Matematica2 20

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Matemática II
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Integrais por Substituição Trigonométrica

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Matematica2 20

  1. 1. Profª Débora Bastos
  2. 2. Integrais por substituiçõestrigonométricas.É impossível ver numa disciplina de cálculo TODOS os métodos deresolução de integrais. Hoje estudaremos as substituiçõestrigonométricas para incrementar nossa gama em resolver integrais.A substituição trigonométrica é um artifício para resolver integraiscom radicais, por exemplo: a2 x2 x2 a2 x2 a2Nos quais a é uma constante POSITIVA e que não tenhamos no nossoformulário.Nos casos de radicais com subtração podemos substituir x porx=a.sin /2 < < /2 dx=a.cos dOux=a.cos 0< <2 dx=a.sin dE daí a relação: sen2 +cos2 =1
  3. 3. Substituições Trigonométricas Fazendo a substituição: x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cos d a2 x2 a2 a2 sin2 a2 1 sin2 a cos2 a cos a cos Aqui podemos considerar no intervalo inicial, pois a2 – x2 também deve ser positivo para a raiz existir, então o intervalo está compatível com o problema e só assim podemos considerar que o módulo é o próprio cosseno, pois está considerando só argumentos que o resultado é positivo.
  4. 4. Substituições Trigonométricas  Radicais com subtração fazemos a substituição:  x=a.sin /2 < < /2 dx=a.cos d a2 x2 a cos Exemplo: dx 2 cos d 1 x2 4 x2 2 cos2 2 cos 1 d 1 2 1 cos sec d cot g k 4 2 4 4 cos 2 cos 4 x /2 4 x 2 1 4 x2cot g k sen x/2 x 4 x
  5. 5. Substituições Trigonométricas Radicais com adição fazemos a substituição: x=a.tg 0 < < /2 dx=a. sec2 d E daí a relação tg2 +1 = sec2 x2 a2 a2tg2 a2 a2 tg2 ( 1) a sec2 a sec a secExemplo: x3dx x=3tg 2 ( x2 9)3 dx = 3sec2 x2 9 (3tg )2 9 9 tg2 1 3 sec
  6. 6. Substituições Trigonométricas 3 Exemplo: cos x2 9 3 sec 2 x 9 3 x dx x=3tg2 ( x2 9)3 dx = 3sec2 27tg 3 3 sec 2 d tg3 d sen 3 d 3 3 3 (3 sec ) sec cos3 sec sen 3 d sen 2 1 cos2 3 3 sen d 3 sen d 2 2 cos2 cos cos sen d 33 3 sen d 3 cos 3 sec 3 cos k 2 cos cos 9 x² 9 k x² 9
  7. 7. Exemplos: udv u v vdu Resolva as integrais 1 e 2 por partes:1 arcsin xdx R tA x arcsin x 1 x2 k ta ex xe x R k2 2 dx 1 x (1 x)Demonstre as fórmulas 19 e 25 pelo método da substituição trigonométrica, ou seja: dv v19 arcsin k a 2 v 2 aa 0 dv 1 25 ln v v2 a2 k v 2 2 a 2a a 0

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