Algebra moderna herstein

1.3 Funciones o aplicaciones (mapeos) 13
DEMOSTRACIOSNe. verifica una de ellas. Si r E T, entonces (fo f -')(I)=
f( f -I([)). Pero ique es f -I(()? Por definicion, f -I(() es aquel elemento so E
S tal que t = f(so). iCuil es el so E S tal iue f(so) = f(s)? Claramente resulta
que so es el propio s. De esta manera f( f -'(t)) = f(so) = r. En otras palabras,
(f 0 f -l)(t) = I para todo t E T; por lo tanto f 0 f -I = iT, la aplicacion iden-tidad
en T.
Se deja a1 lector la demostracion del ultimo resultado de esta seccion.
LEMA 1.3.5. Si f: S + T e iT es la aplicacion identidad de T en si
mismo e is es la deS sobre si mismo, entonces iT 0 f = f y f 0 is = f.
PROBLEMAS 1.3
1. Para 10s S, T indicados, determinese sif: S + T define una aplicacion; si no,
expliquese por que.
(a) S = conjunto de las mujeres, T = conjunto de 10s hombres, f(s) =
esposo de s.
(b) S = conjunto de 10s enteros positivos, T = S, f(s) = s - 1.
. (c) S = conjunto de 10s enteros positivos, T = conjunto de 10s enteros no
negativos, f(s) = s - 1.
(d) S = conjunto de 10s enteros no negativos, T = S, f(s) = s - 1.
(e) S = conjunto de 10s enteros, T = S, f(s) = s - 1.
(f) S = conjunto de 10s numeros reales, T = S, f(s) = &.
(g) S = conjunto de 10s numeros reales positivos, T = S, f(s) = &.
2. En aquellas partes del Problema 1 en donde f define una funcion, deter-minese
si ista es inyectiva, suprayectiva o ambas cosas.
3. Si f es una aplicacion inyectiva de S sobre T, pruebese que f -' es una apli-cacion
inyectiva de T sobre S.
4. Si f es una aplicacion inyectiva de S sobre T, pruebese que f-I = is.
5. Dese una demostracion de la Observacion que sigue a1 Lema 1.3.2.
6.Sif:S- Tessuprayectivayg: T+ Uyh: T- Usontalesquegof =
h 0 f, pruebese que g = h.
7. Si g: S + ~:h: S + T, y si f: T + U es inyectiva, demuistrese que si f 0
g = f 0 h, entonces g =' h.
8. Sean S el conjunto de 10s enteros y T = (1, -I}; definase f: S + T como
f(s) = 1 si s es par, f(s) = -1 si s es impar.

14 CAPRULO 1 * TEMAS FUNDAMENTALES
(a) Determinese si esto define una funcion de S en T.
(b) Demuestrese que f (s, + s2)= f(s, )f (s2). LQUd~ic e esto acerca de 10s
enteros?
(c) Determinese si tambien es cierto que f(s,s,) = f(s,) f (s2).
9. Sea S el conjunto de 10s numeros reales. Definansef: S + S por f(s) = s2,
y g: S+ S por g(s) = s + 1.
(a) Obtener f 0 g. .
(b) Obtener g 0 f.
(c) ~Esf0.g = go f?
10. Sea S el conjunto de 10s numeros reales y para a, b E S, donde a f 0; de-finase
fu,b(~=) as +- b.
(a) Demuestrese que faSb 0 fc,d = fu,,, para ciertos u, v reales. Dense valores
explicitos para u, v en terminos de a, b, c y d.
(b) iEs fo,b o fc,d = fc,d o forb siempre?
(c) Hallar todas las forb tales que f,,* f,., = f,., o f,,b.
(d) Demuestrese que f0>' existe y encuentrese su forma.
11. Sea S el conjunto de 10s enteros positivos. Definasef: S + S mediante f(1) =
2, f(2) = 3, f (3) = 1, y f (s) = s para cualquier otro s E S. Demuestrese
que f 0 f 0 f = is. ;Cud es f-I en este caso?
12. Sea S el conjunto de 10s numeros racionales no negativos, esto es, S =
{m/nlm, n enteros, n r" 0), y sea T el conjunto de 10s enteros.
(a) Determinese si f: S T dada por f(m/n) = 2'"3" dcfine una funcion
valida de S en T.
(b) Si no es funcion, jc6m0 se podria modificar la definicion de f para
obtener una funcion valida?
13. Sea S el conjunto de 10s enteros positivos de la forma 2"3", donde rn > 0,
n > 0, y T el conjunto de 10s ntimeros racionales. Definase f: S + T por
f(2"'3") = m/n. Pruebese que f define una funciCln de S en T. (;En que
propiedades de 10s enteros se basa esto?)
14. Definasef: S -+ S, donde S es el conjunto de 10s enteros, mediantef(s) =
as + b, donde a, b son enteros. Determinense condiciones necesarias y su-ficientes
para a, b de tal manera que f 0 f = is.
15. Hallar todas las f de la forma dada en el Problema 14 tales que f 0 f 0 f =
1s.
16. Si f es una aplicacion inyectiva ds S sobre si mismo, demuestrese que
(f -')-I = f.

.? EL GRUPO
" SIMETRICO
Recordemos un teorema de grupos abstractos demostrado en el Capitulo 2. Di-cho
resultado, conocido como teorema de Cayley (Teorema 2.5. I), afirma que
todo grupo G es isomorfo a un subgrupo de A(S), el conjunto de las aplicacio-nes
inyectivas del conjunto S sobre si mismo, para algun S apropiado. En reali-dad,
en la demostraci6n que dimos se utiliz6 como S el mismo grupo G
considerado simplemente como un conjunto.
HistQicamente, 10s grupos se originaron primer0 de esta manera, mucho
antes de que fuera definido el concepto de grupo abstracto. En 10s trabajos de
Lagrange, Abel, Galois y otros, encontramos resultados sobre grupos de per-mutaciones
que fueron demostrados a finales del siglo XVIIIy a principios del
XIX. Sin embargo, no fue sino hasta mediados del siglo XIX que Cayley introdujo
mAs o menos el concepto abstracto de grupo.
Puesto que la estructura de grupos isomorfos es la misma, el teorema de
Cayley seiiala un cierto cardcter universal de 10s grupos A(S). Si conocitramos
la estructura de todos 10s subgrupos de A (S) para cualquier conjunto S, cono-ceriamos
la estructura de todos 10s grupos. Esto seria demasiado pedir. No obs-
% tante, se podria intentar explotar este empotramiento de tip0 isomorfo de un
grupo arbitrario G dentro de algun A(S). Lo anterior tiene la ventaja de trans-formar
G como un sistema abstracto en-algo mds concreto, a saber, un con-junto
de aplicaciones precisas de algun conjunto sobre si mismo.
No nos ocuparemos de 10s subgrupos de A(S) para un conjunto arbitrario

110 CANTULO 3 EL GRUPO SlMiTRlCO
S. Si S es infinito, A (S) resulta ser un objeto muy "arisco" y complicado. Aun
en el caso de que S sea finito, la naturaleza completa de A(S) es virtualmente
imposible de determinar.
En este capitulo se considera solamente A (S) para un conjunto S finito. Re-cuirdese
que si S tiene n elementos, entonces A(S) se llama grupo simktrico de
grado n, y se denota con S,,. Los elementos de S,, se llaman permutaciones; se
denotaran con letras griegas minusculas.
Dado que dos elementos a, T E A(S) se multiplican por medio de la regla
(uT)(s) = u(T(s)); Csta tendra el efecto de que cuando se introduzcan simbolos
apropiados para representar 10s elementos de S,,, dichos simbolos, o permuta-ciones,
se multiplicaran de derecha a izquierda. Si 10s lectores consultan algun
otro libro de algebra, deben asegurarse de la manera en que se estkn multipli-cando
las permutaciones: de derecha a izquierda o de izquierda a derecha. Con
mucha frecuencia, 10s algebristas multiplican permutaciones de izquierda a de-recha.
Para ser consistentes con nuestra definicion de composicion de elemen-tos
de S,,, lo haremos de derecha a izquierda.
Por el teorema de Cayley se sabe que si G es un grupo finito de orden n,
entonces G es isomorfo a un subgrupo de S,, y S,, tiene n! elementos. Vagamen-te
hablando, se dice normalmente que G es un subgrupo de S,,. Puesto que n
es mucho mas pequeiio que n! aun cuando n sea modestamente grande, el gru-po
ocupa tan solo un pequeiio rinconcito de S,,. Seria deseable meter a G
en un S,, con el menor n posible. Esto es factible para ciertas clases de grupos
finitos.
Sea S un conjunto finito de n elementos; se puede suponer que S =
{x,, x2, . . . , x,}. Dada la permutacion a E S,, = A (S), entonces a(xk) E S para
k = 1, 2, . . . , n, de manera que a(xk) = xik para algun ik, 1 I ik I n. Como
a es inyectiva, si j # k, entonces xi/ = a(x,) # a(xk) = xi*; por lo tanto, 10s
numeros i,, i2, . . . , in son simplemente 10s numeros 1, 2, . . . , n acomodados
en algun orden.
Evidentemente, la acci6n de a en S se determina por lo que a hace a1 subin-dice
j de xi, asi que el simbolo "x" sale sobrando y se puede descartar. En for-ma
breve, se puede suponer que S = { 1, 2, . . . , n}.
Recordemos lo que se entiende por producto de dos elementos de A (S). Si
a, T E A (S), se defini6 UT por (ar)(s) = a(r(s)) para todo s E S. En la Seccion
1.4 del Capitulo 1 se demostro que A(S) satisface cuatro propiedades que
se utilizaron posteriormente como modelo para definir el concept0 de grupo abs-tracto.
Asi que S,,, en particular, es un grupo relativo a1 producto de apli-caciones.
Lo primer0 que se necesita es una manera practica para denotar una per-mutation,
es decir, un elemento a de S,,. Una manera clara es hacer una tabla
que muestre lo que a hace a cada una de 10s elementos de S. ~stpao dria
llamarse grafica de a. Ya se hizo esto anteriormente, a1 expresar a, diga-mos
a E S3, en la forma: a: xl + x2, x2 + x3, x3 + xl; per0 resulta inc6modo
y consume espacio. Desde luego se puede hacer mas compacta eliminando las

3.1 Preliminares 111
x y escribiendo i: 3, . En este simbolo el nlimero que se encuentra 3 1
en el segundo renglon es la imagen con respecto a a del niimero que se encuentra
en el primer renglon directamente sobre 61. En todo esto no hay nada en es-pecial
acerca del 3; funciona igual de bien para cualquier n.
Si a E Sn y a(1) = i,, a(2) = iz, . . . , a(n) = in, se emplea el simbolo
Observese que no es necesario escribir el primer renglon, en el orden usual
1 2 n; de cualquier manera que se escriba el primer renglon, mientras
10s i, se lleven consigo como corresponde, se tiene todavia a. Por ejemplo, en
el caso citado de S3,
2 . . .
Si se sabe que a = ... n, , ja que es igual a-'? Es fhcil,
i,,
simplemente inviertase el simbolo de o y se obtiene o--' =
(PruCbese.) En el ejemplo n
El elemento identidad -que sera expresado como e- es simplemente e =
(: 2 . . . 2 .a. n
jC6m0 se traduce el producto de Sn en terminos de estos simbolos? Dado
que UT significa: "apliquese primer0 T y a1 resultado apliquese a", a1 formar
el producto de 10s simbolos de a y T se examina el numero k del primer ren-glon
de T y se ve que numero ik esta directamente abajo de k en la segunda
fila de T. 1,uego se observa el lugar de ik en el primer renglon de a y se ve
que se encuentra directamente abajo de 61 en el segundo renglon de a. Esta es
la imagen de k respecto a or. Luego se pasa por k = 1, 2, . . . , n y se obtiene
el simbolo para UT. Esto se realiza a simple vista.
Se ilustra lo anterior con dos permutaciones
es S,. Entonces UT = 2 3 4
La economia lograda de esta manera no es suficiente a6n. DespuCs de todo,
el primer renglon es siempre 1 2 . . n, asi que se podria omitir y escribir
1 2 -..
= (i, i2 ... como (i,, i2, . . . , in). En la siguiente seccion se
encontrara una forma mejor y mas breve de representar permutaciones.

112 CAP~T~I3L O EL GRUPO SIM~TRICO
PROBLEMAS 3.1
1. Determinar 10s productos.
2. Calculense todas las potencias de cada permutacion (es decir, evaluar
ak para todo k).
1 2 ... - 1
3. Prutbese que l2 "' ... 2 ... n
4. Encukntrese el orden de cada uno de 10s elementos del Problema 2.
5. Encutntrese el orden de 10s productos obtenidos en el Problema 1.
Continuarnos el proceso de simplificaci6n de la notacion empleada para repre-sentar
una permutacion dada. A1 hacerlo, se obtiene algo mhs que un mero sim-bolo
nuevo; se obtiene un mecanismo para descomponer cualquier permutaci6n
como un product0 de permutaciones particularmente c6modas.
DEFINICI~NS. ean i,, i2, . . ., ik, k enteros dis'tintos en S =
(1, 2, . . . , n). El simbolo (i, i2 - - . ik) representarh la permutacibn
a E S,, donde a(il) = i2, u(i2) = -4, . . ., a(ij) = ij+l para j < k,
a(ik) = i,, y a(s) = s para cualquier s E S si s # i,, i2, . . . , ik.
Por consiguiente, en S, la permutacion (1 3 5 4) es la permutacion

3.2 Descomposicion en ciclos 113
(;;:;::7 7). Una permutacidn de la forma (i, i2 ik)
se llama ciclo de orden k o k-ciclo. Para el caso especial k = 2, la permutach
(i, i2) se llama transposicidn. Obstrvese que si a = (i, i2 . . . ik), entonces
a es igualmente (ik i, i2 - - . ik (i ik il i2 . . - ik-2), y asi su-cesivamente.
(PruCbese.) Por ejemplo,
Dados dos ciclos, digamos un k-ciclo y un m-ciclo, se dice que son ciclos
disjuntos o ajenos si no tienen ningun entero en comun. De donde (1 3 5)
y (4 2 6 7) son ciclos ajenos en S,.
os ajenos en S,, afirmamos que conmutan. La demostraci6n
de ello se deja a1 lector, con la sugerencia de que si a, 7 son ciclos ajenos, se
debe verificai que (os)(i) = (sa)(i) para todo i E S = { 1,2, . . . , n}. Expresa-mos
este resultado como
LEMA 3.2.1. -S--i . a, 7 E S,, son ciclos ajenos, entonces a7 = 70.
Consideremos un k-ciclo particular a = (1 2 - . k) en S,. Evidente-mente,
a(1) = 2 por la definici6n dada anteriormente; jc6m0 se relaciona 3
con l? Puesto que a(2) = 3, se tiene a2(l) = a(2) = 3. Continuando, se ve
que aJ(2) = j + 1 para j I k - 1, mientras que a k(l) = 1. En realidad,
se ve que ak = e, donde e es el elemento identidad de S,.
Hay dos cosas que se concluyen del parrafo anterior.
1. El orden de un k-ciclo, como elemento de S,, es k. (Prutbese.)
2. Si a = (il i2 - . ik) es un k-ciclo, entonces la drbita de i,, respecto a a
(vCase el Problema 27 de la Secci6n 1.4 del Capitulo 1) es {i,, i2, . . . , ik}.
De mod0 que es posible advertir que el k-ciclo a = (i, i2 . . - ik) es
a = (i, a(i,) a2 ji,) . . . ak-'(i,)).
Dada cualquier permutaci6n 7 en S, para i E (1, 2, . . ., n}, con-sidtrese
la erbita de i respecto a 7; entonces tenemos que dicha drbita es
{i, 7(i), r2(i), . . . 7'-'(i)}, donde rS(i) = i y s es el menor entero positivo con
esta propiedad. ConsidCrese el s-ciclo (i 7(i) r2(i) . . 7'-'(i)); se le
llama ciclo de 7 determinado por i.
Se considera un ejemplo especifico y se encuentran todos sus ciclos. Sea
jcual es el ciclo de 7 determinado por l? Afirmamos que es (1 3 4). jPor
quC? 7 lleva a1 1 hacia 3, a1 3 hacia 4 y a1 4 hacia 1, y puesto que 7 (1) = 3,

114 CAP~TUL3O EL GRlIPO SIMETRICO
r2(1) = ~(3)= 4, r3(l) = ~(4)= 1. Esto se puede obtener visualmente zigza-gueando
entre lineas
por medio del trazo punteado. LCual es el ciclo de 7 determinado por 2? Zigza-gueando
segun la linea punteada, se ve que el ciclo de 7 determinado por 2 es (2 9 8 7).
Los ciclos de 7 determinados por 5 y 6 son (5) y (6), respectivamente, ya que
~dejafij os a 5 y 6. Asi que 10s ciclos de 7son (1 3 4), (2 9 8 7), (5)
y (6). Por lo tanto se tiene que 7 = (1 3 4)(2 9 8 7)(5)(6), donde se
consideraron estos ciclos -definidos anteriormente- como permutaciones en
S9 porque todo entero en S = (1, 2, . . . , 9) aparece en uno, y solamente en
un ciclo y la imagen de cualquier i respecto a 7 se lee en el ciclo en que aparece.
La permutacion 7 anterior, con la cual se llevo a cab0 el razonamiento que
se dio, no reviste nada en especial. El mismo razonamiento seria valido para
cualquier permutacion en S, y para cualquier n. Se deja a1 lector la redaccion
formal de la demostracion.
TEOREMA 3.2.2. T--o da permutation en S, es el product~d e ciclos
ajenos.
A1 expresar una permutacion a como un producto de ciclos ajenos, se omi-ten
todos 10s ciclos de orden 1; es decir, se ignoran 10s i tales que a(i) = i. De
esta manera a = (1 2 3)(4 5) en S, es la forma en la que se escribiria a =
(1 2 3)(4 5)(6)(7). En otras palabras, a1 escribir a como un producto
de k-ciclos, con k > 1, se supone que o deja fijo a cualquier entero que no
este presente en ninguno de 10s ciclos. Asi que en el grupo Sll la permutacion
7 = (1 5 6)(2 3 -9 8 7) deja fijos a1 4, 10 y 11.
LCual es el orden de un k-ciclo como elemento de S,? Afirmamos que es
k. Tambikn aqui se deja la demostracion a1 lector.
LEMA 3.2.3. -S-i 7. es un k-ciclo en S,, entonces el orden de 7 es If;
-e sto es, rk = e y 7j # e para 0 < j < k. -,-
Considkrese la permutacion 7 = (1 2)(3 4 5 6)(7 8 9) en S9. ~Cual
es su orden? Puesto que 10s ciclos ajenos (1 2), (3 4 5 6), (7 8 9) con-mutan,
7" = (1 2)"'(3 4 5 6)"(7 - 8 9)"; para que 7" = e se requie-re
(12)" = e, (3 4 5 6)" = e, (7 8 9)" = e. (PruCbese.) Para que
(7 8 9)" = e, se debe tener que 3 )m, ya que (7 8 9) es de orden 3; para
que (3 4 5 6)" = e, se debe tener que 41 m, porque (3 4 5 6) es de or- ,

3.2 Descomposicion en ciclos 115
den 4, y para que (1 2)'" = e, se debe tener que 21m, porque (1 2) es
de orden 2. Esto dice que m debe ser divisible entre 12. Por otra parte,
De manera que 7 es de orden 12.
De nueva cuenta aqui no entran en escena las propiedades especiales de 7.
Lo que se hizo para 7 funciona para cualquier permutacion. Se prueba
TEOREMA 3.2.4. -Su p-b ngase que a E S,,t iene descomposici6n cicli-ca
en ciclos ajenos de longitud ml, m2, . . . , m,. Entonces el orden .*d-- e
zs" -e l'minimo comlin multiplo de m, , m2, . . . , mk,
DEMOSTRAC16N. Sea a = 717~ . . 7k, donde 10s ri son ciclos ajenos de longi-tud
mi. Puesto que 10s ri son ciclos ajenos, rirj = rjri; por lo tanto si M es el
minimo comun multiplo de m,, m2, . . . , m,, entonces aM = . . - 7k)M =
7f"7P - - - 7p = e (ya que 7y = e debido a que 7, es de orden mi y mi(M). Por
consiguiente, el orden de a es a lo sumo M. Por otra parte, si aN = e, entonces
ry7F - . . 7: = e; esto obliga a que cada riN = e (pruebese) porque las
ri son permutaciones ajenas, por lo tanto mil N, ya que ri es de orden mi. De
manera que N es divisible por el minimo comun multiplo de m,, m,, . . . , m,,
asi que MI N. Por consiguiente, se ve que a es de orden M como se afirma en
el teorema.
Notese que es imperativo que en el teorema los ciclos Sean ajenos. Por
ejemplo, (1 2) y (1 3), que no son ajenos, son cada uno de orden 2, per0
su product0 (1 2)(1 3) = (1 3 2) es de orden 3.
Consideremos el Teorema 3.2.4 en el context0 de un acomodo de naipes.
Sup6ngase que un conjunto de 13 cartas se acomoda de tal manera que la carta
de arriba se coloca en la posicidn de la tercera, la segunda en la de la cuarta,
. . . , la i-esima en la posicion i + 2, trabajando en mod 13. Considerado
como una permutacion, a, de 1, 2, . . . , 13; el acomodo se convierte en
y a es simplemente el 13-ciclo (1 3 5 7 9 11 13 2 4 6 8 10 12),
asi que a es de orden 13. ~Cuantavse ces se debe realizar el acomodo para vol-ver
las cartas a su orden original? La respuesta es sencillamente el orden de a,
es decir, 13. De manera que se requiere realizar 13 veces el acomodo para vol-ver
las cartas a su posicion inicial.
Modifiquemos el acomodo anterior. supongase que las cartas se acomodan
como sigue. Se toma primer0 la carta superior y se coloca en el penultimo lugar
y luego se aplica el acomodo descrito anteriormente. ~Cuantavse ces se requiere

146 CAP~ULO3 EL GRUPOS IM~RICO
ahora realizar el nuevo acomodo para volver las cartas a su posici6n original?
La primera operaci6n es el acomodo expresado por la permutaci6n 7 =
(1 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2) seguida la a de antes. Asi que
se debe calcular a7 y encontrar su orden. Pero
por lo tanto es de orden 12. De manera que se requiere realizar 12 veces el aco-mod0
para que las cartas vuelvan a su orden inicial.
iSe puede encontrar un acomodo de las 13 cartas que requiera de 42 reali-zaciones,
o de 20? ~QuCac omodo requeriria el mayor numero de realizaciones
y cud seria dicho numero?
Regresamos a la discusi6n general. Considtrese la permutacion (1 2 3);
se ve que (1 2 3) = (1 3)(1 2). TambiCn se puede ver que (1 2 3) =
(2 3)(1 3). Asi que dos cosas son evidentes. Primero, se puede escribir
(1 2 3) como el producto de dos transposiciones, y en a1 menos dos ma-neras
distintas. Dado el k-ciclo (i,i2 . - . ik), entonces (il i2 - - . ik) =
(i, ik)(il i) - ( i i2), asi que todo k-ciclo es el producto de k transpo-siciones
(si k > 1) y se puede realizar de varias maneras, no de manera unica.
Como toda permutaci6n es el producto de ciclos ajenos y todo ciclo es un pro-ducto
de transposiciones, se tiene
TEOREMA 3.2.5. T-"o. d- a permutaci6n en S, es el product0 de transpo--
sic ionnes.
Realmente este teorema no es de sorprender ya que, desputs de todo, dice
precisamente que cualquier permutaci6n se puede efectuar realizando una serie
de intercambios de dos objetos en cada ocasi6n.
Vimos que no hay unicidad en la representaci6n de una permutaci6n dada
como producto de transposiciones. Sin embargo, como se verd en la Secci6n
3.3, algunos aspectos de dicha descomposici6n son en efecto unicos.
PROBLEMAS 3.2
1. DemuCstrese que si a, 7 son dos ciclos ajenos, entonces a7 = 70.
2. Hallar la descomposicion en ciclos y el orden.

3.2 Descomposici6n en ciclos
3. ExprCsese como producto de ciclos ajenos y encuCntrese el orden.
(a) (1 2 3 5 7)(2 4 7 6).
(b) (12)(13)(14).
(c) (1 2 3 4 5)(1 2 3 4 6)(1 2 3 4 7).
(d)(l 2 3)(1 3 2).
(e) (1 2 3)(3 5 7 9)(1 2 3)-l.
(f) (1 2 3 4 5)3.
4. Formula una demostraci6n completa del Teorema 3.2.2.
5. Demutstrese que un k-ciclo tiene orden k.
6. Encutntrese un acomodo de un juego de 13 naipes que requiera 42 realiza-ciones
para regresar las cartas a su orden original.
7. Resutlvase el problema anterior para un acomodo que requiera 20 realiza-ciones.
8. Exprtsense las permutaciones del Problema 3 como producto de transposi-ciones.
9. Dadas las dos transposiciones (1 2) y (1 3), encutntrese una permutacibn
a tal que a(1 2)a-' = (1 3).
10. PruCbese que no existe ninguna permutacibn o tal que a(1 2)a-' =
(1 2 3).
11. Demostrar que existe una permutaci6n a tal que a(1 2 3)a-' = (4 5 6).
12. Prutbese que no existe ninguna permutacion a tal que a(1 2 3)a-' =
(1 2 4)(5 6 7).
13. Prutbese que (1 2) no se puede expresar como producto de 3-ciclos ajenos.
14. Prutbese que para cualquier permutaci6n a, a7a-' es una transposici6n si
7 lo es.

118 CAP~TUL3O EL GRUPO SIM h~lC0
15. Demukstrese que si T es un k-ciclo, entonces arc-' es tambitn un k-ciclo,
para cualquier permutacibn a.
16. Sea un automorfismo de S3. Demutstrese que existe un elemento a E S3
tal que @(T) = U-~TU para toda T E S3.
17. Considtrense (1 2) y (1 2 3 . - n) en S,. DemuCstrese que cualquier
subgrupo de S, que contenga a estas dos permutaciones debe ser igual a to-do
S, (asi que dichas permutaciones generan S,).
18. Si T, y 7, son dos transposiciones, demuestrese que 7172 se puede expresar
como producto de 3-ciclos (no necesariamente ajenos).
19. PruCbese que si 71, 72 y T~ son transposiciones, entonces 717273 Z e, el
elemento identidad de S,.
20. Si T,, 72 son transposiciones distintas, demutstrese que 7172 es de orden 2
0 3.
21. Si a, 7 son dos permutaciones que rio tienen simbolos en comun y UT = e,
pruebese que a = T = e.
22. Determinar un algoritmo para obtener UTU-I para permutaciones cuales-quiera
a, T de S,.
23. Sean a, T dos permutaciones tales que ambas tienen descomposiciones en
ciclos ajenos de longitudes m,, m2, . . . , mk. (En tal caso se dice que
tienen descomposiciones semejantes en ciclos ajenos.) Prutbese que para al-guna
permutaci6n p, T = pap -I.
24. Encutntrese la clase de conjugaci6n en S, de (1 2 . . - n). ~Cuiels el
orden del centralizador de (1 2 . . . n) en S,?
25. ResuClvase el problema anterior para a = (1 2)(3 4).
3.3 PERMUTACIONEISM PARES Y PARES
En la Seccion 3.2 se observo que aunque toda permutaci6n es el producto
de transposiciones, esta descomposici6n no es unica. Sin embargo, se co-mento
que ciertos aspectos de esta clase de descomposici6n son unicos. Ahora
se examina esto a fondo.
Consideremos el caso especial de S3, ya que aqui se puede ver todo explici-tamente.
Sea f (x) = (x, - x2)(xl - x3)(x2 - x3) una expresion en las tres va-riables
xl, x2, x3. Hacemos que S3 actue sobre f(x) como sigue. Si a E S3,
entonces
Se examina lo que a* hace a f (x) para unas cuantas de las a en S3.

3.3 Permutaciones impares y pares 119
ConsidCrese a = (1 2); entonces a(1) = 2, a(2) = 1, y a(3) = 3, de tal
manera que
Asique a*, queproviene de a = (1 2), cambia el signo de f (x). Examinemos
la acci6n de otro elemento, T = (1 2 3), de S3 en f (x). De mod0 que
y entonces T*, queproviene de T = (1 2 3), no altera el signo de f (x). ~QuC
hay respecto a las otras permutaciones en S3?, ~COa~feOcta n a f (x)? Desde
luego, el elemento identidad e induce una aplicacion e* en f (x) que no alte-ra
a f (x) en absoluto. iC6m0 afecta T~d,ad a T como antes, a f (x)? Puesto
que ~*(fx ) = f (x), se ve de inmediato que
ConsidCrese ahora a7 = (1 2)(1 2 3) = (2 3); dado que T no altera a f (x)
y a cambia el signo de f (x), a7 debe cambiar el signo de f (x). De manera seme-jante,
(1 3) cambia el signo de f (x . Se ha explicado asi la acci6n de cada ele-mento
de S3 sobre f (x).
Sup6ngase que p E S3 es un pr jducto p = 7172 . rk de transposiciones
TI, . . . , T~e;nt onces a1 actuar p sotlre f (x) el signo de f ( x ) cambiari k veces,
ya que cada ri cambia dicho signo. Por lo tanto, p*(f (x)) = (-l)kf(x). Si
p = u1u2 - . u,, donde al, . . . , a, son transposiciones, razonando del mismo
mod0 entonces n* (f (x)) = (-1)'f (x). Por consiguiente, (-l)k f (x) =
(-1)'f (x), de donde (-1)' = (-l)k. Esto dice que t y k tienen la mismaparidad;
es decir, si t es impar, entonces k debe ser impar, y si t es par, entonces k debe
ser par.
Lo anterior sugiere que aunque la descomposici6n de una permutaci6n da-da
a como un product0 de transposiciones no es unica, la paridad del nrimerg
d- e transposic-i.o nes en una de tales~desco-m posicionesd e a podria ser rinica.

120 CAP~TULO3 r EL GRUPO SIM~RICO
Procuraremos ahora este resultado, sugiriendo a 10s lectores que lleven a
cab0 el razonarniento que se hace para n arbitrario, para el caso especial n = 4.
Como se hizo anteriormente, sea
X .-. (x2 - x,) ... (x,-~ - X,)
donde en este producto i asume todos 10s valores desde 1 hasta n - 1 inclusive,
y j todos aqukllos desde 2 hasta n inclusive. Si a E S,, definase a* sobre
f (x) mediante
Si a, T E S,, entonces
Asi que (or)* = a*r* cuando se aplica a f (x).
~QuCha ce una transposici6n T a f (x)? Afirmamos que T *( f (x)) = -f (x).
Para probarlo, suponiendo que T = (i j) donde i < j, contamos el numero
de (xu - x,), con u < v, que son transformados en un (x, - xb) con a > b.
Esto sucede para (xu - xi) si i < u < j, para (xi - x,) si i < v < j, y final-mente,
para (xi - x,). Cada uno de ellos conduce a un cambio de signo en f (x)
y puesto que hay 2(j - i - 1 ) + 1 de tales, es decir, un numero impar de ellos,
se obtiene un numero impar de cambios de signo en f(x) cuando sobre
este valor actua T*. De manera que T*( f (x)) = -f (x). Por lo tanto nuestra
afirmaci6n de que T *(f (x)) = -f (x) para toda transposici6n 7, queda justi-ficada.
Si a es cualquier permutaci6n en S,, y a = 7172 rk, donde T,, 7, . . . , tk
son transposiciones, entonces a * = (~~7. .2 - rk)* = T 1*T2* . . . T/: cuando
actua sobre f (x), y puesto que cada r,*(f (x)) = -f (x), se Ve que a *(f (x)) =
(-l)v(x). De manera semejante, si a = r1r2 . . . C,, donde r1, r2, . . . , ft son
transposiciones, entonces a *( f (x)) = (-l)'f(x). Comparando estas dos evalua-ciones
de a *( f (x) ) , se concluye que (- 1) = (- 1) '. De manera que estas dos
descomposiciones de a como producto de transposiciones son de la misma pari-dad.
&r-coekuieete, cualquier permutacidn e~elp~o~~-d_ec e-_ntu~moe ro im-par
de transposiciones o b-i-e n el product0 de un ntimero par de transposiciones,
y- ningti-n pr o-d -u _"ct o-deo n n t_i_ m_ e__r o_ par de tramposici~nespuedes er i&al a un pre -- -- -- - --
duct0 de gn -numero imparedeetransposicione_s.

3.3 Permutaciones impares y pares 121
Lo anterior sugiere la siguiente
DEFINICI~NU. na permutaci6n a E S, es una p&mutacidn impar si
a es el producto de un numero impar de transposiciones, y es una per-mutacidn
par si o es el producto de un numero par de transposiciones.
Lo que hemos probado anteriormente es
TEOREMA 3.3.1. -U--n a- permutaci6n en S, es bien sea una permuta-c-
i.6...n impar o bien par, per0 no puede se-r ambas.
Con el apoyo del Teorema 3.3.1 se pueden deducir varias de sus conse-cuencias.
Sea A, el conjunto de todas las permutaciones pares; si a, 7 E A,, enton-ces
se tiene de inmediato que a7 E A,. Puesto que de esta manera A, es un sub-conjunto
cerrado finito del grupo (finito) s,, A, es un subgrupo de s,, por el
Lema 2.3.2. A, se llama grupo alternante de grado n.
Se puede demostrar que A, es un subgrupo de S, de otra manera. Ya vi-mos
que A,, es cerrado respecto al producto de S,, asi que para saber que A,
es un subgrupo de S, se requiere simplemente demostrar que a E S, implica que
a-' E S,. Afirmamos que para cualquier permutaci6n a, a y a-I son de la mis-ma
paridad. LPor qud? Bien, si a = 7172 s s - 7k, donde las ri son transposicio-nes,
entonces
ya que 7,~'= 7i; por lo tanto, se observa que la paridad de a y a-I es (-l)k,
asi que son de igual paridad. Esto demuestra desde luego que a E A, implica
que a-I E A,, de donde A, es un subgrupo de S,.
Pero ello prueba un poco mAs, a saber, que A, es un subgrupo normal
de S,. Porque sup6ngase que a E A, y p E S,. ~CUeAs la paridad de -p -'up?
Por lo anterior, p y p -' son de la misma paridad y a es una permutaci6n par
asi que p-laap es una permutaci6n par, por consiguiente estA en A,. De mane-ra
que A, es un subgrupo normal de s,.
Resumimos lo efectuado en el
TEOREMA 3.3.2. -E-l grupo alternante A d-e grad-o n., A ,, es u-n sub~ru-po
normal de S,. ---' ..- *- - -*-a
Examinamos esto de otra manera todavia. De las propias definiciones invo-lucradas
se tienen las siguientes reglas sencillas para el producto de permutaciones:
1. El producto de dos permutaciones pares es par.
2. El producto de dos permutaciones impares es par.
3. El producto de una permutaci6n par por una impar (o el de una impar por
una par) es impar.

122 CAP~TUL3O EL GRUPO SIM~TRICO
Si a es una permutaci6n par, sea 8(a) = 1, y si a es una permutaci6n impar,
sea 8(a) = -1. Las reglas precedentes relativas a productos se traducen en
O(a7) = 8(a)0(7), de manera que 8 es un homomorfismo de S, sobre el grupo
E = { 1, -1 ) de orden 2 respecto a la multiplication. ~Cuiiels el ndcleo, N, de
8? En virtud de la propia definici6n de A,, se ve que N = A,. Asi que por el
primer teorema de homomorfismos, E = S,/A,. De esta manera 2 = (E1 =
(S,/A,( = JS,I/(A,J, si n > 1. Esto da por resultado que (A,[ = %IS,J =
%n!.
Por lo tanto,
TEOREMA 3.3.3. -P-a--r a n > 1, A, es un subgrupo normal de S, -'" - -* . . . - . -* . .
&,.orden .5(2 n_!.
COROLARIO. Si n > 1, en S, hay 1/2 n! permutaciones pares y %n!
permutaciones &pares.
Antes de concluir la presente seccidn, se hace un breve comentario final res-pecto
a la demostraci6n del Teorema 3.3.1. Se conocen muchas demostraciones
diferentes de este teorema. Sinceramente, no nos gusta particularmente ningu-na
de ellas. Algunas involucran lo que se podria llamar un "proceso de colec-ci6n9',
donde se trata de demostrar que e no se puede expresar como el producto
de un nlimero impar de transposiciones, haciendo la suposici6n de que si es po-sible,
y mediante una manipulaci6n apropiada de dicho producto se le reduce
hasta que se obtiene una contradicci6n. Otras demostraciones utilizan diferen-tes
artificios. La demostraci6n que se dio saca provecho del artefact0 que cons-tituye
la funci6n f (x), la cual, en cierto sentido, es ajena a la cuesti6n tratada.
Sin embargo, la demostraci6n dada es probablemente la miis clara de todas ellas,
y por tal motivo se utiliz6.
Finalmente, el grupo A,, para n r 5, es un grupo sumamente interesante.
En el Capitulo 6 se demostrarii que 10s dnicos subgrupos normales de A,, pa-ra
n r 5, son (e) y el mismo A,. Un grupo no abeliano que tenga esta propie-dad
se llama grupo simple (no debe confundirse con grupo facil). De manera
que 10s A, para n r 5 proporcionan una familia infinita de grupos simples.
Existen otras familias infinitas de grupos simples finitos. En 10s liltimos 20 aiios
aproximadamente 10s esfuerzos heroicos de un grupo de algebristas han deter-minado
todos 10s grupos simples finitos. La determinacibn de dichos grupos
simples comprende cerca de 10 000 piiginas impresas. Resulta muy interesante
saber que cualquier grupo simple finito debe tener orden par.
PROBLEMAS 3.3
1. Determinar la paridad de cada permutaci6n.

3.3 Permutaciones impares y pares
2 3 4 5 6 7 8
:I.-
(a)(: 4 5 1 3 7 8 9 (b) (1 2 3 4 5 6)(7 8 9).
(c)(l 2 3 4 5 6)(1 2 3 4 5 7).
(d) (1 2)(1 2 3)(4 5)(5 6 8)(1 7 9).
2. Si a es un k-ciclo, demukstrese que a es una permutaci6n impar si k es par,
y es una permutaci6n par si k es impar.
3. PruCbese que a y 7-'a7, para a, 7 E S,,, cualesquiera, son de la misma
paridad.
4. Si m < n, se puede decir que S,,, C S,, considerando que j E S,, actda sobre
1, 2, . . . , m, . . . , n como lo hizo sobre 1, 2, . . . , rn y que a deja a j >
m fijo. PruCbese que la paridad de una permutacibn en S,, cuando se con-sidera
de esta manera como elemento de s,,, no cambia.
5; Sup6ngase que se sabe que la permutation
en S,, donde las imagenes de 5 y de 4 se han perdido, es una permutaci6n
par. ~Cuhlesd eben ser dichas imagenes?
6. Si n r 3, demutstrese que todo elemento de A, es un producto de ci-clos
de orden 3.
7. Demubtrese que todo elemento de A, es un producto de ciclos de orden n.
8. Hallar un subgrupo normal en A, de orden 4.
PROBLEMAS DIF~cILES (EN REALIDAD, MUY DIFiCILES)
I
9. Si n r 5 y (e) f N c A, es un subgrupo normal de A,, demutstrese que
N debe contener un ciclo de orden 3.
10. Aplicando el resultado del Problema 9, demukstrese que si n r 5, 10s dni-cos
subgrupos normales de A, son (e) y el mismo A,. (Asi que 10s grupos
A, para n r 5 dan una familia infinita de grupos simples.)

En el estudio del Algebra abstracta llevado a cab0 hasta ahora, se ha presentado
una clase de sistema abstracto, el cual desempefia un papel central en el dlgebra
de hoy en dia: el concept0 de grupo. Debido a que un grupo es un sistema alge-braic~
q ue consta solamente de una operaci6n y que no es necesario que satisfaga
la regla ab = ba, en cierto mod0 va en contra de nuestra experiencia anterior
con el algebra. Trabajamos con sistemas en donde se podia tanto sumar como
multiplicar elementos y se satisfacia la ley conmutativa de la multiplicaci6n ab =
ba. Ademds, dichos sistemas conocidos procedieron normalmente de conjuntos
de numeros -enteros, racionales, reales y en algunos casos, complejos.
El siguiente objeto algebraic0 que consideraremos es un anillo. En muchos
aspectos este sistema hara recordar mds lo conocido anteriormente que 10s grupos.
Por una parte 10s anillos serdn dotados con adici6n y multiplicaci6n, y estas
estaran sujetas a muchas de las reglas conocidas de la aritmetica. Por otra parte,
no es necesario que 10s anillos provengan de 10s sistemas numdricos usuales.
En efecto, normalmente tendrdn poco que ver con ellos. Aunque muchas de
las reglas formales de la aritmetica son vdlidas, ocurrirdn muchos fendmenos
extrafios -0 que pudieran parecer asi. A medida que se vaya avanzando y se
consideren ejemplos de anillos, se verd que se presentan algunas de estas cosas.
Luego de este predmbulo estamos preparados para empezar. Naturalmente
lo primer0 que se debe hacer es definir aquello de lo que se va a tratar:
DEFINICI~NSe. dice que un conjunto no vacio R es un anitlo si tiene
dos operaciones + y . tales que:
(a) a, b E R implica que a + b E R.

(b) a + b = b + a para a, b E R.
(c) (a + b) + c = a + (b + C) para a, b c.E R.
(d) Existe un elemento.0 E R tal que a + 0 = a para todo a E R.
(e) Dado a E R, existe un b E R tal que a + b = 0. (b se:xpresara
como -a).
Notese que lo que se ha dicho hasta ahora es que R es un grspo abe-limo
respecto a + . Ahora se explican las reglas de la multiplicacion en R.
(f) a, b E R implica que a . b E R.
(g) a . (b . C) = (a . b) . c para a, b, c E R.
Esto es todo lo que se exige por lo que se refiere a la multiplicacion sola.
Mas no se dejan las operaciones + y aisladas entre si, sino que se entre-lazan
mediante las dos leyes distributivas:
(h)
a-(b+c)=a.b+a.c
Y
(b+c).a=b.a+c-a,
para a, b, c E R.
Estos axiomas que definen un anillo parecen conocidos. Asi debe ser, ya
que el concept0 de anillo se introdujo como una generalizaci6n de lo que sucede
en el conjunto de 10s enteros. Debido a1 axioma (g), la ley asociativa de la mul-tiplicacion,
10s anillos que se han definido se llaman normalmente anillos aso-ciativos.
Los anillos no asociativos existen y algunos de ellos desempefian un
papel importante en las matemtiticas. Pero no nos ocuparemos aqui de ellos.
De manera que cuando se utilice la palabra "anillo" siempre significara "ani-
110 asociativo" .
Aunque 10s axiomas del (a) a1 (h) son conocidos, existen ciertas cosas que
ellos no dicen. Consideramos algunas de las reglas conocidas que no se exigen
para un anillo general.
En primer lugar, no se postulo la existencia de un elemento 1 E R tal que
a . 1 = 1 . a = a para todo a E R. Muchos de 10s ejemplos que se encontraran
tendrtin tal elemento y en ese caso se dice que R es un anillo con unidad. Con
toda franqueza debemos sefialar que muchos algebristas exigen que un anillo
tenga elemento unidad. Nosotros exigiremos que 1 # 0; o sea que el anillo con-sistente
solamente del 0 no es un anillo con unidad.
En segundo lugar, por nuestra experiencia anterior con cosas de esta clase,
siempre que a - b = 0 se concluia que a = 0 o bien b = 0. No es necesario
que esto sea cierto en un anillo, en general. Cuando es vtilido, el anillo es en
cierto mod0 miis grato y se le da un nombre especial: se le llama dominio.
En tercer lugar, en 10s axiomas que definen un anillo no se dice nada que
implique la ley conmutativa de la multiplicaci6n a . b = b a. Existen anillos
no conmutativos en donde no es vtilida esta ley; pronto se veran algunos. En
este capitulo nos ocuparemos principalmente de 10s anillos conmutativos, per0

4.1 Definiciones y ejemplos '1 27
para muchos de 10s primeros resultados no se supondra la conmutatividad del
anillo estudiado.
Como se menciono anteriormente, algunos aspectos hacen a ciertos anillos
mas agradables que otros, y por lo tanto merecen tener un nombre especial. De
inmediato se da una lista de definiciones para algunos de ellos. I
i
DEFINICC~UNn. anillo conmutativo R es un dominio integral si a .
b = 0 en R implica que a = 0 o bien b = 0.
Se debe sefialar que algunos libros de algebra exigen que un dominio integral
contenga un elemento unidad. A1 leer otro libro, el lector debe verificar si tal
es el caso. Los enteros, Z, proporcionan un ejemplo obvio de un dominio integral.
Se consideraran otros un poco menos obvios.
I
DEFINICI~NSe. dice que un anillo con unidad, R, es un aniIIo con
divisidn si para a f 0 en R existe un elemento b E R (que normalmente
se expresa como a-') tal que a a-' = a-' . a = 1.
La razon de llamar a un anillo de esta clase un anillo con division es bas-tante
evidente: porque se puede dividir (a1 menos teniendo presentes 10s lados
izquierdos y derechos). Aunque 10s anillos con division no conmutativos existen
con mucha frecuencia y desempeiian un papel importante en el algebra no con-mutativa,
son bastante complicados y solo se dara un ejemplo de ellos. Dicho
anillo con division es el gran clasico presentado por Hamilton en 1843 que se
conoce como el anillo de 10s cuaternios. (Vease el Ejemplo 12 que sigue.)
Finalmente, pasamos a1 ejemplo tal vez mas interesante de una clase de anillos:
el campo.
I
DEFINICI~NSe. dice que un anillo R es un campo si R es un anillo
con divisidn conmutativo.
En otras palabras, un campo es un anillo conmutativo en el cual se puede
dividir libremente entre elementos distintos de cero. Dicho de otra manera,
R es un campo si sus elementos distintos de cero forman un grupo abeliano
respecto a1 producto . en R.
Se tienen a la mano muchos ejemplos de campos: 10s numeros racionales,
10s numeros reales, 10s numeros complejos. Pero se veran muchos mas ejemplos,
tal vez menos conocidos. El Capitulo 5 se dedicara al estudio de 10s campos.
El resto de la presente seccion se empleara en considerar algunos ejemplos
de anillos. Se omitira el para el producto y a . b se expresarii simplemenje
como ab.
1. Es obvio que el anillo que se debe escoger como primer ejemplo es 2,

el anillo de 10s enteros respecto a la adici6n y multiplicaci6n usuales entre ellos.
Naturalmente, Z es un ejemplo de dominio integral. .
2. El segundo ejemplo es una eleccion igualmente obvia. Sea Q el conjunto
de 10s numeros racionales. Como ya se sabe, Q satisface todas las reglas nece-sarias
para un campo, asi que Q es un campo.
3. Los numeros reales, R, tambitn proporcionan un ejemplo de campo.
4. Los numeros complejos, C, forman un campo.
Obstrvese que Q C R C C; lo anterior se describe diciendo que Q es un
subcampo de R (y de C ) y R es un subcampo de C.
5. Sea R = Z6, 10s enteros mod 6, con la adici6n y la multiplication defi-nidas
por [a] + [b] = [a + b] y [a:l[b] = [ab].
N6tese que [O] es el 0 requerido por 10s axiomas de anillo y [l] es el ele-mento
unidad de R. Observese, no obstante, que Z6 no es un dominio integral,
ya que [2] 131 = [6] = [0], aunque [2] # [0] y [3] # [O]. R es un anillo con-mutativo
con unidad.
El ejemplo anterior sugiere la
DEFINICI~NU.n elemento a # 0 de un anillo R es un divisor de cero
en R si ab = 0 para algun b # 0 de R.
En realidad lo que se acaba de definir se deberia llamar divisor de cero por
la izquierda; sin embargo, dado que se tratarh principalmente de anillos con-mutativos,
no se necesitara ninguna distinci6n izquierda-derecha para 10s divi-sores
de cero.
Obstrvese que tanto [2] como [3] son divisores de cero en Z6. Un dominio
integral es, desde luego, un anillo conmutativo sin divisores de cero.
6. Sea R = Z,, el anillo de 10s enteros mod 5. Por supuesto, R es un
anillo conmutativo con unidad; per0 es algo mas; en realidad, es un campo.
Sus elementos distintos de cero son [ 1 1,121, [3], [4] y se observa que [2] [3] =
[6] = [I], y [l ] y [4] son sus propios inversos. Asi que todo elemento distinto
de cero de Z, tiene inverso en Z,.
Generalizamos el Ejemplo 6 para cualquier primo p.
7. Sea Z, el anillo de 10s enteros modp, donde p es primo. Es evidente de
nuevo que Z, es un anillo conmutativo con unidad. Afirmamos que Z, es un
campo. Para tal fin, obsbvese que si [a] # [0], entonces p 4 a. Por lo tanto,
por el teorema de Fermat (corolario del Teorema 2.4.8), a,-' r 1 (p). Para las
clases [.I, lo anterior dice que [a*'] = [ 1 1. Pero [a*'] = [alp-', asi que
= [I]; por consiguiente, [alp2 es el inverso requerido para {a] en Z,,
por lo tanto Z, es un campo.

4.1 Definiciones y ejemplos 129
En virtud de que Z, tiene solamente un numero finito de elementos, se le
llama campo finito. Posteriormente construiremos campos finitos diferentes a
10s z,.
8. Sea Q el conjunto de 10s numeros racionales; si a E Q, se puede escribir
a = (n/n, donde m y n no tienen factores comunes (son ielativamente primos).
LlAmese a tsta la forma reducida de a. Sea R el conjunto de todos 10s a E Q
en cuya forma reducida el denominador sea impar. Respecto a la adicidn y mul-tiplicacidn
usuales en Q el conjunto R forma un anillo, que es un dominio integral
con unidad per0 no es un campo, ya que i, el inverso necesario de 2, no esd
en R. ~Exactamente cuAles elementos de R tienen sus inversos en R?
9. Sea R el conjunto de todos 10s a E Q en cuya forma reducida el denomi-nador
no sea divisible por un primo fijop. Como en el Ejemplo 7, R es un anillo
respecto a la adicidn y la multiplicacidn usuales en Q, es un dominio integral
per0 no es un campo. iCuAles elementos de R tienen sus inversos en R?
Los Ejemplos 8 y 9 son, desde luego, subanillos de Q. Damos otro ejemplo
conmutativo mb. ~stpero viene del CAlculo.
10. Sea R el conjunto de todas las funciones continuas reales definidas en
el interval0 unitario cerrado [0, 11. Para f, g E R y x E [0, 1 ] definase
(f + g)(x) = f (x) + g(x) y (f . g)(x) = f (x)g(x). De 10s resultados del chlcu-lo,
se tiene que f + g y f . g son tambitn funciones continuas en [0, 11. Con
estas operaciones R es un anillo conmutativo. R no es un dominio integral. Por
ejemplo, si f(x) = -x + + para 0 I x I $ y f(x) = 0 para + < x I 1,
y si g(x) = 0 para 0 I x r 4 y g(x) = 2x - 1 para i < x I 1, entonces f,
g E R y, como es fAcil verificar, f . g = 0. R tiene un elemento unidad, a
saber la funcidn e definida por e(x) = 1 para todo x E [0, 11. ~Cualese le-mentos
de R tienen sus inversos en R?
Seria deseable considerar algunos ejemplos de anillos no conmutativos. ~stos
no son tan fAciles de conseguir, a pesar de que 10s anillos no conrnutativos existen
en abundancia, debido a que estamos suponiendo que el lector no tiene cono-cimientos
de Algebra lineal. La primera fuente, la mk facil y natural, de tales
ejemplos es el conjunto de matrices sobre un campo. De manera que en nuestro
primer ejemplo no conmutativo crearemos en realidad las matrices 2 x 2 con
componentes reales.
11. Sean F el campo de 10s numeros reales y R el conjunto de todas las
formaciones cuadradas
donde a, b, c, d son numeros reales cualesquiera. Para tales formaciones cua-dradas
se define la adicidn de una manera natural por medio de

Para la mayoria de nosotros el concepto de anillo constituia un terreno desco-nocido;
en cambio, el concepto de campo esta mas relacionado con nuestra ex-periencia.
Mientras que el unico anillo, aparte de un campo, que podria
haberse considerado en la ensefianza elemental era el anillo de 10s enteros, se
tenia un poco mas de experiencia trabajando con 10s numeros racionales, 10s
reales y, en algunos casos, 10s numeros complejos, a1 resolver ecuaciones linea-les
y cuadraticas. La capacidad de dividir entre elementos distintos de cero
proporciono cierta libertad de accion para resolver una amplia variedad de
problemas, la cual podria no haberse tenido con 10s enteros.
De mod0 que a primera vista, cuando se empieza a trabajar con campos
se siente uno como en su casa. A medida que se penetra mAs a fondo en la ma-teria,
se empiezan a encontrar nuevas ideas y nuevas Areas de resultados. Se en-cuentra
uno otra vez en terreno desconocido, per0 siendo optimista, despuCs
de cierta exposicion del tema tratado, 10s conceptos se volveran naturales.
Los campos desempeilan un papel importante en la geometria, la teoria de
las ecuaciones y en ciertas areas muy importantes de la teoria de 10s numeros.
Se hara referencia a cada uno de estos aspectos a medida que se avance. Desa-fortunadamente,
debido a la maquinaria tCcnica que se necesitaria desarrollar,
no se considera la teoria de Galois, que es una parte muy bella de la materia.
Se espera que muchos de 10s lectores entren en contact0 con la teoria de Galois,
y mas alla de Csta, en su instruccion matematica posterior.
175

176 CAP~'~UL5O CAMPOS
- -
Recuerdese que un campo F es un anitlo conmutativo con efemento unidad 1
tal que para todo a E F distinto de cero existe un elemento a-' E F de tal mo-do
que aa-' = 1. En otras palabras, 10s campos son "algo parecido" a 10s
racionales Q. Pero jes asi en realidad? Los enteros m6dp,,Zp, donde p es pri-mo,
forman un campo; en Zp se tiene la relacion
-
(p veces)
Nada semejante a esto sucede en Q. Existen diferencias aun mas notables entre
10s campos: como se factorizan 10s polinomios en ellos, propiedades especiales
de las que se veran algunos ejemplos, etcttera.
Se empieza con varios ejemplos conocidos.
1. Q, el campo de 10s numeros racionales.
2. R, el campo de 10s numeros reales.
3. C, el campo de 10s numeros complejos.
4. Sea F = {a + bila, b E Q) C C. Es relativamente sencillo ver que F
es un campo. Se verifica solamente que si a + bi # 0 esta en F, entonces
(a + bi)-' tambitn esta en F. Pero ja qut es igual (a + bi)-'? Simplemente
es
a - ib (Verifiquese)
(a2 + b2) (a2 + b2)
y puesto que a2 + b2 # 0 y es racional, entonces a/(a2 + b2) y b/(a2 + b2)
son tambiCn racionales, por consiguiente (a + bi)-' esta efectivamente en F.
5. Sea F = (a + ~1 a, b E Q) C W. Nuevamente la verification de que
F es un campo no es muy dificil. Tambitn en este caso solamente se demuestra
la existencia en F de 10s elementos distintos de cero de F. Supdngase que a +
bJZ # 0 esta en F; entonces, dado que JTes irracional, a' - 2b2 # 0. Como
se obtiene que (a + bv'B(a/c - ab/c) = 1, donde c = a2 - 2b2. El inverso
requerido para a + bfi es a/c - Ab/c, el cual desde luego es un elemento
de F, ya que a/c y b/c son racionales.

5.1 Ejemplos de campos 177
6. Sean f cualquier campo y F [x] el anillo de polinomios en x sobre F. Como
F [x] es un dominio integral o entero, tiene un campo de cocientes por el Teore-ma
4.7.1, el cual consta de todos 10s cocientes f (x)/g(x), donde f (x) y g(x) estan
en F [x] y g(x) # 0. Este campo de cocientes de F [x] se denota por F(x) y se
llama c.- ampo de 1as funciones rationales en x sobre F.
7. Z,, 10s enteros m6dulo el primo p, es un campo (finito).
>
8. En el Ejemplo 2 de la Seccion 4.4 del Capitulo 4 se vio como construir
un campo que tenga nueve elementos.
Estos ocho ejemplos son especificos. Utilizando 10s teoremas que se han de-mostrado
anteriormente, se tienen algunas construcciones generales de cam-pos.
9. Si D es cualquier dominio entero, entonces tiene campo de cocientes, por
el Teorema 4.7.1, el cual consiste de todas las fracciones a/b, donde a y b estan
en.D y b # 0.
10. Si R es un anillo conmutativo con elemento unidad 1 y M es un ideal
mhimo de R, entonces el Teorema 4.4.2 indica que R/M es un campo.
Este ultimo ejemplo, para R's particulares, desempefiara un papel impor-tante
en lo que sigue en este capitulo.
Se podria continuar viendo mas ejemplos, particularmente con casos espe-ciales
de 10s Ejemplos 9 y 10, per0 10s diez considerados anteriormente mues-tran
una cierta variedad de campos y se observa que no es muy dificil
encontrarse con ellos.
En 10s Ejemplos 7 y 8 10s campos son finitos. Si F es un campo finito con
q elementos, considerando a F simplemente como un grupo abeliano respecto
a su adicion " + ", se tiene, por el Teorema 2.4.5, que qx = 0 para todo
x E F. Este es un comportamiento muy distinto a1 que ocurre en 10s campos
usuales, como el de 10s racionales y el de 10s reales.
Esta clase de comportamiento se seiiala en la
DEFINICI~NSe. dice que un campo F tiene (o es de) caracterktica
p # 0 si para cierto entero positivop, px = 0 para todo x E F, y ningun
entero positivo menor que p goza de esta propiedad.
Si un campo F no es de caracteristica p # 0 para ningun entero positivo p,
se le llama campo de caracterktica 0. De esta manera Q, R, C son campos de
caracteristica 0, mientras que Z3 es de caracteristica 3.
En la definicion anterior el uso de la letra p para denotar la caracteristica
es altamente sugestivo, ya que siempre se ha utilizadop para representar un nu-mero
primo. En realidad, como se observa en el teorema siguiente, este empleo
de p resulta consistente.

178 CAP~TUL5O CAMPOS
TEOREMA 5.1. I. L--.-a ca-r a.c ..t.. .e... r ,i. s. t.-i ,c a d., e.. . .u . .n. . campo , .. - es. ..-c ero , . , . . .. o - b. .i- e .. n, . un . nu.-
-m ero primo. -. -...- -
DEMOSTRACI~NS.i un campo F tiene caracteristica 0, no hay nada mhs que
decir. Supdngase entonces que mx = 0 para todo x E F, donde m es un entero
positivo. Sea p el menor entero positivo tal que px = 0 para todo x E F. Afir-mamos
quep es primo. Sip = uv, donde u > 1 y v > 1 son enteros, entonces
se tiene que en F, (ul )(vl ) = (uv)l = 0, donde 1 es el elemento unidad de
F. Pero por ser Fun campo, es un dominio integral (Problema 1); por lo tanto,
ul = 0 o bien vl = 0. En cualquier caso se obtiene que 0 = (ul)(x) = ux [o,
de manera semejante, 0 = (v1)x = vx] para cualquier x en F. Pero esto
contradice la elecci6n de p como el menor entero con esta propiedad. Por
consiguiente, p es primo.
ObsCrvese que no se emple6 toda la fuerza de la hip6tesis de que F era un
campo. Solamente se ocupo que F era un dominio integral (con unidad 1). De
manera que si se define la caracteristica de un dominio integral como cero o
el menor entero positivo p tal quepx = 0 para toda x E F, se obtiene el mismo
resultado. Por consiguiente, se tiene el
COROLARSIOi D. es un dominio integral (o entero), entonces su
caracteristica es cero o bien un numero primo.
PROBLEMAS 5.1
1. DemuCstrese que un campo es un dominio integral.
2. PruCbese el corolario aun en el caso en que D no tenga elemento unidad.
3. Dado un anillo R, sean S = R [x] el anillo de polinomios en x sobre R
y T = S [y] el anillo de polinomios en y sobre S. DemuCstrese que:
(a) Cualquier elemento f (x, y) de T tiene la forma CCaUx'yj, donde
10s aij estan en R.
(b) En tirminos de la forma de f (x, y) en Tdada en la parte (a), proporcio-nese
la condicion para la igualdad de dos elementos f (x, y) y g(x, y)
de T.
(c) En terminos de la forma de f (x, y) dada en (a), proporcionese la
formula de f (x, Y) + g(x, Y 1, para f (x, Y 1, g(x, Y) en T.
(d) Proporcionese la forma del product0 def (x, y) y g(x, y) si ambos es-tan
en T. (T se llama anillo de polinomios en dos variables sobre R y
se denota por R [x, y].)
4. Si D es un dominio integral o entero, demukstrese que D [x, y] es tambiCn
un dominio integral o entero.

5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales 179
5. Si F es un campo y D = F [x, y], el campo de cocientes de D se llama cam-po
de funciones racionales en dos variables sobre F y se denota usualmente
por F(x, y). Proporcionese la forma del elemento ~ipicod e F(x, y).
6. PruCbese que F(x, y) es isomorfo a F(y, x).
7. Si F es un campo de caracteristica p # 0, demuestrese que (a + b)P =
aP + bP para todo a, b E F. (Sugerencia: Utilice el teorema del bino-mio
y el hecho de que p es primo.) I
8. Si F es un campo de caracteristica p # 0, demuestrese que (a + b)m =
am + bm, donde m = pn, para todo a, b en F y cualquier entero posi-tivo
n.
9. Sea Fun campo de caracteristicap # 0 y sea cp: F + F definida por cp(a) =
aP para todo a E F.
(a) DemuCstrese que cp define un monomorfismo de F en 61 mismo.
(b) Proporcionese un ejemplo de un campo F donde cp no sea suprayectiva.
(Muy dificil.)
10. Si F es un campo finito de caracteristica p, demuestrese que la aplicacion
cp definida anteriormente es suprayectiva, por consiguiente es un automor-fismo
de F.
- - -
Para abordar las cosas deseables de realizar en la teoria de 10s campos, se re-quieren
ciertos instrumentos tecnicos que todavia no se tienen. Esto implica la
relacion de dos campos K > F y lo que seria bueno considerar como cierta me-dida
de la magnitud de K comparada con la de F. Dicha magnitud es lo que
se llamara dimension o grado de K sobre F.
Sin embargo, para tales consideraciones, se requiere de K mucho menos
que ser un campo. Seria una negligencia si se probaran estos resultados sola-mente
para el context0 especial de dos campos K > F, en virtud de que las mis-mas
ideas, demostraciones y espiritu son validos en una situacion mucho mb
amplia. Se necesita el concept0 de espacio vectorial sobre un campo F. Ademas
del hecho de que lo que se realice en 10s espacios vectoriales sera importante
en relacion a 10s campos, las ideas desarrolladas aparecen en todas las partes
de las matematicas. Los estudiantes de algebra deben ver estos temas en alguna
etapa de su instruccion. Un lugar apropiado es aqui precisamente.
DEFINICIONU. n espacio vectorial V sobre un carnpo F es un grupo
abeliano respecto a la adicion " + " tal que para todo a! E F y todo v E
V existe un elemento a!v E V de tal mod0 que:

180 CAPiTULO 5 CAMPOS
(a) a(vl + v2) = avl + av2, para a E F, vl, v2 E V.
(b) (a + P)v = av + pv, para a , /3 E F, v E V.
(c) ~(Pv=) (aP)v, para a , E F, v E V.
(d) lv = v para todo v E V, donde 1 es el elemento unidad de F.
Cuando se trate de espacios vectoriales (lo cual se hara muy brevemente)
se emplearan letras latinas minusculas para 10s elementps de V y letras
minusculas griegas para 10s elementos de F.
El asunto basico que se tratara aqui radica solamente en un aspect0 de la
teoria de 10s espacios vectoriales: el concepto de la dimension de V sobre F.
Se desarrollara este concepto de la manera mas expedita posible, no necesaria-mente
la mejor o la mas elegante. Se aconseja firmemente a 10s lectores que
estudien 10s demas aspectos de lo que se realiza en 10s espacios vectoriales en
otros libros de algebra o de algebra lineal (por ejemplo, Algebra Moderna del
autor de este libro).
Antes de abordar algunos resultados, se examinan varios ejemplos. En ca-da
caso, se dejan a1 lector 10s detalles de verificacion de que el ejemplo real-mente
es de un espacio vectorial.
1. Sean F cualquier campo y V = {(al, a2, . . . , a,) 110s a; E F) el conjunto
de n-adas sobre F, con igualdad y adicion definidas por componentes. Para v =
(a1, a2, . . . , a,) y /3 E F, definase pv = (Pal, pa2, . . . , Pa,). V es un espacio
vectorial sobre F.
2. Sean F cualquier campo y V = F [x] el anillo de polinomios en x sobre
F. Haciendo a un lado el producto de elementos arbitrarios de F [x] y utilizan-do
solamente el producto de un polinomio por una constante, por ejemplo,
se encuentra que V se convierte en un espacio vectorial sobre F.
3. Sean V como en el Ejemplo 2 y W = { f (x) E VJ grd (f (x)) I n). En-tonces
W es un espacio vectorial sobre F y W C V es un subespacio de V.
4. Sea V el conjunto de todas las funciones reales diferenciables en [0, I.],
el interval0 unitario cerrado, con la adicion y multiplicacidn de una funcion
por un numero real usuales. Entonces V es un espacio vectorial sobre R.
5. Sea W el conjunto de todas las funciones reales continuas en [0, 1 1, de
nuevo con la adici6n y multiplicacion de ;na funci6n por un ndmero real usua-les.
Tambikn W es un espacio vectorial sobre R y el V del Ejemplo 4 es un su-bespacio
de W.

6. Sea F cualquier campo y F [x] el anillo de polinomios en x sobre F. Sea
f (x) un elemento de F [x] y J = (f (x)) el ideal de F [x] generado por f (x).
Sea V = F [x]/J, donde se define a(g(x) + J ) = ag(x) + J. Entonces
V es un espacio vectorial sobre F.
7. Sean R el campo real y Vel conjunto de todas las soluciones de la ecuacibn
diferencial d2y/dx2 + y = 0. V es un espacio vectorial sobre R.
I
8. Sea V cualquier espacio vectorial sobre un campo F y sean tambiCn
v,, v2, . . . , U, elementos del espacio vectorial V. Sea (v,, v2, . . . , v, ) =
{alul + a2v2 + - - + a,v, la1, a2, . . . , a, E F). Entonces ( v,, v2, . . . , V, )
es un espacio vectorial sobre F y es un subespacio de V. Este subespacio
(vl, v2, . . . , v, ) se llama subespacio de V generado o abarcado por v,, . . . , v,
sobre F; sus elementos se llaman combinaciones lineales de vl, . . . , v,. Pronto
se tendra mucho que decir con respecto a (vl, v2, . . . , u,).
9. Sean V y W espacios vectoriales sobre un campo F y V e W =
{(v, w) 1 v E V, w E W), con igualdad y adicion definidas por componentes y
donde a(v, w) = (av, aw). Entonces se ve facilmente que V e W es un espacio
vectorial sobre F; se le llama suma directa de V y W.
10. Sea K > F dos campos, con la adici6n " + " de K y donde av, para
a E F y v E K, es el producto como elementos del campo K. Entonces las con-diciones
1 y 2 que definen un espacio vectorial son simplemente casos especiales
de las leyes distributivas que son validas en K, y la condition 3 es simplemente
una consecuencia de la asociatividad del producto en K. Finalmente, la condi-cion
4 es exactamente la reformulacion del hecho de que 1 es el elemento uni-dad
de K. Por lo tanto, K es un espacio vectorial sobre F.
Entre estos ejemplos existe una marcada diferencia en un aspecto, la cual
se especifica analizandolos cada uno a su vez.
1. En el Ejemplo 1, si
v, = (1, 0, . . ., O), v2 = (0, 1, 0, .. ., O), . . ., vn = (0, 0, ..., I),
entonces todo elemento v de V tiene una representacibn unica de la forma
u = a1v1 + . . . + a,~,, donde a,, . . . , a, estan en F.
2. En el Ejemplo 3, si vl = 1, v2 = x, . . . , V, = xi-', . . . , u,+] = xn, enton-ces
donde v E V tiene una representacion unica como v = alvl + - . - +
a,~,, con 10s a; en F.
3. En el Ejemplo 7, toda solucidn de d2y/dx2 + y = 0 es de la forma unica
y = acosx + psenx, con a y p reales.
4. En el Ejemplo 8, todo v E (vl, . . . , v,) tiene una re~resentacion -aunque
no necesariamente unica- como v = alvl + . . . + anvn en virtud de la

misma definicion de (v,, . . ., v,). La unicidad de esta representacion de-pende
mucho de 10s elementos v,, . . . , vn.
5. En el caso especial del Ejemplo 10, donde K = C , el campo de 10s numeros
complejos, y F = R el de 10s numeros reales, se tiene que todo v E C es
de la forma unica v = a, + pi, (Y, ,O E R.
6. ConsidCrese K = F(x) > F, el campo de las funciones racionales en x so-bre
F. Se afirma -y se deja a1 lector- que no se puede encontrar ningun
conjunto finito de elementos de K que genere K sobre F. Este fenomeno
tambikn fue cierto en algunos de 10s otros ejemplos de espacios vectoriales
que se dieron.
El unico centro de atencion aqui radicara en este concept0 de espacio vecto-rial
que contenga algun subconjunto finito que lo genere sobre el campo de ba-se.
Antes de iniciar la discusion del tema, se debe disponer primero de una lista
de propiedades formales que sean validas en un espacio vectorial. El lector ya
esta tan perfeccionado en el trato con estas cosas abstractas formales, que se
le deja la demostracion del siguiente lema.
LEMA 5.2.1. Si V es un espacio vector.i-a l sobre un campo a F. ,. e nt-on--
-c--e s, pa-r-a- todo (YFE y todo v E-y:
(a) (YO = 0, donde 0 es el elemento cero de V.
(b) Ov = 0, donde 0 es el cero de F.
(c) (YV = 0 implica que a, = 0 o bien v = 0.
(d) -(-( Y- )V= -(. (Y" V- ) .
En vista de este lema, no se incurrira en ninguna confusion si se utiliza el
simbolo 0 tanto para el cero de F como para el de V.
Nos olvidamos de 10s espacios vectoriales por un momento y analizamos
las soluciones de ciertos sistemas de ecuaciones lineales en campos. ConsidC-rense,
por ejemplo, las dos ecuaciones lineales homogeneas con coeficientes re-ales,
x, + x2 + x3 = 0 y 3x1 - x2 + x3 = 0. Se ve facilmente que para
cualesquier x,, x3 tales que 4x, + 2x3 = 0 y x2 = -(x, + x3), se obtiene una
solucion del sistema. En realidad, existe una infinidad de soluciones de este sis-tema
aparte de la trivial x, = 0, x2 = 0, x3 = 0. Si examinamos este ejemplo
y nos preguntamos: iPor quC hay infinidad de soluciones de este sistema de
ecuaciones lineales?, llegamos rapidamente a la conclusion de que, debido a
que hay mas variables que ecuaciones, se tiene espacio para maniobrar y pro-ducir
soluciones. Esta es exactamente la situacion que prevalece en el caso mas
general, como se ve en seguida.
DEFINICIONS. ea F un campo; entonces la n-ada (PI, . . . , on),
donde 10s 0, estan en F y no todos son 0, se dice que 13 una solucion
no trivial en F del sistema de ecuaciones lineales homogeneas

5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales
donde todos 10s a;, estan en F, si a1 sustituir xl = PI, . . . , xn = Pn se
satisfacen todas las ecuaciones de (*).
Para el sistema (*) se tiene el siguiente
TEOREMA 5.2.2. -.S. i n - >- r, es decir, si el nlimero de variables (incog--
nit .a. s)- -e--x -c ede el numero de ecuaciones en (*), entokes (*) trene un-a - so--
lu-c idn no trivial en F.
DEMOSTRACI~NE.l mktodo, que de ordinario se estudia en bachillerato, es
el de la soluci6n de ecuaciones simultaneas que consiste en eliminar una de las
incognitas y a la vez reducir en uno el numero de ecuaciones.
Se procede por induccidn en r, el nlimero de ecuaciones. Si r = 1, el siste-ma
(*) se reduce a allxl + . - . + aInxn= 0, y n > 1. Si todos 10s ali= 0,
entonces x, = x2 = . a = xn = 1 es una solucion no trivial de (*). De mane-ra
que, renumerando, se puede suponer que a,, # 0; entonces se tiene la solu-cion
no trivial de (*): x2 = . - - = xn = 1 y xI = -(l/all)(a12 + . . - + a,,).
Supongase que el resultado es correct0 para r = k, para cierto k, y que (*)
es un sistema de k + 1 ecuaciones homogkneas lineales en n > k + 1 va-riables.
Se puede suponer como antes que algun aii # 0, y que a,, # 0, sin que
se pierda generalidad.
Se construye un sistema relacionado (**) de k ecuaciones homogkneas line-ales
en n - 1 variables; puesto que n > k + 1, se tiene que n - 1 > k, por
lo tanto se puede aplicar induction a este nuevo sistema (**). iC6m0 obtener-lo?
Se desea eliminar x, de las ecuaciones. Para tal fin se resta la primera
ecuacion multiplicada por a,,/all de la i-ksima ecuacion para cada i = 2, 3,
. . . , k.+ 1. Luego de realizar lo anterior, se llega a1 nuevo sistema de k ecua-ciones
homogeneas lineales en n - 1 variables:

184 CAP~TLIL5O CAMPOS
donde flu = au- ai,/allp ara i = 2, 3, . . ., k + 1 y j = 2, 3, . . ., n.
Puesto que (**) es un sistema de k ecuaciones homogkneas lineales en n -
1 variables y n - 1 > k, por la hipotesis de inducci6n (**) tiene una soluci6n
no trivial (y,, . . . , 7,) en F. Sea yl = -(alzyz + - - - + alnyn)/alls;e deja a1
lector verificar que la n-ada (y,, y,, . . . , y,) asi obtenida es una soluci6n no
trivial requerida de (*). Esto completa la inducci6n y de esta manera se prueba
el teorema.
Una vez establecido este resultado, se puede utilizar libremente en el estu-dio
de espacios vectoriales. Para hacer hincapik, se repite algo que se definio
anteriormente en el Ejemplo 8.
DEFINICI~NSe.a n V un espacio vectorial sobre F y u,, u,, . . . , u,
elementos de V. Se dice que un elemento u E V es .una combinacion li-neal
de u,, u,, . . . , u, si u = alu, + - e e + a,u, para algunos a,, e - a,
a, en F.
Como se sefial6 en el Ejemplo.8, el conjunto (u,, u,, . . . ,. u,) de todas las
combinaciones lineales de u,, u,, . . . , U, es un espacio vectorial sobre F y co-mo
esta contenido en V, es un subespacio de V. iPor que es un espaci'o vecto-rial?
Si a, v, + . . . + a,u, y Plvl + . . . + Pnvn son dos combinaciones
lineales de u,, . . . , u,, entonces
por 10s axiomas que definen un espacio vectorial, y por lo tanto esta en
(ul, . . ., u,). Si y E F y a1u1 + --a + a,~,E (ul, . . ., u,), entonces
asi que tambikn esta en (u,, . . . , u,). Por consiguiente, (u,, . . . , u,) es un
espacio vectorial. Como se le llamo anteriormente, es el subespacio de Vgenerado
sobre F por ul, . . ., Un.

Esto conduce a la muy importante
DEFINICI~NU.n espacio vectorial V sobre F es finito-dimensional
sobre F si V = ( v,, . . . , v,) para ciertos v,, . . . , v, en V, es decir, si
V es generado sobre F por un conjunto finito de elementos.
En caso contrario, se dice que V es infinite-dimensional sobre F si no es
finito-dimensional sobre F. Obstrvese que aunque se ha definido lo que signifi-ca
espacio vectorial finito-dimensional, aun no se ha definido lo que significa
su dimensi6n. Esto vendra a su debido tiempo.
Supongase que V es un espacio vectorial sobre F y que v,, . . . , v, en V
son tales que todo elemento v de (v,, . . . , v,) tiene una representacion unica
de la forma v = alvl + . . . + a,v,, donde a,, . . . , a, E F. Puesto que
0 E (~1,. . -9 ~n) Y 0 = OV, + ... + OV,,
por la unicidad supuesta se obtiene que si a,v, + -.- + a,v, = 0, entonces
a, = a2 = - - = a, = 0. Esto sugiere una segunda definicion muy impor-tante,
la cual se da a continuacion.
DEFINICI~NS.e a V un espacio vectorial sobre F; entonces se dice
que 10s elementos v,, . . . , v, en V son linealmente independientes
sobre Fsi a,v, + + a,v, = 0, donde a,, . . ., a, estan en F, im-plica
que a, = a2 = . . = a, = 0.
Si 10s elementos v,, . . . , v, en V no son linealmente independientes sobre
F, entonces se dice que son linealmente dependientes sobre F. Por ejemplo,
si W es el campo de 10s numeros reales y V es el conjunto de las triadas
sobre W como se defini6 en el Ejemplo 1, entonces (0, 0, I), (0, 1, 0) y
(1, 0, 0) son linealmente independientes sobre R (prutbese), mientras que
(1, -2, 7), (0, 1, 0) y (1, -3, 7) son linealmente dependientes sobre R , ya que
l(1, -2, 7) + (-1)(0, 1, 0) + (-1)(1, -3, 7) = (0, 0, 0)-es una combinacion
lineal no trivial de dichos elementos sobre R, que es igual a1 vector cero.
Obstrvese que la independencia lineal depende del campo F. Si C > R son
10s campos complejo y real, respectivamente, entonces C es un espacio vecto-rial
sobre W, per0 tambitn es un espacio vectorial sobre C mismo. Los elemen-tos
1, i en C son linealmente independientes sobre W per0 no lo son sobre C,
ya que il + (-l)i = 0 es una combinaci6n lineal no trivial de 1, i sobre C.
Se prueba el siguiente
LEMA 5.2.3. -S.-i v es" un espacio vectorial sobre F y v,, . . . , v, en V
son linealmente independientes sobre F, entonces todo elemento v €
"" .
( v,, . . . , vn ) tiene una representacion unica como
con a,, . . . , a, en F. -". ,.., , -

186 CAP~TUL5O 0 CAMPOS
DEMOSCRAC16N. Sup6ngase que v E ( vl, . . . , v,) tiene las dos representa-ciones
v = alvl + + a,v, = Plvl + ... + P,v, con 10s a y 10s 0 en F.
Esto implica que (a, - Pl)vl + + (a, - &)v, = 0; puesto que v,, . . . ,
v, son linealmente independientes sobre F, se concluye que a, - PI = 0, .
a, - @,, = 0, lo cual da por resultado la unicidad de la representacibn. '
a
~QuCta n finito es un espacio vectorial finito-dimensional? Para medir esto,
llamese a un subconjunto vl, . . . , v, de V un conjunto generador minimo de
V sobre F si V = (v,, . . . , v,) y ningun conjunto con menos de n elementos
genera a V sobre F.
Se llega ahora a la tercera definici6n muy importante.
DEFINICI~NSi. Ves un espacio vectorial finito-dimensional sobre F,
entonces la dimension de V sobre F, que se expresa como dimF( V),
es n, el numero de elementos de un conjunto generador minimo de V
sobre F.
En 10s ejemplos dados, dim,(C) = 2, puesto que 1, i es un conjunto gene-rador
minimo de C sobre R. En cambio, dim, (C) = 1. En el Ejemplo 1,
dimF (V) = n y en el Ejemplo 3, dimF (V) = n + 1 . En el Ejemplo 7 la
dimensi6n de V sobre F es 2. Finalmente, si ( v,, . . . , vn ) C V, entonces
dimF (v,, . . . , v,) es a lo sumo n.
Se prueba ahora el
LEMA 5.2.4. &V es finito-dimensional sobre F de dimensi6n n y si
10s elementos v,, . . . , v, de V generan a V sobre F, entonces v,, . . .; -..
v,_son linealmente independientes sobre F.
DEMOSTRACI~NS. up6ngase que u,, . . . , v, son linealmente dependientes so-bre
F; por consiguiente existe una combinaci6n lineal a,vl + . . - + a,v, =
0, donde no todos 10s ai son cero. Se puede suponer que a, f 0; sin que se
pierda generalidad; entonces u, = (-~/o!~)(cY+~ v.~ . . + a,~,). Dado v E V,
en virtud de que v,, . . . , u, es un conjunto generador de V sobre F,
asi que LIZ., . . , V, generan V sobre F, lo cual contradice que el subconjunto
v,, v2, . . . , V, sea un conjunto generador minimo de V sobre F.
Se llega ahora a otra definici6n importante.

DEFINICION. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional sobre F;
entonces v,, . . . , v, es una base de V sobre F, si 10s elementos v,, . . . ,
v, generan V sobre F y son linealmente independientes sobre F.
Por el Lema 5.2.4 cualquier conjunto generador minimo de V sobre F es
una base de V sobre F. Por consiguiente 10s espacios vectoriales finito-dimensionales
poseen bases. Se continua con el
TEOREMA 5.2.5. 26ngase que V cs finito-dimensional sobre F; en-
-ton ces dos bases cualesquiera de V sobre F deben tener el mismo numi--
ro. de elementos, y este numero es exactarnente dim,(V).
DEMOSTRACI~NS.e an v,, . . ., v, y w,, . . . , w, dos bases de V sobre F. Se
requiere demostrar que rn = n. Sup6ngase que rn > n. En virtud de que v,,
. . . , v, es una base de V sobre F, se sabe que todo elernento de V es una com-binacion
lineal de 10s vi sobre F. En particular, w,, . . . , w, son cada uno una
combinacion lineal de v,, . . . , v, sobre F. De esta manera se tiene
donde 10s aii estan en F.
Considerese
El sistema de ecuaciones homogeneas lineales
tiene una solucion no trivial en Fen virtud del Teorema 5.2.2, ya que el numero
de variables rn supera a1 numero de ecuaciones n. Si PI, . . . , 6, es una tal so-luci6n
en F, entonces, por lo anterior, P,w, + . . . + b,~, = 0, no obstante

que no todos 10s Pi son cero. Esto contradice la independencia lineal de w,,
. . . , w, sobre F. Por lo tanto, m I n. De manera semejante, n 5 m; por
consiguiente m = n. El teorema resulta luego probado, puesto que un conjun-to
generador minimo de V sobre F es una base de V sobre F y el numero de
elementos en tal conjunto es por definicion dimF( V). Por lo tanto, en vista de
lo obtenido anteriormente, n = dimF(V) y se completa la demostracibn.
Otro resultado, que se utilizara en la teoria de campos, de naturaleza
semejante a 10s que se han obtenido, es
TEOREMA 5.2.6. Sea V un espacio vectorial sobre F tal que
-d- imf( V) = n. Si m 7-n, entonces m elementos cualesquiera de V son
l-i nealnkte dependien-te.s sobre F.
DEMOSTRAC16N. Sean w,, . . . , w, E V y vl, . . . , vn una base de V sobre F;
o sea que n = dimF(V) por el Teorema 5.2.5. Por consiguiente,
La demostracion dada en el Teorema 5.2.5, de que si m > n se pueden encontrar
PI, . . . , Pm en F, donde no todos son cero, de tal mod0 que PI w, + . . - +
P,w, = 0, se aplica a1 pie de la letra. Pero esto establece que w,, . . . , w, son
linealmente dependientes sobre F.
Se concluye esta secci6n con un teorema final del mismo tipo de 10s anterio-res.
TEOREMA 5.2.7. Sea V un espacio vectorial sobre F con dimF( V) =
n-. . E-nt onces n elemezos cualesquiera de V linealmente ;ndependientes
forman una base de V sobre F. -. -
DEMOSTRACI~NSe. requiere demostrar que si v,, . . . , un E V son lineal-mente
independientes sobre F, entonces generan V sobre F. Sea v E en-tonces
v, vl, . . . , vn son n + 1 elementos, por lo tanto, por el Teorema
5.2.6, son linealmente dependientes sobre F. De esta manera existen elemen-tos
a, al, . . . , an en F, no todos cero, tales que a v + alvl + . . + anun =
0. El elemento a no puede ser cero, de lo contrario a,v, + . . . + anun =
0, y no todos 10s ai son cero, por lo cual se contradiria la independencia
lineal de 10s elementos v,, . . . , un sobre F. Asi que a # 0, y entonces v =
(-l/a)(aI vI + - + anun) = Plul + - . - + Pnvn, donde Pi = -ai/al. Por lo
tanto, v,, . . . , vn generan V sobre F y por consiguiente deben formar una base
de V sobre F.

5.2 Breve excursion hacia 10s espacios vectoriales
PROBLEMAS 5.2
1. Determinese si 10s siguientes elementos de V, el espacio vectorial de las ter-nas
sobre W , son linealmente independientes sobre W .
(a) (1, 2, 31, (4, 5, 61, (7, 8, 9).
(b) (1, 0, 11, (0, 1, 21, (0, 0, 1).
(c) (1, 2, 31, (0, 4, 5). (i, 3,3.
2. Encuentrese una solucion no trivial en ZS del sistema de ecuaciones homo-geneas
lineales:
3. Si V es un espacio vectorial de dimension n sobre Z,, p primo, demubtre-se
que V tiene pn elementos.
4. Pruebese todo el Lema 5.2.1.
5. Sea Fun campo y V = F [XI, el anillo de polinomios en x sobre F. Conside-rando
a V como un espacio vectorial sobre F, pruebese que V no es finito-dimensional
sobre F.
6. Si V es un espacio vectorial finito-dimensional sobre F y si W es un subes-pacio
de V, pruebese que:
(a) W es finito-dimensional sobre F y dim, ( W ) I dimF ( V ) .
(b) si dim, ( W ) = dim,( V ) , entonces V = W.
7. Defina el lector lo que crea que debe ser un homomorfismo # de espacios
vectoriales de V en W, donde V y W son espacios vectoriales sobre F. ~QuC
se puede decir respecto a1 nucleo K, de #, donde K = {v E Vl #(v) = O)?
8. Si V es un espacio vectorial sobre F y W es un subespacio de V, definanse
las operaciones requeridas en V/ W para que se convierta en un espacio
vectorial sobre F.
9. Demuestrese que si dim,(V) = n y W es un subespacio de V con
dim, ( W ) = m, entonces dim, ( V/ W ) = n - m.
10. Si #: V + V' es un homomorfismo de V sobre V' con nucleo K, demuestre-se
que V' 2: V/K (como espacios vectoriales sobre F).
11. Si V es un espacio vectorial finito-dimensional sobre F y v,, . . . , v, en V
son linealmente independientes sobre F, demuestrese que se pueden encon-

190 CAP~TUL5O 0 CAMPOS
trar w,, . . ., w, en V, donde m + r = dimF(V), tales que v,, . . ., vrn,
w,, . . . , w, forman una base de V sobre F.
12. Si V es un espacio vectorial sobre F de dimension n, pruCbese que V es iso-morfo
a1 espacio vectorial de n-adas sobre F (Ejemplo 1).
13. Sean K > F dos campos; supongase que K, como espacio vectorial sobre
F, tiene dimension finita n. DemuCstrese que si a E K, entonces existen ao,
a,, . . . , a, en F, no todos cero, tales que
14. Sea Fun campo, F [x] el anillo de polinomios en x sobre F y f (x) # 0 en
F [x]. ConsidCrese V = F [x]/J como un espacio vectorial sobre F, donde
J es el ideal de F [x] generado por f (x). PruCbese que
dim, ( V) = deg f (x).
15. Si V y Wson dos espacios vectoriales finito-dimensionales sobre F, pruCbe-se
que V e W es finito-dimensional sobre F y que dim, ( V e W) =
dim, ( V) + dim, ( W).
16. Sea V un espacio vectorial sobre F y supongase que U y W son subespacios
de V. Definase U + W = {u + wlu E U, w E W). PruCbese que:
(a) U + W es un subespacio de V.
(b) U + W es finito-dimensional sobre F si tanto U como W lo son.
(c) U n W es un subespacio de V.
(d) U + W es una imagen homomorfa de U e W.
(e) Si U y W son finito-dimensionales sobre F, entonces
dimF([/ + W) = dim, ( U) + dim, ( W) - dim, ( U n W).
17. Sean K > F dos campos tales que dimF(K) = m. Supongase que V es un
espacio vectorial sobre K. PruCbese que:
(a) V es un espacio vectorial sobre F.
(b) Si V es finito dimensional sobre K, entonces es finito dimensional sobre
F.
(c) Si dim,( V) = n, entonces dimF(V) = mn [es decir, dimF( V) =
dim, ( V) dim, (K)] .
18. Sean K > F campos y supongase que V es un espacio vectorial sobre K tal
que dim, ( V) es finito. Si dimF(K) es finito, demuCstrese que dim, ( V) es
finita y determinese su valor en tirminos de dim,(V) y dim,(K).

5.3 Extensiones de campos 191
19. Sea D un dominio integral con unidad 1, que es un espacio vectorial finito-dimensional
sobre un campo F. PruCbese que D es un campo. (Nofa: Dado
que F 1, que se puede identificar con F, esta en D, la estructura de anillo
de D y la estructura de espacio vectorial de D sobre F estan en armonia en-tre
si.)
20. Sea V un espacio vectorial sobre un campo infinito F. DemuCstrese que V
no puede ser la union (corno en la teoria de conjuntos) de un numero finito
de subespacios propios de V. (Muy dijicil.)
Nuestra atencion se vuelve ahora hacia una relaci6n entre dos campos K y F,
donde K > F. Se le llama a K una extension (o campo extension) de F, y a F
un subcampo de K. En todo lo que sigue en esta seccion se sobreentendera que
K 3 F.
Se dice que K es una extension finita de F si, considerado como espacio vec-torial
sobre F, dim,(K) es finita. Se expresara dim,(K) como [K : F] y se le
llamara grado de K sobre F.
Se inicia la discusion con el resultado que normalmente es el primer0 que
se prueba a1 hablar de extensiones finitas.
TEOREMA 5.3.1. -.S- ean- L > K > F tres campos tales que ambas
-[-L- : K] y [K : F ] son finitas. ~ntoncesL es una extension finita d .e. F-y[
L:F] = [L:K][K:F].
DEMOSTRACI~SNe. p robara que L es una extension finita de F mostrando ex-plicitamente
una base finita de L sobre F. A1 hacerlo se obtendra el resultado
mas fuerte afirmado en el teorema, a saber que [L : F ] = [L : K] [K : F].
Supongase que [L : K] = m y [K : F] = n; entonces L tiene una base v,,
v2, . . . , U, sobre K y K tiene una base w,, w2, . . . , w, sobre F. Se probara que
10s mn elementos viwj, donde i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , n, constituyen
una base de L sobre F.
Se empieza por demostrar que, por lo menos, estos elementos generan L
sobre F; esto demostrara, por supuesto, que L es una extension finita de F. Sea
a E L; dado que 10s elementos v,, . . . , v, forman una base de L sobre K, se
tiene a = k,vl + . . + k,v,, donde k,, k2, . . . , k,,, estan en K. Puesto que
w,, . . . , w, es una base de K sobre F, se puede expresar cada ki como
donde 10s f,, estan en F. Sustituyendo estas expresiones de 10s ki en la expre-sion
anterior de a, se obtiene

192 CAP~TULO5 CAMPOS
Por lo tanto, descifrando explicitamente esta suma, se obtiene que
De esta manera 10s mn elementos uiwj de L generan L sobre F; por lo tanto,
[L : F] es finita y, en efecto, [L : F] I mn.
Para demostrar que [L : F ] = mn, se necesita solamente probar que 10s
mn elementos uiwj anteriores son linealmente independientes sobre F, ya que
entonces -junto con el hecho de que generan L sobre F- se tendria que for-man
una base de L sobre F. Por el Teorema 5.2.5 se llegaria a1 resultado desea-do
[L : F] = mn = [L : K] [K: F].
Supongase entonces que para algun bU en F se tiene la relacion
Reuniendo tCrminos en esta suma, se obtiene que c,ul + c2u2 + -. . +
cmum = 0, donde c, = bllwl + . -. + blnwn, . . . , C, = bmlwl + . . . +
b,,w,. Puesto que 10s ci son elementos de K y 10s elementos u,, . . . , v, de L
son linealmente independientes sobre K, se tiene que c, = c2 = = c, = 0.
Recordando que ci = bi,wl + . . . + b,w,, donde 10s bU estan en F y w,,
. . . , w, de K son linealmente independientes sobre F, se deduce que todos 10s
bU = 0 a partir del hecho de que c, = c2 = . . - = c, = 0. Por consiguiente,
solo la combinacion lineal trivial, con todos 10s coeficientes cero, de 10s elementos
viwj sobre F puede ser cero. Por lo tanto, 10s uiwj son linealmente independien-tes
sobre F. Anteriormente se vio que esto era suficiente para probar el teore-ma.
El lector debe comparar el Teorema 5.3.1 con el resultado un poco mas ge-neral
del Problema 17 de la Seccion 5.2, el cual ya debe poder resolver.
Como consecuencia del teorema se tiene el
COROLARISOi L. 2 K 2 F son tres campos tales que [L : F~S
finito, entonces [K : F] es finito y divide a [L : F1.
DEMOSTRACI~NP.u esto que L > K, K no puede tener mas elementos lineal-mente
independientes sobre F que L. En virtud de que, por el Teorema 5.2.6,
[L : F ] es el tamaiio del mayor conjunto de elementos linealmente indepen-dientes
en L sobre F, se obtiene en consecuencia que [K : F ] I [L : F], asi
que debe ser finito. Dado que L es finito dimensional sobre F y puesto que K

5.3 Exiensiones de campos 193
contiene a F, L debe ser finito dimensional sobre K. De esta manera se satisfa-cen
todas las condiciones del Teorema 5.3.1, de. lo cual [L : F] =
[L : K] [K : F]. Por consiguiente, [K : F] divide a [L : F], como se afirma en
el corolario.
Si K es una extension finita de F, se puede decir bastante con respecto a1
comportamiento de 10s elementos de K con relacion a F. Esto es
TEOREMA 5.3.2. -S-u-p ongase que K es una extension finita de F de
g-r ado n. Entonces, dado cualquier elemento u en K existen elementos
a-, ,- al, . . . , a, en F, no todos cero, tales que
DEMOSTRACI~DNa.d o que [K : F ] = dim,(K) = n y 10s elementos 1, u, u2,
. . . , un son en total n + 1, por el Teorema 5.2.6 deben ser linealmente depen-dientes
sobre F. De esta manera se pueden encontrar a,, al, . . . , a, en F, no
todos cero, tales que a, + alu + a2u2 + . - + a,un = 0, con lo cual se
prueba el teorema.
La conclusion de este teorema sugiere seiialar aquellos elementos de una ex-tension
de campo que satisfagan un polinomio no trivial.
DEFINICI~NS.i K > F son campos, entonces se dice que a E K es
algebraico sobre F si existe un polinomio p(x) # 0 en F[x] tal que
p(a) = 0.
Por p(a) se entiende el elemento a,,an + alan-' + . . . + a, de K, donde
p(x) = a&' + alxn-l + . . . + a,.
Si K es una extension de F tal que todo elemento de K es algebraico sobre
F, se dice que K es una extension algebraica de F. En estos tCrminos el Teorema
5.3.2 se puede reformular como sigue: Si K es una extension finita de F, enton-ces
K es una extension algebraica de F.
El reciproco de esto no es cierto; una extension algebraica de F no
necesariamente es de grado finito sobre F. iPuede el lector proporcionar un
ejemplo de tal situacion?
Un elemento de K que no es algebraico sobre F se dice que es trascendente
sobre F.
Veamos algunos ejemplos de elementos algebraicos en un context0 concre-to.
ConsidCrese Q= > Q, el campo complejo como una extension del campo de
10s racionales. El numero complejo a = 1 + i es algebraico sobre Q, ya que
satisface a2 - 2a + 2 = 0 sobre Q. De manera semejante, el numero real
3 3
b = 1 + /- es algebraico sobre Q, puesto que b2 = 1 + dl,de
mod0 que (b2 - = 1 + 6,y po r lo tanto ((b2 - 1)3- = 2. Desarro-

llando esto ultimo, se obtiene una expresion polin6mica no trivial en b con coe-ficientes
racionales, que es cero. Por consiguiente, b es algebraico sobre Q.
Es posible obtener numeros reales que Sean trascendentes sobre Q muy fa-cilmente
(vtase la Section 6.6 del Capitulo 6). Sin embargo, el establecer la tras-cendencia
de ciertos numeros conocidos requiere un esfuerzo real. Se puede
demostrar que 10s numeros familiares e y a son trascendentes sobre Q. El caso
de e fue probado por Hermite en 1873; la demostracion de que a es trascenden-te
sobre Q es mucho mas dificil y fue llevada a cab0 primer0 por Lindemann
en 1882. Aqui no se examinara a fondo la demostracion de que cualquier nu-mero
particular sea trascendente sobre Q. No obstante, en la Seccion 6.7 del
Capitulo 6 se demostrara por lo menos que a es irracional. Esto lo hace ser un
candidato posible a numero trascendente sobre Q, ya que evidentemente cual-quier
numero racional b es algebraico sobre Q dado que satisface el polinomio
p(x) = x - b, que tiene coeficientes racionales.
DEFINICI~NSe. dice que un nlimero complejo es un numero alge-b
r a i c ~si es algebraico sobre Q.
Como se vera pronto, 10s numeros algebraicos forman un campo, el cual
es un subcampo de C .
Regresamos a1 desarrollo general de la teoria de 10s campos. En el Teorema
5.3.2 se ha visto que si K es una extension finita de F, entonces todo elemento
de K es algebraico sobre F. Damos la vuelta a esta cuestion preguntando: Si
K es una extension de F y a E K es algebraico sobre F, jse puede producir de
algun mod0 una extension finita de F usando a? La respuesta es si. Esto resul-tara
como consecuencia del siguiente teorema, el cual se demuestra en un con-texto
un poco mas general de lo que en realidad se requiere.
TEOREMA 5.3.3. -S-.e a D u-n- dominio integral con unidad 1 que es un
espacio --+ vectorial finito-dimensional sobre un cam-p o- F. ~ntonceDs &
-u.n- c-a mp-o-.
DEMOSTRACIOPNa.r a demostrar el teorema, para a f 0 en D se debe produ-cir
un inverso a-' en D tal que aa-' = 1.
Como en la demostracion del Teorema 5.3.2, si dimF(D) = n, entonces 1,
a, a 2 , . . . , a ne n D son linealmente dependientes sobre F. De manera que para
ciertos a,, a,, . . . , an en F apropiados, no todos ellos cero,
Sea p(x) = Poxr + Plxr-I + . . . + Pr P 0 un polinomio en F [x] de grado
minimo tal que p(a) = 0. Afirmamos que Or f 0. Si 0, = 0, entonces

como D es un dominio integral o entero y a # 0, se eoncluye que Pear-' +
Plar-2 + . . + Or-, = 0, por consiguiente q(a) = 0, donde q(x) =
Poxr-' + /31~r-2 + . + Pr-, en F[x] es de grado menor que p(x), lo cual
es una contradiccion. De esta manera 0, # 0, por lo tanto P,' esta en F y
lo cual da lugar a que -(boar-' + . . . + Pr-,)/Pr, que esta en D, es el a-'
requerido en D. Esto prueba el teorema.
Teniendo a la mano el Teorema 5.3.3, es deseable hacer uso de el. Asi que
jcomo producir subanillos de un campo K que contenga a F y Sean finito-di-mensionales
sobre F? Tales subanillos, por ser subanillos de un campo, son
automaticamente dominios integrales y cumplirian la hipotesis del Teore-ma
5.3.3. Los medios para este fin seran 10s elementos de K que Sean algebrai-cos
sobre F.
Pero primer0 una definicion.
DEFINICION. Se dice que un elemento a en la extension K de F es
algebraico de grado n si existe un polinomio p(x) en F [x] de grado
n tal quep(a) = 0 y ningun polinomio no cero de grado menor en F [x]
tiene esta propiedad.
Se puede suponer que el polinomio p(x) en esta definicion es monico, ya
que se podria dividir dicho polinomio entre su coeficiente de la potencia mayor
para obtener un polinomio monico q(x) en F [x], de igual grado que p(x), y
tal que q(a) = 0. De ahora en adelante se supone que el polinomiop(x) es mo-nico;
se le llama polinomio minimo de a sobre F.
LEMA 5.3.4. -Sea a E K algebraico sobre F con polinomio minimo -- . -- -"* " - .- .--.
-p- (x- ) en F [x]. Entonces p(x) es irreducible en FIX]. * .-.
DEMOSTRACI~NSu. pongase que p(x) no es irreducible en F[x]; entonces
p(x) = f (x)g(x), donde f (x) y g(x) estan en F [x] y cada uno tiene grado
positivo. Puesto que 0 = p(a) = f (a)g(a) y dado que f (a) y g(a) estan en
el campo K, se concluye que f (a) = 0 o bien g(a) = 0, lo cual es imposible,
ya que ambos f (x) y g(x) son de grado menor que f (x). Por lo tanto, p(x)
es irreducible en F Ix].
Sean a E K algebraico de grado n sobre F y p(x) E F [x] su polinomio mi-nimo
sobre F. Dado f (x) E F [XI, entonces f (x) = q(x)p(x) + r(x), donde
q(x) y r(x) estan en F [x] y r(x) = 0 o bien grd r(x) < grdp(x), en virtud
del algoritmo de la division. Por lo tanto, f(a) = q(a)p(a) + r(a) = r(a),

196 CAP~TULO5 CAMPOS
ya que p(a) = 0. En forma breve, cualquier expresion polinomica en a sobre
F se puede expresar como un polinomio en a de grado n - 1 a lo sumo.
Sea F [a] = { f (a) If (x) E F [x] ). Afirmamos que F [a] es un subcampo de
K que contiene a ambos F y a, y que [F [a] : F] = n. Por la observacion hecha
anteriormente, F[a] es generado sobre F por 1, a, a2, ..., , por lo
tanto es finito-dimensional sobre F. Ademas, como es posible verificar facil-mente,
F [a] es un subanillo de K y como tal, F [a] es un dominio integral. Por
consiguiente, por el Teorema 5.3.3, F [a] es un campo. Puesto que es generado
sobre F por 1, a, a2, ..., an-', se tiene que [F[a] : F] I n. Para demostrar
que [F[a] : F ] = n se debe probar simplemente que 1, a, a2, .... son
linealmente independientes sobre F. Si a. + a,a + ... + an-,an-' = 0,
con 10s a, en F, entonces q(a) = 0, donde q(x) = a. + a,x + +
an-,xn-' esth en F[x]. Puesto que q(x) es de grado menor que p(x), el cual
es el polinomio minimo de a en F [XI, se concluye necesariamente que q(x) =
0. Esto implica que a. = a, = ... = an-, = 0. Por lo tanto, 1, a , a2, . . . .
an-' son linealmente independientes sobre F y forman una base de F [a] sobre
F. De esta manera [F[a] : F] = n. Dado que F[a] es un campo, y no sim-plemente
un conjunto de expresiones polinomicas en a, F [a] se denotara por
F(a). ObsCrvese ademas que si M es cualquier campo que contiene a ambos
F y a, entonces M contiene todas las expresiones polinomicas en a sobre F, por
consiguiente M > F (a). Por lo tanto, F (a) es el menor subcampo de K que
contiene a ambos F y a.
DEFINICIONF. (a) se llama campo o extension obtenida a1 agregar
a a1 campo F.
Ahora se resumen.
TEOREMA 5.3.5. -S. up,. o- ng ..ase que K > F y que a en K es algebraic0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
-so. -b - re F.... de grado n. Entonces F(a), el campo obt.e ni.d o ag..r...e...g. ando a. .a.
5-ec~a. = xtension finit.a. d..e. F.. y.
Antes de dejar el Teorema 5.3.5, considerCmoslo de una manera un poco
diferente. Sean F[x] el anillo de poliriomios en x sobre F, y M = (p(x))
el ideal de F [x] generado por p(x), el polinomio minimo de a en K sobre F.
Por el Lema 5.3.4, p(x) es irreducible en F [x]; por consiguiente, por el Teore-ma
4.5.1 1, M es un ideal miximo de F [XI. Por lo tanto, F [x]/(p(x)) es un
campo por el Teorema 4.4.2.
Definase la aplicacion $ : F [x] + K mediante $( f (x)) = f (a). Esta apli-cacion
$ es un homomorfismo de F [x] en K y la imagen de F [x] en K es sim-plemente
F(a) por la definicion de ~(a).iC ual es el nucleo de rl/? Por
definicion es J = { f (x) E F [x] I rl/( f (x)) = 0), y puesto que se sabe que
$ (f (x)) = f (a), J = { f (x) E K [x:l If (a) = 0). Dado que p(x) esta en J y es

el polinomio minimo de a sobre F, p(x) es del grado minimo posible entre 10s
elementos de J. De esta manera J = (p(x)) por la demostracion del Teorema
4.5.6, y asi J = M. Por el primer teorema de homomorfismos para anillos
F [x]/M 2: imagen de F [x] respecto a $ = F(a), y puesto que F [x]/M es un
campo, se tiene que F(a) es un campo. Se deja a1 lector la demostracion, desde
este punto de vista, de que [F(a) : F] = degp(x).
PROBLEMAS 5.3
1. Demuestrese que 10s siguientes numeros en 02 son algebraicos.
(a) fi + ?/j.
(b) d7 + m.
(c) 2 + i&.
(d) cos (2a/k) + isen (2a/k), k entero positivo.
2. Determinense 10s grados sobre Q de 10s numeros dados en las partes (a) y
(c) del Problema 1.
3. es el grado de cos (2n/3) + isen (2a/3) sobre Q?
4. ~Cuaels el grado de cos (2a/8) + isen (2a/8) sobre Q?
5. Sip es un numero primo, prukbese que el grado de cos (2a/p) + i sen (2a/p)
sobre Q es p - 1 y que
es su polinomio minimo sobre Q.
6. (Para 10s lectores que hayan cursado Calculo.) Demuestrese que
es irracional.
7. Si a en K es tal que a2 es algebraico sobre el subcampo F de K, demostrar
que a es algebraico sobre F.
8. Si F c K y f (a) es algebraico sobre F, donde f (x) es de grado positivo en
F [x] y a E K, prukbese que a es algebraico sobre F.
9. En relacion con la discusion que sigue a1 Teorema 5.3.5, demostrar que
F [x]/M es de grado n = grdp(x) sobre F y por consiguiente [F(a) : F] =
n = grdp(x).
10. Pruebese que cos 1 es algebraico sobre Q. (1 " = un grado, medida angular.)
11. Si a E K es trascendente sobre F, sea F(a) = { f (a)/g(a) 1 f (x), g(x) #

0 E F [x] ). Demuestrese que F(a) es un campo y que es el menor subcampo
de K que contiene a ambos F y a.
12. Si a es como en el Problema 11, demuestrese que F(a) = F(x), donde
F(x) es el campo de las funciones racionales en x sobre F.
13. Sea K un campo finito y F u n subcampo de K. Si [K : F] = n y F consta
de q elementos, demuestrese que K consta de qn elementos.
14. Aplicando el resultado del Problema 13, demuestrese que un campo finito
consta de pn elementos para cierto primo p y cierto entero positivo n.
15. Construyanse dos campos K y F de tal mod0 que K sea una extension alge-braica
de F per0 que no sea una extension finita de F.
Continuamos en el estilo de la seccion precedente. Nuevamente K > F siempre
denotara dos campos y se emplearan letras latinas para 10s elementos de K y
letras griegas para 10s de F.
Sea E(K) el conjunto de 10s elementos de K que son algebraicos sobre F.
Desde luego, F C E(K). Nuestro objetivo es probar que E(K) es un campo.
Una vez probado, se vera un poco acerca de como esta situado E(K) en K.
Sin mh consideraciones procedemos a1
TEOREMA 5.4.1. -.E (-K ) es un. .s.u bcampo , d. .e. -K- .
DEMOSTRACI~LNo. que se debe probar es que si a, b E K son a l g e b r a i c~so~-
bre F, entonces a & b, ab y a/b (si b # 0) son algebraicos sobre F. Esto garanti-zara
que E(K) es un subcampo de K. Se hara todo para a & b, ab y a/b "de
un solo golpe".
Sea KO = F(a) el subcampo de K que se obtiene agregando a a F. Puesto
que a es algebraico sobre F, digamos de grado m, entonces, por el Teorema
5.3.5, [KO : F] = m. Dado que b es algebraico sobre F y como KO contiene a
F, se tiene desde luego que b es algebraico sobre KO. Si b es algebraico sobre
F de grado n, entonces es algebraico sobre KO de grado n a lo sumo. De esta
manera K, = Ko(b), el subcampo de K obtenido agregando b a KO, es una ex-tension
finita de KO y [Kl : KO] I n.
Por consiguiente, por el Teorema 5.3.1, [K1 : F] = [K, : KO] [KO : F] I
mn; es decir, K, es una extension finita de F. Como tal, por el Teorema 5.3.2,
K, es una extension algebraica de F, asi que todos sus elementos son algebrai-cos
sobre F. Puesto que a E KO C Kl y b E K,, entonces todos 10s elementos
a & b, ab, a/b estan en K,, por consiguiente son algebraicos sobre F. Esto es
exactamente lo que se requeria y el teorema queda demostrado.

5.4 Extensiones finitas
Si examinamos la demostracion un poco mas cuidadosamente, vemos que
en realidad se ha probado algo mas, a saber el
COROLARSIOi a .Y b en K son algebraicos sobre F de grados m y
n, respectivamente, entonces a & b, ab y a/b (si b # 0) son algebraicos
sobre F de grado mn a lo sumo.
Un caso especial, que merece seiialarse y registrarse, es K = C y F = Q.
En dicho caso 10s elementos algebraicos de C sobre Q fueron denominados nu-meros
algebraicos; por lo tanto el Teorema 5.4.1 se convierte para este caso en el
TEOREMA 5.4.2. -L.o s numeros algebraicos forman un sub- cam- po
-de C.
Por lo visto hasta ahora, el conjunto de 10s numeros algebraicos podria ser
muy bien todo C. Pero no es asi, ya que si existen numeros trascendentes; se
demostrara que esto es cierto en la Seccidn 6.6 del Capitulo 6.
Volvemos a un campo general K. El subcampo E(K) tiene una cualidad
muy particular, la cual se probara en seguida. Dicha propiedad consiste en que
cualquier elemento de K que sea algebraico sobre E(K) debe estar tambien en
E(K).
Para no hacer una digresidn en el curso de la demostracion que se va a dar,
se introduce la siguiente notacidn. Si a,, a2, . . . , a,, estan en K, entonces
F(al, . . . , a,,) sera el campo que se obtiene como sigue: Kl = F(a,), K2 =
Kl(a2) = F(a17 021, K3 = K2(a3) = F(al, 02, 0317 . . Kn = Kn-,(an) =
F(al, a2, . . . , a,,).
Ahora se prueba el
TEOREMA 5.4.3. -Si u- en , K es algebraic0 sobre E(K), entonces u .e st-a..
e-"n.- E..-( K).-
DEMOSlRAC16N. Para probar el teorema, todo lo que se debe hacer es demos-trar
que u es algebraico sobre F; esto colocara a u en E(K) y se habra concluido
la demostracidn.
Puesto que u es algebraico sobre E(K), existe un polinomio no trivial
f (x) = xn + alxn-I + a2xn-2 + . . + a,, donde a,, a2, . . . , a, estan en
E(K), tal que f (u) = 0. Dado que a,, a2, . . . , a, estan en E(K), son algebrai-cos
sobre F de grados, digamos, m,, m2, . . . , m,, respectivamente. Afirma-mos
que [F(a,, . . . , a,) : F] es a lo sumo m,m2 . . m,. Para tal fin, simple-mente
se llevan a cab0 n aplicaciones sucesivas del Teorema 5.3.1 a la sucesion
K,, K2, . . . , K,, de 10s campos definidos anteriormente. Su demostracidn
se deja a1 lector. De esta manera, dado que u es algebraico sobre el campo
K,, = F(al7 a2, . . . , a,) [despues de todo, el polinomio que u satisface es
p(x) = xn + a,xn-' + . -. + a,, el cual tiene todos sus coeficientes en
F(a,, a,, . . . , a,)], el campo K,(u) es una extension finita de K, y puesto que

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