e“³ž²¦¦Ÿ5³¾V³ž$ŸÖªž ¾ ¸ ³›¦§²²íä
¹u ¹
¸ÁæÞÞP· u · ¸ÁæÞ¹ ç é ! ¸ÁÞÞ¹ ·ç é · ¸ÁæÞP†“¸Á¸ÁÞ¹ Îçé¸ÁæÞPsu¹ Þ · ·
¹
é è
¸ÁæÞÞ ¹ ·çê · é ¸ÁæÞÞ¹ ·ç é · x¤ë¸ÁæÞ¹ çê w¸ÁÞ¹ ç é 7Þ · ·
ÈÇþÊþ Ýñ Š
5†“5»Çí#ÎÜÍ …
ÁŸm % ¹ Þ ç ä á
åVãâà Þ ·
„ Þ ç !
¸ÁæÞ¹ ç è ¸Á#wæÞ¹ ç è ½œ­ ¼ g ¸ÁÞ¹ ç è ·
î Ÿ¨¾g¡eš æ ¦ ¨·¡V¦¤º¡“£²º¸§fߦ¾¦·¨¢Âe“šªœ À·“$²º²VeÖªž ¾ ³ ²¡»¤t¸ÁÞ¹ ¨Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ¡ƒ¡À¦‚W
¾ œ ¬ š ¦ § ¦ › § ž § ¦ › Þ § š ± ž ¤ § ¦ ¬ ž © çè · ž ¤ ¾ š
Ž„ˆ‹ … ˆ‡ ‡ ƒ
ŒŒvŠŒBŒq‚¢…ŒP‹…Xˆ Ý ˆÜX{ |
Á‘— % ¹
íç Á ç è ˆ ®ç• Ä ÀçèÁ ç  ˆ ®ç• ¹ UÁ ç  ˜ µçè¹ ˜ ç •
¹ î ¨Ÿ¨¾¡ÌÊÞÝ#ÖÜe5Ù
¾ œ ¬Ë Í ÛÉÇ
Û É ù þ Í ñ Ë Ü þ › § ž § ¦ › › š ¦ š § · ¾ ¬ § › ¾ ¦ · ± ç• ç  çè ·
ÖÜe‡ÎÜPg»Çí” †¨¸¤†¡“£²Š¦§°³Õe¡e“³ž²¦¦Ÿ5³¾g³žeŸ²e¥š¨›¦§¡¶µ´§ —× ºÕ S¨›¦§Ÿ¦¾¨¢³¬§ æ ³›¸§¥·íŠ¢ Ÿ²e‚W 9 ›¾¦š
Ë Í ÛÉÇ Û ÛÉùþ Ë
“»ÊÞÝ®Üe¶º™ÖÜeP‡ÎÜÍ »Çí” Ü Ú
ß g · ¾ ± ¾ ¦ š · © ¾ § ª« ¼ · š ‡ ¨ž§ ² ± œ ›ä
ç 0 × ç € ç y Ÿƒ¡e¨¦œe»¾T¡³¦± ‡¨±½§¨¼½§e¦še“5زVÌù¦ð§³¼Ç Y¨Œ½¤UŸ¾ý¼¨ @ Üæ ‘e¡‡ÖÊšÉ¼Ý e‘¡ÞÇšÛ¼ Ÿ½Í¤ Îñ†°¤Yý …
ý Ë Ù Ü Í ÖÇÛ ’
· ž¼ › ·
³ß›Ÿ­¾ ¦eš¡eÆš¡±e³¾¬V¢¢ žŸ¦¾…³›¸§Ÿ¥¾µ¢³¬§ æ ¨›¦§¥·fe½¾‡¦ g­¾¡°h¨›ƒ¥¾5£´Âg¥¾¨¢²¡¶¸¾¡‡³¼º¡°˜¦§¨›¥§eÙ
¢ ¢¢ › ¼ › ¼ ¤ ž § ¢ œ ¬ ¤ ¦ · ± § § ¤ ¯ ¢ ª ¾
¢¢ ƒ 0 ‚ 0 € 0 ¢¢
Á Ÿ‡ % ¹ Á
¢¢ ƒ € ‚ € € € ¢¢ cç 0 ˜ ç € ¹ yç y ˆ
ƒ ‚ €
ey Xy Xy
î Ÿ¨¾V®ÜaØð
¾œ¬ ÛÝ

14. „f
¥§‘e¥š¸¢¡e³¾$¢Ÿ³¾²ÒÕÞ · ç è ï ƒÞ · eu ï
¢ ž › ž ¬ u ž ¬ u çè
é ï
Þ · ç  ï wÞ · ç è ï §Þ · Á 1é µèç ¹ ˜
ç
ÈÇþÊþ Ýñ Š
5†“5»Çí#ÎÜÍ …
Á‘o % ¹ Þ · Á¸Þ¹ ƒ è î ƒ  ÒÏÞ · ¸ÁÞ¹ ‚ è î ‚  ÒÏÞ · ¸ÁÞ¹ € è î € 
î Ÿ¦¾› ç  ¡†¨›¥§‘³ž¡eYŸ³¾ŠÀ›Æš˜¡¡Ÿ²¦
ž §¦ ¢ §ž¾± œ ¬ ¼ §¦ž¾
Á ‘n % ¹ î
Þ · Á¸æÞ¹ ç è † ç 
î V¡…³›¥§‘¨ž¡Ÿ¨Ÿ¨¾fe½šº²ae¥še³¥§‘­ž
çè § ¦ ¢ § ž ¾ ± œ ¬ › ¼ § ¦ ¼ · ¢
ÆšT¨›§¥‘ž³²žŸY±ÂœŸ¨¾¬SŸ±Ð¡¨ž½§¦ ¢Ð¡°¯ çi·e¥¾¢¨¨¬§ æ ¾ æ §¡°žÄ¡¤Xe“e½T¨›§ ÿŸ¥¾µ¢³¬§ æ ²ò¡ee¥še³¥§‘­ž†™
¼ ¢ § ¾ ·¾ § §¤  ¤ ž š ¼ š ¤ çè · ž ¤ § ¦ ¼ · ¢ š
Ž„ˆ‹ … ˆ ‘€ˆ„ |
ŒvfBhq‚‡ …Š†Œ®í ˆìX{

15. ½¼
Æ Å Æ Å
{Ⱥ ³ÌÇ Î Ü
è† Ì €çº{ܼ æ Ü žÈà ’ÅyàÇ Ä IÈ Û ãâà ãâà žÅyÄ Û ãâåâà àláláà à räÁ Û ãâà lábÀ É Û Å ÍÛ gà à à
É Ç Ä
·„{—† ~ e‰€„ƒ„x˜‘…{•”†U„—T‘d•  B™…l•p–U“ uz ‡  RT‘e“d”•yÆ‘ l†–„‡‘ w T†“ m l†‰ gÆx ow R…z† w ™™T‰©„wÆ q“  –„ƒlxw  q{—† w T‘…f† m
™ — x ™ — ‰ ‘ ‡Æ  m x ™ ‰ x ‘‡ “ ‘ w x “‡
ȼ ³ÌÇ {µsroµº dßÅ %{µd· ¼Ê QÞÅ –oµd—º¼ QÝÅ –{µsr{¶µ eÛÅ
µ· ¹ µ Ü µ· Ü µ·
 ‘ ¹  ‰ ‰ ‘ — ‘ ‡ d˜ 
„•‘ · º ¹  · µ w ‘ m m ’ x  ~ ™ Ò·— w u—• t „wj©w ‘ „‰ƒ‚x…l•€”wh ‚†{wu†y Š…U“ ‚ƒw ™
wˆ{µ»µ–oµŠ—  ƒoww n{µ»µ–{¶ Y—  —T‘T“sw™ ”•p{—x† „w l‘T‰„w ˜†e“™  „ƒp{—† owˆ„w e†T‰€Ò†˜‰Rr”|{—„…w† s•Ú …s”•‘ m — „Ù w ‚†…g„‡x‰ ow‘  wx T†‘“ m
‡ mw ‰Í w — “ — ¬ ¬ ‡ «R ™  — † ¢ ­ s ¡ Ø ÍÓ – ‰ ‰‰ ¥
T†† „—”‘‚™€˜‰x ˜†s““ „wm g”w‘ …†{—‘ w  {“…†w „ƒ‚x„w Í™xe‘ …‘ sT‰ƒ —e†o“• {—˜™‚—l†…jT‘‚ “ ‚†rT†T‘ƒx † ˜†f¡®© o•dlœ ‘y†e‰‰’n{“w­…בx„‰¤ ™ « r{—7’¥ † ‚†–l•¬ w –{“”“‰e‘£ {†ªl•¹¢ d „w…{—¢ …‚¥ †l“qˆœw …ž‰Ö ƒ s˜¨–7–•T£…‘‡ — ƒ{•¢ 7pe†x£„† o——†™ {¡³¤„—œ w…³Õ‘ …#€5¡†Ð‡ƒ‘ ‹®Ô m 7†‚†s‰§ {£w †¤ ©¯¬ z–š‡
 •t ¹ ‰ ‰
„w  ‡ † • • w ÒÑw m uj¾w  „‰‚x…l•Œ”—T‘{“‚†w ˆ~ {—l†Š…Ž……”•‘ m …rl†owT†Ž…s•  ……T†”—Ž‘ ˜‘“ x ˜†— w ‘‡ ‘‡ ‘‡ — ‘ƒ ¹†
…‡y†{•†l‡„‰–x‰ „•e‘™ o“„–w’† l•‰ Gox{— …r …k† zl†…f‘m‰ ”‡  “ T†“  † „‚™w ˜‰2„w r˜†„“‰#|  ˜2„wy…† €T† G‚™ {—–‡ x“ — ¼Ê ox …˜•{“e†“ d‡™ „•Rse‘m‘ d™ “ • B™…— {•”†mx
m w “ ‘ w ‘ Ð †  y k ‡ ‘ ‡ ††  ˜  †
wd• · ˜‘¼T—”“‘ ‚ ‘ ‡yƒ …•“ f†‡ † ‡ –eƒ™ ‡ „“‘ yk ‡ e‘™ ‡ R²†„† o—…‡ ™ “ “ sƒº Î ‡ ˜™— R…‚‡‰ ‰ ‡ ˜ƒ”“‘ ‚   T‰‘…f† “ –eƒ™ „“‘
rkÏ “w e‘™ m Ž{µ¸µ–‡ÎR—  w   …szw…€† w …‘ f†  ¾”w…‘ pT‘˜™“ um • e‘d•  –…y…† ‡   {•l†”‰lx…–{•„†x   T‘‚“‰ Í”w yT†o™ T†p˜‘hT—m ”“w ‘ ox  ‚
‡… ‚‡† w — ‘ v n‘‡ • † ‘ 7 † •w ™
…„y‘ Šf„‡— ˜‘† {“l†w„†ˆ‚“„‰~ „x–{—‘ z—#…h| …––„•‰‡ „‡‘‘ m …„“‘ ˆd‚†™T‘‡ l•{w‰ u†y q˜‰— {“{•ye†† ”‰B™l—lx……‚‰‰ …”t…„‡w‘ …‘ Í„—B™‡ …h…–s{µƒ†‘ Y–“·•»µ oµŽo™º —–re‘d• ˆB™¹ oµ{“¸µ† –Æ· „zwµo¶m Å Ž”—w 7…† ˜ …““ eƒu™ g„“w ‘ h‚•€e‘‰ ´ ™ w ‰— ‘ † x ‘
È dµ ³ÌÇ † †
 {“…ˆ‚eË{—…‡  “ ˜ ¼Ê Æ {È{µsr{¶µ {µsƵ ryEId{µÈ {µsdr—oµ··µµ oµº º Æ ’ÅyÄ pgà (ÂÀ · {¶µ Y É Ç gà Á Ä
µ · ’ÅÇ Ä É
“ mh ™ x x ‰ ‡ · m † ¼ ¹ o·T‘s¼™ • …”‡‘ ‘ ‚†· …„‡m R T†“
 “…Tƒ™  ”“‘ hww T‘y…w‘ j‘‡ ‚†ƒ ‰ • g† ow‡  I”wRox‘ {—´ † | w ……·• ”t…º‘ ¾–† w{µ»µ¹–oµY·º —  µ w   o—…‡ ™  “ ‘ ˜ ¿ª¾„†o—ox…† ‡  “ ˜ ƒ ½…•   „“n{µ »µ–{¶hw —  w  
‰ w ‰ µ ‘ w m
… x † …Tƒ™ ”“‘ T‘™ U…sp……”•l‘‰ #–{µ»µ–oµv— zboµ¸µ–o¶v— owŒ{w T‘˜ e“d”•my{•‡y†„‰x œ ‚™‰¢ £ Ÿ‚ ¨ …§• @–œ‘ ‡ ¦ …Ÿ“ Tƒ™ ¤ ”“£ ‘ ¢ ¡ T‘™ w
„  gow     w w ‘ w• ³¡‰f©²¡‰ r’¡Iƒu{¥Ž7r Ÿž²œ¨
‰
‚wow‡ ‰ ˜‘–x— …sfqT†•‚ƒ dl™† g“ „ƒ €‚‰xl± “lwT‰–u—e‰™tƒx™ {—d†™ • w ”ƒ…‰fo—‡x‘ † † m † T‘„–w‘„“ ©flƒ¬ ‘ sw® ¡ #dx• œ –T†‘f“ƒ ‰€dm•¬ « T†­o—† e“7B™¥ ‰…ƒs{•ƒ«‘„—¬ ‰†£• ª€’ƒ¢ ¡ œ{•y´ † ¢ | ”‰x nw €°˜†“ omh ”“‘ w T‰“ m † w † ¯
¤ f© ¡q’¡Iƒu{¥ƒ7q Ÿžm ˆˆš
w£ Ÿ ¨ § œ ¦ Ÿ ¤ £ ¢ ¡ œ ›
‘ ‘ x
w„”„•q yow ‘ ‘  ™  x x  hw ‰ † • ‘ ƒ • 2…eƒ™™…m•…‡ w — v ‡ ‚•‰ w „“†e‘‹™…‡ om…“• Ž…‘‘ g† gowl‘T‰™ m | ‡ ‰ o˜„r  w ‘  ƒ ‡ „w
‘
— w l†‰ g•x Œxowƒ ”wn„——“ k u—x m‚tT‰d• „ƒgx ˆw ˜™{“† ‘ h{—…––fh‚†Uw ƒ „†‚“„‰”x„n#”…—| e†d‘™ „•‚‘h…† ‚‡‰ w h„—|h‚†‰ gow x xx
“
„‘e† ˜™‚xe‰”—™Iy‘  ˜‰“„ƒ„•‹y–‘‘„‰m zw• …znŽ…{•†‘™„• l•y˜‰† ˜‰2„—— † ˜‘„y“ hŒ„• „l†}‘ | ‰  ‰ gowIx ”wŒ„T†x …’‹™e“‡ w …‘† ‘‚m „xw y –†‘ Iw‚ „w„“zŠe‘™e‘‘ d…k™ • • q…˜‘™ {“‡~ †  …Tƒ™n‰ ”“‚†{w‘ T†hm Yw ”—ˆ…† 2}• ”†~ …—| y x …„Rˆw‡m‘ R™ „•‹y‘‰ m™
†l˜ƒ‰ Gy–ow‰x— I• …v†x† ”wp“ l‘ T‰uU‚t™x „wT‰…• ”• ˆrd…•‘™e‘x„ƒ‘ qB™‡ …— {•‚‡”†T‰j„‘”—x „‘„x”x–…•‘‘ •  po“„“†‘ n …lx† ƒ—•˜‰ yk ‚†…j„ƒiw x €h„‚wy „•‘ g”‘……jf…T†‘‡ d‡™e“‡ ‚•hl‡”‰˜‘‚†w „w ‘ „‰–„•T‘”“h‚’‘} „|…—‰ ˆ{—‚†…„†w z‚xx„ƒ w— €y j#v‡
‘ ‘s ‡ ™ w m ‘ • x ƒ … ‰ —€ x ‡ w w –
ƒ xT‘™ ‰”† €†  p{•‡y†„‰lx ˜‰x {—†‘
W TSH TufF W QXsRqUphffIdcbGY`YP #WV UTSRQPIGEC BA@8
Vt H r P D i g e X e H a D X D X H H H F D 9
$ ¡ ¢ ¤
7! 654¤ 3
1 § $ ! $ ¡ $ ¢ § ! § ¢ © § ¥ ¢
20 )('%! £¡ #! £ ¨¦¤ £¡