1. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et
application
DJEDDI Kamel*, Department of Mathematics
Universit´e de Oum El Bouaghi
*E-mail : djeddi.kamel@gmail.com
B.P. 873 Tebessa 12002
Mai 2013
R´esum´e. Dans ce travail, on cherche alors une approximation du op´erateur de Hilbert-
Schmidt, c’est-a-dire d´eveloppement de op´erateur de Hilbert-Schmidt a op´erateur po-
lynˆomial `a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes et repr´esent´e un
application.
Mots cl´es. Op´erateur, Th´eor`eme de Weierstrass, D´eveloppement, Approximation. 1.In-
troduction. D’un point de vue physique un syst`eme peut grossi`erement ˆetre consid´er´e
comme un m´ecanisme faisant correspondre `a une action (on dira une entr´ee) une r´eaction
( une sortie ). D’un point de vue math´ematique, un syst`eme peut ˆetre repr´esent´e par
un op´erateur, celui-ci faisant correspondre `a une fonction ( la fonction entr´ee), une autre
fonction ( la fonction sortie).La connaissance d’un syst`eme revient `a celle des lois qui
r´egissent son comportement. L’´etude du comportement `a partir des lois ´el´ementaires est
th´eoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible si le syst`eme est
complexe, si les ph´enom`e nes pr´esents ne sont pas, ou sont mal connus etc...
On cherche alors une approximation du comportement du syst`eme (G´en´eralisation du
th´eor`eme de Weierstrass), c’est-a-dire une approximation de l’op´erateur qui le repr´esente,
`a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes.
2.Th´eor`eme classique de Weierstrass
Th´eor`eme.1. Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e I de R , `a valeurs
r´eelles, peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur I `a ε pr`es, pour tout ε > 0, par une fonction
polynomiale.
En d’autres termes :
Th´eor`eme.2. Le sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est dense
par rapport `a C (I, R) dans E = B∞ (I, R)
Op´erateur de Hilbert-Schmidt
D´efinition.1. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un op ´erateur A de H1 dans
H2 est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la repr´esentation :
page : 1 DJEDDI Kamel

2. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
Af =
∞
n=1
λn f, en hn
o`u (en) et (hn) sont des ensembles orthonorm´es dans H1 et H2 respectivement. f ∈ H1
λn > 0 et tel que la s´erie ∞
1 λ2
n converge.
Op´erateurs polynˆomes
D´efinition.2. Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P(x)
de X dans Y d´efinie pour tous les x est un op´erateur polynˆome de degr´e m si :
P(x1 + αx2) =
m
n=0
Pn(x1, x2)αn
∀x1, x2 ∈ X, α complexe
Pn(x1, x2) ´etant ind´ependants de α.
Op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt
D´efinition.3. Soit T un intervalle r´eel, k ∈ L2
(Tn+1
)
un op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt, A : L2
(Tn
) → L2
(T) , s’ecrit :
(Ax) (t) =
Tn
k (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ Tn
Op´erateurs polynˆomes Hilbert-Schmidt
D´efinition.4. Un op´erateur polynˆome Hilbert-Schmidt de degr´e N est une combinaison
lin´eaire d’op´erateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’´ecrira :
(Hx) (t) =
N
n=0 Tn
kn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsn
2.G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass
Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert Th´eor`eme.2. Soit H un espace
de Hilbert s´eparable, K une partie compacte de H et C (K, H) l’espace vectoriel norm´e
des applications continues de K dans H.
Alors la famille des op´erateurs polynˆomes d´efinies et continus dans le compact K est
dense dans C (K, H) .
Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert
En d’autres termes :
Th´eor`eme.3. Si A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe un
op´erateur polynˆome P
(ε)
N tel que
A − P
(ε)
N = sup
x∈K
Ax − P
(ε)
N x < ε
P
(ε)
N = L0 + L1x + ... + LN xN
page : 2 DJEDDI Kamel

3. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
L0 = application constante Ln = application n−lin´eaire Hn
→ H, Lnxn
= Ln (x, ..., x) .
Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2
.
Soit T un intervalle r´eel, t ∈ T, X un compact de L2
(T) et C[X, L2
(T)] l’espace vectoriel
norm´e des applications continues de X dans L2
(T) (muni de la norme des sup).
Notons n l’ensemble des polynˆomes Hilbert-Schmidt de degr´e ≤ n, d´efinis sur X :
H ∈ n ⇔ (Hx) (t) =
n
j=0 Tj
kj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj.
o`u x ∈ X. En supposant les kj sym´etriques par rapport s1, ..., sj .Par d´efinition des
op´erateurs Hilbert-Schmidt n ⊂ C[X, L2
(T)].
Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2
Th´eor`eme.4. Soit k ⊂ C[X, L2
(T)] relativement compact (k compact) Alors ∀ε > 0,
∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynˆome Hilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisant
la relation
F − H C[X,L2(T)] = sup
x∈X
Fx − Hx L2(T) < ε
Proposition. Soit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2
(T) → R. Alors
il existe une suite d’´el´ements de , c’est-`a-dire des fonctionnelles Hilbert-Schmidt, qui
converge uniform´ement vers F.
Preuve
- est manifestement une alg`ebre.
- s´epare les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel que
T
k1(s)x1(s)ds =
T
k1(s)x2(s)ds
- toute fonctionnelle appartenant `a est ´evidement continue. D’apr`es le th´eor`eme de
Stone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entier N(ε) = N tel que pour toute fonctionnelle
F continue sur X on dit
|F(x) − k(x)| = F(x) −
n
j=0 Tj
kj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj < ε, ∀x ∈ X.
Aussi, la classe des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait dense dans c [X, R] .
Le passage `a un op´erateur dans L2
(T) utilisera le fait qui k(x) est pr´e compact et peut
ˆetre recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules de diam`etre k. Ou simulera aussi un
op´erateur A `a une famille de fonctionnelles At d´efinies par
At(x) = (Ax)(t), x ∈ L2
(T), t ∈ T.
3.Application.
page : 3 DJEDDI Kamel

4. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
On va d´ecrire la d´etermination d’un syst`eme non lin´eaire en l’approximant par un op´erateur
Hilbert-Schmidt d’ordre 2.
Calcul formel d’identification.
Le syst`eme est approxim´e par un polynˆome Hilbert-Schmidt d’ordre 2.{Φi (t)} ´etant une
base de L2
(T), la sortie du syst`eme y(t) correspondant `a l’entr´ee x (z) est donn´ee par :
y(t) =
T
k1 (t − z) x (z) dz +
T2
k2(t − z1, t − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2
avec
k1 (t) =
N
i=1
αiΦi(t)
k2 (t1, t2) =
N
i,j=1
βijΦi (t1) Φj (t2)
avec les donn´ees
entr´ees mesur´ees : vecteur x (tk) , k = 1, ..., p
sorties mesur´ees : vecteur y (tk), k = 1, ..., p
Probl`eme. Trouver les N coefficients αi et les N2
coefficients βij.
Calculs :
y(tk) = y1(tk) + y2(tk)
avec
y1(tk) =
T
k1 (tk − z) x (z) dz
y2(tk) =
T2
k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2
Expression de y1(tk) :
y1(tk) =
N
i=1 T
Φi (tk − z) x (z) dz
On applique la m´ethode des trap`ezes pour calculer
T
Φi (tk − z) x (z) dz pour cela, on
divise l’intervalle [0, T] en D sous intervalles d’amplitude T
D
= h cette int´egrale devient :
y1(tk) =
N
i=1
hαi
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
page : 4 DJEDDI Kamel

5. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
avec zl ∈ [(l − 1) h, lh]
Expression de y2(tk) :
y2(tk) =
N
i,j=1
βij



(
T
Φi (tk − z1) x (z1) dz1)(
T
Φj (tk − z2) x (z2) dz2)



En appliquant la m´ethode des trap`ezes on obtient :
T
Φi (tk − z1) x (z1) dz1 = h
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
T
Φj (tk − z2) x (z2) dz2 = h
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl)
donc
y2(tk) =
N
i,j=1
h2
βij (
D
l=1
Φi (tk − zl) x (z1)).(
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl))
Expression de y(tk) :
y(tk) = y1(tk) + y2(tk)
alors
y(tk) = h
N
i=1
αi
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
+2h2
N
i=j=1
βij (
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)).(
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl))
+h2



N
i=1
βii
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
2



En appliquant la m´ethode de Moindres carr´es : y et y ´etant respectivement les sorties
calcul´ee et mesur´ee :
Sp = (y (tp) − y (tp))
S =
P
p=1
(y (tp) − y (tp))
2
=
P
p=1
(Sp)2
page : 5 DJEDDI Kamel

6. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
On a un syst`eme de N + N + N2−N
2
´equations. On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1 (tn2 − zn3 ) x (zn2 )
∂Sp
∂αi
= h
D
l=1
F (i, p, l)
∂Sp
∂βii
= h2
D
l=1
F (i, p, l)
2
∂Sp
∂βij
= 2h2
D
l=1
F (i, p, l) .
D
l=1
F (j, p, l)
Sp = h
N
i=1
αi
D
l=1
F (i, p, l) + h2



N
i=1
βii
D
l=1
F (i, p, l)
2



+2h2



N
1
i=j
βij
D
l=1
F (i, p, l) .
D
l=1
F (i, p, l)



− y (tp)
Formation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2−N
2
αi = V (i) avec i = 1, ..., N
βii = V (N + i) avec i = 1, ..., N
βij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i − 1) N −
i
2
+ j − i
On pose G (i, j) = D
l=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl) x (zl)
donc :
Sp = h
N
i=1
αiG (i, p) + h2
N
i=1
βii (G (i, p))2
+2h2
N−1
i=1
j>i
βijG (i, p) G (j, p) − y (tp)
1
2
∂S
∂αi
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂αi
= 0
1
2
∂S
∂βii
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂βii
= 0
1
2
∂S
∂βij
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂βij
= 0
page : 6 DJEDDI Kamel

7. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
avec
∂Sp
∂αi
= hG (i, p)
∂Sp
∂βii
= h2
[G (i, p)]2
∂Sp
∂βij
= 2h2
G (i, p) G (j, p)
Pour compl´eter les algorithmes, on d´etermin´e les coefficients de la matrice des moindres
carr´es, on droit distinguer, pour l’application informatique, les diff´erents cas :
Par exemple
cas 1 : r ≤ N s ≤ N
B (r, s) =
P
p=1
{hG (r, p) hG (s, p)}
H (r) =
P
p=1
{hG (r, p) y (tp)}
cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s − N = i
B (r, s) =
P
p=1
hG (r, p) h2
[G (s, p)]2
4.Conclusion.
Dans ce travail relatif `a la recherche du mod`ele, ´etudie les propri´et´es des op´erateurs
polynˆomes et sp´eciallement ceux du type Hilbert Schmidt. Elle ´etude leur utilisation
pour approximer des op´erateurs non lin´eaire. On montrera tout op´erateur non lin´eaire
d´efini et continu sur un compact X de L2
(T) (T intervalle r´eel) peut ˆetre repr´esent´e
par un polynˆome Hilbert Schmidt est (donc par des int´egrales `a noyaux) ; autrement dit
l’ensemble des polynˆomes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2
(T)]. Si au lieu de L2
(T),
l’op´erateur est d´efini sur un Hilbert s´eparable, on verra qu’il peut ˆetre repr´esent´e par un
op´erateur polynˆome.
page : 7 DJEDDI Kamel

8. Bibliographie
[1] A.LIAZID. Representations non lineaire de l’automatique avanc´ee. Science et tech-
nologie N 14 D´ecembre 2000. pp 61-66.
[2] I.M.Guelfand-N.Y. Vilenkin. Les distributions tome 4 applications de l’analyse
harmonique. Dunod 1992.
[3] Herv´e Queff´elec. Topologie. dunod 2007.
[4] Lourent Schwartz. Cours d’analyse. Hermann 1967.
[5] Lipschutz, S. Theory and problems of gˆenerai topology. Schaum’s outline s´eries
McGraw- Hill Book C˚´ed. New York 1965 (il existe une ´edition r´ecente, en fran¸cais).
[6] Mat´e, L. Hilbert space methods in science and engineering. Akad´emiai Kiado ´ed.
Budapest 1989.
[7] Yves SONNTAG. Topologie et analyse fonctionnelle. ellipses 1997.
8