Mto bom funções trigonométricas

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Mto bom funções trigonométricas

  1. 1. Funções Trigonométricas: Resumo com exemplos Funções Trigonométricas Função Seno O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ou im(f) = {y E R/-1 < y < 1} ; uma vez que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1. Indicamos essa função por: f(x) = sen(x) Na função seno, temos: sen x = sen (x + K . 2π), K E Z para x E R. O menor valor positivo de K . 2π ocorre quando K = 1. Portanto: sen x = sen (x + 1 . 2π) Dessa forma concluímos que: A função y = sen x é periódica de período 2π. Sinal da função Seno Analisando o sinal da função y = sen x, em cada um dos quadrantes, temos: f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva) f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa) Gráfico da função seno O gráfico da função y = sen x é chamado senóide.
  2. 2. Resumindo, temos: 1- Função y = sen x ou f(x) = sen x 2- O domínio é D(f) = R 3- O conjunto-imagem é im(f) = [-1;1]. 4- A função é periódica, de período 2π. 5- O sinal da função é: positivo no 1º e 2º quadrantes; negativo no 3º e 4º quadrantes. 6- A função é ímpar. 7- A função é crescente no 1º e 4º quadrantes e decrescente no 2º e 3º quadrantes. Exemplo: Mostre que a função definida por f(x)=sen(x) é ímpar, isto é, sen(-a)=- sen(a), para qualquer a real. sen(-a) = sen(2 -a) = sen(2 ).cos(a) - cos(2 ).sen(a) = 0 . cos(a) - 1 . sen(a) = -sen(a) Exemplo2: Qual o domínio e o conjunto imagem da função y = sen 4x? Solução: Podemos escrever: 4x = sen y. Daí, vem: Para x: -1 £ 4x £ 1 Þ -1/4 £ x £ 1/4. Portanto, Domínio = D = [-1/4, 1/4]. Para y: Da definição vista acima, deveremos ter -p /2 £ y £ p /2. Resposta: D = [-1/4, 1/4] e Im = [-p /2, p /2]. Função Cosseno O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ou ainda Im(f) = {y E R/ - 1 < y < 1}; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1. O período da função cos x é 2π, pois Ax E R temos cos x = cos (x + K 2π), com K E Z e o menor valor positivo de K.2π, tal que isso ocorra, é 1.2π.
  3. 3. Sinal da função Cosseno Estudando o sinal da função y = cos x em cada um dos quadrantes, temos: f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva) f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa) Gráfico da função Cosseno Resumindo temos: 1- Função y = cos x ou f(x) = cos x 2- O domínio é D(f) = R 3- O conjunto imagem é Im(f) = [-1;1] 4- A função é periódica de período 2π. 5- O sinal da função é: positivo no 1º e 4º quadrantes; negativo no 2º e 3º quadrantes. 6 - A função é função par. 7- A função é crescente no 3º e 4º quadrantes e decrescente no 1° e 2º quadrantes. Exemplo: Mostre que a função definida por f(x)=cos(x) é par, isto é, cos(- a)=cos(a), para qualquer a real.
  4. 4. cos(-a) = cos(2 -a) = cos(2 ).cos(a) + sen(2 ).sen(a) = 1.cos(a) + 0.sen(a) = cos(a) Função Tangente O domínio dessa função são todos os números reais, exceto os que zeram o cosseno pois não existe cosx = 0 e a imagem é tg x; Im(tg x) = R ou . A função é periódica , de período π. Sinal da Função Tangente Valores positivos nos quadrantes ímpares(1º e 3°) Valores negativos nos quadrantes pares(2º e 4º) Crescente em cada valor. Gráfico da Função Tangente função chamada tangentóide
  5. 5. Resumindo temos: 1- Função y = tg x ou f(x) = tg x 2- O domínio é D(f) = {x E R/ x# π/2 + k . π, k E Z} 3- O conjunto imagem é Im(f) = R. 4- A função é periódica, de período π. 5- O sinal da função é: positivo no 1º e 3º quadrantes; negativo no 2º e 4º quadrantes. 6- A função é uma função Ímpar. 7- A função é crescente em todos os quadrantes. exemplo: Determine o valor de tan(-35/4). tan(-35 /4)=tan(-35 /4+5.2 )=tan(5 /4) Portanto tan(-35 /4)=1 Função Cotangente O domínio da função y = cotg x é R - {n . π, n E Z} e a imagem Im(f) = R. A função é periódica, de período π. Indicamos essa função por: y = f(x) = cotg x. A função y = cotg x é ímpar. Vejamos: cotg (-x) = - cotg x Sinal da função cotangente A função cotangente tem os mesmos sinais da tangente, ou seja, positivo no 1º e 3º quadrantes e negativo no 2º e 4º quadrantes. Gráfico da função cotangente
  6. 6. Função secante A função secante de x, é definida como o inverso do cosseno: . O domínio da função é D(f) = R - { π/2 + n . π, n E Z} e a imagem Im(f) = { y E R/ y £ -1 ou y ³1}. O período da função secante é 2π. É também uma função par, pois para todo x onde a secante é definida, tem-se que: sec(x) = sec(-x) Sinal da função secante A função secante tem os mesmos sinais da função cosseno, ou seja, positiva no 1° e 4° quadrantes e negativa no 2º e 4º quadrantes. Gráfico da função Secante Função Cossecante A função cossecante de x, é o inverso do seno: cossec x = 1/sen x. O domínio da
  7. 7. função é R - {n. π, n E Z} e a imagem Im(f) = {y em R: y < -1 ou y > 1}. O período da função é 2 .π. Assim como a função cotangente, a função cossecante é ímpar pois para todo x onde a cossecante está definida, tem-se que: cossec (- x) = - cossec x Sinal da função Cossecante A função cossecante tem os mesmos sinais da função seno, ou seja, positivo no 1º e 2º quadrantes e negativo no 3º e 4º quadrantes. Gráfico da função Cossecante http://tudodeconcursosevestibulares .blogspot.com.br/p/funcoes- trigonometricas-funcao-seno-o.html

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