Matematica2 19

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Matematica2 19

  1. 1. Profª Débora Bastos
  2. 2. Integral por partes.Das fórmulas básicas da derivação, uma não consta no formulário deintegrais: sendo d u v) ( dv du u f x) ( u v dx dx dx v g x) (Embora derivar um produto de funções de x seja simples, aplicar oprocesso inverso não é tanto. Hoje dedicaremos a aula especialmentepara essa antiderivada, a antiderivada do produto de funções que é aintegral por partes. d u v) ( dv du dx u v dx du ( v) udv vdu dx dx dx du ( v) udv vdu u v udv vdu
  3. 3. Integral por partes du ( v) udv vdu u v udv vdu Com essa expressão teríamos que ter a soma de duas integrais para poder dizer o resultado direto: d x sin x x cos x sin x dx x cos xdx sinxdx x sinx k v dx u dv Dificilmente teremos uma expressão assim para resolver e sim, por exemplo: x cos xdx x sinx - sinxdx x sinx cosx k
  4. 4. Integral por partes Ou seja, em vez de: udv vdu u v k Usaremos: udv u v vdu Nesses casos para resolver uma integral precisaremos de outro, assim não resolvemos a integral de imediato e sim POR PARTES.
  5. 5. Integral por partes: Diante da igualdade: udv u v vdu Além de identificar quem é u e dv, devemos nos preocupar se a segunda integral será “resolvível”, ou seja, se ela terá solução direta. Então devemos ter esse cuidado.
  6. 6. Exemplos: udv u v vdu xe xdx Nada no formulário, pois a integral de ex é ex , então o x fica “sobrando”. Perfeita para a integral por partes. Cuidado ao escolher quem é u e quem é dv. Temos que escolher u para garantir que du seja mais simples e não “atrapalhe” a integral de vdu. No nosso caso então x é a melhor escolha para u, e consequentemente, dv será exdx. u=x du=dx dv=exdx v = ex xexdx xex exdx xe x ex k ex(x 1) k
  7. 7. udv u v vduExemplos: 2 21 x ln xdx R tA x3 ln x 3 32 ln xdx R ta x ln x 1 k dx R ta x ln x23 2 3 k 2 2 2 (x 3) x 34 ex cos xdx ta ex R sin x cos x k 2

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