Matematica2 4

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Matematica2 4

  1. 1. Profª Débora Bastos
  2. 2. Regra de L’Hospital Teorema 7: (Teorema de L’Hospital): Sejam f e g funções diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto possivelmente em um número a em I. Suponha que, para todo x ≠ a em I, g’(x) ≠ 0. Então se xlima f ( x ) = 0 e xlima g( x ) = 0 → → f (x) f ( x) e se→ a g ( x ) = L segue que→ a g( x ) = L . x lim x lim Observação: O teorema também é válido para limites laterais. Tem enorme repercussão no cálculo de limites indeterminados: 0 ∞ 0∞ ∞0 1∞ ∞−∞ 0 ⋅ ∞ 0 ∞
  3. 3. Exemplos Calcule os limites abaixo: senx cos xa) lim x →0 x = lim x →0 1 =1 a kx − 1 a kx (ln a.)k = lim a kx (ln a.) = ln a.b) lim x →0 kx = lim x →0 k x →0 e x −2 − e2− x e x −2 + e2− x 1+ 1 = lim = =2c) lim x → 0 sen( x − 2) x → 0 cos( x − 2) 1 e x senx − x e x senx + e x cos x − 1 e x ( senx + cos x ) − 1d) lim x →0 2 3x + x 5 = lim x →0 6x + 5x 4 = lim x →0 6x + 5x 4 e x ( senx + cos x ) + e x (cos x − senx ) 2e x cos x 2 1= lim = lim = = x →0 6 + 20 x 3 x →0 6 + 20 x 3 6 3
  4. 4. lim [ f ( x ) − g( x )] = ∞ − ∞ Se x →a ou se xlima[ f ( x) • g( x )] = ∞ • 0 , então → através de artifícios algébricos, transforma-se estas indeterminações em 0 ou ∞ . 0 ∞ Exemplos:  1       x ⋅ + ln x − 1  1 + ln x − 1  x 1   x ln x − x + 1   x  = lim  a) xlim1 x − 1 − ln x  = xlim1 ( x − 1) ln x  = xlim1   x →1 x − 1  →   →   →  ( x − 1) ⋅ 1 + ln x     x + ln x    x       1       x ⋅ + ln x  = lim  ln x  = lim  ln x  = lim   x ln x  = lim   x  x →1 x − 1  x →1 x − 1 + x ln x  x →1 x − 1 + x ln x  x →1 1 + x ⋅ + ln x   1  + ln x       x   x   x   1. + ln x  1= lim   = x →1 1 + 1 + ln x  2 x 1 cos 2 2xb) x → 0 lim x cot g2x = lim x → 0 tg2x = lim 2 x → 0 2 sec 2x = lim = 1 x →0 2 2
  5. 5. Diferencial Seja y=f(x) uma função derivável no intervalo (a,b), então para todo x ∈ (a,b), temos que a derivada de f ( x + ∆x ) − f ( x ) f(x) é dada por: 0 lim ∆x → ∆x = f (x)  f ( x + ∆x ) − f ( x )  limEntão: ∆x → 0 ∆x  − f (x) = 0    f ( x + ∆x ) − f ( x ) Daí:  ∆x  − f ( x ) = g( ∆x ) onde g(∆x) é uma função   infinitesimal.Logo: f ( x + ∆x ) − f ( x ) − f ( x )∆x = g( ∆x )∆x Como ∆x  0 e g(∆x) 0, temos ∆x g(∆x) 0, ou fseja, x ) − f ( x ) − f ( x )∆x ≈ 0 (x + ∆ f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ( x )∆x ou
  6. 6. Atenção: f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ( x )∆x Exemplo:Encontre um valor aproximado para 3 128Considere f(x) = 3 x , x = 125 e ∆x = 3. − 2 x 3 1f (x) = = 3 3 3 x2 1 1f(128)≈ f(125)+f´(125).3=5+ 3 ⋅3 = 5 + 25 3 125 23 128 ≈5,04
  7. 7. Atenção: f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ( x )∆x Exemplo:Encontre um valor aproximado para ln(1,02)Considere f(x) = lnx , x = 1 e ∆x =0,02 1f (x) = x 1f(1,02)≈ f(1)+f´(1).(0,02)= 0+ 1 ⋅ 0,02 = 0,02ln(1,02)≈0,02
  8. 8.  Definição 14: Se a função f for definida pro y= f(x), então a diferencial de y, denotada por dy, será dada por dy= f´(x)∆x Onde x está no domínio de f´ e ∆x é um incremento arbitrário de x. f ( x +x )x ) ≈ f ( x )∆x  ∆ − f (  ∆y∆y ≈ f ( x )∆x ⇒ dy = f ( x )∆x Definição 15: Se a função f for definida por y=f(x), então a diferencial x, denotada por dx, será dada por dx = ∆x, onde ∆x é um incremento arbitrário de x e x é
  9. 9. Decorre das definições 14 e 15:Definição 16: dy = f´(x)dxDividindo ambos os membros por dx, temos: dy = f´( x ) dxEssa relação expressa a derivada como quociente de dy diferenciais, quando usávamos dx , dy e dx não tinham significado independentes.A definição de diferencial é necessário para o conceito de integral, nosso próximo assunto.
  10. 10. Mais aplicação: Cálculo de erros Seja y=f(x) uma função derivável, temos que: erro aproximado dy dy  = erro relativo 100 x = erro percentual dy = valor aproximado y y erro máximo  Exemplo: Mediu-se o diâmetro de um círculo e achou- se 5,2 cm, com um erro máximo de 0,05 cm. Achar o máximo erro aproximado da área deste círculo. Achar também os erros relativo e percentual. f(d)=A(d) função área , d diâmetro ⇒ A(d) = π(d/2)2A(d)=πd2/4 ⇒ dA=(πd/2)dDdA=π.5,2.0,05 ≅ 0,4084 cm2 ⇒ máximo erro da áreaErro relativo: 0,01923 Erro percentual: 1,923%

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