Fuentes del campo magnético

1. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios F´ısica 1er curso de Grado en Ingenier´ıa Informática Bloque B: Campo magnético. Inducción electromagnética Tema 4: Campo magnético y sus fuentes Parte II: Fuentes del Campo Magnético Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega Departamento de Qu´ımica y F´ısica Aplicadas. Área de F´ısica Aplicada eduardo.garcia@unileon.es Universidad de León (León-España) Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

2. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuentes del Campo Magnético 1 Fuentes de B Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones 2 Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

3. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuentes del Campo Magnético 1 Fuentes de B Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones 2 Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

4. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por una carga Sea una carga q moviéndose con velocidad v. El campo B creado por la carga en un punto P, cuya posición está fijada por r, viene dado por Campo magnético creado por una carga B = µ0 4π · q · v × ˆr r2 = µ0 4π · q · v × r r3 B es proporcional a q, v y r−2 . B = 0 a lo largo de la dirección de movimiento, en cada instante. B es perpendicular a v y r. µ0/4π = km siendo µ0 la permeabilidad magnética del vac´ıo, espacio libre y aire. Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

5. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por una carga Sea una carga q moviéndose con velocidad v. El campo B creado por la carga en un punto P, cuya posición está fijada por r, viene dado por Campo magnético creado por una carga B = µ0 4π · q · v × ˆr r2 = µ0 4π · q · v × r r3 B es proporcional a q, v y r−2 . B = 0 a lo largo de la dirección de movimiento, en cada instante. B es perpendicular a v y r. µ0/4π = km siendo µ0 la permeabilidad magnética del vac´ıo, espacio libre y aire. Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

6. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por un elemento de corriente I · dl Sea un elemento de carga dq de una corriente eléctrica, moviéndose con velocidad v. En un tiempo dt recorre dl: dq · v = dq · dl dt = dq dt · dl. El campo magnético creado por un elemento de corriente viene dado por Ley de Biot y Savart dB = µ0 4π · I · dl × ˆr r2 = µ0 4π · I · dl × r r3 Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

7. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por una corriente rectil´ınea El módulo del campo creado por el elemento de corriente I · dl es dB = µ0 4π · I · dx r2 · sin φ = µ0 4π · I · dx r2 · cos θ Escribimos todo en función del ángulo θ: x = R·tan θ ⇒ dx = R 1 cos2 θ dθ = r2 R dθ dB = µ0 4π I R cos θdθ B = θ2 θ1 µ0 4π I R cos θdθ B = µ0 4π I R (sin θ2 − sin θ1) Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

8. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por una corriente rectil´ınea infinita Partiendo de: B = µ0 4π I R (sin θ2 − sin θ1) Si la longitud del conductor tiende a infinito, entonces θ1, θ2 → π/2 B = µ0 2π I R Las l´ıneas de campo son circunferen- cias centradas en el hilo de corriente. Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

9. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por una espira circular Sea una espira de radio R por la que circula una corriente I. Sea un elemento de corriente que crea un campo magnético en el punto P, cuyo módulo es: dB = µ0 4π I · |dl × ˆr| r2 = µ0 4π I · dl R2 + x2 La componente en el eje X dBx = µ0 4π I · dl R2 + x2 ·senθ = µ0 4π IR · dl (R2 + x2)3/2 El campo magnético en P B = µ0 2 R2 I (R2 + x2)3/2 i = µ0 4π 2µ (R2 + x2)3/2 i Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

10. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por una espira circular Sea una espira de radio R por la que circula una corriente I. Sea un elemento de corriente que crea un campo magnético en el punto P, cuyo módulo es: dB = µ0 4π I · |dl × ˆr| r2 = µ0 4π I · dl R2 + x2 La componente en el eje X dBx = µ0 4π I · dl R2 + x2 ·senθ = µ0 4π IR · dl (R2 + x2)3/2 El campo magnético en P B = µ0 2 R2 I (R2 + x2)3/2 i = µ0 4π 2µ (R2 + x2)3/2 i Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

11. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por un solenoide Un solenoide es un conductor arrolla- do estrechamente en forma de hélice. Se utiliza para crear campos magnéti- cos intensos. Sea un elemento dx. n = N/L el número de vueltas por unidad de longitud. Cada una transporta una intensidad de corriente I. El elemento equi- vale a una simple espira di = nIdx. B = µ0 2 R2 I (R2 + x2)3/2 i ⇒ dB = µ0 2 nIR2 (R2 + x2)3/2 dxi Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

12. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por un solenoide Un solenoide es un conductor arrolla- do estrechamente en forma de hélice. Se utiliza para crear campos magnéti- cos intensos. Sea un elemento dx. n = N/L el número de vueltas por unidad de longitud. Cada una transporta una intensidad de corriente I. El elemento equi- vale a una simple espira di = nIdx. B = µ0 2 R2 I (R2 + x2)3/2 i ⇒ dB = µ0 2 nIR2 (R2 + x2)3/2 dxi Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

13. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por un solenoide El campo debido al solenoide será: B = µ0 2 nIR2 x2 x1 dx (R2 + x2)3/2 i B = 1 2 µ0nI x2 x2 2 + R2 − x1 x2 1 + R2 i Si L >> R, B es uniforme B = µ0nIi En los extremos del solenoide B = 1 2 µ0nIi. Es nulo fuera. Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

14. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Campo creado por una carga Ley de Biot y Savart Aplicaciones Campo creado por un solenoide El campo debido al solenoide será: B = µ0 2 nIR2 x2 x1 dx (R2 + x2)3/2 i B = 1 2 µ0nI x2 x2 2 + R2 − x1 x2 1 + R2 i Si L >> R, B es uniforme B = µ0nIi En los extremos del solenoide B = 1 2 µ0nIi. Es nulo fuera. Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

15. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Fuerzas entre corrientes rectil´ıneas y paralelas El módulo del campo magnético que la corriente I1 crea en la corriente I2 situada a una distancia R es B1 = km 2I1 R La fuerza elemental sobre el elemento de corriente I2dl2 es dF2 = I2dl2 × B1 La fuerza por unidad de longitud (al ser corrientes infinitas) viene dada por: F2 L = km 2I1I2 R Analizando la expresión vectorial: Corrientes en el mismo sentido se atraen. Corrientes en sentido opuesto se repelen. Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

16. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Fuerzas entre corrientes rectil´ıneas y paralelas El módulo del campo magnético que la corriente I1 crea en la corriente I2 situada a una distancia R es B1 = km 2I1 R La fuerza elemental sobre el elemento de corriente I2dl2 es dF2 = I2dl2 × B1 La fuerza por unidad de longitud (al ser corrientes infinitas) viene dada por: F2 L = km 2I1I2 R Definición de Amperio Si por dos corrientes paralelas muy largas, situadas a una distancia de 1 m, circulan corrientes iguales, se define la corriente en cada una de ellas como igual a 1 A si la fuerza por unidad de longitud sobre cada conductor es de 2 · 10−7 N/m Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

17. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Ley de Gauss La l´ıneas de campo magnético son cerradas pues no existen monopolos magnéticos, a diferencia de lo que sucede con el campo eléctrico. La unidad fundamental del magnetismo es el dipolo magnético. Ley de Gauss φm = S B · ds = 0 Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

18. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Ley de Gauss La l´ıneas de campo magnético son cerradas pues no existen monopolos magnéticos, a diferencia de lo que sucede con el campo eléctrico. La unidad fundamental del magnetismo es el dipolo magnético. Ley de Gauss φm = S B · ds = 0 Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

19. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Ley de Ampère Es una ecuación que relaciona la componente tangencial de B a lo largo de una trayectoria cerrada, con la intensidad que atraviesa la superficie definida por la curva. Ley de Ampère c B · dl = µ0Ic Se utiliza para calcular el B en situaciones de elevada simetr´ıa. c B·dl = B· dl = µ0I De donde B = µ0 2π I r Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

23. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Campo de un toroide Arrollamiento circular de N espiras que transportan I cada una de ellas. Sea una trayectoria C de radio a < r < b. Por simetr´ıa, B en el interior es tangente a C y constante en módu- lo en todos los puntos de la trayectoria. c B · dl = B2πr = µ0NI B = µ0NI 2πr Si r < a o r > b el campo es nulo, pues no encierra corriente. Si a ≈ b, B es prácticamente uniforme. Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

24. Esquema de la parte II: Fuentes del Campo Magnético Fuentes de B Asuntos varios Fuerzas magnéticas entre corrientes Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampère y casos Campo en el interior de un hilo de corriente Sea un hilo de corriente de radio R por el que circula una intensidad I. Calculemos B a distancia r del centro del hilo. Sea C la trayectoria. Por simetr´ıa, B en el interior es tangente a C y constante en módu- lo en todos los puntos de la trayectoria. c B · dl = B2πr = µ0Ic Si j = I/(πR2 ) ⇒ Ic = j · πr2 B = µ0 I 2πR2 r Dr. Eduardo Garc´ıa Ortega F´ısica. Tema 4: Campo magnético y sus fuentes

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