2. Как известно…Как известно…
Теорема Пифагора звучит так:Теорема Пифагора звучит так: «В прямоугольном«В прямоугольном
треугольнике квадрат гипотенузы равен сумметреугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
квадратов его катетов», но…квадратов его катетов», но…
Как звучала эта теорема у Евклида: «ВКак звучала эта теорема у Евклида: «В
прямоугольном треугольнике квадрат стороны,прямоугольном треугольнике квадрат стороны,
натянутой над прямым углом, равен квадратам нанатянутой над прямым углом, равен квадратам на
сторонах, заключающих прямой уголсторонах, заключающих прямой угол »»
Как звучала у АннаирициКак звучала у Аннаирици: «Во всяком: «Во всяком
прямоугольном треугольнике квадрат, образованныйпрямоугольном треугольнике квадрат, образованный
на стороне, натянутой над прямым углом, равенна стороне, натянутой над прямым углом, равен
сумме двух квадратов, образованных на двухсумме двух квадратов, образованных на двух
сторонах, заключающих прямой угол»сторонах, заключающих прямой угол»
3. Научное открытиеНаучное открытие
В настоящее время известно, что эта теорема неВ настоящее время известно, что эта теорема не
была открыта Пифагором. Однако одни полагают,была открыта Пифагором. Однако одни полагают,
что Пифатор первым дал ее полноценноечто Пифатор первым дал ее полноценное
докзательство, а другие отказывают ему и в этойдокзательство, а другие отказывают ему и в этой
заслуге. Некоторые приписывают Пифагорузаслуге. Некоторые приписывают Пифагору
доказательство, которое Евклид приводит в первойдоказательство, которое Евклид приводит в первой
книге своих "Начал". С другой стороны, Проклкниге своих "Начал". С другой стороны, Прокл
утверждает, что доказательство в "Началах"утверждает, что доказательство в "Началах"
принадлежит самому Евклиду. Как мы видим,принадлежит самому Евклиду. Как мы видим,
история математики почти не сохранилаистория математики почти не сохранила
достоверных данных о жизни Пифагора и егодостоверных данных о жизни Пифагора и его
математической деятельности. Зато легендаматематической деятельности. Зато легенда
сообщает даже ближайшие обстоятельства,сообщает даже ближайшие обстоятельства,
сопровождавшие открытие теоремы. Многимсопровождавшие открытие теоремы. Многим
известен сонет Шамиссо:известен сонет Шамиссо:
5. Простейшее доказательствоПростейшее доказательство
Простейшее доказательствоПростейшее доказательство
теоремы получается втеоремы получается в
простейшем случаепростейшем случае
равнобедренногоравнобедренного
прямоугольногопрямоугольного
треугольника. В самом деле,треугольника. В самом деле,
достаточно простодостаточно просто
посмотреть на мозаикупосмотреть на мозаику
равнобедренныхравнобедренных
прямоугольныхпрямоугольных
треугольников , чтобытреугольников , чтобы
убедиться в справедливостиубедиться в справедливости
теоремы. Например, длятеоремы. Например, для
треугольника ABC : квадрат,треугольника ABC : квадрат,
построенный на гипотенузепостроенный на гипотенузе
АС, содержит 4 исходныхАС, содержит 4 исходных
треугольника, а квадраты,треугольника, а квадраты,
построенные на катетах,- попостроенные на катетах,- по
два.два.
Теорема доказана.Теорема доказана.
6. Доказательство методомДоказательство методом
дополнениядополнения
От двух равныхОт двух равных
площадей нужно отнятьплощадей нужно отнять
равновеликие части так,равновеликие части так,
чтобы в одном случаечтобы в одном случае
остались два квадрата,остались два квадрата,
построенные напостроенные на
катетах, а в другом-катетах, а в другом-
квадрат, построенныйквадрат, построенный
на гипотенузе. Ведьна гипотенузе. Ведь
если в равенствах:если в равенствах: В-В-
А=СА=С ии В1-А1=С1В1-А1=С1. Ч. Частьасть
АА равновелика частиравновелика части
А1А1, а часть, а часть ВВ
равновеликаравновелика В1В1, то, то
частичасти СС ии С1С1 такжетакже
равновелики.равновелики.
7. Доказательство методомДоказательство методом
дополнениядополнения
Поясним этот метод на примере. НаПоясним этот метод на примере. На
рис. к обычной пифагоровой фигурерис. к обычной пифагоровой фигуре
приставлены сверху и снизуприставлены сверху и снизу
треугольникитреугольники 2 и 32 и 3, равные, равные
исходному треугольникуисходному треугольнику 11. Прямая. Прямая
DGDG обязательно пройдет черезобязательно пройдет через C.C.
Заметим теперь (далее мы этоЗаметим теперь (далее мы это
докажем), что шестиугольникидокажем), что шестиугольники
DABGFE и CAJKHBDABGFE и CAJKHB равновелики.равновелики.
Если мы от первого из них отнимемЕсли мы от первого из них отнимем
треугольникитреугольники 1 и 21 и 2, то останутся, то останутся
квадраты, построенные на катетах, аквадраты, построенные на катетах, а
если от второго шестиугольникаесли от второго шестиугольника
отнимем равные треугольникиотнимем равные треугольники 1 и 31 и 3,,
то останется квадрат, построенныйто останется квадрат, построенный
на гипотенузе. Отсюда вытекает, чтона гипотенузе. Отсюда вытекает, что
квадрат, построенный на гипотенузе,квадрат, построенный на гипотенузе,
равновелик суммеравновелик сумме
квадратов,построенных на катетах.квадратов,построенных на катетах.
8. Доказательство методомДоказательство методом
дополнениядополнения
Остается доказать, что нашиОстается доказать, что наши
шестиугольники равновелики.шестиугольники равновелики.
Заметим, что прямаяЗаметим, что прямая DGDG делитделит
верхний шестиугольник наверхний шестиугольник на
равновеликие части; то же можноравновеликие части; то же можно
сказать о прямой CK и нижнемсказать о прямой CK и нижнем
шестиугольнике. Повернемшестиугольнике. Повернем
четырехугольникчетырехугольник DABGDABG,,
составляющий половинусоставляющий половину
шестиугольникашестиугольника DABGFEDABGFE, вокруг, вокруг
точки А по часовой стрелке наточки А по часовой стрелке на
угол 90; тогда он совпадет сугол 90; тогда он совпадет с
четырехугольникомчетырехугольником CAJKCAJK,,
составляющим половинусоставляющим половину
шестиугольникашестиугольника CAJKHBCAJKHB..
Поэтому шестиугольникиПоэтому шестиугольники
DABGFE и CAJKHBDABGFE и CAJKHB равновелики.равновелики.
Теорема доказанаТеорема доказана
9. Доказательство методомДоказательство методом
вычитаниявычитания
Знакомый нам чертежЗнакомый нам чертеж
теоремы Пифагоратеоремы Пифагора
заключим в прямоугольнуюзаключим в прямоугольную
рамку, направления сторонрамку, направления сторон
которой совпадают скоторой совпадают с
направлениями катетовнаправлениями катетов
треугольника. Продолжимтреугольника. Продолжим
некоторые из отрезковнекоторые из отрезков
фигуры так, как указано нафигуры так, как указано на
рисунке, при этомрисунке, при этом
прямоугольник распадаетсяпрямоугольник распадается
на несколько треугольников,на несколько треугольников,
прямоугольников ипрямоугольников и
квадратов. Выбросим изквадратов. Выбросим из
прямоугольника сначалапрямоугольника сначала
несколько частей так чтобынесколько частей так чтобы
остался лишь квадрат,остался лишь квадрат,
построенный на гипотенузе.построенный на гипотенузе.
Эти части следующие:Эти части следующие:
10. Доказательство методомДоказательство методом
вычитаниявычитания
треугольники 1, 2, 3, 4;треугольники 1, 2, 3, 4;
прямоугольник 5;прямоугольник 5;
прямоугольник 6 и квадрат 8;прямоугольник 6 и квадрат 8;
прямоугольник 7 и квадрат 9;прямоугольник 7 и квадрат 9;
Затем выбросим изЗатем выбросим из
прямоугольника части так,прямоугольника части так,
чтобы остались толькочтобы остались только
квадраты, построенные наквадраты, построенные на
катетах. Этими частямикатетах. Этими частями
будут:будут:
прямоугольники 6 и 7;прямоугольники 6 и 7;
прямоугольник 5;прямоугольник 5;
прямоугольник 1(заштрихован);прямоугольник 1(заштрихован);
прямоугольник 2(заштрихован);прямоугольник 2(заштрихован);
11. Доказательство методомДоказательство методом
вычитаниявычитания
Нам осталось лишь показать,Нам осталось лишь показать,
что отнятые частичто отнятые части
равновелики. Это легкоравновелики. Это легко
видеть в силу расположениявидеть в силу расположения
фигур. Из рисунка ясно, что:фигур. Из рисунка ясно, что:
прямоугольник 5 равновеликпрямоугольник 5 равновелик
самому себе;самому себе;
четыре треугольника 1,2,3,4четыре треугольника 1,2,3,4
равновелики двумравновелики двум
прямоугольникам 6 и 7;прямоугольникам 6 и 7;
прямоугольник 6 и квадрат 8,прямоугольник 6 и квадрат 8,
взятые вместе, равновеликивзятые вместе, равновелики
прямоугольнику 1прямоугольнику 1
(заштрихован);;(заштрихован);;
прямоугольник 7 вместе спрямоугольник 7 вместе с
квадратом 9 равновеликиквадратом 9 равновелики
прямоугольникупрямоугольнику
2(заштрихован);2(заштрихован);
Доказательство законченоДоказательство закончено
12. Доказательство ХоукинсaДоказательство Хоукинсa
Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом CПрямоугольный треугольник ABC с прямым углом C
повернем на 90° так, чтобы он занял положениеповернем на 90° так, чтобы он занял положение
A'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' доA'CB'. Продолжим гипотенузу A'В' за точку A' до
пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'Dпересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В'D
будет высотой треугольника В'АВ. Рассмотримбудет высотой треугольника В'АВ. Рассмотрим
теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В .теперь заштрихованный четырехугольник A'АВ'В .
Его можно разложить на два равнобедренныхЕго можно разложить на два равнобедренных
треугольника САA' и СВВ' (или на два треугольникатреугольника САA' и СВВ' (или на два треугольника
A'В'А и A'В'В).A'В'А и A'В'В).
13. Доказательство ХоукинсaДоказательство Хоукинсa
SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2SCAA'=b²/2, SCBB'=a²/2
SA'AB'B=(a²+b²)/2SA'AB'B=(a²+b²)/2
Треугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DAТреугольники A'В'А и A'В'В имеют общее основание с и высоты DA
и DB, поэтому :и DB, поэтому :
SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2SA'AB'B=c*DA/2+ c*DB/2=c(DA+DB)/2=c²/2
Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:Сравнивая два полученных выражения для площади, получим:
a²+b²=c²a²+b²=c²
Теорема доказана.Теорема доказана.
14. Векторное доказательствоВекторное доказательство
Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С,Пусть АВС - прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине С,
построенный на векторах. Тогда справедливо векторноепостроенный на векторах. Тогда справедливо векторное
равенство:b+c=aравенство:b+c=a
откуда имеемоткуда имеем
c = a - bc = a - b
возводя обе части в квадрат, получимвозводя обе части в квадрат, получим
c²=a²+b²-2abc²=a²+b²-2ab
Так как a перпендикулярно b, то ab=0, откудаТак как a перпендикулярно b, то ab=0, откуда
c²=a²+b² или c²=a²+b²c²=a²+b² или c²=a²+b²
Нами снова доказана теорема Пифагора.Нами снова доказана теорема Пифагора.
Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н.Если треугольник АВС - произвольный, то та же формула дает т. н.
теорему косинусовтеорему косинусов, обобщающую теорему Пифагора., обобщающую теорему Пифагора.
15. Доказательство ЕвклидаДоказательство Евклида
Это доказательство былоЭто доказательство было
приведеноприведено ЕвклидомЕвклидом в егов его
"Началах". По свидетельству"Началах". По свидетельству
Прокла (Византия)Прокла (Византия), оно, оно
придумано самим Евклидом.придумано самим Евклидом.
Доказательство ЕвклидаДоказательство Евклида
приведено в предложении 47приведено в предложении 47
первой книги "Начал".первой книги "Начал".
На гипотенузе и катетахНа гипотенузе и катетах
прямоугольногопрямоугольного
треугольника АВС строятсятреугольника АВС строятся
соответствующие квадраты исоответствующие квадраты и
доказывается, чтодоказывается, что
прямоугольник BJLDпрямоугольник BJLD
равновелик квадрату ABFH,равновелик квадрату ABFH,
а прямоугольник ICEL -а прямоугольник ICEL -
квадрату АСКС. Тогда суммаквадрату АСКС. Тогда сумма
квадратов на катетах будетквадратов на катетах будет
равна квадрату наравна квадрату на
гипотенузе.гипотенузе.
В самом деле, треугольникиВ самом деле, треугольники
ABD и BFC равны по двумABD и BFC равны по двум
сторонам и углу между ними:сторонам и углу между ними:
16. Доказательство ЕвклидаДоказательство Евклида
FB = AB, BC = BDFB = AB, BC = BD
РFBC = d + РABC = РABDРFBC = d + РABC = РABD
НоНо
SABD = 1/2 S BJLD,SABD = 1/2 S BJLD,
так как у треугольника ABD итак как у треугольника ABD и
прямоугольника BJLD общеепрямоугольника BJLD общее
основание BD и общая высота LD.основание BD и общая высота LD.
АналогичноАналогично
SFBC=12S ABFHSFBC=12S ABFH
(BF-общее основание, АВ-общая(BF-общее основание, АВ-общая
высота). Отсюда, учитывая, чтовысота). Отсюда, учитывая, что
SABD=SFBC,SABD=SFBC,
имеемимеем
SBJLD=SABFH.SBJLD=SABFH.
Аналогично, используя равенствоАналогично, используя равенство
треугольников ВСК и АСЕ,треугольников ВСК и АСЕ,
доказывается, чтодоказывается, что
SJCEL=SACKG.SJCEL=SACKG.
Итак,Итак,
SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL=SABFH+SACKG= SBJLD+SJCEL=
SBCED,SBCED,
что и требовалось доказать.что и требовалось доказать.
17. Удивительный фактУдивительный факт
Вопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться сВопрос о том, можно ли с помощью световых сигналов объясняться с
этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию.этими гипотетическими существами, вызвал оживленную дискуссию.
Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000Парижской академией наук была даже установлена премия в 100000
франков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателемфранков тому, кто первый установит связь с каким-нибудь обитателем
другого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. Вдругого небесного тела; эта премия все еще ждет счастливца. В
шутку, хотя и не совсем безосновательно , было решеношутку, хотя и не совсем безосновательно , было решено передатьпередать
обитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагораобитателям Марса сигнал в виде теоремы Пифагора..
Неизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, чтоНеизвестно, как это сделать; но для всех очевидно, что
математический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет местоматематический факт, выражаемый теоремой Пифагора имеет место
всюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должнывсюду и поэтому похожие на нас обитатели другого мира должны
понять такой сигнал.понять такой сигнал.
18. Итоги работыИтоги работы
На самом деле существует многоНа самом деле существует много
способов доказательства теоремыспособов доказательства теоремы
Пифагора: доказательство Евклида,Пифагора: доказательство Евклида,
Хоукинса, Вальдхейма, способХоукинса, Вальдхейма, способ
«луночками» Гиппократа,«луночками» Гиппократа,
доказательство Басхары, Эпштейна,доказательство Басхары, Эпштейна,
Нильсена, Бетхера, Перигаля,Нильсена, Бетхера, Перигаля,
Гутхейля, векторное доказательство иГутхейля, векторное доказательство и
многие другие…многие другие…
