O documento apresenta resoluções de exercícios de vetores e álgebra linear. A resolução do exercício 3.19 obtém a expressão do produto vetorial de três vetores no formato de determinante e prova que o valor do triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos três vetores. As resoluções subsequentes provam propriedades geométricas e algébricas envolvendo produtos vetoriais, vetores recíprocos e distâncias.

1. Resolução dos exercícios - segunda semana
3.19)Obtenha a expressão de ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ na forma de determinante. Deduza, a partir
dela, as seguintes propriedades de simetria:
⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗
Prove que o valor do triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado pelos
três vetores.
Resolução:
Sejam:
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ ̂ ̂ ̂
Temos então que:
̂ ̂ ̂
⃗ ⃗ ⃗ ( ̂ ̂ ̂ ) | |
̂ ̂ ̂ [( )̂ ̂ ( )̂ ]
( )
| | | | | |.
Pelo teorema de Laplace, temos que a expressão acima é o resultado do seguinte
determinante:
| |
Logo:
⃗ ⃗ ⃗ | |
Das propriedades de determinante: quando trocamos a posição de duas filas de uma
matriz o valor do determinante da nova matriz obtida é o oposto do determinante da
matriz anterior.

2. Temos então:
⃗ ⃗ ⃗ | | | | | | ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ | | | | | | ⃗ ⃗ ⃗
Logo:
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Agora vamo provar que o triplo produto é igual ao volume do paralelepípedo formado
pelos 3 vetores. Para isso, considere a disposição dos 3 vetores como na figura que
segue:
⃗𝑉 𝑥𝑉
⃗
∙ ⃗𝑉
⃗𝑉
θ
⃗𝑉
O volume do parelalepípedo é dado pelo produto entre a área da base e a sua altura.
Seja volume, a área da base e a altura do parelalepípedo.
Temos:
|| ⃗ ⃗ ||
|| ⃗ ||
|| ⃗ ⃗ || || ⃗ || , em que , é o menor
ângulo entre os vetores ⃗ ⃗ e⃗ .
como:
⃗ ⃗ ⃗
|| ⃗ ⃗ || || ⃗ ||
Temos que:
⃗ ⃗ ⃗
|| ⃗ ⃗ || || ⃗ || ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
|| ⃗ ⃗ || || ⃗ ||

3. 3.20)Prove que:
⃗ (⃗ ⃗ ) (⃗ ⃗ )⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Resolução:
Sejam:
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ ̂ ̂ ̂
⃗ ⃗ ⃗ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
⃗ ⃗ | | ( )̂ ̂ ( )̂
̂ ̂ ̂
⃗ ⃗ | | ( )̂ ̂ ( )̂
Temos então:
Logo:
⃗ ⃗ ( ( ) )̂
( )̂
( )̂
( ) ̂ ( ) ̂
̂ ̂
( ) ̂ ( ) ̂
Adicionando e subtraindo ̂ ̂ e ̂ a equação fica:
⃗ ⃗ ( ) ̂ ( ) ̂
( ) ̂ ( ) ̂
( ) ̂ ( ) ̂
⃗ ⃗ ( )( ̂ ̂ ̂ )
( ) ̂ ̂ ̂
⃗ ⃗ (⃗ ⃗ )⃗ (⃗ ⃗ )⃗

4. 3.22)Determine a distância do ponto P(4,5,-7) à reta que passa por Q(-3,6,12)
e paralela ao vetor ⃗ ̂ ̂ ̂ . Calcule também a distância do
ponto P ao plano perpendicular a ⃗ que passa por Q.
Resolução:
⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂
Seja um ponto sobre a reta, tal que:
⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂
Seja o triângulo com lado sobre a reta dada e área . Temos que:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Seja a distância entre e a reta. Temos que:
⃗⃗⃗⃗⃗
Igualando as duas equações temos que:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗
̂ ̂ ̂
||⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ || ‖ ‖ ̂ ̂ ̂ √
⃗⃗⃗⃗⃗ ̂ ̂ ̂ √
Logo:
√
Como o plano é perpendicular ao vetor ⃗ podemos escrever uma equação do plano da
seguinte forma:
Como pertence ao plano podemos substituir suas coordenadas na equação anterior e
achar

5. Logo, uma equação do plano é:
Então, usando a fórmula de distância de ponto temos:
√ √
3.29)Dados três vetores não coplanares ⃗ ⃗ e ⃗ , os vetores
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ , ⃗ , ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
São chamados de vetores recíprocos. Prove que e onde
i e j assumem os valores 1, 2 e 3. Discuta a disposição geométrica dos vetores
recíprocos ⃗ ⃗ ⃗ em relação a ⃗ ⃗ ⃗ .
Resolução:
Sejam:
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
vetores não complanares.
Da questão 3.19 temos que
Fazendo , onde α é um escalar, temos:
⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Logo
Do exercício 3.19, temos também que: | |.
Temos, então:
| |

6. Das propriedades de determinantes temos que se duas filas de uma matriz quadrada são
iguais, então seu determinante é zero.
Logo:
Usando o mesmo processo provamos que , onde e assumem os valores 1,
2e3e .
Como , onde e assumem os valores 1, 2 e 3 e . Temos que é
perpendicular a e , é perpendicular a e e é perpendicular a e .
3.32)Prove que
⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
Resolução:
Sejam
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
⃗ ⃗ ⃗
, ⃗ ⃗ ⃗
, ⃗ ⃗ ⃗
Denominando:
, um escalar, temos:
[ ] [ ]
Porém:
Logo:
[ ] [ ]

7. Logo:
Como demostrado no exercício 3.29:
Logo: