Aplicações do Homomorfismocubo de rubik<br />Professor Edinei Reis<br />
Problema – Resolver o Cubo de Rubik ou Cubo Mágico<br />Podemos utilizar a teoria dos grupos para resolver o Cubo de Rubik...
Notação de Singmaster<br /><ul><li>A cada face é atribuída uma letra que a identifica.
U – Up
F - Front
R - Right
D - Down
B - Back
L - Left </li></li></ul><li>Movimentos do Cubo<br />K representa a rotação de 90º da face K no sentido dos ponteiros do re...
Rotações do Cubo<br />São permutações do conjunto dos “cubinhos”.<br />Executar rotações sucessivamente corresponde a comp...
Rotações do Cubo<br />RU-1: <br />R =&gt;<br />U-1 =&gt;<br />U-1R: <br />U-1=&gt;<br />R =&gt;<br />Permutação é uma bije...
Permutações<br />O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo  de Rubik é um grupo, bem grande e complexo (mas n...
Permutações – Ciclos<br />Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba  por retornar ao esta...
Curiosidade<br />O tamanho deste grupo R é de 4 x 1019 elementos. E existe uma afirmação interessante antes de ser conheci...
O grupo Zn<br /><ul><li>O conjunto Zn = {0, 1, ... , n-1} forma um grupo comutativo se definirmos a operação +, ou seja, a...
Zn é um grupo cíclico. Temos, por exemplo, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, que é um grupo cíclico finito.</li></li></ul><li>O gru...
Homomorfismo de Grupos<br />Uma função y: G  H é um homomorfismo de grupos se y(1) = 1 e para todo g, h  G, y(g  h) = y...
Homomorfismo no Cubo de Rubik<br />Seja a função y: Z6 R definida por y(k) = (FFLL)k é um homomorfismo injetor de grupos....
Homomorfismo no Cubo de Rubik<br />Ao aplicarmos a macro y(k) = (FFLL)k, observamos que o Grupo de Rubik com k = 6 é homom...
Homomorfismo no cubo de Rubik<br />As macros L2R2B2L2D2R2 e <br />	R-1UR-1BRU-1R-1LU-1L-1UB-1RR também com k = 6, volta o ...
Homomorfismo no cubo de Rubik<br />Por exemplo, a macro F tem ordem 4 e, a macro B2F2R2 também tem ordem 4, ou seja, o gru...
Outra aplicação dos homomorfismos de grupos no cubo de Rubik<br />Grupo das Fatias F:<br />
Grupo das Fatias F:<br />O grupo das fatias F é o subgrupo de R gerado pelos movimentos F*, D* e R*, ou seja: <br />F = F...
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Apresentação sobre homomorfismo de grupos - Aplicações - Cubo de Rubik

  1. 1. Aplicações do Homomorfismocubo de rubik<br />Professor Edinei Reis<br />
  2. 2. Problema – Resolver o Cubo de Rubik ou Cubo Mágico<br />Podemos utilizar a teoria dos grupos para resolver o Cubo de Rubik.<br /><br />
  3. 3. Notação de Singmaster<br /><ul><li>A cada face é atribuída uma letra que a identifica.
  4. 4. U – Up
  5. 5. F - Front
  6. 6. R - Right
  7. 7. D - Down
  8. 8. B - Back
  9. 9. L - Left </li></li></ul><li>Movimentos do Cubo<br />K representa a rotação de 90º da face K no sentido dos ponteiros do relógio.<br />K-1 a rotação da face K de 90º no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio<br />Rotação R<br />
  10. 10. Rotações do Cubo<br />São permutações do conjunto dos “cubinhos”.<br />Executar rotações sucessivamente corresponde a compor essas permutações.<br />RU-1 e U-1R não correspondem ao mesmo rearranjo do cubo, já que a composição de funções não é, em geral, comutativa.<br />
  11. 11. Rotações do Cubo<br />RU-1: <br />R =&gt;<br />U-1 =&gt;<br />U-1R: <br />U-1=&gt;<br />R =&gt;<br />Permutação é uma bijeção, de um conjunto finito nele mesmo.<br />
  12. 12. Permutações<br />O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo de Rubik é um grupo, bem grande e complexo (mas não é infinito).<br />O conjunto de todas as permutações das facetas do Cubo de Rubik forma um grupo R chamado Grupo de Rubik.<br />
  13. 13. Permutações – Ciclos<br />Um ciclo pode ser pensado como uma série de transições de estado que acaba por retornar ao estado inicial.<br />S1 -&gt; S2 -&gt; ... -&gt; Sn -&gt; S1<br />Aplicação de ciclos no cubo<br />Macro S = L2F2 =&gt; Software Rubik<br />
  14. 14. Curiosidade<br />O tamanho deste grupo R é de 4 x 1019 elementos. E existe uma afirmação interessante antes de ser conhecido este número:<br />“A Companhia de Brinquedos Ideal afirmava na caixa do Cubo Mágico original que ele poderia atingir mais de três bilhões de possíveis configurações. Isto é o mesmo que o McDonald’s orgulhosamente anunciar que eles já venderam mais de 120 hamburgers”.<br />J. A. Paulos, Innumeracy<br />
  15. 15. O grupo Zn<br /><ul><li>O conjunto Zn = {0, 1, ... , n-1} forma um grupo comutativo se definirmos a operação +, ou seja, a + b.
  16. 16. Zn é um grupo cíclico. Temos, por exemplo, Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, que é um grupo cíclico finito.</li></li></ul><li>O grupo Z6<br />No grupo Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} vale a seguinte propriedade:<br />
  17. 17. Homomorfismo de Grupos<br />Uma função y: G  H é um homomorfismo de grupos se y(1) = 1 e para todo g, h  G, y(g  h) = y(g)  y(h).<br />Vimos também que se y é bijetora (isto é injetora e sobrejetora), dizemos que y é uma isomorfismo () de grupos.<br />
  18. 18. Homomorfismo no Cubo de Rubik<br />Seja a função y: Z6 R definida por y(k) = (FFLL)k é um homomorfismo injetor de grupos.<br />Sua imagem é o subgrupo H = F2L2. Portanto HZ6. <br />
  19. 19. Homomorfismo no Cubo de Rubik<br />Ao aplicarmos a macro y(k) = (FFLL)k, observamos que o Grupo de Rubik com k = 6 é homomorfo a Z6.<br />Ou seja, se executarmos a macro FFLL ou F2L2 seis vezes, o cubo volta ao seu estado original.<br />As macros F2U2, D2R2, L2B2 são similares à função y(k) = (FFLL)k, também com k = 6.<br />
  20. 20. Homomorfismo no cubo de Rubik<br />As macros L2R2B2L2D2R2 e <br /> R-1UR-1BRU-1R-1LU-1L-1UB-1RR também com k = 6, volta o cubo ao seu estado original.<br />Podemos utilizar o software RUBIK para fazer as iterações e descobrir a ordem de uma macro.<br />
  21. 21. Homomorfismo no cubo de Rubik<br />Por exemplo, a macro F tem ordem 4 e, a macro B2F2R2 também tem ordem 4, ou seja, o grupo de Rubik com a função y(k) = (F) ou g(k) = (B2F2R2) com k = 4 é homomorfo a Z4.<br />
  22. 22. Outra aplicação dos homomorfismos de grupos no cubo de Rubik<br />Grupo das Fatias F:<br />
  23. 23. Grupo das Fatias F:<br />O grupo das fatias F é o subgrupo de R gerado pelos movimentos F*, D* e R*, ou seja: <br />F = F*; D*; R*<br />
  24. 24. Possíveis Generalizações<br /><ul><li>Podem considerar-se os outros sólidos platônicos (sólidos convexos cujas faces planares são polígonos regulares com o mesmo número de arestas e tais que cada vértice é vértice do mesmo número de faces).
  25. 25. Os movimentos acima considerados para resolver o cubo, quase não precisam de mudanças para resolver problemas análogos com os sólidos platônicos [Turner, E. e Gold, K., Rubik's groups Am. Math. (1985)]</li></li></ul><li>
  26. 26.
  27. 27.
  28. 28. Referências<br />SCHÜTZER, Waldeck. Aprendendo Álgebra com o Cubo Mágico. Uberlândia, 2005. V Semana de Matemática da UFU. Disponível em &lt;http://www.dm.ufscar.br/˜waldeck&gt;. Acesso em 05 nov. 2008.<br />DELGADO, Manuel. Seminário sobre o cubo de Rubik. Portugal. Disponível em &lt;http://www.fc.up.pt/cmup/mdelgado/cubo/seminario&gt;. Acesso em 05 nov. 2008.<br />Imagens<br />http://www.cuboloco.com<br />Aplicações do Homomorfismo - Cubo de Rubik by Edinei Reis is licensed under a Creative Commons Atribuição-Uso Não-Comercial-Compartilhamento pela mesma Licença 2.5 Brasil License. Based on a work at www.edineireis.com.<br />

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