Integral Indefinida E Definida

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Integral Indefinida E Definida

  1. 1. UTFPR- UNIVERSIDADE TECNOLOGICA FEDERAL TOLEDO PARANÁ PROCESSOS QUÍMICOS INTEGRAL INDEFINIDA E DEFINIDA Material elaborado pelo Prof Francisco Leal Moreira - Prof Sérgio p
  2. 2. INTEGRAL INDEFINIDA Em matemática, cada vez que definimos uma operação, pensamos na sua operação inversa, que desfaz o efeito da primeira. Assim, a subtração é a operação inversa da adição, a divisão é a operação inversa da multiplicação e a extração da raiz quadrada é a inversa da operação que eleva ao quadrado. Estamos agora interessados na operação inversa da derivação. DERIVAÇÃO F F’= f PRIMITIVAÇÃO 1. PRIMITIVA Uma função F é chamada de primitiva de uma função f em um intervalo I se F’(x) = f(x), ∀x ∈ I . Exemplos: As funções dadas por F1(x) = x2, F2 (x) = x2 + 1, F3(x) = x2 – 1 são primitivas da função dada por f(x) = 2x. A função f possui infinitas primitivas que podem ser representadas por F(x) + k chamada de primitiva geral ou integral indefinida da f que é notada por ∫ f(x)dx ou seja ∫ f(x)dx = F(x) + k. 2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL INDEFINIDA A integral indefinida de uma função f é representada geometricamente por uma família de curvas que em pontos de mesma abscissa possuem retas tangentes paralelas. ∫ Exemplo: 2xdx = x 2 + k 53
  3. 3. E1) Determine: ∫ ∫ ∫ 3) 3x 2 dx ∫ (5x 4 1) 2xdx 2) 5dx 4) + 4x 3 )dx 3. REGRAS DE INTEGRAÇÃO 1. ∫ cf(x)dx = c∫ f(x)dx , sendo c uma constante 2. ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ f(x)dx ± ∫ g(x)dx 3. ∫ dx = x + k ∫e x 4. dx = e x + k dx 5. ∫ x = ln | x | + k 6. ∫ sen xdx = − cos x + k 7. ∫ cos xdx = sen x + k E2) Encontre: 2 ∫ ∫ (3 + e ∫ x 1) 2dx 2) )dx 3) (1 − )dx x 4 2 ∫ ∫ (ln2 − 5e ∫ x 4) edx 5) )dx 6) ( − )dx 5 3x 2x − 3 ∫ ∫ (3e + e ∫ x 7) (π − 2e + ln 6)dx 8) )dx 9) ( )dx x 10) ∫ (cos x − sen x)dx 11) ∫ (3 cos x + 6)dx 12) ∫ (1 + 5 sen x)dx 54
  4. 4. x p +1 8. ∫ x p dx = p +1 + k , sendo p ≠ -1 E3) Encontre: ∫ 3x ∫ (2x ∫ (x 2 4 1) dx 2) - x 3 + 3x 2 - x + 2)dx 3) 5 - 2x 3 + 5x - 3)dx dx dx 4) ∫ 3x 2 5) ∫ x dx 6) ∫ x 3 x 2 3 7) ∫ x x dx 8) ∫ x dx 9) ∫(x + x 2 )dx 5 3 x 3 + 2x − 1 1 10) ∫ ( 2x 2 − x 4 )dx 11) ∫ x2 dx 12) ( ∫ 3x 2 − x )dx u p +1 9. Se u = f(x) , u p u ' dx = ∫ p +1 + k , se p ≠ −1 E4) Encontre: ∫ (3x − 1) ∫ (3x − 1) ∫ 4 4 1) 3dx 2) dx 3) (1 - x) 5 dx ∫e u 10. Se u = f(x) , u ' dx = e u + k E5) Encontre: ∫e ∫e ∫ 4x 4x 1) 4dx 2) dx 3) e -x dx u ' dx 11. Se u = f(x) , ∫ u = ln | u | + k E6) Encontre: 2x x 1 1) ∫x 2 −3 dx 2) ∫x 2 −3 dx 3) ∫ 5x + 2dx 55
  5. 5. 12. Se u = f(x) , ∫ sen u.u' dx = − cos u + k E7) Encontre: 1) ∫ sen 4x.4dx 2) ∫ sen 4x .dx ∫ 3) sen(-x).dx 13. Se u = f(x) , ∫ cos u.u' dx = sen u + k E8) Encontre: 1) ∫ cos(x − 3).2 xdx 2) ∫ cos(x − 3).xdx ∫ 3) cos(5x + 2)dx 2 2 E9) Encontre: ∫ 1) (2x − 1) 3 2dx ∫ x 2 − 1. 2 xdx ∫ (3x 2 2) 3) + 4) 5 xdx xdx dx xdx 4) ∫ 5−x 2 5) ∫ (1 − x) 4 6) ∫ (x 2 + 2) 3 xdx dx dx 7) ∫ 3 3− x 2 8) ∫ 2x − 1 9) ∫ (2x + 3) 5 ⎛ x 5 3 ⎞ x 2 dx 10) ∫ ⎜ 3e − ⎝ + ⎟dx 2x x 2 ⎠ 11) ∫ e 3x −1dx 12) ∫x 3 +1 2dx dx x 2 +3 13) ∫e x −1 14) ∫ 4x − 2 15) ∫ 3xe dx x 20 xdx dx 16) ∫x 2 + 10 17) ∫ 5e 2 dx 18) ∫e x ∫ x cos x ∫ sen 3x.dx ∫ sen 2 5 19) .dx 20) 21) x. cos x.dx ∫e ∫ tg x.dx ∫ cot g x.dx cos x 22) . sen x.dx 23) 24) 56
  6. 6. E10) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelo ponto P, sabendo que: 1) P(2,1) e f ’(x)= 2x 2) P(1,5) e f ’(x)= 6x2 - 2x + 5 3) P(-2,-3) e f ’(x) = 3x2 + x – 1 2 4) P(0,-2) e f ’(x) = ex – 2 5) P(1,5) e f ’(x) = x E11) Determine a equação da curva y = f(x) que passa pelos pontos (0,2) e (-1,8), sabendo que y" = 12x2. Importante: A taxa de variação de f(x) em relação a x é o mesmo que a derivada de f(x) em relação a x. E12) O preço de uma máquina desvaloriza-se a uma taxa de -20x mil reais ao ano. Se a máquina durou quatro anos e seu valor residual foi R$ 40.000,00, qual foi seu preço inicial ? E13) O preço de uma mercadoria, que atualmente custa R$ 1.000, varia, com a inflação, a uma taxa de 40x reais ao mês. Quantos custará daqui a cinco meses ? E14) Uma indústria que tem 225 operários produz 750 unidades de certo produto. A taxa de variação da 25 produção em relação ao número de operários é dada por . Qual será a produção da fábrica, se x forem admitidos mais 31 funcionários ? E15) Uma empresa estima que o crescimento de sua renda mensal, em milhões, em função do tempo, em meses, será à taxa de 3(t + 4)-1/2, a partir de hoje. Sabendo que a renda atual da empresa é de 12 milhões, calcule a renda daqui a um ano. E16) Daqui a x anos, a população de certo país variará a uma taxa estimada de e0,1x milhões de habitantes por ano. Se a população atual é de 120 milhões de habitantes, qual a função P = f(x) que dá a população em função do tempo? Qual será a população desse país daqui a 20 anos? E17) Um certo bem desvaloriza-se a uma taxa de –10x reais ao ano. Se o bem durou três anos e seu valor residual foi R$ 105,00 ; qual foi seu preço inicial ? E18) Determine uma função Produção P = f(x) que tenha um ponto de máximo para x=2 e que passe pela origem, sabendo que sua derivada de segunda ordem é P’’= -12x. 57
  7. 7. 4. RESPOSTAS E1)1) x2 + k 2) 5x + k 3) x3 + k 4) x5 + x4 + k E2) 1) 2x + k 2) 3x + ex + k 3) x – 2ln |x| + k 4) ex + k 5) xln 2 - 5ex + k 4x 2 6) − ln | x | + k 7) ( π - 2e + ln 6)x + k 8)3ex + ex + k 9) 2x – 3ln |x| + k 5 3 10) sen x + cos x + k 11) 3sen x + 6x + k 12) x – 5cos x + k 2x 5 x 4 x2 x 6 x 4 5x 2 1 E3) 1) x3 + k 2) − + x3 − + 2x + k 3) − + − 3x + k 4) − +k 5 4 2 6 2 2 3x 2 x3 2 x5 3 5) +k 6) 2 x + k 7) +k 8) 33 x + k 9) 2 ln | x | − +k 3 5 x 5 1 x2 1 1 2 x3 10) − + 3 +k 11) + 2 ln | x | + + k 12) − − +k 2x x 2 x 3x 3 (3x − 1) 5 (3x − 1) 5 (1 − x ) 6 E4) 1) +k 2) +k 3) − +k 5 15 6 e 4x 1 E5) 1) e 4 x + k 2) +k 3) − +k 4 ex 1 1 E6) 1) ln | x 2 − 3 | + k 2) ln | x 2 − 3 | + k 3) ln | 5x + 2 | + k 2 5 1 E7) 1) –cos 4x + k 2) − cos 4 x + k 3) cos (-x) +k 4 1 1 E8) 1) sen( x 2 − 3) + k 2) sen( x 2 − 3) + k 3) sen(5x + 2) + k 2 5 (2x − 1) 4 2 ( x 2 − 1) 3 (3x 2 + 4) 6 E9) 1) +k 2) +k 3) +k 4) – 5 − x 2 + k 4 3 36 1 1 − 33 (3 − x 2 ) 2 5) +k 6) +k 7) +k 8) 2x − 1 + k 3(1 − x ) 3 − 4( x 2 + 2) 2 4 −1 5 3 e 3x −1 1 9) +k 10) 3e x − ln | x | − + k 11) +k 12) ln | x 3 + 1 | + k 8(2x + 3) 4 2 x 3 3 2 −2 1 3e x +3 13) x −1 +k 14) ln | 4 x − 2 | + k 15) +k 16)10ln(x2 +10) + k e 4 2 58
  8. 8. x 1 1 1 17) 10 e 2 + k 18) − x +k 19) sen x 2 + k 20) − cos 3x + k e 2 3 sen 6 x 21) +k 22) − e cos x + k 23) − ln | cos x | + k 24) ln | sen x | + k 6 x2 E10) 1) y = x2 – 3 2) y = 2 x3 – x2 + 5x – 1 3) y = x3 + – x +1 2 4) y = ex – 2x –3 5) y = 2ln x + 5 E11) x4 – 5x + 2 E12) V = 200.000 E13) R$ 1.500,00 E14) P(256) = 800 E15) R(12) = 24 milhões E16) Aproximadamente 183,8 milhões de habitantes E17) 150 E18) P = – 2x3 + 24x 59
  9. 9. INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função e F uma primitiva de f. A integral definida de f de a até b é o número real b representado por ∫a f(x)dx e calculado por F(b) - F(a). b ∫a f(x)dx b = [F(x)] a = F(b) - F(a) E1) Calcule: 3 1 4 1) ∫ 0 x 2 dx 2) ∫ −1 (1 − x) dx 1. PROPRIEDADES BÁSICAS a a) ∫ f(x)dx = 0 a b a b) ∫ f(x)dx = - ∫ b f(x)dx a b b c) ∫ c.f(x)dx = c. ∫ f(x)dx , sendo c uma constante a a b b b d) ∫ [f(x) ± g(x)]dx = ∫ a f(x)dx ± ∫ a g(x)dx a b c b e) ∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ c f(x)dx , com a < c < b a a b f) ∫ f(x)dx ≥ 0, se f(x) ≥0, ∀x ∈ [a,b] a E2)Calcule: 1 0 5 ∫0 (x ∫−1 (3x ∫2 (2 + 2u + 3u 4 1) − 3x 3 + 1)dx 2) 5 − 3x 2 + 2x − 1)dx 3) 2 )du 9⎛ 1 ⎞ 2 2 1 t +1 4) ∫1 ⎜ ⎜ ⎝ t− ⎟dt ⎟ t⎠ 5) ∫0 x (x - 1)dx 6) ∫2 t2 dt 2 2 1 ∫1 (2x - 4) ∫4 (2x - 6) ∫0 8x(x 5 4 2 7) dx 8) dx 9) + 1) 3 dx 60
  10. 10. 4 1 2 x2 1 ∫0 ∫1 ∫ 0 (u 3 10) du 11) 3 2 dx 12) + u ) u 4 + 2u 2 + 1 du 6u + 1 ( x + 1) 3 2 dx 0 dx 13) ∫−2 | x − 1 | dx 14) ∫0 x 2 − 6x + 9 15) ∫-1 1- x 1 ⎛ | x |⎞ 5 3 x4 − x3 16) ∫−1 ⎜ x − ⎝ 2 ⎠ ⎟dx 17) ∫−2 | 2t − 4 | dt 18) ∫1 x dx 2. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DEFINIDA Seja f uma função continua em [a,b] com f(x) ≥ 0, ∀x ∈ [a,b]. Vamos calcular a área da região situada entre o gráfico de f e o eixo das abscissas de a até b. y f f(x+ Δx ) A1 A2 f(x) A3 A ΔA 0 a x x + Δx b x A é a área da região hachurada, ΔA é o acréscimo que sofre a área A quando x recebe um acréscimo Δx . ΔA A3 ≤ ( A2 + A3 ) ≤ (A1 + A2 + A3 ) ⇔ f(x). Δx ≤ ΔA ≤ f(x + x). Δx ⇒ f(x) ≤ ≤ f(x + Δx ) Δx ΔA ΔA ΔA lim f(x) ≤ lim ≤ lim f(x + Δx ) ⇔ f(x) ≤ lim ≤ f(x ) ⇒ lim = f(x) ⇔ A’ = f(x) Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx Então A é uma primitiva de f(x) , logo A = F(x) + k. Para x = a, A = 0 e k = -F(a), logo A = F(x) - F(a) Para calcular a área de a até b basta tomar x = b. b Para x = b, A = F(b) - F(a) = ∫ a f(x)dx b Se f é uma função continua e não negativa em [a,b], o número ∫ a f(x)dx representa a área da região limitada pelo gráfico de f, pelo eixo Ox e pelas retas verticais x = a e x = b. 61
  11. 11. y f R 0 a b x b AR = ∫ a f(x)dx 3. ÁREA ENTRE DUAS CURVAS Sejam f e g funções continuas em [a,b] , com f(x) ≥ g(x) , ∀x ∈ [a,b]. Se R é a região limitada pelos b gráficos de f, g, x=a e x=b então AR = ∫ a [f(x) - g(x)]dx y f R g 0 a b x E3)Calcule a área da região limitada por: 1) y=-x2 + 4 e y=0 2) y=x2 – 4, y=0, x=-1 e x=2 3) y=x, y=0, x=-2 e x=1 4) y=x2 – 1 e y=3 5) y=x2 + 1, y=2x - 2, x=-1 e x=2 6) y=x3, y=-x + 2 e y=0 7) y= x e y=x2 8) y=x e y=x3 4. RESPOSTAS 32 9 7 40 4 1 16 32 E1) 1) 9 2) E2) 1) 2) − 3) 144 4) 5) 6) − − ln 2 7) − 8) − 5 20 2 3 3 2 3 5 4 7 7 13 2 1 34 9) 15 10) 11) 12) 13) 14) 15) 2 2 − 2 16) − 17) 25 18) 3 54 6 2 3 2 3 32 5 32 3 1 1 E3) 1) 2) 9 3) 4) 5) 9 6) 7) 8) 3 2 3 4 3 2 62
  12. 12. BIBLIOGRAFIA: ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6.ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v.1 e v.2. BOULOS, Paulo. Introdução ao cálculo. São Paulo : Edgar Blücher, 1973. v.1. FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo A. 5.ed. São Paulo: Makron, 1992. FLEMING, Diva Marília, GONÇALVES, Mírian Buss. Cálculo B. São Paulo: Makron, 1999. HOFFMANN, Laurence D,BRADLEY, Gerald L. Cálculo, um curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: L.T.C., 2002. MAIA, L. P. M. Cálculo 1. Rio de Janeiro : UFRJ, 1978. NETO, Cesar Dacorso. Elementos de cálculo infinitesimal. São Paulo : Nacional, 1966. MUNEM, Mustafa A., FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1982. v.2. SEELEY, Roberto T. Cálculo de uma variável. Rio de Janeiro : LTC, 1973. v.1. SHENK, Al. Cálculo com geometria analítica. Rio de Janeiro : Campus, 1985. 2 v. SIMMONS, George. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. v.2. STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Pioneira, 2001. v.1. e v.2. SWOKOWSKI, Earl William.Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 1994. v.1. e v.2. 63

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