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ONEM - 2011
VIII OLIMPIADA
 NACIONAL ESCOLAR
     DE MATEMÁTICA

 SOLUCIONARIO
                            NIVEL

                              3
             ICEM
INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
PRESENTACIÓN


La Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) es organizada por el
Ministerio de Educación y es una competición abierta a todos los estudiantes de
Educación Secundaria de Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo
el País.

Esta competencia ha servido para mejorar la enseñanza de la Matemática en el
ámbito nacional, ya que toda la comunidad educativa involucrada ha ido
tomando paulatinamente mayor interés en su desarrollo. En muchos centros
educativos se han formado equipos o clubes de matemática en los cuales se
practica con las preguntas tomadas en años anteriores y con exámenes de
Olimpiadas Internacionales, tomando en cuenta que algunas preguntas, para su
resolución requieren revisar temas que no son parte de la currícula normal de
estudio.

Es por este motivo que el ICEM - Instituto de Capacitación en Educación
Matemática - pone a disposición de toda la Comunidad Educativa el Solucionario
de la VIII ONEM 2011 en su 1ra Fase, trabajo desarrollado por un equipo de
docentes en el Área de Matemática con el interés de aportar al crecimiento
académico de todos los estudiantes, en especial a los que pertenecen a la Región
Sur del Perú, esperamos las debidas críticas y sugerencias a dicho trabajo de
modo que este pueda ser mejorado, también estamos concientes que en las
soluciones a las preguntas existen diferentes caminos para llegar al resultado de
modo que pueden escribirnos al correo icemaqp@gmail.com .

También queremos invitarlos al I Concurso de Matemática Arequipa (I COMAT -
AREQUIPA), evento a llevarse a cabo próximamente y del cual obtendrán mayor
información en la siguiente dirección: www.icemperu.org , dicho concurso tiene
como meta brindar a los estudiantes problemas interesantes que despierten el
placer de razonar.


                                                            EQUIPO DIRECTIVO
OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
                                VIII ONEM 2011
                            PRIMERA FASE – NIVEL 3
                             SOLUCIONARIO




Elaborado por un equipo de profesores de Matemática

      José Corimanya Escobedo     cori_jce@hotmail.com
      Juan Mamani Cayani      xmesias8@gmail.com
      José Choque Rivera (Responsable Nivel 3)     josechoque@gmail.com



Gentiles aportaciones de:

      Mario Condori
      Ronald Luza
ICEM - AREQUIPA                                                                         2

                     OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA
                                    (ONEM 2011)

                                     Primera Fase – Nivel 3

                                                                         30 de Junio de 2011

01. Sean A, B, C, D y E enteros positivos tales que:
                                   A  B  B  C  C  D  D  E  3,
    ¿Cuántos valores puede tomar A  B  C  D  E ?

     A) 1             B) 2               C) 3              D) 4            E) 5

     RESOLUCIÓN:

        Del dato: A  B  3 , tomando en cuenta que A y B son enteros positivos, los únicos
         valores que pueden tomar son 1 y 2.
        Sabemos que B  C  D  E  3 , reemplazando en la expresión pedida:
            B  C  D  E , ésta suma puede tomar dos valores 7 ú 8. 
          A  
         1ó 2    3      3


                                                                        B) Clave: Rpta: B) 2

02. En la siguiente figura el rectángulo grande ha sido dividido en tres rectángulos
    congruentes. Si el área del rectángulo grande es 54, calcula su perímetro.




     A) 6             B) 9               C) 15             D) 30           E) 60

     RESOLUCIÓN:

        En primer lugar, aprovechando que los tres rectángulos son congruentes, se puede
         notar que en cada uno de ellos el largo es el doble de su ancho.




        Además el área del rectángulo grande se puede expresar como:


     ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ICEM - AREQUIPA                                                                                  3

                                      6a2  54  a  3

        Y su perímetro se expresaría como:
                                   Perímetro  10a  10(3)
                                      Perímetro  30 
                                                                                          Rpta: D) 30

03. Dentro de una caja grande se colocan 3 cajas medianas, dentro de cada una de éstas se
    colocan 4 cajas pequeñas y dentro de cada una de estas últimas se colocan 3 canicas.
    ¿Cuál es la diferencia entre el número total de cajas y el número de canicas?

     A) 12           B) 20             C) 15                    D) 10               E) 18

     RESOLUCIÓN:

        Calculamos el Nro. Total de cajas sumando la caja grande, las cajas medianas y las
         cajas pequeñas: 1  1  3  1  3  4  16 cajas
        Ahora calculamos el Nro. Total de canicas 1  3  4  3  36 canicas
        Finalmente como nos piden la diferencia: 36  16  20 .

                                                                                          Rpta: B) 20

04. Las siguientes dos sumas tienen la misma cantidad de sumandos
                                        S1  1  2  3  4  ...
                                   S2  100  99  98  97  ...
    Si ambas sumas dan el mismo resultado, ¿cuántos términos hay en cada suma?

     A) 54           B) 72             C) 67                    D) 100              E) 50

     RESOLUCIÓN:

        Designemos con la letra “n” el número de términos en cada una de las sumas, de
         modo que:
                                  S1  1  2  4  ...  n
                                              3
                                                  
                                               " n " sumandos
         Que es la suma de los “n” primeros números naturales, y sabemos que se puede expresar
         como:
                                               n n  1
                                         S1 
                                                   2
                                                                           n  n  1
        Debido a que ambas sumas dan el mismo resultado entonces: S 2               , luego:
                                                                                2
                                       S1  S 2  n  n  1 
        Además observamos que al sumar los términos de S1 y S2 podemos agrupar
         convenientemente:
           S1  S2  (1  100)  (2  99)  (3  98)  (4  97)  ...  101  101   101.n
                                                                        101  ...  101
                                                                                          
                                                                         " n " sumandos
        Igualando ambos resultados, obtendremos el valor de “n”:

    ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ICEM - AREQUIPA                                                                             4

                                        n n  1  101.n
                                           n  100 

                                                                                  Rpta: D) 100

05. En la siguiente figura el triángulo grande es equilátero y los puntos D, E, F, G, H e I, son
    puntos medios. ¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC es el área del triángulo GHI?




     A) 6%           B) 16%            C) 6.25%             D) 0,625%         E) 4%

     RESOLUCIÓN:

        Al tener puntos medios podemos afirmar que los triángulos: EHI, HIG, IGF y HDG son
         congruentes y por lo tanto tienen la misma superficie (S).
        También los triángulos: EBF, AED, EDF y DFC tienen la misma superficie (4S).




                                                                          100
        El área total es 16S y representa el 100%, de modo que: S           %  6,25% , que
                                                                          16
         representa la superficie del triángulo GHI. 

                                                                               Rpta: C) 6,25%

06. Determina cuántos números primos p cumplen la condición:
                                       8! 1  p  8! 9
    Aclaración: La expresión n! denota el producto de los primeros n enteros positivos. Por
    ejemplo, 3!  1 2 3 .

     A) 0            B) 1              C) 2                 D) 3              E) 4

     RESOLUCIÓN:



    ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ICEM - AREQUIPA                                                                                          5

        “p” es de la forma 8! a siendo “a” un elemento del conjunto 2,3,4,5,6,7,8
        Debido a que 8!  1  2  3  4  5 6  7  8 , al sumarle el valor de “a”, siempre se podrá
         obtener dos factores, por ejemplo si a  5 entonces: 8! 5  5(1  2 3 4  6  7  8  1) ,
         que es un número compuesto, de modo que para ningún valor de “a” se obtendría un
         número primo.
        Por lo tanto no hay ningún número primo que cumpla la condición.

                                                                                                   Rpta: A) 0

07. En la siguiente figura, tenemos que reemplazar las letras A, B, C, D, E por los números 1,
    2, 3, 4, 5 (sin repetir) de tal modo que los números A  B  C y D  B  E sean múltiplos
    de 3, ¿de cuántas formas se puede hacer esto?




     A) 2             B) 4                     C) 8                   D) 16                E) 12

     RESOLUCIÓN:

                                                                                                      o
        Sumando los cinco valores: A  B  C  D  E  15 , que es un múltiplo de tres ( 3 ).
        Por dato:
                                                                  o
                                                   A B C 3
                                                                  o
                                       D B E 3
        Si sumamos éstas dos ecuaciones y utilizamos la observación anterior obtenemos:
                                                       o
                            B  3 ; y necesariamente B  3
                          A B C  D  E
                                    o
                                    3
        Por lo tanto también se cumplirá:
                                                              o
                                                      AC 3
                                                              o
                                                     DE 3
        Considerando        que:       ( A  C )  (D  E )  12 ,   entonces   tenemos    las    siguientes
         posibilidades:
                                      A  1; C  2; D  4; E  5
                                      A  1; C  2; D  5; E  4
                                     
            o    AC 3 y D E  9  
                                      A  2; C  1; D  4; E  5
                                      A  2; C  1; D  5; E  4
                                     




    ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ICEM - AREQUIPA                                                                         6

                                        A  1; C  5; D  2; E  4
                                        A  1; C  5; D  4; E  2
                                       
                                        A  5;C  1; D  2; E  4
                                       
                                        A  5;C  1; D  4; E  2
            o AC 6 y D E 6  
                                        A  2; C  4; D  1;E  5
                                        A  2; C  4; D  5; E  1
                                       
                                        A  4;C  2; D  1;E  5
                                        A  4;C  2; D  5; E  1
                                       
                                        A  4;C  5; D  1; E  2
                                        A  4;C  5; D  2; E  1
                                       
            o AC 9 y D E 3  
                                        A  5;C  4; D  1; E  2
                                        A  5;C  4; D  2; E  1
                                       
        Lo que da un total de 16 formas de colocar los números.

                                                                                Rpta: D) 16

08. Los ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica. Si la medida del ángulo
    mayor es 27 veces la medida del menor, ¿cuál es la diferencia entre el mayor y menor
    ángulo?

     A) 216º        B) 261º           C) 234º          D) 240º             E) 243º

     RESOLUCIÓN:

        Sea “” la medida del menor ángulo del cuadrilátero y “r” la razón de la progresión
         geométrica, de modo que las medidas de los demás ángulos se pueden expresar
         como: .r; .r2 y .r3; siendo éste último el mayor ángulo.
        Por dato del problema:
                                      .r 3  27.  r  3
        Además sabemos que las medidas de los ángulos del cuadrilátero suman 360º:
                                       3  9  27  360º
                                             40  360º
                                                 9º
        Por lo tanto las medidas de los ángulos son: 9º; 27º; 81º y 243º.
        Y la diferencia entre el mayor y menor ángulo es: 243º 9º  234º .

                                                                              Rpta: C) 234º

09. Sabino compró varios helados a 2 soles cada uno, y Huamaní compró otra cantidad de
    helados a 3 soles cada uno. Si juntos compraron menos de 15 helados y gastaron más de
    15 soles cada uno, ¿cuántos helados compraron en total?

     A) 13          B) 14             C) 9             D) 12               E) 11

     RESOLUCIÓN:



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ICEM - AREQUIPA                                                                                7

        Consideremos que Sabino compró “S” helados, a 2 soles cada uno, entonces gastó
         “2S” soles; y Huamaní compra “H” helados, a 3 soles cada uno, gasta “3H” soles.
        Como juntos compraron menos de 15 helados entonces: S  H  15
        Además gastaron más de 15 soles cada uno:
                                    2S  15  S  7,5
                                     3H  15  H  5
        Los únicos valores que cumplen las condiciones son: S  8 y H  6
        De modo que en total compraron: 8  6  14 helados. 

                                                                                        Rpta: B) 14

10. En una clase mixta de 35 estudiantes hay 19 mujeres. Además, 7 hombres aprobaron
    aritmética, 6 hombres aprobaron álgebra, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno
    de los dos cursos, 5 estudiantes aprobaron los dos cursos y 11 estudiantes aprobaron
    solamente aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solamente álgebra?

    A) 1               B) 2             C) 3              D) 4                   E) 5

     RESOLUCIÓN:

        Sea U el conjunto del total de estudiantes, con n(U )  35 ; M el conjunto de mujeres y
         H el conjunto de hombres; si n( M )  19 , entonces n( H )  35  19  16 . Además A es el
         conjunto de estudiantes que aprobaron Aritmética y B es el conjunto de estudiantes
         que aprobaron Álgebra, de modo que podemos hacer el siguiente diagrama:




         o Si nos dicen que 7 hombres aprobaron Aritmética, entonces: d  f  7
         o 6 hombres aprobaron Álgebra, entonces: f  h  6
         o 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos: b  5 y a  8
         o 5 estudiantes aprobaron los dos cursos: e  f  5
         o 11 estudiantes aprobaron solamente Aritmética: c  d  11
         o Nos piden cuántas mujeres aprobaron solamente Álgebra: g  ?
        Como el total de hombres es 16: b  d    16  d  5
                                                f h
                                           5        6

        Además: d  f  7  f  2
                 
                   5




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ICEM - AREQUIPA                                                                                8

        También: c  d  11  c  6
                      
                         5

        Y como: e    5  e  3
                     f
                     2

        Finalmente el total de mujeres es 19: a  c  e  g  19  g  2 
                                                 
                                                8   6   3



                                                                                       Rpta: B) 2

11. En la figura se muestra un trapecio ABCD de lados paralelos BC y AD. Si AB  BC  a ,
    CD  2a y AD  3a , calcula el valor de sec .




     A) 3            B) 4              C) 2                 D) 5               E) 5

     RESOLUCIÓN:

        Después de ubicar los datos en el gráfico, trazamos BE  CD , de modo que BCDE es un
         paralelogramo y por lo tanto ED  BC  a y BE  CD  2a , además: AE  3a  a  2a




                                                                                            a
        Luego el triángulo AEB es isósceles y si trazamos EH  AB entonces: AH  HB 
                                                                                            2
                                               2a
        Ahora ya podemos obtener: sec            4 .
                                              a /2

                                                                                       Rpta: B) 4

12. Sean a, b, c tres números que están en progresión aritmética, tales que si los
    aumentamos en 1, 4 y 9, respectivamente, obtenemos tres números que son
    directamente proporcionales a los números 1, 3 y 6. Halla el valor de a  b  c .

     A) 12           B) 30             C) 9                 D) 6               E) 18

     RESOLUCIÓN:

    ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
ICEM - AREQUIPA                                                                                      9

         Si a, b y c están en progresión aritmética, entonces: 2b  a  c
         Aumentándolos en 1, 4 y 9 obtenemos: a+1, b+4, c+9; y como son proporcionales a
          los números 1, 3 y 6:
                                                           a  k  1
                                a1 b4 c 9               
                                                 k  b  3k  4
                                 1      3      6           c  6k  9
                                                           
         Reemplazando en 2b  a  c :
                                2 3k  4    k  1    6k  9 
                                                 k 2
         Luego: a  1; b  2 y c  3 , y por lo tanto: a  b  c  6 .

                                                                                               Rpta: D) 6

13. Sea  un ángulo agudo y x  sen  cos  , determina el valor de:
                                 N  (sec   csc )  (tan   cot )

            2                 1                      2                    2                    1
     A)    2
                       B)    2
                                            C)                     D)   2
                                                                                        E)
          x 1              x 1                   x 1                 x 1                 x 1

     RESOLUCIÓN:

         Conocemos la identidad trigonométrica: sen2   cos2   1 ; elevamos al cuadrado el
          dato: x  sen  cos 
                                           2
                       x 2   sen  cos    x 2  sen2  2sen.cos 
                                                              2
                                                        cos
                                                               
                                                               1

                                                   x  1  x  1 x  1 
                                                    2
                                   sen.cos           
                                                     2          2
         Otras identidades conocidas son:
                               1                 1             sen             cos 
                     sec         ; csc           ; tan          y cot  
                             cos             sen             cos             sen
         Reemplazamos en la expresión pedida:
                                      1           1   sen cos  
                                N                                 
                                      cos  sen   cos  sen 
                                   
                                     x                  1      
                              sen  cos    sen   cos2  
                                                        2
                                                                         x 1
                         N                                    
                              sen.cos    sen.cos   sen.cos 
                                                                  
                                                                
         Reemplazamos también sen.cos  :
                                           x 1                     2
                                N                         N           
                                      x  1  x  1           x 1
                                               2

                                                                                                      2
                                                                                         Rpta: C)
                                                                                                    x 1



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ICEM - AREQUIPA                                                                          10

14. Coralí, una chica supersticiosa, al enumerar las 200 páginas de su diario, comenzó del 1,
    pero excluyó aquellos números donde las cifras 1 y 3 aparecen juntas en cualquier
    orden. Por ejemplo, los números 31 y 137 no aparecen en el diario, pero el 103 si
    aparece. ¿Cuál fue el número que escribió en la última página de su diario?

      A) 210          B) 212             C) 213           D) 214               E) 215

      RESOLUCIÓN:

         Los únicos dos números de dos cifras que tuvo que eliminar son el 13 y 31.
         Pasando a 3 cifras tuvo que eliminar: 113, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137,
          138, 139.
         Que hacen un total de 13 números eliminados, por lo tanto tuvo que llegar hasta el
          213 pero como en dicho número aparecen el 1 y el 3, el último número que escribió
          fue el 214.

                                                                                  Rpta: D) 214

15.
        M es igual al producto o a la suma de 2 y 7.
        N es igual al producto o a la suma de 3 y 9.
        P es igual al producto o a la suma de 4 y 8.
        Q es igual al producto o a la suma de 5 y 10.
      ¿Cuál es el único valor posible para M  N  P  Q , entre los valores mostrados?

      A) 87           B) 88              C) 89            D) 90                E) 91

      RESOLUCIÓN:

         Colocamos en una tabla los posibles valores de cada letra:

                              M     N            P   Q      M+N+P+Q
                                                     50       123
                                             32
                                                     15        88
                                    27
                                                     50       103
                                             12
                                                     15        68
                              14
                                                     50       108
                                             32
                                                     15        73
                                    12
                                                     50        88
                                             12
                                                     15        53
                                                     50       118
                                             32
                                                     15        83
                                    27
                                                     50        98
                                             12
                                                     15        63
                              9
                                                     50       103
                                             32
                                                     15        68
                                    12
                                                     50        83
                                             12
                                                     15        48


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        Y observamos que el único valor para M+N+P+Q, que aparece en las alternativas es el
         número 88.

                                                                                           Rpta: B) 88

16. En un cuadrilátero ABCD, el punto P divide al segmento AC en la razón de 1 a 3 (con
     AP  PC ). Si las áreas de las regiones triangulares ABD y BDC son 70m2 y 30m2,
    respectivamente, entonces el área de la región triangular PBD es:

     A) 42m2          B) 39m2             C) 40m2             D) 44m2                 E) 45m2

     RESOLUCIÓN:

        Construimos la figura, y por el dato del problema PC  3. AP , entonces: S BPC  3.S1 y
         S PDC  3.S 2




        Además S ABCD  S ABD  S BDC  70  30  100m2 , y también S ABCD  4S1  4S 2  4( S1  S 2 ) ,
         igualando ambas expresiones obtenemos:
                                          4( S1  S2 )  100
                                             S1  S2  25
        Luego nos piden S BPD




        Y observamos que S BPD  S ABD  (S1  S2 )  S BPD  70  25  45m2 . 

                                                                                        Rpta: E) 45 m2

17. ¿Cuántos triángulos escalenos tienen lados de longitudes enteras y perímetro menor que
    13?


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     A) 1            B) 2              C) 3               D) 4                  E) 8

     RESOLUCIÓN:

        Consideremos un triángulo cuyas longitudes de sus lados son: a, b y c; que son
         números enteros, además: 0  c  b  a y por dato del problema: a  b  c 13
        Además por existencia triangular: a  b  c
        De ambas desigualdades obtenemos que: 2a  13  a  6,5 ; por lo tanto el máximo
         valor entero que puede tomar “a” es 6.
        Tomando en cuenta que: b  c  13  a ; b  c  a ; sin olvidar que 0  c  b  a ,
         analicemos diferentes opciones:
             Caso 1: Si a  6 , entonces b  c  7 ; b  c  6 y 0  c  b  6 de modo que no
                hay valores enteros para “ b  c ”.
             Caso 2: Si a  5 , entonces b  c  8 ; b  c  5 y 0  c  b  5 hay 2 valores
                enteros para “ b  c ”:
                                    bc 6  b4  c 2
                                    bc 7  b  4  c 3
             Caso 3: Si a  4 , entonces b  c  9 ; b  c  4 y 0  c  b  4 hay 1 valor entero
                que puede alcanzar “ b  c ”: b  c  5  b  3  c  2
             Caso 4: Si a  3 , ya no hay valores enteros para “b” y “c” que cumplan con la
                existencia triangular.

        En conclusión hay tres triángulos escalenos, y sus lados serían:
             a5; b4 ; c 2
             a 5 ; b  4 ; c 3
             a  4 ; b  3 ; c  2

                                                                                        Rpta: C) 3

18. El producto de los dígitos de un cuadrado perfecto de cuatro dígitos es 54. Calcula el
    resto al dividir dicho cuadrado perfecto entre 28.

     A) 1            B) 0              C) 3               D) 20                 E) 12

     RESOLUCIÓN:

        Sea N  abcd          un cuadrado perfecto de cuatro dígitos, por dato:
         a.b.c.d  54  2  3 3 3 , observando la descomposición de 54 en sus factores primos,
         nos deja para los cuatro dígitos las siguientes posibilidades: (salvo orden) 1169,
         1239, 2333 y 1336.
        También sabemos que un cuadrado perfecto termina en: 1, 4, 5, 6, ó 9. Descartamos
         entonces el 2333.
        Además al dividir un cuadrado perfecto entre 9 puede dejar residuo: 1, 4, 0, 7. Esto es
         debido a que:




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                                      0                                    0
                                12  9 1                   52  (9  4)2  9 7
                                      0                                    0
                                22  9 4                   62  (9  3)2  9 0
                                      0
                                                   y                       0
                                  2
                                3  9 0                    72  (9  2)2  9 4
                                      0                                    0
                               4 2  9 7                    82  (9  1)2  9 1
        Al dividir un número entre 9, el resto es igual al de la suma de sus cifras, por tanto
         independientemente del orden:
                        0
                1169  9 8
                        0
                1239  9 6
                        0
             1336  9 4
          Deducimos que las cifras de nuestro cuadrado son 1336.
        Como en la última cifra sólo puede haber un 6 o un 1, tenemos las siguientes
         posibilidades: 1336, 3136, 3316, 6331, 3631 y 3361. De estos valores el único que
         cumple con ser un cuadrado perfecto es el 3136  56 2 y como 28 es un divisor de 56,
         entonces al dividir 3136 entre 28 obtendremos residuo cero. 

                                                                                     Rpta: B) 0

19. Sea ABCD un rombo tal que ABC  120º . Se ubica en la región exterior del rombo un
    punto P tal que PAB  50º y PCB  70º , calcula la medida de PBA .

    A) 70º           B) 80º               C) 60º         D) 100º               E) 90º

     RESOLUCIÓN:

        Realizamos una gráfica con los datos brindados:




        Podemos notar que al trazar la diagonal BD , el rombo queda dividido en dos
         triángulos equiláteros, y si trazamos una circunferencia, con centro en B y radio igual
         al lado del rombo, dicha circunferencia pasará por los vértices A, D y C; observamos
         también que AB  BD  BC  R .




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     Además en el gráfico inicial el DAP  60º 50º  10º y el DCP  70º 60º  10º ,
      resultando ser iguales lo que nos permite asegurar que el cuadrilátero ADPC es
      inscriptible o cíclico




     Y como ya tenemos una circunferencia que pase por A, D y C significa que el punto P
      también pertenece a dicha circunferencia.




     Como BP resulta ser también radio de la circunferencia será igual con AB y el
      triángulo ABP es isósceles, con APB  BAP  50º .




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        Finalmente en dicho triángulo, los ángulos internos suman 180º:
                                          x  2(50º)  180º
                                              x  80º 
                                                                                     Rpta: B) 80º

20. Hay un tablero de 44 dibujado en la pizarra y Carlos debe pintar cada casilla de blanco
    o de negro, de tal modo que en cada fila y cada columna haya 2 casillas de cada color. ¿De
    cuántas maneras Carlos puede pintar el tablero?




     A) 72           B) 36              C) 96             D) 90                  E) 108

     RESOLUCIÓN:

     Distinguiremos dos formas de realizar el pintado:
        1. Haciendo que dos filas sean exactamente iguales.
             Siendo así las dos filas que faltan quedan completamente determinadas
                (tienen justo los colores opuestos a las primeras) y son también iguales entre
                sí.
                                       4
             La primera fila tiene    6 posibilidades.
                                       2
             La otra fila igual a la primera puede estar en 3 sitios distintos, y fijada esta, las
                otras quedan inequívocamente situadas.
                                     4
             Por lo tanto hay 3     3  6  18 tableros con 2 filas iguales.
                                     2
        2. Haciendo que todas las filas sean diferentes
                                                    4
             Otra vez para la primera fila hay    6 posibilidades, podemos tomar como
                                                    2
                 ejemplo que la primera fila es NNBB.
             Una de las tres últimas filas tendrá casillas opuestas a la primera, en nuestro
                 ejemplo: BBNN, otra fila empezaría con BN y la última fila empezaría con NB,
                 permutando estas tres filas hay 3!  6 posibilidades.
             Hay 2 opciones para completar las dos últimas filas: BNNB, NBBN y BNBN,
                 NBNB.
             Por tanto hay: 6  6  2  72 tableros con todas las filas distintas.
     En total resultan: 18  72  90 maneras de pintar el tablero.
                                                                                      Rpta: D) 90




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  • 1. ONEM - 2011 VIII OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA SOLUCIONARIO NIVEL 3 ICEM INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 2. PRESENTACIÓN La Olimpiada Nacional Escolar de Matemática (ONEM) es organizada por el Ministerio de Educación y es una competición abierta a todos los estudiantes de Educación Secundaria de Instituciones Educativas Estatales y Particulares de todo el País. Esta competencia ha servido para mejorar la enseñanza de la Matemática en el ámbito nacional, ya que toda la comunidad educativa involucrada ha ido tomando paulatinamente mayor interés en su desarrollo. En muchos centros educativos se han formado equipos o clubes de matemática en los cuales se practica con las preguntas tomadas en años anteriores y con exámenes de Olimpiadas Internacionales, tomando en cuenta que algunas preguntas, para su resolución requieren revisar temas que no son parte de la currícula normal de estudio. Es por este motivo que el ICEM - Instituto de Capacitación en Educación Matemática - pone a disposición de toda la Comunidad Educativa el Solucionario de la VIII ONEM 2011 en su 1ra Fase, trabajo desarrollado por un equipo de docentes en el Área de Matemática con el interés de aportar al crecimiento académico de todos los estudiantes, en especial a los que pertenecen a la Región Sur del Perú, esperamos las debidas críticas y sugerencias a dicho trabajo de modo que este pueda ser mejorado, también estamos concientes que en las soluciones a las preguntas existen diferentes caminos para llegar al resultado de modo que pueden escribirnos al correo icemaqp@gmail.com . También queremos invitarlos al I Concurso de Matemática Arequipa (I COMAT - AREQUIPA), evento a llevarse a cabo próximamente y del cual obtendrán mayor información en la siguiente dirección: www.icemperu.org , dicho concurso tiene como meta brindar a los estudiantes problemas interesantes que despierten el placer de razonar. EQUIPO DIRECTIVO
  • 3. OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA VIII ONEM 2011 PRIMERA FASE – NIVEL 3 SOLUCIONARIO Elaborado por un equipo de profesores de Matemática  José Corimanya Escobedo cori_jce@hotmail.com  Juan Mamani Cayani xmesias8@gmail.com  José Choque Rivera (Responsable Nivel 3) josechoque@gmail.com Gentiles aportaciones de:  Mario Condori  Ronald Luza
  • 4. ICEM - AREQUIPA 2 OLIMPIADA NACIONAL ESCOLAR DE MATEMÁTICA (ONEM 2011) Primera Fase – Nivel 3 30 de Junio de 2011 01. Sean A, B, C, D y E enteros positivos tales que: A  B  B  C  C  D  D  E  3, ¿Cuántos valores puede tomar A  B  C  D  E ? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN:  Del dato: A  B  3 , tomando en cuenta que A y B son enteros positivos, los únicos valores que pueden tomar son 1 y 2.  Sabemos que B  C  D  E  3 , reemplazando en la expresión pedida:   B  C  D  E , ésta suma puede tomar dos valores 7 ú 8.  A   1ó 2 3 3 B) Clave: Rpta: B) 2 02. En la siguiente figura el rectángulo grande ha sido dividido en tres rectángulos congruentes. Si el área del rectángulo grande es 54, calcula su perímetro. A) 6 B) 9 C) 15 D) 30 E) 60 RESOLUCIÓN:  En primer lugar, aprovechando que los tres rectángulos son congruentes, se puede notar que en cada uno de ellos el largo es el doble de su ancho.  Además el área del rectángulo grande se puede expresar como: ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 5. ICEM - AREQUIPA 3 6a2  54  a  3  Y su perímetro se expresaría como: Perímetro  10a  10(3) Perímetro  30  Rpta: D) 30 03. Dentro de una caja grande se colocan 3 cajas medianas, dentro de cada una de éstas se colocan 4 cajas pequeñas y dentro de cada una de estas últimas se colocan 3 canicas. ¿Cuál es la diferencia entre el número total de cajas y el número de canicas? A) 12 B) 20 C) 15 D) 10 E) 18 RESOLUCIÓN:  Calculamos el Nro. Total de cajas sumando la caja grande, las cajas medianas y las cajas pequeñas: 1  1  3  1  3  4  16 cajas  Ahora calculamos el Nro. Total de canicas 1  3  4  3  36 canicas  Finalmente como nos piden la diferencia: 36  16  20 . Rpta: B) 20 04. Las siguientes dos sumas tienen la misma cantidad de sumandos S1  1  2  3  4  ... S2  100  99  98  97  ... Si ambas sumas dan el mismo resultado, ¿cuántos términos hay en cada suma? A) 54 B) 72 C) 67 D) 100 E) 50 RESOLUCIÓN:  Designemos con la letra “n” el número de términos en cada una de las sumas, de modo que: S1  1  2  4  ...  n 3    " n " sumandos Que es la suma de los “n” primeros números naturales, y sabemos que se puede expresar como: n n  1 S1  2 n  n  1  Debido a que ambas sumas dan el mismo resultado entonces: S 2  , luego: 2 S1  S 2  n  n  1   Además observamos que al sumar los términos de S1 y S2 podemos agrupar convenientemente: S1  S2  (1  100)  (2  99)  (3  98)  (4  97)  ...  101  101   101.n 101  ...  101  " n " sumandos  Igualando ambos resultados, obtendremos el valor de “n”: ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 6. ICEM - AREQUIPA 4 n n  1  101.n n  100  Rpta: D) 100 05. En la siguiente figura el triángulo grande es equilátero y los puntos D, E, F, G, H e I, son puntos medios. ¿Qué porcentaje del área del triángulo ABC es el área del triángulo GHI? A) 6% B) 16% C) 6.25% D) 0,625% E) 4% RESOLUCIÓN:  Al tener puntos medios podemos afirmar que los triángulos: EHI, HIG, IGF y HDG son congruentes y por lo tanto tienen la misma superficie (S).  También los triángulos: EBF, AED, EDF y DFC tienen la misma superficie (4S). 100  El área total es 16S y representa el 100%, de modo que: S  %  6,25% , que 16 representa la superficie del triángulo GHI.  Rpta: C) 6,25% 06. Determina cuántos números primos p cumplen la condición: 8! 1  p  8! 9 Aclaración: La expresión n! denota el producto de los primeros n enteros positivos. Por ejemplo, 3!  1 2 3 . A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 RESOLUCIÓN: ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 7. ICEM - AREQUIPA 5  “p” es de la forma 8! a siendo “a” un elemento del conjunto 2,3,4,5,6,7,8  Debido a que 8!  1  2  3  4  5 6  7  8 , al sumarle el valor de “a”, siempre se podrá obtener dos factores, por ejemplo si a  5 entonces: 8! 5  5(1  2 3 4  6  7  8  1) , que es un número compuesto, de modo que para ningún valor de “a” se obtendría un número primo.  Por lo tanto no hay ningún número primo que cumpla la condición. Rpta: A) 0 07. En la siguiente figura, tenemos que reemplazar las letras A, B, C, D, E por los números 1, 2, 3, 4, 5 (sin repetir) de tal modo que los números A  B  C y D  B  E sean múltiplos de 3, ¿de cuántas formas se puede hacer esto? A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 12 RESOLUCIÓN: o  Sumando los cinco valores: A  B  C  D  E  15 , que es un múltiplo de tres ( 3 ).  Por dato: o A B C 3 o D B E 3  Si sumamos éstas dos ecuaciones y utilizamos la observación anterior obtenemos: o   B  3 ; y necesariamente B  3 A B C  D  E o 3  Por lo tanto también se cumplirá: o AC 3 o DE 3  Considerando que: ( A  C )  (D  E )  12 , entonces tenemos las siguientes posibilidades:  A  1; C  2; D  4; E  5  A  1; C  2; D  5; E  4  o AC 3 y D E  9    A  2; C  1; D  4; E  5  A  2; C  1; D  5; E  4  ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 8. ICEM - AREQUIPA 6  A  1; C  5; D  2; E  4  A  1; C  5; D  4; E  2   A  5;C  1; D  2; E  4   A  5;C  1; D  4; E  2 o AC 6 y D E 6    A  2; C  4; D  1;E  5  A  2; C  4; D  5; E  1   A  4;C  2; D  1;E  5  A  4;C  2; D  5; E  1   A  4;C  5; D  1; E  2  A  4;C  5; D  2; E  1  o AC 9 y D E 3    A  5;C  4; D  1; E  2  A  5;C  4; D  2; E  1   Lo que da un total de 16 formas de colocar los números. Rpta: D) 16 08. Los ángulos de un cuadrilátero están en progresión geométrica. Si la medida del ángulo mayor es 27 veces la medida del menor, ¿cuál es la diferencia entre el mayor y menor ángulo? A) 216º B) 261º C) 234º D) 240º E) 243º RESOLUCIÓN:  Sea “” la medida del menor ángulo del cuadrilátero y “r” la razón de la progresión geométrica, de modo que las medidas de los demás ángulos se pueden expresar como: .r; .r2 y .r3; siendo éste último el mayor ángulo.  Por dato del problema: .r 3  27.  r  3  Además sabemos que las medidas de los ángulos del cuadrilátero suman 360º:   3  9  27  360º 40  360º   9º  Por lo tanto las medidas de los ángulos son: 9º; 27º; 81º y 243º.  Y la diferencia entre el mayor y menor ángulo es: 243º 9º  234º . Rpta: C) 234º 09. Sabino compró varios helados a 2 soles cada uno, y Huamaní compró otra cantidad de helados a 3 soles cada uno. Si juntos compraron menos de 15 helados y gastaron más de 15 soles cada uno, ¿cuántos helados compraron en total? A) 13 B) 14 C) 9 D) 12 E) 11 RESOLUCIÓN: ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 9. ICEM - AREQUIPA 7  Consideremos que Sabino compró “S” helados, a 2 soles cada uno, entonces gastó “2S” soles; y Huamaní compra “H” helados, a 3 soles cada uno, gasta “3H” soles.  Como juntos compraron menos de 15 helados entonces: S  H  15  Además gastaron más de 15 soles cada uno: 2S  15  S  7,5 3H  15  H  5  Los únicos valores que cumplen las condiciones son: S  8 y H  6  De modo que en total compraron: 8  6  14 helados.  Rpta: B) 14 10. En una clase mixta de 35 estudiantes hay 19 mujeres. Además, 7 hombres aprobaron aritmética, 6 hombres aprobaron álgebra, 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos, 5 estudiantes aprobaron los dos cursos y 11 estudiantes aprobaron solamente aritmética. ¿Cuántas mujeres aprobaron solamente álgebra? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 RESOLUCIÓN:  Sea U el conjunto del total de estudiantes, con n(U )  35 ; M el conjunto de mujeres y H el conjunto de hombres; si n( M )  19 , entonces n( H )  35  19  16 . Además A es el conjunto de estudiantes que aprobaron Aritmética y B es el conjunto de estudiantes que aprobaron Álgebra, de modo que podemos hacer el siguiente diagrama: o Si nos dicen que 7 hombres aprobaron Aritmética, entonces: d  f  7 o 6 hombres aprobaron Álgebra, entonces: f  h  6 o 5 hombres y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los dos cursos: b  5 y a  8 o 5 estudiantes aprobaron los dos cursos: e  f  5 o 11 estudiantes aprobaron solamente Aritmética: c  d  11 o Nos piden cuántas mujeres aprobaron solamente Álgebra: g  ?  Como el total de hombres es 16: b  d    16  d  5  f h 5 6  Además: d  f  7  f  2  5 ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 10. ICEM - AREQUIPA 8  También: c  d  11  c  6  5  Y como: e    5  e  3 f 2  Finalmente el total de mujeres es 19: a  c  e  g  19  g  2     8 6 3 Rpta: B) 2 11. En la figura se muestra un trapecio ABCD de lados paralelos BC y AD. Si AB  BC  a , CD  2a y AD  3a , calcula el valor de sec . A) 3 B) 4 C) 2 D) 5 E) 5 RESOLUCIÓN:  Después de ubicar los datos en el gráfico, trazamos BE  CD , de modo que BCDE es un paralelogramo y por lo tanto ED  BC  a y BE  CD  2a , además: AE  3a  a  2a a  Luego el triángulo AEB es isósceles y si trazamos EH  AB entonces: AH  HB  2 2a  Ahora ya podemos obtener: sec    4 . a /2 Rpta: B) 4 12. Sean a, b, c tres números que están en progresión aritmética, tales que si los aumentamos en 1, 4 y 9, respectivamente, obtenemos tres números que son directamente proporcionales a los números 1, 3 y 6. Halla el valor de a  b  c . A) 12 B) 30 C) 9 D) 6 E) 18 RESOLUCIÓN: ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 11. ICEM - AREQUIPA 9  Si a, b y c están en progresión aritmética, entonces: 2b  a  c  Aumentándolos en 1, 4 y 9 obtenemos: a+1, b+4, c+9; y como son proporcionales a los números 1, 3 y 6: a  k  1 a1 b4 c 9     k  b  3k  4 1 3 6 c  6k  9   Reemplazando en 2b  a  c : 2 3k  4    k  1    6k  9  k 2  Luego: a  1; b  2 y c  3 , y por lo tanto: a  b  c  6 . Rpta: D) 6 13. Sea  un ángulo agudo y x  sen  cos  , determina el valor de: N  (sec   csc )  (tan   cot ) 2 1 2 2 1 A) 2 B) 2 C) D) 2 E) x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 RESOLUCIÓN:  Conocemos la identidad trigonométrica: sen2   cos2   1 ; elevamos al cuadrado el dato: x  sen  cos  2 x 2   sen  cos    x 2  sen2  2sen.cos  2   cos   1 x  1  x  1 x  1  2 sen.cos    2 2  Otras identidades conocidas son: 1 1 sen cos  sec   ; csc   ; tan   y cot   cos  sen cos  sen  Reemplazamos en la expresión pedida:  1 1   sen cos   N       cos  sen   cos  sen         x 1   sen  cos    sen   cos2   2 x 1 N     sen.cos    sen.cos   sen.cos         Reemplazamos también sen.cos  : x 1 2 N  N   x  1  x  1 x 1 2 2 Rpta: C) x 1 ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 12. ICEM - AREQUIPA 10 14. Coralí, una chica supersticiosa, al enumerar las 200 páginas de su diario, comenzó del 1, pero excluyó aquellos números donde las cifras 1 y 3 aparecen juntas en cualquier orden. Por ejemplo, los números 31 y 137 no aparecen en el diario, pero el 103 si aparece. ¿Cuál fue el número que escribió en la última página de su diario? A) 210 B) 212 C) 213 D) 214 E) 215 RESOLUCIÓN:  Los únicos dos números de dos cifras que tuvo que eliminar son el 13 y 31.  Pasando a 3 cifras tuvo que eliminar: 113, 130, 131, 132, 133, 134, 135, 136, 137, 138, 139.  Que hacen un total de 13 números eliminados, por lo tanto tuvo que llegar hasta el 213 pero como en dicho número aparecen el 1 y el 3, el último número que escribió fue el 214. Rpta: D) 214 15.  M es igual al producto o a la suma de 2 y 7.  N es igual al producto o a la suma de 3 y 9.  P es igual al producto o a la suma de 4 y 8.  Q es igual al producto o a la suma de 5 y 10. ¿Cuál es el único valor posible para M  N  P  Q , entre los valores mostrados? A) 87 B) 88 C) 89 D) 90 E) 91 RESOLUCIÓN:  Colocamos en una tabla los posibles valores de cada letra: M N P Q M+N+P+Q 50 123 32 15 88 27 50 103 12 15 68 14 50 108 32 15 73 12 50 88 12 15 53 50 118 32 15 83 27 50 98 12 15 63 9 50 103 32 15 68 12 50 83 12 15 48 ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 13. ICEM - AREQUIPA 11  Y observamos que el único valor para M+N+P+Q, que aparece en las alternativas es el número 88. Rpta: B) 88 16. En un cuadrilátero ABCD, el punto P divide al segmento AC en la razón de 1 a 3 (con AP  PC ). Si las áreas de las regiones triangulares ABD y BDC son 70m2 y 30m2, respectivamente, entonces el área de la región triangular PBD es: A) 42m2 B) 39m2 C) 40m2 D) 44m2 E) 45m2 RESOLUCIÓN:  Construimos la figura, y por el dato del problema PC  3. AP , entonces: S BPC  3.S1 y S PDC  3.S 2  Además S ABCD  S ABD  S BDC  70  30  100m2 , y también S ABCD  4S1  4S 2  4( S1  S 2 ) , igualando ambas expresiones obtenemos: 4( S1  S2 )  100 S1  S2  25  Luego nos piden S BPD  Y observamos que S BPD  S ABD  (S1  S2 )  S BPD  70  25  45m2 .  Rpta: E) 45 m2 17. ¿Cuántos triángulos escalenos tienen lados de longitudes enteras y perímetro menor que 13? ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 14. ICEM - AREQUIPA 12 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 8 RESOLUCIÓN:  Consideremos un triángulo cuyas longitudes de sus lados son: a, b y c; que son números enteros, además: 0  c  b  a y por dato del problema: a  b  c 13  Además por existencia triangular: a  b  c  De ambas desigualdades obtenemos que: 2a  13  a  6,5 ; por lo tanto el máximo valor entero que puede tomar “a” es 6.  Tomando en cuenta que: b  c  13  a ; b  c  a ; sin olvidar que 0  c  b  a , analicemos diferentes opciones:  Caso 1: Si a  6 , entonces b  c  7 ; b  c  6 y 0  c  b  6 de modo que no hay valores enteros para “ b  c ”.  Caso 2: Si a  5 , entonces b  c  8 ; b  c  5 y 0  c  b  5 hay 2 valores enteros para “ b  c ”: bc 6  b4  c 2 bc 7  b  4  c 3  Caso 3: Si a  4 , entonces b  c  9 ; b  c  4 y 0  c  b  4 hay 1 valor entero que puede alcanzar “ b  c ”: b  c  5  b  3  c  2  Caso 4: Si a  3 , ya no hay valores enteros para “b” y “c” que cumplan con la existencia triangular.  En conclusión hay tres triángulos escalenos, y sus lados serían:  a5; b4 ; c 2  a 5 ; b  4 ; c 3  a  4 ; b  3 ; c  2 Rpta: C) 3 18. El producto de los dígitos de un cuadrado perfecto de cuatro dígitos es 54. Calcula el resto al dividir dicho cuadrado perfecto entre 28. A) 1 B) 0 C) 3 D) 20 E) 12 RESOLUCIÓN:  Sea N  abcd un cuadrado perfecto de cuatro dígitos, por dato: a.b.c.d  54  2  3 3 3 , observando la descomposición de 54 en sus factores primos, nos deja para los cuatro dígitos las siguientes posibilidades: (salvo orden) 1169, 1239, 2333 y 1336.  También sabemos que un cuadrado perfecto termina en: 1, 4, 5, 6, ó 9. Descartamos entonces el 2333.  Además al dividir un cuadrado perfecto entre 9 puede dejar residuo: 1, 4, 0, 7. Esto es debido a que: ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 15. ICEM - AREQUIPA 13 0 0 12  9 1 52  (9  4)2  9 7 0 0 22  9 4 62  (9  3)2  9 0 0 y 0 2 3  9 0 72  (9  2)2  9 4 0 0 4 2  9 7 82  (9  1)2  9 1  Al dividir un número entre 9, el resto es igual al de la suma de sus cifras, por tanto independientemente del orden: 0  1169  9 8 0  1239  9 6 0  1336  9 4 Deducimos que las cifras de nuestro cuadrado son 1336.  Como en la última cifra sólo puede haber un 6 o un 1, tenemos las siguientes posibilidades: 1336, 3136, 3316, 6331, 3631 y 3361. De estos valores el único que cumple con ser un cuadrado perfecto es el 3136  56 2 y como 28 es un divisor de 56, entonces al dividir 3136 entre 28 obtendremos residuo cero.  Rpta: B) 0 19. Sea ABCD un rombo tal que ABC  120º . Se ubica en la región exterior del rombo un punto P tal que PAB  50º y PCB  70º , calcula la medida de PBA . A) 70º B) 80º C) 60º D) 100º E) 90º RESOLUCIÓN:  Realizamos una gráfica con los datos brindados:  Podemos notar que al trazar la diagonal BD , el rombo queda dividido en dos triángulos equiláteros, y si trazamos una circunferencia, con centro en B y radio igual al lado del rombo, dicha circunferencia pasará por los vértices A, D y C; observamos también que AB  BD  BC  R . ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 16. ICEM - AREQUIPA 14  Además en el gráfico inicial el DAP  60º 50º  10º y el DCP  70º 60º  10º , resultando ser iguales lo que nos permite asegurar que el cuadrilátero ADPC es inscriptible o cíclico  Y como ya tenemos una circunferencia que pase por A, D y C significa que el punto P también pertenece a dicha circunferencia.  Como BP resulta ser también radio de la circunferencia será igual con AB y el triángulo ABP es isósceles, con APB  BAP  50º . ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA
  • 17. ICEM - AREQUIPA 15  Finalmente en dicho triángulo, los ángulos internos suman 180º: x  2(50º)  180º x  80º  Rpta: B) 80º 20. Hay un tablero de 44 dibujado en la pizarra y Carlos debe pintar cada casilla de blanco o de negro, de tal modo que en cada fila y cada columna haya 2 casillas de cada color. ¿De cuántas maneras Carlos puede pintar el tablero? A) 72 B) 36 C) 96 D) 90 E) 108 RESOLUCIÓN: Distinguiremos dos formas de realizar el pintado: 1. Haciendo que dos filas sean exactamente iguales.  Siendo así las dos filas que faltan quedan completamente determinadas (tienen justo los colores opuestos a las primeras) y son también iguales entre sí.  4  La primera fila tiene    6 posibilidades.  2  La otra fila igual a la primera puede estar en 3 sitios distintos, y fijada esta, las otras quedan inequívocamente situadas. 4  Por lo tanto hay 3     3  6  18 tableros con 2 filas iguales. 2 2. Haciendo que todas las filas sean diferentes  4  Otra vez para la primera fila hay    6 posibilidades, podemos tomar como  2 ejemplo que la primera fila es NNBB.  Una de las tres últimas filas tendrá casillas opuestas a la primera, en nuestro ejemplo: BBNN, otra fila empezaría con BN y la última fila empezaría con NB, permutando estas tres filas hay 3!  6 posibilidades.  Hay 2 opciones para completar las dos últimas filas: BNNB, NBBN y BNBN, NBNB.  Por tanto hay: 6  6  2  72 tableros con todas las filas distintas. En total resultan: 18  72  90 maneras de pintar el tablero. Rpta: D) 90 ICEM - INSTITUTO DE CAPACITACIÓN EN EDUCACIÓN MATEMÁTICA