cuarta unidad de mecánica de fluidos

1. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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INTRODUCCIÓN
Mediante el análisis dimensionalpodemos formaragrupaciones adimensionales
y trabajar con ellasen lugar de con las magnitudes físicas reales. Conello se
reduce el número de variables.
Para establecer los posibles adimensionales,supongamos que intervienen a la
vez todaslas posibles fuerzas sobre el flujo: de presión,de gravedad, de
fricción, de elasticidady detensión superficial.
En los temas anteriores hemos analizado el comportamiento de fluidos en el
ámbito de estática, en donde cualquier tipo de problema, se puede abordar y
tener una solución analítica directa. También, nos hemos introducido en la
dinámica de fluidos (cuando existe flujo) y lo hemos analizado a través de las
tres ecuaciones básicas mediante el método del volumen de control. En este
último caso, no existen soluciones directas en muchos casos de problemas
que se nos pueden plantear, por ejemplo, siempre tenemos el problema de la
valoración de la altura de pérdidas (h fricción), por lo que se ha de recurrir al
análisis experimental, es decir, al trabajo de laboratorio para poder encontrar
las correlaciones que nos hacen falta.
En general se aplican estas técnicas cuando se conocen las variables que
intervienen en el problema (fenómeno físico), mientras que la relación que
existe entre ellas se desconoce.

2. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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OBJETIVOS
 Encontrar la solución a problemas mediante métodos teóricos.
 Conocer las aplicaciones de las dimensiones de cada magnitud.
 Entender el teorema de π.

3. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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U.P.C.Departamento de Maquinas y Motores Térmicos.“Prof. J.J. de Felipe”
Teorema de Pi O Buckingham
“Si se sabe que un proceso físico es gobernado por una relación
dimensionalmente homogénea que comprende a n parámetros dimensionales,
tales como:
x1 = f (x2, x3,...., xn)
Donde las “x” son variables dimensionales, existe una relación equivalente que
contiene un número (n - k) de parámetros adimensionales, tales como:
f’ ( n-k)
Donde los “ ” son grupos adimensionales que se construyen a partir de las “x”.
La reducción “k” generalmente es igual al número de dimensiones
fundamentales contenidas en “x”, pero nunca mayor que él”.
Semejanzas de Modelos
Muchas veces, con la experimentación; en vez de examinar un fenómeno
físico, que ocurre en un objeto particular o en un conjunto de objetos, nos
interesa estudiar un conjunto de fenómenos, sobre un objeto o conjunto de
objetos. Por ejemplo, se quiere predecir el campo de presiones en un pilar de
un puente que está sobre un río. Para ello tenemos dos opciones:
Construirlo a escala 1:1, y medir directamente las presiones. Si la resistencia
es adecuada dejarlo, y si no, destruirlo y volverlo a construir adecuadamente.
Construir un modelo a escala, por ejemplo 1:60, y realizar pruebas en un
laboratorio de hidráulica, y extrapolar los resultados para construir un pilar
adecuado.
Como es obvio la opción a) es inviable y tendremos que recurrir a la opción b).
Para ello deberemos relacionar el modelo a escala con el prototipo real, de
alguna manera; para poder predecir el comportamiento de éste a partir de los
resultados obtenidos experimentalmente en el modelo a escala. Por ello
debemos hablar de las leyes de semejanza.

4. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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Leyes de semejanza.
Para poder extrapolar los resultados, previamente se han de cumplir:
El modelo ha de ser geométricamente igual que el prototipo.
Por tanto, las longitudes L, superficies A y volúmenes V deben ser homólogos
entre el prototipo y el modelo, y han de verificar la siguiente relación:
32
;;
Vm
Vp
Am
Ap
Lm
Lp
Siendo la escala del prototipo en relación al modelo.
El modelo ha de ser dinámicamente semejante al prototipo.
Para que los fenómenos en el modelo y en el prototipo sean comparables no
basta que los modelos de estructuras o máquinas hidráulicas sean
geométricamente semejantes a los prototipos, sino que también los flujos, o
sea las líneas de corriente, han de ser semejantes. Para ello es necesario que
las velocidades, aceleraciones, y fuerzas sean semejantes.
Cuando se cumple la semejanza geométrica y dinámica se dice que el modelo
tiene semejanza cinemática con el prototipo.
Por lo tanto para una semejanza completa, supuesta la intervención de todas
las fuerzas señaladas anteriormente, se debería cumplir:
Eup = Eum; Frp = Frm; Map = Mam; Rep = Rem; Wep = Wem
Esta condición sólo se cumple cuando el modelo y el prototipo tienen el mismo
tamaño.
Afortunadamente, en un buen número de casos puede prescindirse de la
influencia de tres de las fuerzas y consecuentemente, de sus tres
adimensionales correspondientes.
Grupos adimensionales importantes en la Mecánica de Fluidos.
En todos los problemas relacionados con la Mecánica de Fluidos, aparece
siempre un número determinado de grupos adimensionales. Veamos cuales
son, y por qué son estos y no otros.
Así, a nivel general, sabemos que la suma de fuerzas que actúan sobre un
fluido, puede provocar una aceleración del mismo:

5. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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amF

*
Esta fuerza de inercia se puede expresar como:
22
*** Lvam

Las fuerzas que componen el sumatorio de fuerzas, son las másicas y las
superficiales, y pueden ser:
 Fuerzas másicas:
Fuerzas debido a la gravedad:
 Fuerzas superficiales:
Fuerzas normales o de presión:
pLFp *2
Fuerzas tangenciales o de fricción debido a la viscosidad:
vLFfricción **
Fuerzas tangenciales debido a la tensión superficial:
*LF
Fuerzas normales debido a la compresibilidad:
*2
LF
Sumando todas las fuerzas e igualando a las de inercia, obtenemos:
22223
********* LvLLvLpLgL
Esta es una expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
0,,,,,,, vgplf
Como intervienen 3 magnitudes básicas (masa, longitud y tiempo), se han de
obtener 5 grupos adimensionales:
Dividiendo la ecuación del F por las fuerzas de inercia, obtendremos:
1
****
*
2222
vvLv
p
v
gL
Estos cinco números adimensionales, en general, se les da otra forma y se les
asigna unos nombres particulares:
gLFm **3

6. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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Número de Reynolds.
***
Re
lvl
; es el cociente entre las fuerzas de inercia y las de
fricciones producidas por la viscosidad.
Número de Euler.
p
v
Eu
*2
; representa la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de
inercia y las de presión.
Número de Froude.
gl
v
Fr
*
; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las
de gravedad.
Número de Mach.
v
Ma ; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las de
elasticidad. Siendo la velocidad del sonido en el fluido en cuestión.
Número de Weber.
l
v
We
*
; es la raíz cuadrada del cociente entre las fuerzas de inercia y las
debidas a la tensión superficial.

7. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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Análisis Dimensional y Semejanza - C. Gherardelli - U. de Chile
Teorema π de Buckingham
Uno de los puntos importantes a determinar es el número de grupos o
productos adimensionalesnecesarios para representar un fenómeno dado, en
forma adimensional. La respuesta a estapregunta la entrega el siguiente
teorema:
El número de grupos adimensionales (π) independientes necesarios
para describirun fenómeno dimensionalmente homogéneo, en el que
intervienen k variables dimensionales,es igual a k-r, donde r es,
generalmente, el número de dimensiones básicas o fundamentales
mínimas necesarias para representar las variables del fenómeno
El teorema entrega solo el número de grupos adimensionales necesarios para
representar un fenómeno dado y no la forma que tienen estos grupos así y
como tampoco entrega información acerca de la relación funcional que
representa un fenómeno dado. Esta relación de determinarse ya sea analítica o
experimentalmente.

8. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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9. Análisis dimensional y semejanza dinámica
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