1. 3.6 Notasi Leibniz
Gottfried Wilhelm Leibniz adalah salah seorang dari dua penemu utama
kalkulus (yang lainnya adalah Isaac Newton).Notasi Leibniz untuk turunan masih
dipakai secara luas, khususnya dalam bidang terapan seperti halnya fisika, kimia, dan
ekonomi. Daya tariknya terletak dalam bentuknya, sebuah bentuk yang sering
mengemukakan hasil-hasil yang benar dan kadang-kadang menunjukkan bagaimana
membuktikannya. Setelah kita menguasai notasi Leibniz, kita akan menggunakannya
untuk menyatakan kembali Aturan Rantai dan kemudian benar-benar membuktikan aturan
tersebut.
PERTAMBAHAN
Jika nilai sebuah peubah x berganti dari x1 ke x2 maka x 2 - x I, perubahan
dalam x, disebut suatu pertambahan dari x dan biasanya dinyatakan oleh Δ x (dibaca.
"delta x"). Perhatian segera bahwa Δx tidak berarti Δ kali x. Jika x1 = 4, 1 dan x2 =
5, 7 maka,
-
Δx = x2 x1 =5,7 - 4,1 = 1,6
Jika x1, =c danx2 = c + h, maka
Δx = x2 - x1= c + h — c = h
Berikutnya andaikan bahwa y = f(x) menentukan sebuah fungsi. Jika x berubah
dari x1, ke x2, maka y I berubah dari y1, = f(x l) ke y2 = f(x2) Jadi, bersesuaian dengan
pertambahan Δ x = x2 — x1, dalam x, terdapat pertambahan dalam y yang diberikan oleh
=
Δy = y2 - y1 f (x2) -f(xl)
Contoh 1 Andaikan y = f(x) = 2 — x 2. Cari Δ y bilamana x berubah dari 0,4 ke 1,3
(lihat Gambar 1).
ssPenyesuaian
—
Δ y = f(1,3) f(0,4) = [2 — (1,3) 2 ] — [2 — (0.4)2]
= 0,31 — 1,84 = — 1,53

2. Lambang dy/dx Untuk Turunan Sekarang andaikan bahwa peubah bebas beralih
dari x ke x + Ax. Perubahan yang bersesuaian dalam peubah tak bebas y, akan berupa
Δy = f (x + Δx) — f (x)
dan perbandingan
Ay = f (x + 4x) — f (x)
Δx Δx
Gambar 2
menggambarkan kemiringan talibusur yang melalui (x, f(x)), seperti diperlihatkan
dalam Gambar 2. Jika Δx  0, kemiringan talibusur ini mendekati kemiringan garis
singgung, dan untuk kemiringan yang belakangan ini Leibniz menggunakan lambang
dy/dx. Sehingga,
Leibniz menyebut dyldx suatu hasil bagi dari dua bilangan yang sangat kecil. Arti
perkataan sangat kecil tidak jelas, dan kita tidak akan memakainya. Tetapi, dyldx
merupakan lambang baku untuk turunan; kita akan sering memakainya sejak saat
ini. Untuk sekarang, pikirkan dy/dx sebagai lambang operator dengan pengertian
yang sama seperti D,, dan membacanya "turunan terhadap x".
Contoh 2 carilah jika
Penyelesaian

3. Contoh 3 Carilah
Penyelesaian Menurut Aturan Hasil bagi,
Aturan Rantai Lagi Andaikan bahwa y = f(u) dan u = g(x). Dalam cara penuhs an
Leibniz, Aturan Rantai mengambil bentuk yang sangat anggun
dy = dy du
dx du dx
Bentuk ini dikatakan anggun karena kits mudah mengingatnya. Dengan mencoret
du di ruas kanan anda akan mendapat ruas kiri. Ingat! Anda tak perlu memahami
alasan maternatis dari pencoretan ini, tetapi gunakanlah ini sebagai bantuan ingatan
jika memang menolong.
Contoh 4 Cari dy/dx jika y = (x3 - 2X)12
Penyelesaian Pikirkan x3 — 2x sebagai U. Maka y = u12 dan
dy = dy du
dx du dx
= (12u")(3X2 — 2)
= 12(x3 — 2x)"(3X2 — 2)
Contoh 6 Cari dy/dx jika Y=COS3(X2 + 1).
Penyelesaian Ingat cos3x berarti (cos x)3 Kita dapat memikirkan ini sebagai y = u3, u =
cos v, dan v = x2 + 1.
dy = dy du dv
dx du dv dx
= (3u2)(— sin v)(2x)

4. = (3 cos 2 v)[ — sin(x 2 + 1)](2x)
= —6x cos2(x2 + 1)sin(x2 + 1)
Setelah beberapa kali latihan. Anda harus dapat mengemukakan alasan berikut :
Bukti Sebagian dari Aturan Rantai
Dalam subbab sebelumnya kita menyatakan bahwa aturan rantai seperti Dxf[g(x)] =
f‘[g(x)]g‘(x). dengan menggunakan notasi Leibniz. aturan Rantai menyatakan bahwa
dy/dx = dy/du . du/dx. Kita dapat memberikan gambaran pembuktian sekarang.
Bukti Kita andaikan bahwa y = flu) dan u = g (x), bahwa g terdiferensialkan di x,
dan bahwa f terdiferensialkan di u = g(x). Bilamana x menerima suatu
pertambahan Δx, maka pertambahan yang bersesuaian dalam u dan y akan diberikan
oleh
Δu = g(x + Ax) — g(x)
Δy = f Wx + Δx)) — f (y(x))
= f (u + Δu) — f (u)
Jadi,
Karena g terdiferensialkan di x, maka ia kontinu di sana (Teorema 3.2A),
sehingga Δx - 0 memaksa Δu - 0. Karenanya

5. bukti ini sangat cerdik, tetapi sayangnya mengandung sesuatu cacat halus. Ada fungsi-
fungsi u = g(x) yang memilki sifat bahwa ∆u = 0 untuk beberapa titik disekitar x (fungsi
konstanta g(x) = k adalah suatu contoh yang baik). Ini berarti penggantian dengan ∆u,
pada langkah pertama mungkin tidak berlaku. Namun, tidak ada cara yang mudah untuk
menghadapi kesulitan ini, meskipun Aturan Rantai tetap sahih dalam kasus ini. Bukti
lengkap dari Aturan Rantai tersebut dalam lampiran.
3.7 Turunan Tingkat Tinggi
Operasi diferensiasi mengambil sebuah fungsi f dan menghasilkan sebuah fungsi
baru f‘. Jika f‘ kita diferensiasikan, kita masih tetap akan menghasilkan fungsi lain,
dinyatakan oleh f‘‘(dibaca ―f dua aksen‖) dan disebut turunan kedua f, pada gilirannya
turunan kedua tersebut boleh didiferensiasikan lagi, dengan menghasilkan f‘‘‘‘, yang
disebut turunan ketiga dari f, dan seterusnya. Turunan keempat dinyatakan sebagai f(4),
turunan kelima dinyatakan sebagai f(5), dan seterusnya.
Jika sebagai contoh
Maka
Karena turunan fungsi nol adalah nol, turunan keempat dan turunan-turunan yang
lebih tinggi dari f akan nol.
Kita telah memperkenalkan tiga notasi untuk turunan (sekarang disebut turunan
pertama) dari y = f(x). ketiga notasi itu adalah

6. Masing-masing disebut notasi aksen, notasi D dan notasi Leibniz. Terdapat suatu
variasi dari cara penulisan aksen-yakni y‘, yang kadang kala akan kita gunakan juga.
Semua notasi ini mempunyai perluasan untuk turunan-turunan tingkat tinggi, seperti yang
diperlihatkan dalam diagram pada halaman berikutnya. Perhatikan secara khusus notasi
Leibniz, yang walaupun ruwet kelihatannya paling cocok untuk Leibniz. Yang
mempunyai lebih wajar daripada menuliskan
sebagai
Notasi Leibniz untuk turunan kedua dibaca turunan kedua y terhadap x.
Notasi untuk Turunan y = f(x)
Notasi Notasi Notasi Notasi
Turunan f‘ y‘ D Leibniz
Pertama
Kedua
Ketiga
Keempat
Kelima
Keenam
Ke-n
Contoh 1 jika y = sin 2x, carilah , , dan
Penyelesaian

7. Kecepatan dan percepatan
Dalam subbab 3.1 kita menggunakan pengertian kecepatan sesaat untuk
memotivasi definisi turunan. Jika kita mengkaji ulang pengertian ini dengan
menggunakan sebuah contoh. Juga, sejak saat ini kita akan menggunakan kata tunggal
kecepatan sebagai ganti istilah kecepatan sesaat yang tidak praktis.
Contoh 2 sebuah benda bergerak sepanjang koordinat sehingga posisinya s memenuhi s
= 2t2-12t+8, dengan s diukur dalam sentimeters dan t dalam detik dengan t ≥ 0. Tentukan
kecepatan benda ketika t=1 dan ketika t=6. Kapankah kecepatannya 0? Kapankah
kecepatannya positif?
Penyelesaian. Jika kita menggunakan lambang v(t) untuk kecepatan pada saat t, maka
Jadi
cm/detik
cm/detik
Kecepatan 0 ketika 4t - 12 = 0, yaitu pada saat t = 3. Kecepatan positif bilamana 4t – 12 >
0 atau pada saat t > 3. Semua ini diperlihatkan secara skematis dalam Gambar 1.

8. Tentu saja benda tersebut bergerak sepanjang sumbu-y, bukan pada jalur
berwarna di atasnya. Tetapi jalur kita memperlihatkan apa yang terjadi pada benda itu.
Antara t = 0 dan t = 3, kecepatannya negatif: benda bergerak kekiri (mundur). Pada saat t
= 3 benda akan diperlambat ke kecepatan nol. Kemudian mulai bergerak ke kanan bila
kecepatannya positif. Jadi, kecepatan negative berpadanan dengan bergerak kearah
berkurangnya s: kecepatan positif berpadanan dengan bergerak kea rah bertambahnya s.
pembahasan yang mendalam tentang poin-poin ini akan diberikan dalm bab 4.
Terdapat perbedaan teknis antara perkataan kecepatan (velocity) dan laju (speed).
Kecepatan mempunyai tanda yang dihubungkan dengannya: mungkin positif atau
negative. Laju didefinisikan sebagai nilai mutlak kecepatan. Jadi, dalam contoh diatas,
laju pada saat t = 1 adalah |-8|= 8 cm per detik. Pengukur pada kebanyakan kendaraan
adalah pengukur laju: pengukur tersebut selalu memberikan nilai tak-negatif.
Sekarang kita ingin memberikan tafsiran fisis mengenai turunan kedua .
Tentu saja, ini hanyalah turunan pertama dari kecepatan. Jadi ia mengukur lau perubahan
kecepatan terhadap waktu, yang dinamakan percepatan. Jika dinyatakan dengan a, maka
Dalam Contoh 2, . Jadi
Ini berarti bahwa kecepatan pada suatu tingkat yang tetap sebesar 4 cm/detik setiap detik
yang kita tuliskan sebagai 4 cm per detik per detik atau sebagai 4 cm/detik2
Contoh 3. Sebuah titik bergerak sepanjang garis koordinat mendatar sedemikian rupa
sehingga posisinya pada saat t dinyatakan oleh

9. Disini s diukur dalam desimeter dan t dalam detik.
a) Kapankah kecepatannya 0?
b) Kapan kecepatannya positif?
c) Kapan titik itu bergerak mundur (yakni ke kiri)?
d) Kapankah percepatannya positif?
Penyelesaian
a)
. Jadi v = 0 ketika t = 2 dan t = 6.
b) bilamana . Kita
mempelajari bagaimana menyelesaikan persamaan kuadrat dalam subbab 1.3.
penyelesaiannya adalah {t:t < 2 atau t > 6} atau,dalam notasi, selang (-∞,2)(6,∞):
lihat Gambar 2.
c) Titik bergerak ke kiri bilamana v < 0: yaitu bilamana (t – 2)(t - 6) < 0.
Ketidaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang (2,6).
d) . Jadi a > 0 bilamana t > 4. Gerakan titik itu
secara skematis diperlihatkan dalam Gambar 3
.
Masalah Benda Jatuh
Jika sebuah benda dilempar ke atas (atau ke bawah) dari suatu ketinggian awal s0
desimeter dengan kecepatan awal v0 desimeter/detik dan jika s adalah tingginya di atas
tanah dalam desimeter setelah t detik. Maka
Ini menganggap bahwa percobaan berlangsung dekat dengan permukaan laut dan bahwa
tekanan udara dapat diabaikan. Diagram dalam Gambar 4 melukiskan situasi yang kita
bayangkan.

10. Contoh 4
Dari puncak sebuah gedung yang setinggi 160 kaki,
sebuah bola dilemparkan ke atas dengan kecepatan
awal 64 kaki/detik.
a) Kapankah bola itu mencapai ketinggian
maksimum?
b) Berapakah ketinggian maksimumnya ?
c) Kapankah bola itu membentur tanah?
d) Dengan laju berapa bola itu membentur tanah?
e) Berapa percepatan pada saat t = 2?
Penyelesaian
Andaikan t = 0 berpadanan dengan saat pada waktu bola dilempar. Maka s0 = 160 dan v0
= 64 (v0 positif karena bolanya di lempar ke atas). Jadi,
a) Bola mencapai ketinggian maksimum pada waktu kecepatannya 0 yakni, ketika
-32t + 64 = 0 atau pada waktu t = 2 detik.
b) Pada t = 2, kaki
c) Bola membentur tanah pada waktu s = 0, yakni ketika
Jika kita bagi dengan -16 akan menghasilkan
Rumus abc (quadratic formula) memberikan

11. Hanya jawaban positif yang memiliki arti. Jadi bola membentur tanah pada saat
detik
d) Pada , . Jadi bola membentur
tanah dengan laju 119,73 kaki per detik.
e) Percepatan selalu -32 kaki per detik. Ini adalah percepatan gravitasi dekat
permukaan laut.
Pemodelan Matematis
Galileo memang benar dalam menyatakan bahwa buku tentang alam ditulis dalam
bahasa matematika. Tentu saja, lembaga-lembaga ilmiah nampaknya sebagian besar
berusaha membuktikan bahwa ia benar. Pekerjaan mengungkapkan suatu fenomena fisika
dan menyajikannya dalam lambang-lambang matematika disebut pemodelan matematis.
Salah satu unsure dasarnya adalah menerjemahkan uraian kata ke dalam bahasa
matematika. Melakukan hal ini, khususnya yang menyangkut laju perubahan, akan
menjadi semakin penting sejalan dengan pembahasan kita. Berikut ini adalah beberapa
ilustrasi sederhana.
Uraian kata
Air keluar dari tangki berbentuk silinder pada laju yang sebanding dengan kedalaman air.
Roda berputar secara konstan 6 putaran per menit, yakni pada 6( ) radian /menit.
Kepadatan (dalam gram per sentimeter) seutas kawat pada suatu titik adalah dua kali
jaraknya dari ujung kiri.
Tinggi sebuah pohon bertambah secara continue, akan tetapi dengan laju yang semakin
lama semakin lambat.
Model matematis
Bila V menyatakan volume air pada saat t maka

12. Bila m menyatakan massa x cm bagian dari kawat, maka
Penggunaan bahasa matematika tidak terbatas hanya untuk ilmu-ilmu pengetahuan alam;
akan tetapi juga sesuai ilmu-ilmu social, khususnya ekonomi.
Contoh 5
Kantor berita acara melaporkan dalam bulan mei 1980 bahwa
penganguran semakin bertambah dengan ringkat yang
semakin tinggi. Di samping itu, harga makanan naik tetapi
pada tingkat yang lebih rendah dari sebelumnya.
Terjemahkan pernyataan-pernyataan ini dalam bahasa
matematis.
Penyelesaian
Andaikan u = f(t) menyatakan jumlah orang yang
menganggur pada saat t. walaupan u meloncat dalam besaran
satuan, kita ikuti kebiasaan buku dalam menyatakan u dengan
sebuah kurva mulus yang manis, seperti dalam Gambar 5.
Mengatakan penganguran naik adalah mengatakan ; mengatakan bahwa
pengangguran pada tingkat yang semakin tinggi adalah mengatakan .
Serupa dengan itu jika p =g(t) menyatakan harga makanan (misalnya, biaya khas
makanan suatu hari untuk satu orang) pada saat t, maka positif tapi turun. Jadi ,
turunan negatif, sehingga . Dalam Gambar 6, perhatikan bahwa
kemiringan garis singgung menurun sewaktu t naik.

13. Soal-soal 3.7
5. Jika y = sin (7x) carilah d3y/dx3
Penyelesaian :
10. f(x) = 5x3 + 2x2 +x, carilah f‘‘(2)
Penyelesaian :
f‘(x) = 15x2 + 4x + 1
f‘‘(x) = 30x +4
f‘‘(2) = 30 (2) + 4
f‘‘(2) = 64
25. sebuah denda bergerak sepanjang garis koordinat mendatar menurut rumus
, dengan s adalah jarak berarah dari titik asal, dalam desimeter dan t dalam
detik. Dalam tiap kasus. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.
a) Berapakah v(t) dan a(t), kecepatan dan percepatan pada saat t?
b) Kapankah benda bergerak ke kanan ?
c) Kapankah benda bergerak ke kiri ?
d) Kapankah percepatannya negative ?
e) Gambarlah sebuah diagram skematis yang memperlihatkan gerakan benda ?
Penyelesaian:
a) ,
b) Benda bergerak ke kanan apabila v > 0,yakni pada saat (3t – 4)(t – 6) > 0.
Ketidaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa selang (4/3,6).
c) Benda bergerak ke kiri apabila v < 0, yakni pada saat (3t – 4)(t – 6) < 0.
Ketidaksamaan ini mempunyai penyelesaian berupa 4/3 < t < 6.
d) Percepatan negative apabila a(t) < 0, yakni pada saat t < 3.

14. 33. sebuah benda yang dilemparkan langsung ke atas pada ketinggian
desimeter setelah t detik
a) Berapakah kecepatan awalnya ?
b) Kapankah benda mencapai ketinggian maksimum ?
c) Berapakah ketinggian maksimumnya ?
d) Kapankah benda membentur tanah ?
e) Dengan laju berapakah benda membentur tanah ?
Penyelesaian :
a)
,
Pada saat,
Jadi kecepatan awalnya adalah 48 dm/detik
b) Bola mencapai kecepatan maksimum pada saat kecepannya 0, yakni -32t + 48 = 0
atau t = 1,5 detik.
c) Ketinggian maksimumnya pada saat t = 1,5
kaki
d) Benda membentur tanah, s = 0
Jika dibagi dengan -16 maka
Gunakan Rumus abc
Hanya jawaban positif yang memiliki arti, t = , jadi benda
membentur tanah pada waktu t = 5.77 detik.

15. e) Laju benda pada saat membentur tanah, t = 5,77
Jadi, laju bola pada saat membentur tanah adalah 232,64 kaki per detik.
3.8 Pendiferensialan Implisit
Dengan sedikit usaha , kebanyakan mahasiswa akan
mampu melihat bahwa grafik dari y3 + 7y = x3
tampak seperti apa yang diperlihatkan dalam gambar
1. Pasitlah titik (2,1) terletak pada grafik, dan
tampaknya terdapat sebuah garis singgung yang
terumuskan dengan baik pada tititk tersebut,
bagaimana kita mencari kemiringan garis singgung
ini? Mudah , anda dapat menjawab: hitung saja dy/dx
pada titik itu, tetapi itulah kesukarannya, kita tidak
tahu bagaimana mencari dy/dx dalam situasi ini.
Elemen baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan yang
secara gambling (eksplisit) tidak terselesaikan untuk y. apakah mungkin untuk mencari
dy/dx dalam keadaan seperti ini?. Ya , didiferensialkan kedua ruas persamaan y3 + 7y =
x3 terhadap x dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan,ini, kita anggap persamaan
yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi x (hanya saja kita tidak tahu
bagaimana mencarinya secara ekssplisit). Jadi, setelahmemakai Aturan Rantai pada suku
pertama, kita peroleh
3y2 . +7 = 3x2
yang belakangan dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut.
(3y2 + 7) = 3x2
=
Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk dy/dx mencakup x dan y, usatu kenyataan
yang sering menyusahkan. Tetapi jika kita hanya ingin mencari kemiringan pada sebuah
titk dimana koordinatnya diketahui, tidak ada kesukaran. Di (2,1),

16. Kemiringan adalah 6/5
Metode yang baru saja digambarkan untuk dy/dx tanpa terlebih dahulu menyelesaikan
persamaan yang diberikan untuk y secara gambling dalam bentuk x disebut
pendiferensialan implisit. Tetapi apakah metode terse but masuk akal – apakah ia
memberikan jawaban yang benar?
contoh berikut , yang dapat dikerjakan dalam 2 cara
Contoh 1. Cari dy/dx jika 4x2y+ 3y = x3 - 1
Metode 1.
Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan secara gamblang untuk y sebagai
berikut.
y(4x2 - 3) = x3 – 1
y=
2. (Pendiferensialan Implisit ). Kita samakan turunan – turunan kedua ruas dari
4x2y – 3y = x3 – 1
jadi,
Metode 2
Seteleh memakai Aturan hasil kali pada suku pertama , kita dapatkan
4x2. + y. 8x – 3 = 3x2
(4x2 - 3) = 3x2 – 8xy
=
Walaupun jawab ini agak berlainan dari jawab yang diperoleh terdahulu, tetapi keduanya
sama. Untuk melihat ini, gantikan , y = (x3 - 1)/ (4x2 - 3) dalam ungkapan untuk dy/dx
yang baru saja diperoleh.
=

17. = =
Beberapa kesukaran yang tak kentara jika sebuah persamaan dalam x dan y
menentukan sebuah fungsi y= f(x) dan fungsi ini terdiferensialkan, maka metode terdapat
dua ‖jika‖ besar dalam pernyataan ini.
Pertama perhatikan persamaan
x2 + y2 = -1
Ia tidak mempunyai penyelesaian dan karena itu tidak menentukan suatu fungsi.
Sebaliknya , x2 + y2 = 25 menentukan suatu fungsi – fungsi y = f(x) = dan
Untungnya , fungsi ini kecualinya terdiferensialkan pada (5,5). Pertama perhatikan f . ia
memenuhi
x2 +[f(x)]2 = 25
Jika kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan untuk f‘(x), kita peroleh
2x + 2f(x) f‘(x) = 0
Perlakuan sama hal nya secara lengkap terhadap g(x).
Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak dengan
diferensiasi secara implisit dari x2 + y2 =25 ini menghasilkan
Secara wajar, hasil-hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.
Perhatikan bahwa merupakan cukup untuk mengetahui kemiringan garis dy/dx = -x/y
agar dapat menerapkan hasil-hasil kita. Jika ingin mengetahui kemiringan garis singgung

18. dari x2+y2 = 25, jika x=3. nilai –nilai y yang sepadan adalah 4 dan -4 kemiringan di (3,4)
dan (3,-4), masing – masing diperoleh dari pergantian –x/y adalah -3/4 dan 3/4 (coba cari
grafiknya, maka akan terlihat jelas).
ATURAN PANGKAT TINGGI Telah dipelajari bahwa Dx((xn) = nxn-1, dimana n adalah
sembarang bilangan bilangan bulat, dan jika n bilangan bilangan rasional maka:
Teorema A
(aturan Pangkat). Dx(xr) = rxr-1 , dengan r bilangan rasional
Jika r dapat ditulis dalam pernyataan r = p/q, dimana q ganjil, maka Dxxr = rxr – 1 untuk
semua x.
Bukti. Karena r rasional, maka r dapat ditulis sebagai p/q, dengan p dan q bilangan bulat
dan q > 0. Andaikan
Maka
Dan dengan diferensiasi implicit
Jadi
Kita telah memperoleh hasil yang dikehendaki, tetapi, secara jujur, kita harus
menunjukan kekurangan dalam argumentasi ini. Dalam langkah diferensiasi implicit
dianggap bahwa Dxy ada, yaitu bahwa y = x1- ‗q terdiferensiasi. Kita dapat mengisi
kesenjangan ini tetapi karena sukar, maka kita pindahkan pembuktian yang lengkap ke
lampiran.
Contoh
Cari Dxy jika

19. Penyelesaian
3.9 laju yang berkaitan
Jika suatu peubah y bergantung pada waktu t,maka turunannya disebut laju sesaat
perubahan.Tentu saja jika y mengukur jarak,maka laju sesaat ini disebut kecepatan.Kita
tertarik pada beraneka laju sesaat ,laju air mengalir kedalam ember,laju membesarnya
luas minyak,laju bertambahnya harga kapling tanah dan lain-lain.jika y diberikan secara
gamblang(eksplisit) dalam bentuk t,maka masalahnya sederhana,kita hanya cukup
mendiferensiasidan menghitung turunnya pada saat yang diminta.
Mungkin saja sebagai ganti diketahuinya y secara gamlang dalam bentuk t, kita
mengetahui hubungan yang mengaitkan y dan peubah lain x dan kita mengetahui sesuatu
tentang dx/dt. Kita masih tetap mampu mencari dy/dt. Karena dy/dt dan dx/dt adalah laju-
laju yang berkaitan.Biasanya ini akan memerlukan diferensiasi implisit.
Sebagai contoh:
Sebuah balon kecil dilepas pada jarak 150 meter dari seorang pengamat yang berdiri di
tanah.jika balon naik tegak lurus keatas dengan laju 8 meter/detik, seberapa cepat jarak
antara pengamat dan balon bertambah pada waktu balon pada ketinggian 50 meter?
Penyelesaian
Anggaplah t menyatakan banyaknya detik setelah balon dilepas.Anggaplah h menyatakan
tingginya balon dan s jaraknya dari pengamat.Peubah h dan s keduanya bergantung pada
t, namun alas segitiga (jarak dari pengamat ke titik pelepasan) tetap tidak berubah dengan
bertambahnya t.Gambar 2 memperlihatkan besaran kunci di dalam suatu diagram
sederhana

20. Sebelum berlanjut lebih jauh,kita mengangkat tema yang dibahas sebelumnya dalam
buku ini,penaksiran jawaban.Perhatikan bahwa semula sama sekali tidak berubah
(ds/dt),tetapi pada akhirnya s berubah kira-kira secepat perubahan h (ds/dt =
dh/dt=8).Suatu taksiran untuk ds/dt bilama h=50 boleh jadi sekitar sepertiga atau
setengah dari dh/dt,atau 3.Jika kita memperoleh jawaban jauh dari nilai ini,kita akan tahu
bahwa kita telah membuat kesalahan. Misalnya,jawaban seperti 17 atau bahkan 7 jelas
salah.
Kita lanjutkan dengan penyelesaian eksak. Untuk penekanan, kita bertanya dan
menjawab tiga pertanyaan dasar.
Apa yang diketahui? Jawab=8
Apa yang ingin kita ketahui jawab:kita mengetahui ds/dt tepat pada h=50
Bagaiman kaitan s dan h?
Peubah-peubah s dan h berubah dengan waktu (keduanya adalah fungsi-fungsi implisit
dari t), tetapi keduanya selalu dikaitan dengan persamaan phytagoras
S2=h2+(150)2
Jika kita diferensialkan secar implisit terhadap t dan menggunakan aturan Rantai, kita
memperoleh
2s =2h
Atau
s =h
Hubungan ini berlaku untuk semua t>0
Sekarang,dan bukan sebelumnya,kita berpaling pada situasi ketika h=50.dari
teorema Pyhtagoras,kita lihat bahwa ketika h = 50
= 50
Dengan mensubtitusikan kedalam s (ds/dt) = h (dh/dt) menghasilkan
50 = 50(8)
Atau
= = 2,53

21. Pada saat h = 50,jarak antara balon dan pengamat bertambah dengan kecepatan 2,53
meter/detik.
Prosedur Sistematis
Contoh diatas menyarankan metode yang berikut untuk menyelesaikan masalah laju-laju
berkaitan.
Langkah 1: Andaikan t menyatakan waktu yang dilalui.Gambarkan sebuah diagram
yang berlaku untuk semua t>0.Berilah besaran-besaran yang nilainya tidak berubah bila t
bertambah dengan nilai-nilai konstantanya yang diketahui.berikan juga label pada
besaran yang berubah sesuasi dengan t , dan berilah label pada bagian gambar yang
sesuai dengan peubah-peubah ini.
Langkah 2: Nyatakan apa yang diketahui dan apa yang diinginkan tentang peubah-
peubah tersebut. Informasi ini akan berbentuk turunan-turunan pada peubah t.
Langkah 3: Tuliskan sebuah persamaan yang mengaitkan peubah-peubah itu untuk
semua waktu t>0, bukan hanya pada beberapa saat tertentu.
Langkah 4: Diferensiasikan secar implisit persamaan yang ditemukan dalam langkah 3
terhadap t.Persamaan yang dihasilkan , memuat turunan-turunan terhadap t , benar untuk
semua t>0
Langkah 5: Pada tahap ini ,dan bulan lebih awal, Subtitusikan dedalam persamaan yang
di temukan dalm langkah 4 semua data yang sahih pada saat tertentu seperti yang
diperlukan oleh jawaban masalah. Selesaikan untuk turunan yang diinginkan
Contoh 3
Sebuah pesawat udar terbang ke utara dengan laju 640
mol/jam melewati sebuah kota tertentu pada tengah hari,dan
pesaat kedua terbang ke timur dengan laju 600 mil/jam
langsiung dia tas kota yang sam 15 menit kemudian .Jika
pesawat-pesawat itu terbang pada ketinggian yang sama
,seberapa cepatkah pesawat-pesawat itu berpiah pada pukul
13.15?

22. Penyelesaian
Langkah 1:Anggaplah t menyatak n banyaknya jam setelah 12.15. jarak y adlah jarak
dalm mil penerbangan ke utara setelah jam 12.15, sedangkan x adalh jarak dalm mil
penerbangan ketimur setelah jam 12.15, dan s adalah jarak antara kedua pesawat .dalam
15 menit dari siang sampai 12.15 pesawat yang terbang keutara telah menempuh
640/4=160 mil, sehingga jarak dari kota ke pesawat yang terbang keutara pada waktu t
akan sama dengan y +160
Langkah 2:Untuk semua t>0, diketahui bahwa dy/dt=640 dan dx/dt=600.Kita imgin
mengetahui ds/dtdt pada saat t=1,yakni pukul 13.15.
Langkah 3: Menurut teorema Pyhtagoras
S2=x2 +(y+160)2
Langkah 4: Dengan mendiferensiasikan secara implisit terhadap t dan dengan
menggunakan aturan rantai ,kita mempunyai
2s =2x +2(y+160)
Atau
s =x +(y + 160)
Langkah 5: Untuk semua t>o,dx/dt = 600 dan dy/dt=640,sedangkanpada saat
t=1,x=600,y=640 dan s= + = 1000.Bilaman kita
mensubtitusikan dat-dat ini kedalam pesamaan dari langkah 4,kita peroleh
1000 = (600)(600) + (640+160)(640)
=872
Pada waktu 13.15 Pesawat-pesawat itu berpisah dengab kecepatan 872 mil/jam
Sekarang kita lihat apak h jawaban itu masuk akal .Lihat kembali Gambar 4.Jelaslah, s
bertambah lebih cepat dibanding x atau y bertambah .sehingga ds/dt melebihi
640.Sebaliknya ,s pasti bertambah lebih lambat dari pada jumlah x dan y,yakni ds/dt <b
600+640,jawaban kita,ds/dt=872 cukup beralasan.
Contoh 4
Seorang wanita berdiri diatas karang mengamati sebuah perahu motor yang bergerak
kearah pantai tepat dibawahnya melalui teropong .Jika teropong berada 250 dm diatas

23. permukaan laut dan jika perahu motor tersebut mendekat dengan laju 20 dm/detik
.berapakah laju perubahan sudut teropong pada saat perahu berada 250 dm dari pantai??
Penyelesaian
Langakh 1: Kita buat sebuah gambar dan membuat peubah-peubah x dan teta
Langkah 2:diketahui bahwadx/dt =-20 ,Tandanya negative karena x berkurang dengan
berlalunya waktu .kita ingin mengetahui dθ/dt pada saat x=250
Langkah 3:dengan ilmu trigonometri kita tahu
Tanθ=
Langkah 4:kita diferensiasikan secara implisit dengan dan menggunakan fakta bahwa dθ
dan tan θ
=sec2 θ.Kita peroleh
Sec2 θ =
Langkah 5:Pada saat x=250, θ adalah π/4 radian dan sec2 θ =2.jadi,
2 = (-20)
Atau
= =-0,04
Sudut berubah pada laju -0,04 radian/detik.tanda negative menunjukkan θ menunjukkan
θ dengan berlalunya waktu
Masalah laju yang berkaitan dengan grafis ,seringkali dalam situasi kehidupan nyata
,kita tidak mengetahui rumus untuk suatu fungsi tertentu ,tetapi hanya mempunyai grafik
yang ditentukan secara empiris .Kita mungkin ms tetap mampu menjawab pertanyaan-
pertanyaan tentang laju.
3.10 Diferensial dan Hampiran
Kita telah menggunakan notasi Leibniz dy/dx untuk turunan y terhadap-x. Notasi
d/dx telah digunakan sebagai operator untuk menyatakan turunan dari peubah yang
mengilkutinya terhadap x. Jadi, d/dx dan Dx sama saja. Sampai sekarang, kita telah
memperlakukan dy/dx (atau d/dx) sebagai lambang belaka dan tidak mencoba

24. rnemberikan makna tersendiri pada dy dan dx, seperti yang akan kita kerjakan
berikutnya.
Andaikan f adalah fungsi yang terdiferensiasi. Untuk
memotivasi definisi kita, Andaikan, P(x0/Y0) sebagai titik
tetap pada gratik y = f(x). seperti yang oiperlihatkan
dalam Gambar 1. Karena f terdefrensiasi,
Jadi, jika demikian kecil, hasil bagi [
]/ akan mendekati f‘( ), sehingga
Sisi kiri dari ungkapan ini disebut y. Ini disebut perubahan aktual dalam y saat x
berubah dari x0 sampai x0 + x. Sisi kanan disebut dy; dan berperan sebagai sebuah
hampiran dari y. Seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 2, kuantitas dy sama dengan
perubahan garis singgung kurva di P sewaktu x berubah dari ke + . Ketika
begitu kecil, kita berharap dy merupakan hampiran yang baik terhadap y, dan hanya
berupa konstanta kali , biasanya lebih mudah untuk dihitung.
Diferensial Terdefinisi Berikut ini adalah definisi formal dari diferensial dx dan
dy.
Definisi Diferensial
Andaikan y - f(x) adalah fungsi yang terdiferensiasi dari peubah bebas x.
z adalah kenaikan sebarang dalam peubah bebas x.
dx. disebut diferensial peubah bebas x. sama dengan
.
y, adalah perubahan aktual dalam peuhah y sewaktu
x berubah dari x ke x + x: y aitu y = f(x + )-
f(x).
Dy, disebut diferensial peubah tak-bebas y, yang
dideflinisikan olch dy = f‘(x)dx.

25. CONTOH 1
Carilah dy jika
(a) y = x3 - 3x + 1 (b) y =
(c) y = sin(x4 -3x2 + 11)
Penyelesaian
Jika kita mengetahui bagaimana menghitung turunan, maka kita tahu bagaimana
menghitung diferensial. Kita cukup menghitung turunan dan mengalikannya dengan dx.
(a) dy = (3x2 - 3)dx
(b) dy = (x2 + 3x)-1/2 (2x + 3)dx = dx
(c) dy = cos (x4 – 3x2 + 11) . (4x2 – 6x)dx
Sekarang, perhatikanlah beberapa hal. Pertama, karena dy = f‘(x) dx, pembagian kedua
sisi dengan dx menghasilkan
f‘(x)=
Dan kita dapat, jika kita menginginkan, menafsirkan turunan sebagai hasil bagi dua
diferensial.
Kedua, berpadanan dengan setiap aturan turunan, terdapat suatu aturan diferensial
yang diperoleh dari yang lebih dahulu dengan "mengalikan" dengan dx. Kita
mengilustrasikan aturan-aturan utama dengan tabel berikut ini.
Aturan Turunan Aturan Diferensial
1. =0 1. dk = 0
2. d (ku) = k du
2. =k
3. d (u + v) = du +dv
3. = + 4. d (uv) = u dv + v du
4. =u +v 5. d =
6. d =n
5. =
6. = =

26. Akhirnya perhatikanlah peringatan ini. Hati-harilah dalam membedakan antara
turunan dan diferensial. Keduanya tidak sama. Pada waktu anda menuliskan D atau
dyldx anda menggunakan lambang untuk turunan; waktu Anda menuliskan dy Anda
menyatakan diferensial. Jangan ceroboh dan menuliskan dy bilamana Anda bermaksud
memberi label suatu turunan. Itu akan menimbulkan kebingungan yang berlarut-
larut.
Hampiran Diferensial akan memainkan beberapa
peranan pentirg dalarn buku ini, tetapi untuk sekarang
penggunaan utamanya adalah dalam memberikar
harnpiran-hampiran. Hal ini telah dinyatakan dalam
petunjuk.
Andaikan y = f(x) seperti yang diperlihatkan
dalam Gambar 3. Jika x diberikan suatu pertambahan
, maka y menerima tambahan yang berpadanan Y.
yang dapat dihampiri dengan dy, jadi f (x + ) dihampiri dengan
f (x + ) = f (x) + dy = f (x) + f‘ (x)
Ini adalah dasar untuk semua solusi contoh berikutnya.
CONTOH 2
Andaikan Anda memerlukan hampiran yang baik terhadap dan , tetapi
kalkolator Anda mati. Apa yang mungkin Anda kerjakan?
Penyelesaian
Pandang grafik dari y = yang dinyatakan dalarn Garnhar 4. Bilamana x berubah dari 4
ke 4,6 maka berubah dari = 2 ke (secara hampiran) + dy, Sekarang
dy = dx =
dimana pada x = 4 dx = 0.6: bernilai
dy = = = 0.15
jadi
Serupa dengan itu, di x = 9 dan dx = -0,8;
dy = = = -0.133

27. karena itu,
Perhatikan bahwa dx dan dy keduanya negatif dalam kasus ini.
Nilai-nilai hampiran 2,15 dan 2.867 boleh dibandingkan dengan nilai-nilai sejati (sampai
empat angka desimal) 2.1448 dan 2.8636.
CONTOH 3
Gunakan diferensial untuk mernbuat hampiran pertambahan luas sebuh gelembung sabun
pada saat jari-jarinya bertambah dari 3 cm, menjadi 3,025 cm
Penyelesaian
Luas gelembung bola sabun diberikan olch A = 4πr2. Kita boleh membuat hampiran nilai
schenarnya, A, dengan diferensial dA, dengan
dA = 8πr dr
pada r = 3 dan dr = r = 0.025
dA = 8π(3)(0.025) = 1.885 cm2
Penaksiran Galat (error)
Berikut ini adalah masalah yang sering terjadi dalam ilmu pengetahuan. Seorang peneliti
mengukur peubah x tertentu yang bernilai x0 dengan galat yang mungkin berukuran ± .
Nilai x0 kemudian digunakan menghitung nilai y0 untuk y yang bergantung pada x. Nilai

28. y0 tercemar oleh galat dalam x, tetapi seberapa buruk pencemaran oleh galat itu?
Prosedur baku adalah menaksir galat ini dengan menggunakan sarana diferensial.
Contoh 4
Rusuk kubus diukur 11,4 cm dengan galat yang mungkin ±0.05 cm. hitunglah volume
kubus dan berikan taksiran untuk galat dalam nilai ini.
Penyelesaian
Volume kubus V yang rusuknya x adalah V = x3. Jadi dV = 3x2 dx. Jika x = 11,4 dan dx
= 0.005 maka V = (11,4)3 = 1482 dan
dV = 3 (11,4)2(0.05) = 19
Jadi kita dapat menuliskan volume kubus sebagai 1482 ± 19 cm3
kuantitas V dalam contoh 4 disebut kesalahan mutlak (absolute error). Pengukuran yang
lain dari kesalahan adalah kesalah relative (relative error), yang ditentukan dengan
membagi kesalahan mutlak dengan volume total. Kita dapat membuat hampiran
kesalahan relative V/V dengan dV/V. dalam contoh 4, kesalahan relati adalah
Kesalahan relatif kadang-kadang dinyatakan dalam persen. Jadi, kita mengatakan bahwa
untuk kubus dalam Contoh 4 kesalahan relatif kira-kira 1.28%.
Hampiran Linear Jika f terdiferensiasi pada a , maka bentuk ketniringan-titik dari
sebuah garis. garis singgung terhadap f di (a, f(a)) diberikan oleh y = f(a) + f‘(a)(x - a).
Fungsi
L(x) = f(a) + f‘(a)(x – a)
disebut hampiran linear terhadap fungsi f di a, dan kadang-kadang merupakan hampiran
untuk f ketika x dekat ke a.
CONTOH 5
tentukan dan gambarlah plot hampiran linear untuk f(x) = 1 + sin 2x di x = π/2.
Penyelesaian
Turunan f adalah f‘(x) = 2 cos 2x, jadi hampiran linearnya adalah

29. L (x) = f(π/2) + f‘(π/2)(x - π/2)
= (1 + sin π) + (2 cos π)(x - π/2)
= 1 - 2(x - π /2) = (1 + π) - 2x
Gambar 5 menunjukkan kedua grafik fungsi f dan hampiran linear L sepanjang selang
[0,π]. Kita dapat melihat hampirannya bagus di dekat π/2, tetapi hampirannya menjadi
tidak bagus ketika menjauh dari π/2. Gambar 5b dan c juga menunjukkan gambar plot
fungsi L dan f sepanjang selang-selang yang semakin lama semakin kecil. Untuk nilai-
nilai x yang dekat ke π/2, kita melihat babwa hampiran linearnya sangat dekat dengan
fungsi f.