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  1. 1. Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.org Questões de Seqüências Professor Joselias – joselias@uol.com.br - www.concurseiros.orgSejam a1, a2, a3,....., an uma seqüência de números reais.Dizemos que a1, a2, a3,....., an é uma progressão aritmética(P.A.) de ordem r se a r-ésimadiferença é constante.Exemplo: a) 2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois ..... 3 3 3 3 3 3 ......... r = 1 b) 1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ...... 3, 5, 7, 9, 11, ......... ...... 2, 2, 2, 2, 2,...... r = 2Proposição:Se um seqüência é uma progressão aritmética de ordem r então o termo geral é de grau r emn.Exemplo:a) Qual o termo geral da seqüência 2, 5, 8, 11, 14, 17,...., e qual o 15ª termo?Solução: 2, 5, 8, 11, 14, 17,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois ..... 3 3 3 3 3 3 ......... r = 1Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:n=1 A + B = 2 (equação 1)n=2 2A+ B = 5 (equação 2)Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 3.Substituindo A = 3 na equação 1 temos B = -1Logo o termo geral é an = 3n -1O 15ª termos será a15 = 3x15 -1 = 45-1 = 44.Exemplo:b) Qual o termo geral da seqüência 1, 4, 9, 16, 25, 36,......, e qual o 15ª termo?Solução: 1, 4, 9, 16, 25, 36,. .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ...... 3, 5, 7, 9, 11, ......... ...... 2, 2, 2, 2, 2,...... r = 2Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n). Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.org
  2. 2. Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.orgPara achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n=1 A+B+C=1 (equação 1)n=2 4A + 2B + C = 4 (equação 2)n=3 9A + 3B + C = 9 (equação 3)Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 3 (equação 4) 8A + 2B = 8 4A + B = 4 (equação 5)Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos:A=1Substituindo A = 1 na equação 4 temos B = 0.Substituindo A = 1 e B = 0 na equação 1 temos C = 0.Logo o termo geral é:an = An2 + Bn + Can = 1n2 + 0n + 0an = n2O 15ª termos será a15 = 152 = 225.EXEMPLO:Solução: 4, 6, 8, 10, 12, 14,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois ..... 2 2 2 2 2 2 ......... r = 1Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:n=1 A + B = 4 (equação 1)n=2 2A+ B = 6 (equação 2)Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2.Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 2Logo o termo geral é an = 2n +2O 16ª termos será a16 = 2x16+2 = 32 +2 = 34 Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.org
  3. 3. Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.orgEXEMPLOa)Solução: 4, 12, 24, 40, 60, 84 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ...... 8 12, 16, 20, 24, ......... ...... 4, 4, 4, 4, 4,...... r = 2Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n=1 A+B+C=4 (equação 1)n=2 4A + 2B + C = 12 (equação 2)n=3 9A + 3B + C = 24 (equação 3)Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 8 (equação 4) 8A + 2B = 20 4A + B = 10 (equação 5)Subtraindo a equação 4 da equação 5 temos:A=2Substituindo A = 2 na equação 4 temos B = 2.Substituindo A = 2 e B = 2 na equação 1 temos C = 0.Logo o termo geral é:an = An2 + Bn + Can = 2n2 + 2n + 0an = 2n2 + 2nO 10ª termos será a10 = 2x102 + 2x10 = 200 + 20 = 220 Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.org
  4. 4. Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.orgb) Os quadrados formam a seqüência 1, 5, 14, 30, 55, 36, 81 .... 1 5 14 30 ........ 1, 5, 14, 30, 55, 91 .. . é uma P.A. de 3ª ordem pois ...... 4 9, 16, 25, 36, ......... ...... 5, 7, 9, 11, 13,...... ...... 2, 2, 2, 2, 2,...... r = 3Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3 + Bn2 + Cn + D (3ª grau em n).Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n=1 A + B + C +D = 1 (equação 1)n=2 8A + 4B + 2C +D = 5 (equação 2)n=3 27A + 9B + 3C +D= 14 (equação 3)n=4 64A + 16B + 4C +D= 30 (equação 4)Fazendo cada equação menos a anterior temos: 7A + 3B + C = 4 (equação 5)19A + 5B + C = 9 (equação 6)37A + 7B + C = 16 (equação 7)Subtraindo a equação 5 das equações 6 e 7 temos:12A + 2B = 5 (equação 8)30A + 4B = 12 (equação 9)Resolvendo o sistema em A e B temos:A = 1/3 e B = ½Substituindo A = 1/3 e B = ½ na equação 5 temos C = 1/6.Substituindo A = 1/3, B = ½ e C = 1/6 na equação 1 temos D = 0.Logo o termo geral é de grau 3. Isto é an = An3 + Bn2 + Cn + D e portanto o termo geral n3 n 2 n an = + + 3 2 6será: 2n3 + 3n 2 + n an = 6 2.10 + 3.102 + 10 2000 + 300 + 10 2310 3Logo a10 = = = = 385 6 6 6 Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.org
  5. 5. Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.orgEXEMPLOSolução: 2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ...... 5, 8, 11, 14, 17, ......... ...... 3, 3, 3, 3, 3,...... r = 2Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n).Para achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n=1 A+B+C=2 (equação 1)n=2 4A + 2B + C = 7 (equação 2)n=3 9A + 3B + C = 15 (equação 3)Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 5 (equação 4) 8A + 2B = 13 (equação 5)Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos:A = 3/2Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2.Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0.Logo o termo geral é:an = An2 + Bn + C 3n 2 nan = + 2 2 3n + n 2an = 2 3x302 + 30 3 x900 + 30 2730a30 = = = = 1365 2 2 2 Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.org
  6. 6. Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.orgEXEMPLOSolução: 5, 9, 13, 17, 21, 25,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois ..... 4 4 4 4 4 ......... r = 1Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:n=1 A + B = 5 (equação 1)n=2 2A+ B = 9 (equação 2)Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 4.Substituindo A = 4 na equação 1 temos B = 1Logo o termo geral é an = 4n +3O 25ª termos será a25 = 4x25+1 = 100 +1 = 101.EXEMPLOSolução: 2, 7, 15, 26, 40, 57 .. . é uma P.A. de 2ª ordem pois ...... 5, 8, 11, 14, 17, ......... ...... 3, 3, 3, 3, 3,...... r = 2Logo o termo geral é de grau 2. Isto é an = An2 + Bn + C (2ª grau em n). Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.org
  7. 7. Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.orgPara achar os valores das constantes A, B e C podemos montar o sistema:n=1 A+B+C=2 (equação 1)n=2 4A + 2B + C = 7 (equação 2)n=3 9A + 3B + C = 15 (equação 3)Subtraindo a equação 1 da equação 2, e a equação 1 da equação 3 temos: 3A + B = 5 (equação 4) 8A + 2B = 13 (equação 5)Subtraindo duas vezes a equação 4 da equação 5 temos:A = 3/2Substituindo A =3/2 na equação 4 temos B = 1/2.Substituindo A = 3/2 e B = 1/2 na equação 1 temos C = 0.Logo o termo geral é:an = An2 + Bn + C 3n 2 nan = + 2 2 3n + n 2an = 2 3x 402 + 40 3 x1600 + 40 4840a40 = = = = 2420 2 2 2(FCC) Usando palitos de fósforo inteiros é possível construir a seguinte sucessãode figuras compostas por triângulos:Seguindo o mesmo padrão de construção, então, para obter uma figura compostade 25 triângulos, o total de palitos de fósforo que deverão ser usados é(A) 45 (B) 49 (C) 51 (D) 57 (E) 61Solução: 3, 5, 7, 9, 11, 13,..... é uma P.A. de 1ª ordem pois ..... 2 2 2 2 2 ......... r = 1Logo o termo geral é de grau 1. Isto é an = An + B (1ª grau em n).Para achar os valores das constantes A e B podemos montar o sistema:n=1 A + B = 3 (equação 1)n=2 2A+ B = 5 (equação 2)Subtraindo a equação 1 da equação 2 temos A = 2.Substituindo A = 2 na equação 1 temos B = 1Logo o termo geral é an = 2n +1O 25ª termos será a25 = 2x25+1 = 50 +1 = 51. Questões de Seqüências – Professor Joselias joselias@uol.com.br – www.concurseiros.org

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