1. TRABAJO DE TRIGONOMETRIA<br />Dirigido a: LUZ DAZA<br />Presentado por: KATERIN GOMEZ<br />CLARITZA FERNANDEZ<br />CRISTIAN ROJAS<br />DILSA YELA<br />Grado: 10.04<br />Popayán - Cauca, 27 de Agosto del 2011<br />PRESENTACION <br />Punto 1.<br />1. Comprender el concepto de la trigonometría (Introducción e Historia)<br />2. Determinar las funciones trigonométricas<br />3. Identificar característica de las gráficas de las funciones trigonométricas<br />Punto 2.<br />Un mapa conceptual sobre cómo se ha aplicado la trigonometría en las diferentes épocas. b. Una presentación power point sobre la gráficas de las funciones trigonométricas c. Tabla con los valores obtenidos en las mediciones<br />Punto 3. <br /> Presentación Power Point<br />Punto 4.<br /> <br />En un documento de Word, evidencia los siguientes razonamientos. <br />a. ¿Es la trigonometría una herramienta útil en la vida cotidiana? Tú la has utilizado? explica tu respuesta. <br />b. ¿Cuál es aplicaciones ha aportado la trigonometria para los avances tecnológicos y desarrollo de tu entorno?<br />c. ¿Es la trigonometría una ciencia con pasado y futuro?<br />HISTORIA DE LA TRIGONOMETRIA<br />La historia de la trigonometría empieza con los egipcios y babilonios. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Aunque en los tiempos de la Grecia clásica, en el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea construyó una tabla de cuerdas para resolver triángulos. Empezó con un ángulo de 71° hasta alcanzar los 180° con incrementos de 71°.<br />Tres siglos después, el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico (base 60) de los babilonios.<br />Durante muchos tiempo, la trigonometría de Tolomeo fue pionera y básica para los astrónomos. <br />Al mismo tiempo, los astrónomos Hindúes habían inventado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, era la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los hindúes utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.<br />A finales del siglo VIII los astrónomos Árabes empezar a desarrollar la función seno y a finales del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones. También inventaron y aplicaron teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Los matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, y esto dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas.<br />A comienzos del siglo XVII, el matemático Jhon Napier inventó los logaritmos y gracias a ello<br />Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje.<br />A mediados del siglo XVII Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas <br />Por último, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler demostró que las propiedades de la trigonometría eran producto de la aritmética de los números complejos y además definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos.<br />2. Definición de las Funciones Trigonométricas<br />La Trigonometría es la rama de las matemáticas que estudia las relaciones entre los lados y los ángulos de triángulos, de las propiedades y aplicaciones de las funciones trigonométricas de ángulos. Las dos ramas fundamentales de la trigonometría son la trigonometría plana, que se ocupa de figuras contenidas en un plano, y la trigonometría esférica, que se ocupa de triángulos que forman parte de la superficie de una esfera.<br />Las primeras aplicaciones de la trigonometría se hicieron en los campos de la navegación, la geodesia y la astronomía, en las que el principal problema era determinar una distancia inaccesible, como la distancia entre la Tierra y la Luna, o una distancia que no podía ser medida de forma directa. Otras aplicaciones de la trigonometría se pueden encontrar en la física, química y en casi todas las ramas de la ingeniería, sobre todo en el estudio de fenómenos periódicos, como el sonido o el flujo de corriente alterna.<br />Conceptos Básicos <br />Las Razones trigonométricas se definen comúnmente como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. Las funciones trigonométricas son funciones cuyos valores son extensiones del concepto de razón trigonométrica en un triángulo rectángulo trazado en una circunferencia unitaria (de radio unidad). Definiciones más modernas las describen como series infinitas o como la solución de ciertas ecuaciones diferenciales, permitiendo su extensión a valores positivos y negativos, e incluso a números complejos.<br />Definiciones respecto de un triángulo rectángulo<br />Para definir las razones trigonométricas del ángulo: α, del vértice A, se parte de un triángulo rectángulo arbitrario que contiene a este ángulo. El nombre de los lados de este triángulo rectángulo que se usará en lo sucesivo será:<br />La hipotenusa (h) es el lado opuesto al ángulo recto, o lado de mayor longitud del triángulo rectángulo.<br />El cateto opuesto (a) es el lado opuesto al ángulo que queremos determinar.<br />El cateto adyacente (b) es el lado adyacente al ángulo del que queremos determinar.<br />Todos los triángulos considerados se encuentran en el Plano Euclidiano, por lo que la suma de sus ángulos internos es igual a π radianes (o 180°). En consecuencia, en cualquier triángulo rectángulo los ángulos no rectos se encuentran entre 0 y π/2 radianes. Las definiciones que se dan a continuación definen estrictamente las funciones trigonométricas para ángulos dentro de ese rango:<br />1) El seno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la longitud de la hipotenusa:<br />El valor de esta relación no depende del tamaño del triángulo rectángulo que elijamos, siempre que tenga el mismo ángulo α , en cuyo caso se trata de triángulos semejantes.<br />2) El coseno de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la longitud de la hipotenusa:<br />3) La tangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto opuesto y la del adyacente:<br />4) La cotangente de un ángulo es la relación entre la longitud del cateto adyacente y la del opuesto:<br />5) La secante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto adyacente:<br />6) La cosecante de un ángulo es la relación entre la longitud de la hipotenusa y la longitud del cateto opuesto:<br />3. Identificar las Características de las graficas de las funciones trigonométricas.<br />3. Funciones trigonométricas<br />Las funciones trigonométricas son funciones muy utilizadas en las ciencias naturales para analizar fenómenos periódicos tales como: movimiento ondulatorio, corriente eléctrica alterna, cuerdas vibrantes, oscilación de péndulos, ciclos comerciales, movimiento periódico de los planetas, ciclos biológicos, etc. En aplicaciones de las funciones trigonométricas relacionadas con fenómenos que se repiten periódicamente, se requiere que sus dominios sean conjuntos de números reales. Para la obtención de valores de las funciones trigonométricas de números reales con una calculadora por ejemplo, se debe usar el modo radián.<br />3.1. Función se<br />La función seno es la función definida por: f(x)= sen x.<br />Características de la función seno<br />1. Dominio: IR<br />Recorrido: [-1, 1]<br />2. El período de la función seno es 2 π.<br />3. La función y=sen x es impar, ya que sen(-x)=-sen x, para todo x en IR.<br />4. La gráfica de y=sen x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π. para<br />Todo número entero n.<br />5. El valor máximo de senx es 1, y el mínimo valor es -1. La amplitud de la función<br />y=senx es 1.<br /> y = sen x<br />2. Función coseno<br />La función coseno es la función definida por: f(x)= cos x.<br />Características de la función coseno<br />1. Dominio: IR<br />Recorrido: [-1, 1]<br />2. Es una función periódica, y su período es 2 π.<br />3. La función y=cosx es par, ya que cos(-x)=cos x, para todo x en IR.<br />4. La gráfica de y=cosx intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =<br />5. El valor máximo de cos x es 1, y el valor mínimo valor es -1. La amplitud de la<br />Función y=cosx es 1.<br /> y = cos x<br />. Función tangente <br />3.3. Función tangente<br />La función tangente es la función definida por: f(x)= tan x..<br />Características de la función tangente<br />Dominio: IR – π<br />IR − n / n Z<br /> <br />Recorrido: IR<br />2. La función tangente es una función periódica, y su período es π.<br />3. La función y=tan x es una función impar, ya que tan(-x)=-tan x.<br />4. La gráfica de y=tan x intercepta al eje X en los puntos cuyas abscisas son: x =n π , para todo número entero n.<br /> <br /> y = tan x<br />TABLA DE VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS<br />Punto 3.<br />FOTO 1<br />7524750 h = 1,75 m Punto A X = 1 mPunto A = Angulo 45°<br />FOTO 2<br />-95250 h = 8 m Punto A = 35° x = 6 m<br />FOTO 3<br />-95250 h = 8 m Punto A = 80 ° X = 2 m<br />FOTO 4<br />9239250 h = 2 m Punto B = 60 °Punto A = 45 ° X = 5 m<br />FOTO 5<br />-95250 h = 5 m Punto A = 90 ° X = 1 m<br />FOTO 6<br />-95250 h = 14 m Punto A = 95 ° X = 10 m<br />FOTO 7<br />7524750 h = 8 m Punto A = 45 ° X = 2 m<br />FOTO 8 <br />9429750 Punto A = 180 ° h = 3 m X = 6 m<br />FOTO 9<br />X = 9 m 8763000 Punto B = 60 °h = 2 m Punto A = 45 °<br />FOTO 10<br />9620250Punto A = 180 °h = 4 m X = 8 m <br />FOTO 11<br />-9525171450Punto A = 90 °h = 3 m X = 2 m <br />FOTO 1279057566675790575352425 Pto A = 180 ° h = 12 m X = 14 mFOTO 1301714500171450 h = 5 m Pto A = 75 ° X = 3 m FOTO 14676275171450 h = 12 m Pto B = 35 °Punto A = 60 ° X = 10 m FOTO 15752475180975 h = 15 m Punto = 90 ° X = 18 m FOTO 16723900133350 h = 16 m Pto A = 80 ° X = 8 m FOTO 177334250 h = 18 m Pto A = 70 ° Punto B = 90 ° X = 8 m FOTO 182762250276225027622502762250 h = 10 m Punto A=70 ° X = 10 m FOTO 19 7524759525 h = 15 m Punto A = 80 ° X = 5 mFOTO 207524750 h = 5 m Punto A = 50 ° X = 10 m <br />Punto 4.<br />A. Si, ya que nos ayuda a entender las formas de todo lo que nos rodea de diferentes ángulos, medidas, formas y dimensiones. Esta área nos permite diferenciar otras medias diferentes a los ángulos rectos de 90 grados, así como otras medidas diferentes a las líneas paralelas y perpendiculares.nos demuestra que todas las cosas tienen su forma de ser para poder realizarse en su debida función.<br />Si la hemos utilizado, ejemplo al jugar futbol, basquetbol ya que al lanzar o patear la pelota se forman ángulos menores al ángulo recto.<br />B. Los aportes de la trigonometria en avances tecnológicos y desarrollo del entorno Son enormes, ya que gracias a la trigonometria se ha avanzado en la TOPOGRAFIAS, GEOGRAFIA, CARTOGRAFIA, INGENIERIA, ARQUITECTURA, LA FISICA, LAS FINANZAS, LA ECONOMIA, en el desarrollo del entorno urbano ha ayudado a mejorar y extender la calidad de vida de las personas, al formar nuevas infraestructuras para el uso de los ciudadanos, por ejemplo en la construcción de puentes, edificios, parques turísticos, zoológicos, calles, avenidas etc.<br />C. La trigonometria es una ciencia con un pasado muy prestigioso, ya que gracias a ella se pudo desarrollar la humanidad a pasos gigantescos. Atravez de los siglos el conocimiento se ha perfeccionado y evolucionado, hasta llegar a niveles superiores y en un futuro será una de las ciencias precursoras que nos lleve a descubrir nuevos mundo, edificar grandes ciudades y ayudar al confort en general de la humanidad.<br />