Método de construcción de polígonos regulares

1. MÉTODO
“DABEJA”
PARA CONSTRUIR
POLIGONOS
REGULARES
Y
TRIÁNGULOS
EQUILÁTEROS,
ISÓSCELES
Y
ESCALENOS

2. • Construcciones con regla y
compás: En Grecia, los
Elementos
de
Euclides
fueron el primer modelo de
sistema axiomático.
• se preocuparon de construir
sistemáticamente
cada
figura que imaginaban. Para
tal fin crearon herramientas,
entre ellos regla, compás
especiales para trisecar
ángulos.

3. • POLIGONOS
REGULARES :Los
polígonos
que
tienen todos sus
lados y todos sus
ángulos iguales se
llaman
polígonos
regulares.

4. • Triángulo equilátero:
Sus tres lados tienen
la misma longitud y
los ángulos de sus
vértices miden lo
mismo (60°)
• Triángulo isósceles:
Tiene
dos
lados
iguales
• Triángulo escaleno:
Todos sus lados y
todos sus ángulos
son distintos.

5. Construir
• OBJETIVO
polígonos regulares de
n-lados a través de
puntos coordenados y
ordenados en el plano
cartesiano para aplicar
diversos contenidos del
pensamiento espacial

6. Surge de la necesidad
de graficar en el
tablero polígonos sin
necesidad de emplear
el compás y rotados
respectos
de
la
horizontal en diversos
puntos cartesianos.

7. • El poco empleo que
se da a los números
reales
en
las
construcciones
geométricas
permitiendo así que
el
concepto
de
continuidad de los
números reales se
olvide por la falta de
práctica.

8. • La falta de utilización
de herramientas de
cálculo numérico como
las
calculadoras
científicas y el papel
milimetrado
para
facilitar las operaciones
básicas y la graficación
de figuras en el plano
con mayor exactitud.

9. El no encontrar un
método diferente al
de regla, compás y
transportador para la
construcción
de
triángulos y polígonos
regulares,
que
estuvieran
en
diferentes posiciones
en
el
plano
cartesiano.

10. CONSTRUCCION DEL TRIANGULO EQUILATERO.
Construir un triángulo equilátero
si:
P1=(x1, y1) L=a cm.0 ≤ θ ≤ 360º
ω= (360/n), n= al número de
lados.
Con estos datos se encuentran
los dos puntos restantes en el
plano cartesiano, empleando
números
reales cuyas
coordenadas estarán dadas
por P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3)
siguiendo el siguiente proceso:

11. Para n= 3, entonces ω= (360/3),
ω= 120º
x2 – x1 = LCos θ
x2 = LCos θ + x1
y2 - y1 = LSen θ
y2 = LSen θ + y1
punto, P2=(x2, y2)
para las coordenadas del punto
P3(x3, y3)
x3 – x2 = LCos (θ+ ω)
x3 = LCos (θ+ ω) + x2
y
y3 – y2 = LSen (θ+ ω)
y3 = LSen (θ+ ω) + y2

12. DEMOSTRACION:
• Definición. Todo polígono regular de
n-lados tiene n-puntos coordenados
y ordenados, P1(x1, y1) P2(x2, y2),
P3(x3, y3), P4(x4, y4), P5(x5, y5),
Pn-2(xn-2, yn-2). Pn-1(xn-1, yn-1), Pn(xn, yn).
Los cuales surgen a partir de:
• Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1
• yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1
• Con K= n-2, 0 ≤ θ ≤ 360º respecto a
la horizontal ω= (360/n), n= al
número de lados y LЄ R
• Para construir un polígono regular
de tres lados n= 3, ω= (360/3)=120º
• L=A unidades P1=(x1, y1)

13. DEMOSTRACION:
X 2 X 1 = X 2 − X 1 Y2Y1 = Y2 − Y1
X 2 X1
Y2Y1
= COSθ
= SENθ
A
A
X 2 X 1 = ACOSθ Y2Y1 = ASENθ
X 2 − X 1 = ACOSθ Y2 − Y1 = A SENθ
X 2 = ACOSθ + X 1 Y2 = ASENθ + Y1

14. DEMOSTRACION:
X 3 X 2 = X 3 − X 2 Y3Y2 = Y3 − Y2
X3X2
YY
= COS (θ + ω ) 3 2 = SEN (θ + ω )
A
A
X 3 − X 2 = ACOS (θ + ω ) Y3 − Y2 = ASEN (θ + ω )
X 3 = ACOS (θ + ω ) + X 2 Y3 = ASEN (θ + ω ) + Y2

15. DEMOSTRACION:
X 3 X 1 = X 1 − X 3 Y3Y1 = Y1 − Y3
X 3 X1
Y3Y1
= COS (θ + ω + ω )
= SEN (θ + ω + ω )
A
A
X 1 − X 3 = ACOS (θ + 2ω ) Y1 − Y3 = ASEN (θ + 2ω )
X 1 = ACOS (θ + 2ω ) + X 3 Y1 = ASEN (θ + 2ω ) + Y3

16. DEMOSTRACION:
Angulo de rotación
∠ 1 p1 p2 =θ respecto horizonte
c
l
Sea: p1 p2 Segmento proyectado
l
p1 p2 y p1c1llp2 c1 se
De
l
obtiene: ∠c1 p1 p2 = θ = ∠c1 p2 p2
l
l
Trazamos p2 p2ll p3 p3 y
ll
p1c1 ll p3c1
Se obtiene ∠c1 p2 p2 = θ = ∠c1 p3 p3
l
l
ll
l
Se tiene:
∠ ω1l + ∠ ω1 = 180º ,
l
∠ ω 2 + ∠ ω 2 = 180º
l
∠ ω 3 + ∠ ω 3 = 180º
suplementarios

17. DEMOSTRACION:
p
p
Y ∠ 1 p2 p3 = ω , ∠ 2 p3 p1 = ω
1
2
l
l
∠ 3 p1 p2 = ωl , ∠ 2 p2 p3 = ω
p
pl
3
1
∠ 3 p3 p1 = ω2 , ∠ 1 p1 p2 = ω
p ll
pl
3
Por ángulos suplementarios se tiene,
ω +ωl =180º (1)
1
1
l
ω2 +ω2 =180º (2)
l
ω3 +ω3 =180º (3)
Desde el punto p 2 se tiene,
ω3 +ω2 −ωl =180º (4)
1
Desde el punto p 3 se tiene,
l
ω +ω3 −ω2 =180º (5)
1
l
ω2 +ω −ω3 =180º (6)
1
Igualando (1) y (5), (2) y (6) y (3) y (4) ,
respectivamente,

18. DEMOSTRACION:
l
ω +ωl = ω +ω3 −ω2
1
1
1
l
ω3 = ωl +ω2 (7)
1
l
l
ω2 +ω2 = ω2 +ω −ω3
1
l
l
ω = ω2 +ω3 (8)
1
l
ω3 +ω3 = ω3 +ω2 −ωl
1
l
ω2 = ωl +ω3
1
(9)
Sumando (8) y (9), (7) y (9), (7) y (8)
l
l
ω +ω2 = ωl +ω2 + 2ω3 (10)
1
1
l
l
ω2 +ω3 = 2ωl +ω2 +ω3 (11)
1
l
l
ω +ω3 = ωl + 2ω2 +ω3 (12)
1
1
Igualando (10) y (11), (10) y (12), (11) y (12)

19. DEMOSTRACION:
ωl +ωl +2ωl = 2ωl +ωl +ωl
1
2
3
1
2
3
ωl =ωl (13)
1
3
ωl +ωl +2ωl =ωl + 2ωl +ωl
1
2
3
1
2
3
ωl =ωl (14)
2
3
l
l
l
l
l
l
2ω +ω +ω =ω + 2ω +ω
1
2
3
1
2
3
ωl =ωl (15)
1
2
De (13), (14) y (15) se concluye
l
l
l
ω =ω =ω.
1
2
3
l
l
l
ω +ω +ω =180º
1
2
3
l
l
l
ω =ω =ω =60º.
1
2
3
l
l
l
ω +ω =ω +ω =ω +ω
1
1
2
2
3
3
ω =ω =ω =120º
1
2
3
ω +ω +ω =360º
1
2
3

20. •CONSTRUCCION DEL CUADRADO
Construir un cuadrado sí:
P1(x1, y1) L=a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º
horizontal. ω= (360/n), n= al
número de lados.
Con estos datos se encuentran
los puntos restantes en el plano
cartesiano, empleando números
reales cuyas coordenadas estarán
dadas por, P2(x2, y2), P3(x3, y3)
P4(x4,y4) siguiendo el siguiente
proceso:

21. n= 4, entonces ω= (360/4), ω= 90º
x2=LCos θ + x1
y2= LSen θ + y1,
P2(x2, y2)
x3=LCos (θ+ ω)+x2, y3=LSen (θ+ ω)+ y2, P3(x3, y3)
x4=LCos(θ+
P4(x4,y4)
2ω)+x3,
y4=LSen
(θ+
2ω)+y3,
Encontrando los demás puntos para
graficar cualquier cuadrado.

22. •CONSTRUCCION DE UN PENTAGONO REGULAR.
Construir un pentágono sí:
P1(x1, y1) L = a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º Horizontal.
ω= (360/n), n= al número de lados.
Con estos datos se encuentran los puntos
restantes en el plano cartesiano, empleando
números reales cuyas coordenadas estarán
dadas por P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4) y P5(x5 , y5).
Siguiendo el siguiente proceso:

23. n= 5 entonces ω= (360/5), ω= 72º
x2=LCos θ + x1
y2= LSen θ + y1,
P2(x2, y2)
x3=LCos (θ+ ω)+x2, y3=LSen (θ+ ω)+ y2, P3(x3, y3)
x4=LCos(θ+ 2ω)+x3, y4=LSen (θ+ 2ω)+y3, P4(x4,y4)
x5=LCos(θ+ 3ω)+x4, y5=LSen(θ+ 2ω)+y4,P5(x5, y5)
Encontrando los demás puntos para graficar
cualquier pentágono.

24. GENERALIZACION PARA N-LADOS
Luego,
con
los
demás
polígonos regulares de más
lados se pueden construir
siguiendo el mismo método.
Generalizando así:
Para
construir
cualquier
polígono regular de n-lados
partiendo de P1(x1,y1) L=a cm.
0 ≤ θ ≤ 360º Horizontal.
ω= (360/n), n= al número de
lados, entonces para la
consecución de cada punto
se tendrá:

25. GENERALIZACION PARA N-LADOS
Para las componentes en el eje horizontal X
(abscisas),
x2 = LCos θ + x2-1
x2 = LCos θ + x1
x3 = LCos (θ+ ω) +x3-1
x3=LCos (θ+ ω) + x2
x4=LCos (θ+ 2ω)+x4-1
x4=LCos (θ+ 2ω) + x3
x5 = LCos (θ+ 3ω)+x5-1
x5=LCos (θ+ 3ω) + x4
.
.
.
Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1

26. GENERALIZACION PARA N-LADOS
De igual forma para las componentes en y
(ordenadas),
y2 =LSen θ + x2-1
y2 =LSen θ + y1
y3 =LSen (θ+ ω) + y3-1
y3 =LSen (θ+ ω) + y2
y4 =LSen (θ+ 2ω) + y4-1
y4 =LSen (θ+ 2ω) +y3
y5 =LSen (θ+ 3ω) + y5-1
y5 =LSen (θ+ 3ω) +y4
.
.
.
yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1
Encontrando los puntos respectivos denotados por:
P2=(x2, y2), P3=(x3, y3), P4=(x4,y4),…Pn=(xn,yn).

27. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ISOSCELES
P1=(x1, y1) L1y2= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º
0<ω<180º ω≠ 120º ángulo suplementario
respecto a los lados L1y3
Con estos datos se encuentran los dos
puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas
coordenadas estarán dadas por
P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) con el siguiente
proceso:
x2 – x1 = LCos θ
y y2 - y1 = LSen θ
x2 = LCos θ + x1
y y2 = LSen θ + y1
punto P2=(x2, y2)
Luego,
x3–x2 =LCos(θ+ ω) y y3-y2 =LSen (θ+ ω)
x3 =LCos(θ+ ω)+x2 y
y3 =LSen(θ+ ω)+y2
punto P3=(x3, y3)

28. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ISOSCELES
Variante: Para encontrar el valor
del lado tres L3 y el ángulo α en
el triángulo isósceles se hace
necesario abordar las siguientes
fórmulas conocidas:
L3 =
( x 3 − x 2 ) 2 + ( y3 − y 2 ) 2
Valor distancia entre dos puntos
180= 2α+ω´ y 180= ω+ω´ luego,
2α + ω´ = ω + ω´
α=ω
2
Valor del ángulo α, propiedad de los
Triángulos isósceles

29. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO
Para construir un triángulo escaleno
también existen variantes pero se
conserva el principio del método:
Sea P1=(x1, y1) L1= a cm. L2=b cm.
a ≠ b. 0 ≤ θ ≤ 360º y 0<ω<180º
Con estos datos se encuentran los dos
puntos restantes en el plano cartesiano,
empleando números reales cuyas
coordenadas estarán dadas por,
P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) con el
siguiente proceso:

30. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO
x2 – x1 = L1Cos θ y
x2 = LCos θ + x1
y2 - y1 = L1Sen θ
y
y2=LSenθ + y1
entonces, P2=(x2, y2) Luego,
x3–x1 =L2Cos(θ+ω)
y
y3-y1=L2Sen(θ+ω)
x3=L2Cos(θ+ ω)+x2
y
y3=L2Sen(θ+ω)+y2
así, P3=(x3, y3)
Variante: Para encontrar el valor del lado
tres L3 y el ángulo α en el triángulo
isósceles se hace necesario abordar
las siguientes fórmulas conocidas

31. CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO
•L =
3
( x 3 − x 2 ) 2 + ( y 3 − y 2 ) 2 Distancia entre
dos puntos.
Para el ángulo α se emplea la ley de
senos, respecto a ω, los lados L2 y L3
s e n α =s e nω
L
L
2
3
−1 L 2sen ω 

α = sen 
 L

3


Y para el ángulo φ, la propiedad
fundamental de ángulos internos de un
triángulo
φ + α+ ω´ = 180º
φ = 180º-(α+ ω´ )

32. FIN

33. MÉTODO
“DABEJA”
GRACIAS
DANIEL BEJARANO SEGURA
Licenciado en Matemáticas y Física
dabejase@yahoo.es