416 apostila ita_matrizes_determinantes

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416 apostila ita_matrizes_determinantes

  1. 1. IME ITA
  2. 2. Apostila ITA E 01 Matrizes Uma matriz de ordem n × m é, informalmente, uma tabela com n linhas e mcolunas, em que “linhas” são as filas horizontais e “colunas” são as filas verticais. Comesta idéia temos a seguinte representação para a matriz A de ordem n × m : ⎡ a11 a12 a1m ⎤ ⎢a a22 a2 m ⎥ A = ⎢ 21 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ an1 an 2 anm ⎦ n×m O símbolo “ aij ” representa o elemento da linha i e coluna j .Uma definição formal para uma matriz é: “Considerando os conjuntos I n = {1, 2,..., n} e I m = {1, 2,..., m} . Uma matriz A , deordem n × m , é uma função A : I n × I m → , que associa cada par ordenado ( i, j ) aum número real aij ”. A notação A = ( aij )n × m representa uma matriz de ordem n × m e o elemento aij échamado de termo geral.Exemplo: A matriz A = ( aij ) , com aij = 2 ⋅ i − j 2 é determinada pelo cálculo de todos 2×3os elementos de acordo com a lei de formação, ou seja: a11 = 2 ⋅1 − 12 = 1 a12 = 2 ⋅1 − 2 2 = −2 a13 = 2 ⋅ 1 − 32 = −7 a21 = 2 ⋅ 2 − 12 = 3 a22 = 2 ⋅ 2 − 2 2 = 0 a23 = 2 ⋅ 2 − 32 = −5desta forma temos: ⎡ 1 −2 −7 ⎤ A=⎢ ⎥ ⎣ 3 0 −5 ⎦ 2 × 3Observações sobre a linguagem:• O conjunto de todas as matrizes reais de ordem n × m é denotado por M n × m ( )• Na matriz A = ( aij )n × m sequência ( ai1 , ai 2 , , aim ) é a i - ésima linha• Na matriz A = ( aij )n × m a sequência ( a1 j , a2 j , , anj ) é a j - ésima coluna
  3. 3. Matemática a11 a12 a13 ... a1 j ... a1n GG a 21 a 22 a 23 ... a 2 j ... a 2n JJ GG ... ... ... ... ... ... ... J a J GG a... i1 ai 2 ... ai 3 ... ... ... aij ... ... ... in ... J J i-ésima linha GH a m1 a m2 am3 ... a mj ... a J K mn m× n j-ésima coluna• Sejam A = ( aij ) e B = ( bij ) duas matrizes reais. Diz-se que as matrizes A e m×n m×nB são iguais, e escreve-se A = B , se, e somente se, aij = bij , ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} . Classificações de matrizesMatriz linha: É toda matriz formada por apenas uma linha.Matriz coluna: É toda matriz formada por apenas uma coluna.Matriz retangular: É toda matriz de ordem n × m com n ≠ m .Matriz nula: É toda matriz com todos os elementos nulos.Matriz quadrada: É toda matriz de ordem n × n . Neste caso dizemos que a matriz é deordem n . Em uma matriz quadrada os elementos da sequência ( a11 , a22 , , ann )formam a diagonal principal e os elementos da sequência an1 , a( n −1) 2 , ( , a1n ) forma adiagonal secundária.Matriz triangular Superior: É toda matriz quadrada de ordem n , em que aij = 0 sei > j , ou seja, os elementos abaixo da diagonal principal são nulos.Matriz triangular Inferior: É toda matriz quadrada de ordem n, em que aij = 0 se i < j ,ou seja, os elementos acima da diagonal principal são nulos.2
  4. 4. Apostila ITAMatriz transposta Seja A = ( aij )n × m , a matriz transposta de A , indicada por A t , e é At = ( bij )m × n emque bij = a ji . Em outros termos, a matriz transposta é obtida trocando linha por colunada matriz original.Exemplo: ⎡1 3⎤ ⎡ 1 −2 −7 ⎤ ⎢ −2 0 ⎥ A=⎢ ⎥ A =⎢ t ⎥ ⎣ 3 0 −5 ⎦ 2 × 3 ⎢ −7 −5⎥ 3× 2 ⎣ ⎦Observações:• Quando At = A dizemos que a matriz A é simétrica.• Quando At = − A dizemos que a matriz A é antisimétrica.Operações com matrizesAdição de matrizes Sejam A = ( aij ) e B = ( bij ) duas matrizes quaisquer. A soma de A com B , m×n m×nque indicaremos por A + B , é a matriz m × n cujo termo geral é aij + bij , isto é: ⎛ a11 + b11 a12 + b12 ... a1n + b1n ⎞ ⎜ ⎟ a + b21 a 22 + b22 ... a 2 n + b2 n ⎟ A + B = ⎜ 21 ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a m1 + bm1 a m2 + bm2 ... a mn + bmn ⎠ m× nMultiplicação por escalar Dados a matriz A = ( aij ) e um número real k , o produto indicado por k ⋅ A , é m×na matriz m × n cujo termo geral é k ⋅ aij , isto é: ⎛ k ⋅ a11 k ⋅ a12 ... k ⋅ a1n ⎞ ⎜ ⎟ k ⋅ a21 k ⋅ a22 ... k ⋅ a2 n ⎟ k⋅A=⎜ ⎜ ... ... ... ... ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ k ⋅ am1 k ⋅ am 2 ... k ⋅ amn ⎠ m× n 3
  5. 5. MatemáticaMultiplicação de matrizes Consideremos as matrizes A = ( aij ) e B = ( b jk ) . O produto de A por B , m×n n×tindicado por A ⋅ B , é a matriz m × t cujo termo geral é cik , em que: n cik = ∑a j =1 ij . b jk = ai1 . b1k + a i 2 . b2 k + ... + ain . bnk . Observação: Para que o produto de matrizes seja possível é necessário que onúmero de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segundamatriz. A matriz identidade de ordem n , denotada por I n , é a matriz quadrada na qualtodos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os demais elementos iguaisa 0 , ou seja: ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ 0 1 0⎟ In = ⎜ ⎜0 0 0⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 0 1 ⎠n × nPropriedades1. Para a adição de matrizes temos A, B , C ∈ M n× m ( ):• A adição de matrizes é associativa : ( A + B) + C = A + ( B + C )• A adição de matrizes é comutativa : A + B = B + A• A adição de matrizes admite elemento neutro: Existe uma matriz O ∈ M n × m ( R ) tal que A + O = O + A = A .• Existe matriz oposta: Para toda matriz A ∈ M m ×n ( R ) , existe uma matriz indicada por − A , também de ordem n × m , chamada matriz oposta de A , tal que A + (− A) = (− A) + A = O .2. Para a multiplicação por escalar temos k1 , k2 ∈ e A, B ∈ M n × m ( )• k1 ⋅ ( k 2 ⋅ A ) = ( k1 ⋅ k 2 ) ⋅ A• ( k1 + k 2 ) ⋅ A = k1 ⋅ A + k 2 ⋅ A• k1 ⋅ ( A + B ) = k1 ⋅ A + k1 ⋅ B3. Para a multiplicação de matrizes temos A ∈ M m× n ( ), B ∈ M n× p ( ) e C ∈ M p× q ( )4
  6. 6. Apostila ITA• A multiplicação de matrizes é associativa: ( A ⋅ B ) ⋅ C = A ⋅ ( B ⋅ C ) .• ( A ⋅ B )t = B t ⋅ At .• Vale a propriedade distributiva à esquerda: A ⋅ ( B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C .• Vale a propriedade distributiva à direita: ( B + C ) ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A .• Existe elemento neutro: A ⋅ I n = I m ⋅ A = A .• (k1 ⋅ A) ⋅ B = A ⋅ (k1 ⋅ B) = k1 ⋅ ( A ⋅ B) . Exercícios ⎡ 1 ⎤ ⎡2b 9⎤ a2 ⎥01. (UFG) Sejam as matrizes A = ⎢ 16 e B=⎢ 3 ⎥ . Para que elas sejam ⎢ ⎥ ⎣a c ⎦ ⎣ −27 −4 ⎥ ⎢ ⎦ iguais, deve-se ter: a) a = −3 e b = −c = 4 b) a = 3 e b = c = −4 c) a = 3 e b = −c = − 4 d) a = −3 e b = c = − 4 e) a = −3 e b = c 2 = 4 ⎛ 4 1⎞ ⎛3 − 2⎞02. (UFBA) Se P=⎜⎜ − 2 3⎟ e Q = ⎜ 5 ⎟ ⎜ ⎟ , a matriz transposta de P − 2Q é: ⎝ ⎠ ⎝ 4 ⎟ ⎠ ⎛ 10 8 ⎞ ⎛− 2 − 12 ⎞ ⎛ 1 − 7⎞ a) ⎜ ⎜ − 3 11⎟ ⎟ b) ⎜⎜ 5 ⎟ c) ⎜ ⎜−1 −1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ −5 ⎟ ⎠ ⎝ ⎟ ⎠ ⎛ − 2 8⎞ ⎛ 10 11⎞ d) ⎜ ⎜ − 5 5⎟ ⎟ e) ⎜⎜− 3 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ 8⎟⎠ ⎡2 1 −1 ⎤ ⎢ 203. (SANTA CASA - SP) Se a matriz x 0 1 − y ⎥ é simétrica, então o valor ⎢ ⎥ ⎢x ⎣ y −3 1 ⎥ ⎦ de x + y é: a) 3 b) 1 c) 0 d) −2 e) −3 5
  7. 7. Matemática04. (SANTA CASA - SP) Se uma matriz quadrada A é tal que A = − A ela é t chamada anti-simétrica. Sabe-se que M é anti-simétrica e, ⎡4 + a ... ... ⎤ ⎢ a M =⎢ b+2 ... ⎥ ⎥ ⎢ b ⎣ c 2c − 8⎥ 3×3 ⎦ Os termos a12 , a13 e a23 da matriz M valem respectivamente: a) −4 , −2 e 4 . b) 4 , 2 e −4 . c) 4 , −2 e −4 . d) 2 , −4 e 2 . e) n.d.a.05. (FATEC) Sabe-se que as ordens das matrizes A , B e C são, respectivamente, 3 × r , 3 × s e 2 × t . Se a matriz ( A − B ) C é de ordem 3 × 4 , então r + s + t é igual a: a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 1406. (FATEC) Uma indústria automobilística produz carros X e Y nas versões standart, luxo e superluxo. Peças A , B e C são utilizadas na montagem desses carros. Para um certo plano de montagem, é dada a seguinte informação: Carro X Carro Y Peça A 4 3 Peça B 3 5 Peça C 6 2 Standard Luxo Superluxo Carro X 2 4 3 Carro Y 3 2 5 Em termos matriciais, temos:6
  8. 8. Apostila ITA ⎡4 3⎤ matriz peça-carro = ⎢ 3 5 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢6 2⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 2 4 3⎤ matriz carro-versão = ⎢ ⎥. ⎣ 3 2 5⎦ A matriz peça-versão é: ⎡17 22 27 ⎤ ⎡17 22 27 ⎤ ⎡17 22 27 ⎤ a) ⎢ 21 28 34 ⎥ ⎢ ⎥ b) ⎢ 21 34 22 ⎥ ⎢ ⎥ c) ⎢ 21 22 28 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢18 28 22 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢18 28 28 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢18 34 28 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡17 22 27 ⎤ ⎡17 22 27 ⎤ d) ⎢ 21 22 34 ⎥ e) ⎢ 21 28 28 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢18 28 28 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢18 34 22 ⎥ ⎣ ⎦07. (FUVEST) Considere as matrizes: ( ) , 4 × 7 , definida por a A = aij ij =i− j ; B = (b ) 7 × 9 b =i ,ij , definida por ij ; C = (c ) C = AB ,ij . O elemento c63 : a) é −112 . b) é −18 . c) é −9 . d) é 112. e) não existe.08. (ITA) Sejam A , B e C matrizes reais quadradas de ordem n e On a matriz nula também de ordem n . Considere as afirmações: I. AB = BA II. AB = AC ⇒ B = C A2 = On ⇒ A = On III. IV. ( AB )C = A(BC ) V. ( A − B ) = A − 2 AB + B 2 2 2 Então podemos afirmar que: a) apenas a I é falsa. b) apenas a IV é verdadeira. c) V é verdadeira. d) II e III são verdadeiras. e) III e IV são verdadeiras. 7
  9. 9. Matemática E 02Operação Elementar Sobre Linhas Uma operação elementar sobre linhas de uma matriz A ∈ M m× n ( ) é qualquer uma das transformações:• multiplicação de uma linha de A por uma constante real não nula k ;• permuta de duas linhas de A ;• substituição da r - ésima linha de A por uma linha formada pela soma da r - ésima linha com k vezes a s - ésima linha, sendo k um escalar arbitrário e r ≠ s . ⎛2 3 5 ⎞Exemplo: Sendo A = ⎜ ⎟ , temos: ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3 ⎛4 6 5 ⎞• A multiplicação da primeira linha por 2 : ⎜ ⎟ . ⎝ 7 11 13 ⎠ 2 × 3 ⎛ 7 11 13 ⎞• A permuta da primeira com a segunda linha: ⎜ ⎟ . ⎝ 2 3 5 ⎠2 × 3• A substituição da primeira linha pela primeira linha soma da primeira linha com ⎛ 16 25 31⎞ duas vezes a segunda linha: ⎜ ⎟ ⎝ 7 11 13 ⎠ 2 × 3 Cada operação elementar sobre linhas de uma matriz A pode ser representadapela multiplicação por uma matriz quadrada, observe:• A multiplicação da primeira linha por 2: ⎛ 2 0⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛ 4 6 10 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ . ⎝ 0 1 ⎠ 2× 2 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3• A permuta da primeira com a segunda linha: ⎛0 1⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛ 7 11 13 ⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ . ⎝ 1 0 ⎠ 2×2 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3 ⎝ 2 3 5 ⎠ 2×3• A substiruição da primeira linha pela soma dela com duas vezes a segunda: ⎛1 2⎞ ⎛2 3 5 ⎞ ⎛ 16 25 31⎞ ⎜ ⎟ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ 2× 2 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×3 ⎝ 7 11 13 ⎠ 2×38
  10. 10. Apostila ITA Matriz elementarDefinição: Uma matriz E ∈ M m × m ( ) é dita elementar se E ⋅ A é alguma transformaçãoelementar sobre linhas de A , para toda matriz A ∈ M m× n ( ). Usando a linguagem:e1 = (1 0 0 )1× m , e2 = ( 0 1 0 )1× m ,... e em = ( 0 0 1)1× m , podemosformar as matrizes elementares:• Permutação da i - ésima linha com a j - ésima linha ⎛ e1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e j ⎟ ← i − ésima linha ⎜ ⎟ Pij = ⎜ ⎟ . ⎜ e ⎟ ← j − ésima coluna ⎜ i⎟ ⎜ ⎟ ⎜e ⎟ ⎝ m⎠Exemplo: ⎛ e2 ⎞ ⎛ 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e 1 0 0⎟P =⎜ 1 ⎟=⎜ (Permutação da primeira linha com a segunda linha) 12 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 1 ⎠m × m• Multiplicação da i - ésima linha por uma constante não nula k : ⎛ e1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ M i ( k ) = ⎜ k ⋅ ei ⎟ ← i − ésima linha . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e ⎟ ⎝ m ⎠Exemplos: ⎛ 3 ⋅ e1 ⎞ ⎛ 3 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e 0 1 0⎟ M 1 ( 3) = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 1⎠ 9
  11. 11. Matemática ⎛ e1 ⎞ ⎛ 1 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 5⋅e 0 5 0⎟ M 2 ( 5) = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 1⎠• Substituição da i - ésima linha pelo resultado da soma da i - ésima linha com uma constante k arbitrária multiplicada pela j - ésima linha: ⎛ e1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ei + k ⋅ e j ⎟ ← i − ésima linha ⎜ ⎟ S j (k ) = ⎜ i ⎟ . ⎜ ej ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ em ⎟ ⎝ ⎠Exemplos: ⎛ e1 + 5 ⋅ e2 ⎞ ⎛ 1 5 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ e2 ⎟ = ⎜0 1 0⎟ S2 ( 5) = ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ em ⎠ ⎝ 0 0 1⎠ ⎛ e1 + 7 ⋅ e3 ⎞ ⎛ 1 0 7 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e2 ⎟ ⎜0 1 0 0⎟ S3 ( 7 ) = ⎜ e3 1 ⎟ = ⎜0 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e ⎟ ⎜0 0 0 1⎟ ⎝ m ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ e1 ⎞ ⎛1 0 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ e2 + 11 ⋅ e1 ⎟ ⎜ 11 1 0 0⎟ S12 (11) = ⎜ e3 ⎟=⎜ 0 0 1 0⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ em ⎟ ⎜0 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Matriz inversa Definição: (Inversa à esquerda) Diremos que uma matriz A ∈ M m× n ( ) tem inversa à esquerda, denotada por L(uma matriz pertencente à M n× m ( ) ), se: L ⋅ A = In .10
  12. 12. Apostila ITA ⎛1 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 1 3 1⎞ Exemplo: Seja a matriz A = ⎜ −1 0 ⎟ , observamos que L = ⎜ ⎟ é uma ⎜ 3 −1⎟ ⎝ 2 5 1⎠ ⎝ ⎠inversa à esquerda de A , pois: ⎛1 1⎞ ⎛ 1 3 1⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 0⎞ L⋅ A = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ −1 0 ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝ 2 5 1⎠ ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎝ 3 −1⎠ Definição: (Inversa à direita) Diremos que uma matriz A ∈ M m × n ( ) tem inversa à direita, denotada por R(uma matriz pertencente à M n× m ( ) ), se: A ⋅ R = Im . ⎛ 4 8 ⎞ ⎛0 3 7⎞ ⎜ ⎟ Exemplo: Seja a matriz A = ⎜ ⎟ , observamos que R = ⎜ 5 −7 ⎟ é uma ⎝ 0 2 5⎠ ⎜ −2 3 ⎟ ⎝ ⎠inversa à direita de A , pois: ⎛ 4 8 ⎞ ⎛0 3 7⎞ ⎜ ⎟ ⎛1 0⎞ A⋅ R = ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ 5 −7 ⎟ = ⎜ ⎟. ⎝0 2 5⎠ ⎜ ⎟ ⎝0 1⎠ ⎝ −2 3 ⎠ Definição: (Matriz inversa) Diremos que uma matriz A ∈ M m× m ( ) tem inversa, denotada por A−1 , se: A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I m ,ou seja, se possui inversa à direita e à esquerda simultaneamente.Observações:• Se uma matriz A possui inversa à direita e inversa a esquerda elas serão iguais, ou seja: Se L ⋅ A = I e A ⋅ R = I , então L = R . Se A é inversível, A−1 tambem o é e ( A−1 ) = A . −1• Se A e B são inversíveis, A ⋅ B também o é e ( A ⋅ B ) = B −1 ⋅ A −1 . −1•• Chamamos de matriz ortogonal à matriz que satisfaz à condição: A−1 = At• As matrizes elementares são inversíveis, note: (P ) −1 ij = Pij 11
  13. 13. Matemática ⎛1⎞ ( M ( k )) −1 i = Mi ⎜ ⎟ , k ≠ 0 ⎝k⎠ ( S ( k )) −1 i j = S ij ( − k )• Se A é uma matriz inversível de ordem n , então existe uma sequência E 1 , E2 , , E p de matrizes elementares tal que ( E1 ⋅ E2 ⋅ ... ⋅ E p ) ⋅ A = I , ou seja A −1 = E1 ⋅ E2 ⋅ ... ⋅ E p . Tal sequência garante um método para a obtenção da matriz inversa conhecido como método de Gauss-Jordan. ⎡2 1 3⎤Exemplo: Para a obtenção da matriz inversa de A = ⎢1 −1 2 ⎥ criamos a matriz: ⎢ ⎥ ⎢4 3 5⎥ ⎣ ⎦ ⎡2 1 3 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎡A ⎣ I ⎤ = ⎢ 1 −1 2 0 1 0 ⎥ ⎦ ⎢4 3 5 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ Note que ao efetuarmos uma transformação elementar em ⎡ A I ⎤ , a matriz ⎣ ⎦transformação elementar fica registrada na parte correspondente à matriz identidade,observe: ⎡ 2 1 3 1 0 0⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ M 2 ( −2 ) ⋅ ⎣ A I ⎦ = ⎢ −2 2 −4 0 −2 0 ⎥ ⇒ M 2 ( −2 ) = ⎢0 −2 0 ⎥ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 4 3 5 0 0 1⎥ ⎣ ⎦ ⎢0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ . Quando forem efetuadas todas as transformações elementares em ⎡2 1 3 1 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ 1 −1 2 0 1 0 ⎥ ⎢4 3 5 0 0 1⎥ ⎣ ⎦até transformá-la em ⎡ −11 2 5 ⎤ ⎢1 0 0 2 2 ⎥ ⎢0 1 0 3 −1 − 1 ⎥ ⎢ 2 2⎥ ⎢0 0 1 3 ⎥ ⎢ 7 2 −1 − ⎥ ⎣ 2⎦ ,temos que12
  14. 14. Apostila ITA ⎡ −11 2 5 ⎤ ⎢ 2 2 ⎥ −1 A = ⎢ 3 −1 − 1 ⎥ ⎢ 2 2⎥ ⎢ 7 2 −1 − 3 ⎥ ⎢ ⎣ 2⎥ ⎦ Este procedimento é conhecido como método de Gauss-Jordan. A obtenção de uma matriz inversa, feita passo à passo, pode ser exemplificadapor: ⎡1 1 −1⎤ A = ⎢1 1 −2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 2 1 −3⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1 1 −1 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 −1 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 −1 1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 1 − 2 0 1 0 ⎥ ⇒ ⎢ 0 0 1 1 −1 0 ⎥ ⇒ ⎢ 2 1 −3 0 0 1 ⎥ ⎢ 2 1 −3 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 2 1 −3 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 0 0 1 1 −1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡1 1 −1 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 −1 1 0 0 ⎤ ⎡ 1 1 0 2 −1 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⇒ ⎢ 0 1 1 2 0 −1⎥ ⇒ ⎢0 1 0 1 1 −1⎥ ⇒ ⎢0 1 0 1 1 −1⎥ ⎢ 0 0 1 1 −1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 0 0 1 1 −1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ 0 0 1 1 −1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡ 1 0 0 1 −2 1 ⎤ ⎡1 −2 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⇒ ⎢0 1 0 1 1 −1⎥ ∴ A = ⎢1 1 −1⎥ . −1 ⎢ ⎥ ⎢ 0 0 1 1 −1 0 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢1 −1 0 ⎥ ⎣ ⎦ Exercícios01. Usando a definição determine a inversa das matrizes ⎡ 2 3⎤ ⎛ 6 2⎞ a) A = ⎢ ⎥ b) B = ⎜ ⎟ ⎣1 4⎦ ⎝10 4 ⎠ ⎡1 2 − 1 ⎤02. (ITA) Sendo A = ⎢0 − 3 2 ⎥ , então o elemento da terceira linha e primeira ⎢ ⎥ ⎢3 − 1 − 2⎥ ⎣ ⎦ coluna, de sua inversa, será igual a: 5 9 6 2 1 a) b) c) d) − e) 8 11 11 13 13 13
  15. 15. Matemática03. Usando o método de Gauss-Jordan determine a inversa de cada matriz: ⎡2 1 0 0⎤ ⎡ −1 2 −3⎤ ⎢1 0 −1 1⎥ a) A=⎢2 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ b) B=⎢ ⎥ ⎢0 1 1 1⎥ ⎢ 4 −2 5 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎣ −1 0 0 3⎦ ⎧2 ⋅ x + 3 ⋅ y − z = 5 ⎪04. O sistema linear ⎨ x + 2 ⋅ y − 2 ⋅ z = −1 pode se associado à equação matricial ⎪3 ⋅ x + 3 ⋅ y + z = 12 ⎩ ⎛ 2 3 −1 ⎞ ⎛ x ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 3 −1 ⎞ ⎛ x⎞ ⎛5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 2 −2 ⎟ ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ −1⎟ . Sendo A = ⎜ 1 2 −2 ⎟ , X = ⎜ y ⎟ e B = ⎜ −1⎟ , responda ⎜ 3 3 1 ⎟ ⎜ z ⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎜3 3 1 ⎟ ⎜z⎟ ⎜ 12 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ o que se pede: a) Determine A−1 . b) Observando que A−1 ⋅ A ⋅ X = A−1 ⋅ B ⇒ X = A−1 ⋅ B , determine a solução do sistema apresentado.05. Observando o procedimento apresentado na questão anterior, resolva o sistema: ⎧2 ⋅ x + y = 7 ⎪x − z + w = 6 ⎪ ⎨ ⎪y + z + w = 8 ⎪− x + 3 ⋅ w = 12 ⎩06. (PUC SP) Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X uma matriz tal que ( X ⋅ A ) = B , então: t a) X = A−1 ⋅ Bt b) X = Bt ⋅ A−1 X = ( B ⋅ A) t c) X = ( AB ) t d) e) n.d.a14
  16. 16. Apostila ITA E 03DeterminantesOrdem de uma permutação Uma permutação dos elementos do conjunto I n = {1, 2,3,..., n} é uma bijeção deI n e I n . Note que existem n ! bijeções.Exemplo: As permutações dos elementos do conjunto {1, 2,3} são: ⎧σ1 (1) = 1 1 1 ⎪ σ1 : ⇔ ⎨σ1 ( 2 ) = 2 2 2 ⎪ 3 3 ⎩σ1 ( 3) = 3 ⎧σ 2 (1) = 1 1 1 ⎪ σ2 : ⇔ ⎨σ 2 ( 2 ) = 3 2 3 ⎪ 3 2 ⎩σ 2 ( 3 ) = 2 ⎧σ3 (1) = 2 1 2 ⎪ σ3 : ⇔ ⎨σ3 ( 2 ) = 1 2 1 ⎪ 3 3 ⎩σ3 ( 3 ) = 3 ⎧σ 4 (1) = 2 σ4 : 1 2 ⎪ ⇔ ⎨σ 4 ( 2 ) = 3 2 3 ⎪ 3 1 ⎩σ 4 ( 3 ) = 1 ⎧σ5 (1) = 3 1 3 ⎪ σ5 : ⇔ ⎨σ5 ( 2 ) = 1 2 1 ⎪ 3 2 ⎩σ5 ( 3 ) = 2 ⎧σ6 (1) = 3 1 3 ⎪ σ6 : ⇔ ⎨σ 6 ( 2 ) = 2 2 2 ⎪ 3 1 ⎩σ 6 ( 3 ) = 1 15
  17. 17. Matemática Como os elementos do domínio de uma permutação sempre podem estar em suaordem natural, uma permutação fica inteiramente determinada ao ordenarmos asimgens, assim as permutações do exemplo anterior podem ser escritas como: σ1 = 123 σ 2 = 132 σ3 = 213 σ 4 = 231 σ5 = 312 σ 6 = 321 . Observando as permutações da esquerda para a direita, temos que napermutação σ1 = 123 os elementos estão posicionados em sua ordem natural nãohavendo nenhuma inversão entre os elementos, neste caso dizemos que a permutaçãoé ordem zero, ou seja o ( σ1 ) = 0 . Na permutação σ6 = 321 temos o 3 antes do 2 e do1 (sofrendo duas inversões) e o 2 antes do 1 (sofrendo uma inversão), ou seja,houveram 3 inversões, o que diz que a permutação σ 6 é de ordem 3 , que receberá anotação o ( σ6 ) = 3 . Desta forma temos a seguinte sequência de permutações e suasrespectivas ordens: permutação ordem σ1 = 123 o ( σ1 ) = 0 σ 2 = 132 o ( σ2 ) = 1 σ3 = 213 o ( σ3 ) = 1 σ 4 = 231 o ( σ4 ) = 2 σ5 = 312 o ( σ5 ) = 2 σ6 = 321 o ( σ6 ) = 3Determinante Definição: Um determinante, denotado por det , é uma função det : M n×n ( )→dada por: n! o ( σi ) det ( A ) = ∑ ( −1) ⋅ a1σi (1) ⋅ a2 σi ( 2 ) ⋅ ... ⋅ anσi ( n ) , i =1ou a11 a12 a1n a21 a22 a2 n n! o (σ i ) = ∑ ( −1) ⋅ a1σ i (1) ⋅ a2σ i ( 2) ⋅ ... ⋅ anσ i ( n ) . i =1 an1 an 2 ann Desta forma o determinante de uma matriz de ordem 2 é calculado fazendo:16
  18. 18. Apostila ITA o ( σ1 ) o ( σ2 ) det ( A ) = ( −1) ⋅ a1σ1 (1) ⋅ a2σ1 ( 2) + ( −1) ⋅ a1σ2 (1) ⋅ a2σ2 ( 2) det ( A ) = ( −1) ⋅ a11 ⋅ a22 + ( −1) ⋅ a12 ⋅ a21 0 1 det ( A) = a11 ⋅ a22 − a12 ⋅ a21 ,que na prática pode é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produtodos elementos da diagonal secundária. a11 a12 = a11.a22 − a12 .a21 . a21 a22 Desta forma o determinante de uma matriz A de ordem 3 será calculado daseguinte forma: o ( σ1 ) o ( σ2 ) det ( A ) = ( −1) ⋅ a1σ1 (1) ⋅ a2 σ1 ( 2 ) ⋅ a3σ1 (3) + ( −1) ⋅ a1σ2 (1) ⋅ a2 σ2 ( 2) ⋅ a3σ2 (3) + o ( σ3 ) o ( σ4 ) + ( −1) ⋅ a1σ3 (1) ⋅ a2 σ3 ( 2 ) ⋅ a3σ3 (3) + ( −1) ⋅ a1σ4 (1) ⋅ a2 σ4 ( 2 ) ⋅ a3σ4 (3) + o ( σ5 ) o ( σ6 ) + ( −1) ⋅ a1σ5 (1) ⋅ a2 σ5 ( 2 ) ⋅ a3σ5 (3) + ( −1) ⋅ a1σ6 (1) ⋅ a2 σ6 ( 2 ) ⋅ a3σ6 (3) det ( A) = ( −1) ⋅ a11 ⋅ a22 ⋅ a33 + ( −1) ⋅ a11 ⋅ a23 ⋅ a32 + ( −1) ⋅ a12 ⋅ a21 ⋅ a33 0 1 1 + ( −1) ⋅ a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + ( −1) ⋅ a13 ⋅ a21 ⋅ a32 + ( −1) ⋅ a13 ⋅ a22 ⋅ a31 2 2 3 det ( A ) = a11 ⋅ a22 ⋅ a33 − a11 ⋅ a23 ⋅ a32 − a12 ⋅ a21 ⋅ a33 + a12 ⋅ a23 ⋅ a31 + a13 ⋅ a21 ⋅ a32 − a13 ⋅ a22 ⋅ a31 ⎛5 2 3 ⎞ ⎜ ⎟Exemplo: O determinante da matriz A = ⎜ 0 2 −1⎟ é: ⎜4 3 1 ⎟ ⎝ ⎠ det ( A) = 5 ⋅ 2 ⋅1 − 5 ⋅ ( −1) ⋅ 3 − 2 ⋅ 0 ⋅1 + 2 ⋅ ( −1) ⋅ 4 + 3 ⋅ 0 ⋅ 3 − 3 ⋅ 2 ⋅ 4 = −7 O uso da definição é muito dispendioso para o cálculo dos determinantes, poreste motivo existem algumas regras práticas que tornam o cálculo mais rápido. Umadestas regras é a de Sarrus que será apresentada a seguir.Regra de Sarrus A regra de Sarrus é uma regra prática para o cálculo de determinantes de matrizesde ordem 3 e é dado pelo diagrama a seguir: 17
  19. 19. Matemática a11 a12 a13 a11 a12 det ( A ) = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 det ( A ) = a11 .a22 .a33 + a12 .a23 .a31 + a13 .a21 .a32 − a13 .a22 .a31 − a11 .a23 .a32 − a12 .a21 .a33Lema de Laplace Uma submatriz de A é qualquer matriz obtida pela eliminação de linhas oucolunas (ou ambos) da matriz A . ⎛5 2 3 ⎞ ⎛ 5 2 3⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎜ ⎟Exemplo: As matrizes ⎜ ⎟ e ⎜ ⎟ são submatrizes de ⎜ 0 2 −1⎟ . ⎝ 4 3 1 ⎠ ⎝ 2 −1⎠ ⎜4 3 1 ⎟ ⎝ ⎠ Definição (Matriz menor complementar): A submatriz obtida pela eliminação deuma linha e uma coluna de uma matriz quadrada é chamada de matriz menorcomplementar. Ao eliminarmos a linha i e a coluna j da matriz A obtemos a matrizmenor complementar que será denotada por Aij . ⎛5 2 3⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 2 −1⎞ ⎛ 5 2⎞Exemplo: Sendo A = ⎜ 0 2 −1⎟ , então: A11 = ⎜ ⎟ , A23 = ⎜ ⎟. ⎜4 ⎟ ⎝3 1 ⎠ ⎝ 4 3⎠ ⎝ 3 1⎠ Definição (Cofator): O cofator do elemento aij da matriz A , denotado por Δ ij , éo número Δij = ( −1) ⋅ det ( Aij ) . i+ j Lema (Laplace): O determinante da matriz A ∈ M n×n ( ) é dado por: n det ( A ) = ∑ aij ⋅ Δ ij , em que j pode ser qualquer elemento de {1, 2,..., n} i =1ou n det ( A) = ∑ aij ⋅ Δij , em que i pode ser qualquer elemento de {1, 2,..., n} . j =1 ⎛5 2 3 ⎞ ⎜ ⎟Exemplo: Para calcular o determinante de A = ⎜ 0 2 −1⎟ primeiro escolhemos uma ⎜4 3 1 ⎟ ⎝ ⎠linha (ou uma coluna) e usamos o segundo somatório do lema de laplace, neste casoexiste vantagem em escolher a segunda linha, ou seja i = 2 , daí:18
  20. 20. Apostila ITA det ( A) = a21 ⋅ Δ 21 + a22 ⋅ Δ 22 + a23 ⋅ Δ 23 .Calculando os cofatores:• Como a21 = 0 não há necessidade de calcular o cofator Δ 21 . 5 3 Δ 22 = ( −1) 2+ 2• ⋅ = −7 4 1 5 2 n Δ 23 = ( −1) = −7∑ X i 2+3• ⋅ 4 3 i =1det ( A) = 0 ⋅ Δ 21 + 2 ⋅ ( −7 ) + ( −1) ⋅ ( −7 ) = −7 . Exercícios01. (FUVEST) Calcule os determinantes: 1 0 0 3 1 a 0 a 1 −1 4 A= 0 1 1 e B= 0 0 0 3 0 −1 1 0 1 1 402. (UFSE) O determinante da matriz A = (aij ) 3× 3 , onde aij = 2i − j , é igual a: a) −12 b) −8 c) 0 d) 4 e) 6 ⎡ 1 2 0⎤ ⎢ ⎥03. (UFPA) Qual o valor de k para que o determinante da matriz − 1 k 1 seja ⎢ ⎥ ⎢ 0 1 k⎥ ⎣ ⎦ nulo? a) −1± 2 b) 2 ±1 c) 2± 2 d) 2 ±2 e) −4± 8 19
  21. 21. Matemática04. (SANTA CASA) Seja a matriz quadrada A = (aij ) , de ordem 2 , tal que ⎧ π ⎪cos 2i − j se i = j ⎪ a ij = ⎨ o determinante de A é igual a: ⎪sen π se i ≠ j ⎪ ⎩ i+ j 3 1 a) b) c) 0 4 4 1 3 d) − e) − 4 405. (UF UBERLÂNDIA) Sabendo-se que o determinante da matriz A é igual a ¿ −3 , 3π qual é o valor do sen x , ≤ x ≤ 2π ? 2 ⎡cos x 1 1⎤ A=⎢ ⎢ 0 − 1 4⎥⎥ ⎢ 0 ⎣ cos x 0⎥ ⎦ 3 1 2 a) − b) − c) − 2 2 2 3 1 d) e) 2 2 2x 8x 006. (UNESP) Se a e b são as raízes da equação log 2 x log 2 x 2 0 = 0 , onde 1 2 3 x > 0 , então a + b é igual a: 2 3 3 a) b) c) 3 4 2 4 4 d) e) 3 507. (CESESP) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3 e I é a matriz identidade também de ordem 3 , então det ( A − λ ⋅ I ) é um polinômio de grau 3 em λ .20
  22. 22. Apostila ITA Assinale a alternativa correspondente ao conjunto das raízes do polinômio acima definido, onde ⎛ 1 1 1⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 1 1 1⎟ ⎜ 1 1 1⎟ ⎝ ⎠ a) {0, 2} b) {0, 3} c) {1, −1, 0} d) {1, 0, 3} e) {−1, 1, 3}08. (Determinante da matriz de Vandermonde) Demonstre que: 1 1 1 a) x y z = ( y − x) ⋅( z − y) ⋅ ( z − x) x2 y2 z2 1 1 1 1 x y z w b) 2 2 2 = ( y − x) ⋅ ( z − y) ⋅ ( z − x) ⋅ ( w − z ) ⋅ ( w − y) ⋅ ( w − x) x y z w2 x3 y3 z3 w309. (UF UBERLÂNDIA) O determinante 1 1 1 1 log 8 log 80 log 800 log 8000 vale: (log 8) 2 (log 80) 2 (log 800) 2 (log 8000) 2 ( log 8) 3 (log 80) 3 (log 800) 3 ( log 8000) 3 a) log (8.80.800.8000) b) 12 c) log 8 24 d) log 8 + log 80 + log 800 + log 8000 e) 24 21
  23. 23. Matemática E 04 Propriedades dos determinantes Para uma matriz A ∈ M n×n ( ) valem as seguintes propriedades:1. Os determinantes da matriz A e de sua transposta A t são iguais, isto édet A = det A t . a b c a 1 x Exemplo: 1 2 3 = b 2 y x y z c 3 z2. Se os elementos de uma fila qualquer de A forem nulos, então det A = 0 . a b 0 Exemplo: 1 2 0 =0 x y 03. Se os elementos de duas filas paralelas de A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0 . a b c a b 2b Exemplos: 1 2 3 = 0 e 1 2 4 = 0 a b c x y 2y4. Se A tem uma fila que é combinação linear de outras filas paralelas, então detA = 0 . a b c Exemplo: 2a + 3x 2b + 3 y 2c + 3z = 0 x y z5. Se trocarmos de posição duas filas paralelas de A , obtemos uma nova matriz A tal que det A = −det A det A = −det A’. a b c a c b Exemplo: 1 2 3 = − 1 3 2 x y z x z y22
  24. 24. Apostila ITA6. Se multiplicarmos uma fila qualquer de A por uma constante k , obtemos uma nova matriz A tal que det A = k ⋅ det A . a b c a b c Exemplo: 2 4 6 = 2. 1 2 3 x y z x y z7. Se multiplicarmos todos os elementos de A por uma constante k , obteremos uma nova matriz A = k ⋅ A tal que det A = det ( k ⋅ A) = k n ⋅ det A , onde n é a ordem de A. 4a 4b 4c a b c 3 Exemplo: 4 8 12 = 4 . 1 2 3 4 x 4 y 4z x y z8. Teorema de Jacobi: Se adicionarmos a uma fila qualquer uma combinação linear das demais filas paralelas de uma matriz, seu determinante não se altera. a b c a b c − 2a + b Exemplo: 1 2 3 = 1 2 3 x y z x y x − 2y + z9. Adição de determinantes: Se os elementos da j - ésima coluna de A são tais que: ⎧ a1 j = b1 j + c1 j ⎡ a11 a12 ... (b1 j + c1 j ) a1n ⎤ ... ⎪ ⎢a ⎪a 2 j = b2 j + c2 j a22 ... (b2 j + c2 j ) ... a2 n ⎥ , isto é A = ⎢ ⎥ , então teremos 21 ⎨ ⎢ ⎥ ⎪ ⋅⋅⋅ ⎢ ⎥ ⎪ a nj = bnj + cnj ⎢ an1 an 2 ⎣ ... (bnj + cnj ) ... ann ⎥ ⎦ ⎩ que: ⎡ a11 a12 ... b1 j ... a1n ⎤ ⎢a a22 ... b2 j ... a2 n ⎥ A = ⎢ ⎥ 21 det A = det A + det A , onde e ⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ an1 ⎣ an 2 ... bnj ... ann ⎥⎦ 23
  25. 25. Matemática ⎡ a11 a12 ... c1 j ... a1n ⎤ ⎢a a22 ... c2 j ... a2 n ⎥ A = ⎢ ⎥. 21 ⎢ ... ... ... ... ... ... ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ an1 ⎣ an 2 ... cnj ... ann ⎥⎦ a 3 c a 1 c a 2 c Exemplo: m 6 p = m 2 p + m 4 p x 1 z x 0 z x 1 zTeorema de Binet Sendo A, B ∈ M n× n ( ) , então det ( A ⋅ B ) = det ( A ) ⋅ det ( B ) .Observação: O teorema de Binet garante que det ( Ak ) = det ( A) . kMatriz Inversa Definição: A matriz adjunta de A , denotada por A* , é a matriz transposta doscofatores de A , ou seja, se Δ ij é o cofator do elemento aij , então: ⎛ Δ11 Δ 21 Δ n1 ⎞ ⎜ ⎟ Δ Δ 22 Δn2 ⎟ A* = ⎜ 12 . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ Δ1n Δ 2n Δ nn ⎠ 1 A matriz inversa de A é dada por A−1 = ⋅ A* . det ( A)24
  26. 26. Apostila ITA Exercícios ⎡a b c ⎤ ⎡a 5 1⎤01. (MACK - SP) Dadas as matrizes A = ⎢5 3 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ e B= b 3 2 ⎢ ⎥ de ⎥ ⎢ 2 4 6⎥ ⎣ ⎦ ⎢ c 2 3⎥ ⎣ ⎦ determinantes não nulos. Então para quaisquer valores de a , b , c temos: a) det A = 2 ⋅ det B b) det A = det ( B)t c) det ( A)t = det B d) det B = 2 ⋅ det A e) det A = det B 1 2 3 x y z02. (UFRS) Se 6 9 12 = −12 , então 2 3 4 vale: x y z 1 2 3 a) −4 4 b) − 3 4 c) 3 d) 4 e) 12 m 1 1 1 m 1+ p 1 103. (OSEC - SP) O valor do determinante é: m 1 1+ r 1 m 1 1 1+ s a) 4 prs b) prs c) mps d) mprs e) 4mprs 25
  27. 27. Matemática04. (ITA) Sendo A uma matriz quadrada de ordem 3 , cujo determinante é igual a 4 , qual o valor de x na equação det (2 ⋅ A ⋅ At ) = 4 x ? ⎡1 2 − 1 ⎤ ⎢05. (ITA) Sendo A = 0 − 3 2 ⎥ então o elemento da terceira linha e primeira ⎢ ⎥ ⎢3 − 1 − 2⎥ ⎣ ⎦ coluna, de sua inversa, será igual a: 5 a) 8 9 b) 11 6 c) 11 2 d) − 13 1 e) 1306. (ITA) Sejam A , B e C matrizes reais 3 × 3 satisfazendo às seguintes relações: A ⋅ B = C −1 e B = 2 ⋅ A . Se o determinante de C é 32 , qual é o valor do módulo do determinante de A ?07. (UFPE) Seja f : M n → R a função definida por f ( A) = determinante de A , onde M n é o conjunto das matrizes quadradas de ordem n ≤ 3 . Assinale a alternativa correta: a) f é injetiva. b) f é sobrejetiva. c) f ( A + B ) = f ( A) + f ( B) . d) f (λ ⋅ A) = λ ⋅ f ( A) , qualquer que seja λ ∈ R . e) Se f ( A) = 0 , então A = O .08. (UFGO) Qual o valor de um determinante de quarta ordem, sabendo-se que multiplicando duas de suas linhas por 3 e dividindo suas colunas por 2 obtém-se o número 27 ?26
  28. 28. Apostila ITA 243 a) 16 b) 18 c) 6 d) 48 e) 2709. (UF FORTALEZA) O determinante de uma matriz é 42 . Se multiplicarmos a primeira linha da matriz por três e dividirmos sua segunda coluna por nove, a nova matriz terá determinante igual a: a) 12 b) 14 c) 21 d) 4210. (ITA) Sendo A , B , C matrizes reais n × n , considere as seguintes afirmações: 1. A( BC ) = ( AB ) C 2. AB = BA 3. A + B = B + A 4. det ( AB ) = det ( A). det ( B ) 5. det ( A + B ) = det ( A) + det ( B) Então podemos afirmar que: a) 1 e 2 são corretas. b) 2 e 3 são corretas. c) 3 e 4 são corretas. d) 4 e 5 são corretas. e) 5 e 1 são corretas.11. (UECE) Considere as seguintes afirmativas: T I. Se A T é a transposta da matriz quadrada A, então det ( A ) = det ( A) . II. Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 tal que AA = O , então a matriz I − A é inversível. −1 −1 III. Se A é uma matriz inversível, então det ( A ) = (det A) . A soma dos números associados às afirmativas corretas é: a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 27
  29. 29. Matemática12. (ITA) Sejam A , B e C matrizes quadradas n × n tais que A e B são inversíveis e ABCA = A t , onde A t é a transposta da matriz A . Então podemos afirmar que: −1 a) C é inversível e det C = det ( AB) . b) C não é inversível pois det C = 0 . c) C é inversível e det C = det B . d) C é inversível e det C = (det A)2 ⋅ det B . det A e) C é inversível e det C = . det B 213. (ITA) Seja C = { X ∈ M 2 × 2 ; X + 2 X = O} .Dadas as afirmações: I. Para todo X ∈ C , ( X + 2 I ) é inversível. II. Se X ∈ C e det ( X + 2 I ) ≠ 0 , então X não é inversível. III. Se X ∈ C e det X ≠ 0 , então det X > 0 . Podemos dizer que: a) Todas são verdadeiras. b) Todas sã falsas. c) Apenas (II) e (III) são verdadeiras. d) Apenas (I) é verdadeira. e) n.d.a.28
  30. 30. IME ITA

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