Matematica2 5

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Matematica2 5

  1. 1. Profª Débora Bastos
  2. 2. Derivada da função ImplícitaO que é uma função implícita?É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x.É o oposto a função explícita:y = 3x2+5x+1  explícitaxy + y6 = x6 – seny  implícitaCalculo da função implícita: dyConsidere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar f ( x) = dx siga os seguintes passos:1- Derive cada termo como algo independente, considerandoy=f(x);2- Separe o que tiver dy no 1º membro da equação e o que nãotiver no 2º membro. dx3-Coloque dy em evidência no 1º membro da equação; dx dy4- Isole dx na equação e teremos a derivada de f.
  3. 3. Derivada da função ImplícitaObservação: Provavelmente a derivada dy também será umafunção implícita, ou seja, dx dy = g ( x, y ) dxExemplo: Encontre dy para a equação abaixo: dx un senu xy + y6 = x6 – seny xn produto u.v dy dy dy x + y.1 + 6 y 5 = 6 x 5 − cos y dx dx dx dy dy dy x + 6 y5 + cos y = 6x5 − y dx dx dx
  4. 4. Derivada da função Implícita dy dy 5 dy x + cos y + 6 y = 6 x5 − y dx dx dx dy dx ( ) x + 6 y 5 + cos y = 6 x 5 − y dy 6x5 − 6 y5 = dx x + 6 y 5 + cos yExercícios:Considere y=f(x) derivável em D(f), determine dy para: dx3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y(x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4xcosy + ycosx = 1
  5. 5. Problemas de Taxa de variaçãoInterpretação geométrica de f ’: ∆y f ( x + ∆x) − f ( x) tgα = = ∆x ∆x ∆y f ( x + ∆x) − f ( x)tgβ = lim = lim = f ( x) ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x βTaxa de variação:(a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y emrelação a x no intervalo [a,b] é: f (b) − f (a) ∆y tvm = = ou b−a ∆x f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y tvm = = ∆x ∆x
  6. 6. Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) ef(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m).Determine o taxa de variação média do deslocamento em t ∈[2,5]? ∆f f (5) − f (2) 30 − 9 21 = = = = 7m / s ∆t 5−2 3 3Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação aotempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado. v média = 7 m/s
  7. 7. Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação aotempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média davariação de velocidade em relação ao tempo para t ∈ [1.3]. ∆v v(3) − v(1) 23 − 17 6 = = = = 3m / s 2 ∆t 3 −1 2 2Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempoé a aceleração média no intervalo calculado. amédia = 3m/s2(b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor xse ∆x  0, ou seja, aplicando o limite quando ∆x  0. ∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) lim = lim = f ( x) ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
  8. 8. Problemas de Taxa de variaçãoA taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por : f ’(x0)Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h doobjeto no instante t (s) é dado por h(t) = − 16t2 + 100.Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, avelocidade instantânea do objeto quando t = 1s.h’(t) = − 32th’(1) = − 32 pés/s.Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está sedeslocando para baixo.
  9. 9. Problemas de Taxa de variaçãoAs aplicações das taxas de variação não são exclusividade docampo da física. É possível obter uma taxa de variaçãoinstantânea (ou média) desde que se tenha a expressão quedetermine o que se quer investigar.Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receitamarginal e custo marginal como taxas de variação do lucro,receita e custo em relação ao número x de unidadesproduzidas ou vendidas. dPP é lucro : lucro marginal dx dRR é receita: receita marginal dxC é custo: dC custo marginal dx
  10. 10. Problemas de Taxa de variaçãoExemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de umartigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x.(b)Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50unidades.(c)Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumentode produção de 50 para 51 unidades. dP(a) = 0,0006 x ² +10 dx dP = 0,0006( 50 ) ² +10 = 11,50 dx$11,50 por unidade
  11. 11. Problemas de Taxa de variação(b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando xaumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproximado pelolucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50).Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares decaixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p opreço por caixa e a equação da oferta: px – 20p – 3x + 105 = 0Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variandoquando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?
  12. 12. Problemas de Taxa de variação x – fornecimento de caixas (milhares) por dia; p – preço por caixa; t – dias; dx = − 250 = − 1 - variação de caixas fornecidas por dia; dt 1000 4 dP dt - variação do preço por dia; x= 5 (mil) Se x = 5, então p.5 – 20.5 – 3x + 105 = 0 logo p = 6.Calculando a derivada (implícita) da função oferta: dP dx dP dx x +P − 20 −3 =0 dt dt dt dt dP 1 dP  1 5 Substituindo as informações: dt + 6. − − 20 −3−  = 0 4 dt  4
  13. 13. Problemas de Taxa de variação dP 1 dP 3 dP 1 −15 = ⋅3 ⇒ = ⇒ =− dt 4 dt 4( −15) dt 20Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a umataxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000caixas.Exercícios:1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pésde altura. Sua função posição é h = − 16t2 + 16t + 32, onde t é tempo(s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge aágua? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento doimpacto?2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P épressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certoinstante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e estácrescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da
  14. 14. Problemas de Taxa de variação

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