Aula I

Professora Aracéli Ciotti de Marins
Sistematização dos
Conjuntos Numéricos

   Números Naturais ()
   Números Inteiros ()
   Números Racionais (Q)
   Nú...
Números Naturais ()
 Este conjunto é de grande importância
  pelo seu uso na contagem. Sua notação
  é: N = 0, 1, 2, 3,...
Números Inteiros ()
O conjunto dos números inteiros é
 formado pelos elementos do
 conjunto dos naturais acrescidos de
 ...
Números Inteiros ()
 Quando se considera o conjunto dos números
  positivos, acrescidos do zero, a notação é:
  Z+ = N.
...
Números Racionais ou Fracionários (Q)

 São todos os números que podem ser escritos
  sob a forma de fração entre dois nú...
Números Irracionais (I)
São os números cuja representação
 decimal não é exata nem periódica,
 conseqüentemente não podem...
Números Reais (R)


   Representam a união entre os
 números Racionais e Irracionais:
 R = Q  I.
Operações com números reais

          Existem quatro operações básicas
  envolvendo os números reais:

 Adição: a + b
 ...
Exercícios

 Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada
  uma das afirmações, justificando sua resposta:
  (   )–7...
Exercício

Faça um esquema que represente a
 sistematização do conjunto dos números
 Reais, decompostos em outros conjunt...
Par Ordenado,
  Sistema Cartesiano
e Produto Cartesiano
Par Ordenado
Par é todo conjunto formado por dois
 elementos {a, b}, não importando a ordem
 que a e b aparecem no conjunt...
Exemplo
  Seja o par {x, y} a solução do sistema:
               2 x  3 y  4
               
                x  3 y ...
Propriedade
Se (a, b) = (c, d) então a = c e b = d.
Exemplo:
Determine a e b se: (a + 2, 18) = (0, 3b).
Exercícios: Determine a e b:

 (a, b) = (1, 3)
 (2a – 2, b + 3) = (3a + 5, 2b – 7)
 (2a, a – 8) = (1 – 3b, b)
Sistema Cartesiano Ortogonal

  É um sistema formado por dois eixos, x e
 y, perpendiculares entre si:
                   ...
O     eixo x é denominado eixo das
    abscissas e o eixo y é denominado
    eixo das ordenadas. Estes eixos
    dividem o...
Exemplo:

   Faça um sistema cartesiano ortogonal,
 e nele localize os pontos: A(3,0), B(0,-2),
 C(2,2), D(-2,-3), E(1,-4)...
Exercícios:
          Determine se as sentenças são
     verdadeiras (V) ou falsas (F):
    ( ) (-5, 4)  3 quadrante;
  ...
Produto Cartesiano
      Definição: dados dois conjuntos não-
    vazios A e B, denomina-se produto
    cartesiano de A po...
Exemplo

    Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 4}.
 Determine A x B e represente num plano
 cartesiano e por meio de um diagra...
Exercícios
      Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {-2, 1} e
    C = {-1, 0, 1}, representar, pelos elementos e no
   ...
Relações Binárias
Introdução


    Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e
 B = {2, 4, 6, 8}. O produto cartesiano de A
 por B é:
    A x B = ...
Consideremos, agora, alguns
subconjuntos de A x B:
 R1 = {(x, y)  A x B / y = 2x}   = {(1,2),
  (2,4), (3,6), (4,8)}
 R...
Cada um dos conjuntos R1,
R2, R3 e R4 são relações entre
os elementos de A e B. Eles são
denominados relação ou relação
bi...
Definição

   R é uma relação de A em B se e
somente se R estiver contido em
A x B, em outras palavras, se R for
subconjun...
Os conjuntos R1, R2, R3 e R4
estão contidos em A x B e são
formados por pares ordenados (x, y)
em que o primeiro elemento ...
Observações

     A é o conjunto de partida da relação R;
     B é o conjunto de chegada ou contra-
      domínio da rel...
Domínio

 Seja R uma relação de A em B.
  Chama-se domínio de R, o conjunto D(R)
  de todos os primeiros elementos dos
  ...
Imagem

  Chama-se imagem de R, o conjunto
   Im(R) de todos os segundos
   elementos dos pares ordenados que
   pertence...
Exemplo

 Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e
  B = {1, 2, 3, 5, 6}, determinar o domínio
  e a imagem da relação
  R =...
Exercício

  Dados os conjuntos A = {-4,-3,-2,
  -1,0,1,2,3,4}  e   B    =   {0,2,4,6,8},
  determinar a relação, as image...
Relação Inversa

     Dada uma relação binária R de A em
  B, o conjunto:
      R   y, x   B  A /  x, y   R
    ...
Exemplo


    Dados os conjuntos A = {1,2,-4} e
 B = {0,1,2,3}, determine a relação
 inversa de R = {(x, y)  A x B / y > ...
Exercício



     Determine a relação inversa para
  cada uma das relações do exercício
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Conjuntos NuméRicos

  1. 1. Aula I Professora Aracéli Ciotti de Marins
  2. 2. Sistematização dos Conjuntos Numéricos  Números Naturais ()  Números Inteiros ()  Números Racionais (Q)  Números Irracionais (I)  Números Reais (R)
  3. 3. Números Naturais ()  Este conjunto é de grande importância pelo seu uso na contagem. Sua notação é: N = 0, 1, 2, 3, ....  Quando não se utiliza o número 0 (zero), a notação utilizada é: N* = N – 0 = 1, 2, ....
  4. 4. Números Inteiros () O conjunto dos números inteiros é formado pelos elementos do conjunto dos naturais acrescidos de seus simétricos. Notação: Z = ..., -2, -1, 0, 1, 2, .... Quando o elemento zero não pertence ao conjunto, a notação se torna: Z* = Z – 0.
  5. 5. Números Inteiros ()  Quando se considera o conjunto dos números positivos, acrescidos do zero, a notação é: Z+ = N.  Quando o elemento zero não pertence ao conjunto, a notação torna-se: Z * (inteiros  positivos).  Analogamente, o conjunto dos inteiros não- positivos é: Z - = ..., -2, -1, 0 e este conjunto sem o zero é o conjunto dos negativos: Z   ...,3,2,1 *
  6. 6. Números Racionais ou Fracionários (Q)  São todos os números que podem ser escritos sob a forma de fração entre dois números inteiros. Tem representação decimal finita ou dízima periódica.  A notação deste conjunto é: p * Q   / pZ qZ  q   Exemplos: 2; -4; 0,5; 1,37; 1,5999...; 0,212121..., etc.
  7. 7. Números Irracionais (I) São os números cuja representação decimal não é exata nem periódica, conseqüentemente não podem ser escritos como uma fração entre dois inteiros. Exemplos:  = 3,14159265..., e = 2,718281828..., 2  1,4142135624 ... , etc.
  8. 8. Números Reais (R) Representam a união entre os números Racionais e Irracionais: R = Q  I.
  9. 9. Operações com números reais Existem quatro operações básicas envolvendo os números reais:  Adição: a + b  Multiplicação: a  b ou a . b  Subtração: a – b  Divisão: a/b ou a b
  10. 10. Exercícios  Determine se é verdadeira (V) ou falsa (F) cada uma das afirmações, justificando sua resposta: ( )–7N ( ) 2 Q ( )5Z ( ) -8  Q ( ) 3  R ( )-I ( )–7Z ( ) 3  Q
  11. 11. Exercício Faça um esquema que represente a sistematização do conjunto dos números Reais, decompostos em outros conjuntos.
  12. 12. Par Ordenado, Sistema Cartesiano e Produto Cartesiano
  13. 13. Par Ordenado Par é todo conjunto formado por dois elementos {a, b}, não importando a ordem que a e b aparecem no conjunto, assim, são iguais os conjuntos: {a, b} = {b, a}. Porém, quando a ordem dos elementos importa, o par passa a ser chamado de par ordenado.
  14. 14. Exemplo Seja o par {x, y} a solução do sistema: 2 x  3 y  4   x  3 y  7 Verifica-se que x = -1 e y = 2 é solução, ao passo que x = 2 e y = -1 não é. Assim, com notação de conjuntos, temos que: {-1, 2} = {2, -1}, o que não deve ocorre neste casso, então, utilizamos a notação (-1, 2) para representar o par ordenado (x,y). Logo (-1,2)(2,-1).
  15. 15. Propriedade Se (a, b) = (c, d) então a = c e b = d. Exemplo: Determine a e b se: (a + 2, 18) = (0, 3b).
  16. 16. Exercícios: Determine a e b:  (a, b) = (1, 3)  (2a – 2, b + 3) = (3a + 5, 2b – 7)  (2a, a – 8) = (1 – 3b, b)
  17. 17. Sistema Cartesiano Ortogonal É um sistema formado por dois eixos, x e y, perpendiculares entre si: y 2º quadrante 1º quadrante (a, b) b x a 3º quadrante 4º quadrante
  18. 18. O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é denominado eixo das ordenadas. Estes eixos dividem o plano em quatro regiões, chamadas quadrantes. Este sistema é utilizado para localizar pontos, com abscissas e ordenadas conhecidas.
  19. 19. Exemplo: Faça um sistema cartesiano ortogonal, e nele localize os pontos: A(3,0), B(0,-2), C(2,2), D(-2,-3), E(1,-4), F(-3,4).
  20. 20. Exercícios: Determine se as sentenças são verdadeiras (V) ou falsas (F):  ( ) (-5, 4)  3 quadrante;  ( ) os pontos de abscissas negativas e ordenadas positivas pertencem ao 1º quadrante;  ( ) um ponto no 4º quadrante tem abscissa positiva e ordenada negativa.
  21. 21. Produto Cartesiano Definição: dados dois conjuntos não- vazios A e B, denomina-se produto cartesiano de A por B o conjunto A x B, cujos elementos são todos os pares ordenados (x, y), em que o primeiro elemento pertence à A e o segundo pertence à B: A  B   x, y  / x  A  y  B Observação: A x A = A2.
  22. 22. Exemplo Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 4}. Determine A x B e represente num plano cartesiano e por meio de um diagrama de Venn.
  23. 23. Exercícios Dados os conjuntos A = {1, 3, 5}, B = {-2, 1} e C = {-1, 0, 1}, representar, pelos elementos e no plano cartesiano, os seguintes produtos: A x B B x A A x C C x A  B2  C2
  24. 24. Relações Binárias
  25. 25. Introdução Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 4, 6, 8}. O produto cartesiano de A por B é: A x B = {(1,2), (1,4), (1,6), (1,8), (2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,2), (3,4), (3,6), (3,8), (4,2), (4,4), (4,6), (4,8)}.
  26. 26. Consideremos, agora, alguns subconjuntos de A x B:  R1 = {(x, y)  A x B / y = 2x} = {(1,2), (2,4), (3,6), (4,8)}  R2 = {(x, y)  A x B / y = x} = {(2,2), (4,4)}  R3 = {(x, y)  A x B / y = 6} = {(1,6), (2,6), (3,6), (4,6)}  R4 = {(x, y)  A x B / x = 2} = {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8)}
  27. 27. Cada um dos conjuntos R1, R2, R3 e R4 são relações entre os elementos de A e B. Eles são denominados relação ou relação binária de A e B.
  28. 28. Definição R é uma relação de A em B se e somente se R estiver contido em A x B, em outras palavras, se R for subconjunto do produto cartesiano de A com B.
  29. 29. Os conjuntos R1, R2, R3 e R4 estão contidos em A x B e são formados por pares ordenados (x, y) em que o primeiro elemento x de A é “associado” ao elemento correspondente y de B, mediante certo critério de “relacionamento” ou “correspondência”.
  30. 30. Observações  A é o conjunto de partida da relação R;  B é o conjunto de chegada ou contra- domínio da relação R.  Quando o par ordenado (x, y) pertence à relação R, escrevemos xRy, e se o par não pertence à relação, escrevemos x R y. 
  31. 31. Domínio  Seja R uma relação de A em B. Chama-se domínio de R, o conjunto D(R) de todos os primeiros elementos dos pares ordenados que pertencem à R: x  DR   y  B /  x, y   R
  32. 32. Imagem  Chama-se imagem de R, o conjunto Im(R) de todos os segundos elementos dos pares ordenados que pertencem à R: y  ImR   x  A /  x, y   R
  33. 33. Exemplo  Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 5, 6}, determinar o domínio e a imagem da relação R = {(x, y)  A x B / y = x + 1}.
  34. 34. Exercício Dados os conjuntos A = {-4,-3,-2, -1,0,1,2,3,4} e B = {0,2,4,6,8}, determinar a relação, as imagens e os domínios das seguintes relações de A em B: R1 = {(x, y)  A x B / y = 2x} R2 = {(x, y)  A x B / y = 2x + 1} R3 = {(x, y)  A x B / y = x2} R4 = {(x, y)  A x B / y = |x|}
  35. 35. Relação Inversa Dada uma relação binária R de A em B, o conjunto: R   y, x   B  A /  x, y   R 1 representa uma relação de B em A, que é denominada relação inversa de R.
  36. 36. Exemplo Dados os conjuntos A = {1,2,-4} e B = {0,1,2,3}, determine a relação inversa de R = {(x, y)  A x B / y > x}.
  37. 37. Exercício Determine a relação inversa para cada uma das relações do exercício anterior

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