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Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
Aulas 17 e 18 
 
Exercício A 
 
Expoentes e Logaritmos 
 
A história do logaritmo vem aparecer no final do século XVI e começo do século                             
XVII, com a intenção de simplificar cálculos que antes eram conhecidos como desafios. 
Em primeiro lugar, podemos tratar da abstração da matemática. 
Como ela é uma matéria de difícil visualização, fica um pouco complicado                       
compreender quando falamos de  grandezas numerais, tanto positiva como negativa. 
É certo de que quando menor os números, sua compreensão fica mais facilitada,                         
exemplo é o uso de nossas mãos na realização de cálculo com os dedos. Até animais                               
tem mais compreensão com valores pequenos. 
E o logaritmo chegou para exatamente sanar esta dificuldade. Seu uso                     
descomplicou tarefas que antes eram consideradas muito difíceis de serem realizadas. È                       
sem nenhuma dúvida um marco. Como diz os italianos “um Ovo de Colombo”. 
Utilizando­se do número 10 com expoentes diferenciados, através de uma tabela é                       
possível resolver vários problemas. Por exemplo, no passados para serviços de                     
navegação e atualmente para cálculos de ph da água à medidas de terremoto. 
Sua aplicação é muito usada na informática, sendo o precursor no uso desta                         
tecnologia. Mesmo as tabelas mais antigas podem ser utilizadas atualmente. 
O conceito de logaritmo trouxe cálculos complexos para uma forma mais simples e                         
usual. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
Exercício B 
 
Texto A 
Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito                         
grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associando­os a números                   
menores. Em vez de 107
 ou 10­7
, penso nos expoentes 7 ou no ­7. 
O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa                               
o valor de N: log N = n   quer dizer que    10n
 = N. 
Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base                         
10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando                             
a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se 
N = ax
  então x = logaritmo de N na base a = logaN. 
De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm                         
logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria                     
números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os                       
valores aproximados de tais expoentes. 
1. 1 ­ Sendo dados os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, preencha a                                   
tabela abaixo: 
N  N = 10n 
n    (log N) 
1  1 = 100 
0 
2  2 = 100,30 
0,30 
3  3 = 100,47 
0,47 
4  4 = 100,60 
0,60 
5  5 = 100,69 
0,69 
6  6 = 100,77 
0,77 
8  8 = 100,90 
0,90 
9  9 = 100,95 
0,95 
10  10  = 101 
1 
12  12 = 101,079 
1,079 
15  15 = 101,176 
1,176 
18  18 = 101,255 
1,255 
20  20 = 101,301 
1,301 
27  27 = 101,431 
1,431 
30  30 = 101,477 
1,477 
32  32 = 101,505 
1,505 
36  36 = 101,556 
1,556 
2
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
40  40 = 101,602 
1,602 
60  60 = 101,778 
1,778 
100  100 = 102 
2 
300  300 = 102,477 
2,477 
400  400 = 102,602 
2,602 
1000  1000 = 103 
3 
3000  3000 = 103,477 
3,477 
9000  9000 = 103,954 
3,954 
10000  10000 = 104 
4 
50000  50000 = 104,698 
4,698 
100000  100000 = 105 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
Texto B 
Escala Richter para medir intensidade de Terremotos 
A intensidade de um terremoto é expressa pelo número R tal que R = log(A/Ao),                             
onde a razão A/Ao representa a comparação, medida por um aparelho chamado                       
sismógrafo, entre a amplitude A das ondas de destruição com uma amplitude de                         
referência Ao. Como esta razão costuma ser um número muito grande, ele é expresso por                             
uma potência de 10; o expoente de tal potência, ou seja, o logaritmo da razão, é a medida                                   
R em graus na escala Richter. 
A energia que provoca a destruição está diretamente relacionada com a amplitude                       
das vibrações. Empiricamente, é utilizada uma fórmula para relacionar o valor da medida                         
R e o montante da Energia destruidora E: R = 0,67.log E – 3,25. A consequência prática                                 
é o fato de que a cada grau a mais na escala R, o valor de E cresce cerca de 31,6 vezes. 
Um terremoto de 2 graus na escala Richter é, então, 10 vezes maior do que um                               
terremoto de 1 grau, uma vez que 2 e 1 são expoentes de potências de 10; entretanto, a                                   
energia correspondente é 31,6 vezes maior a cada grau R a mais. 
Os exercícios seguintes explorarão tais fatos. 
1 ­ Complete a tabela abaixo: 
Escala Richter 
(graus) 
Amplitude 
(n x valor de referência) 
Energia 
(n x valor de referência) 
0  1  1 
1  10  31,6 
2  100  31,62
 = 1000  (aprox.) 
3  1000  31,63 
4  10000  31,64 
5  100000  31,65 
6  1000000  31,66 
7  10000000  31,67 
8  100000000  31,68 
9  1000000000  31,69 
4
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
Texto C 
 
A fórmula química da água é H2O; entretanto, mesmo a mais pura, contém cátions                           
H+
dissociados de ânions OH­
. A quantidade de tais íons dissociados é relativamente                         
pequena: cerca de 1 íon grama de H+
para cada 107
litros de água. (Apenas para                               
comparação, uma caixa d’água costuma ter 1000 litros de água; existiria, então, 1 íon                           
grama de H+
 para cada 10 000 caixas d’água...) 
É a atividade dos H+
que corresponde à sensação de acidez, quando se ingere um                             
líquido, por exemplo. Para baixas concentrações, tal atividade pode ser identificada com a                         
concentração de tais íons. Numa limonada, que é mais ácida do que a água, existe cerca                               
de 1 íon grama de H+
para cada 102
litros. Em uma substância básica, usada para                               
combater a acidez, como o leite de magnésia, ou um sal de frutas, existe muito menos:                               
cerca de 1 íon grama para cada 1012
litros. Ao se ingerir uma substância básica, o efeito                                 
produzido é o da diluição dos H+
, com a diminuição da acidez. 
O que se chama pH (potencial hidrogeniônico) é, então, o expoente de 10 na                           
concentração de H+
. O logaritmo é negativo, nessa concentração, uma vez que, no caso                           
da água, por exemplo, temos a razão 1/107
, ou 10­7
 como concentração de H+
.   
Na prática, no entanto, constrói­se uma escala que vai de 0 a 14, ou seja,                             
caracteriza­se a acidez pelo simétrico da concentração de H+
. Em tal escala, a água                           
encontra­se no meio, tendo pH igual a 7. Entre 0 e 7, encontram­se as substâncias                             
ácidas; entre 7 e 14, as básicas. 
Os exercícios abaixo exploram tais fatos. 
1 ­ Complete a tabela abaixo: 
Medida de Acidez: pH  Natureza: 
Substância 
Ácida ou Básica 
Concentração de H+ 
1 H+
 para cada ...litros 
1    Muito Acida  10 
2  Muito Acida  102 
3  Acida  103 
5  Pouco Acida  105 
7  Neutra  107 
9  Pouco Básica  109 
11  Básica  1011 
13  Muito Básica  1013 
5
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
Aulas 19 e 20 
 
Exercício A 
 
Questão 1 ­ Observe a representação da circunferência trigonométrica com a                     
extremidade final do arco de medida x assinalado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Determine o valor de: 
a) cos x = 0,6 b) sen x = 0,8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
 
Questão 2 ­ Observe os gráficos das funções y = senx e y = cosx. Neles, é possível                                   
observar os valores dos senos e cossenos dos arcos notáveis e também de seus                           
simétricos em relação aos eixos horizontal e vertical.   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
 
Preencha as tabelas seguintes a partir das características observadas nesses gráficos: 
 
 
f(x)=10sen(1/5x) 
 
 
 
 
 
8
 
 
 
 
 
 
Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2 
Atividade de Portfólio da Semana 5 
Exercício B 
 
Questão 2 ­ Suponha a existência de um fenômeno que ocorra regularmente, de tempos                           
em tempos, mantendo suas características, envolvendo uma grandeza M variando ao                     
longo do tempo t. Nessas condições, esse fenômeno é periódico e, vamos supor, que a                             
intensidade da grandeza M (medida em centímetros) varie em função do tempo t (dado                           
em minutos) de acordo com a equação: 
 
 
Determine o período e a imagem dessa função 
 
Período: ­> π/2=[4 ] 
Imagem: eixo y [0.4 , 5.6] 
 
 
Questão 3 ­   O gráfico seguinte apresenta, de forma simplificada, as alturas das marés 
altas em certo ponto do litoral. Nesse gráfico, y = 0 representa a linha sobre a qual estão 
registradas observações da maré  de altura média. 
 
 
A equação que podemos escrever para representar esse gráfico é: 
y = 0,5 cos  
Nessa equação, x é o dia de observação e y é a altura, em metros, da maré alta                                   
nesse dia de observação. Note que há uma linha horizontal traçada por y = 0,25 m, e que                                   
essa linha cruza o gráfico em vários pontos. Quais são as abscissas desses pontos, ou,                             
em outras palavras, em quais dias, no período considerado, foram observadas marés com                         
0,25 m de altura acima da média? 
 
0,25=0,5 cos [(2π/15)x] 
cos [(2π/15)x]=0,25/0,5 
cos [(2π/15)x]=0,5 
 
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Matemática 2º bimestre - semana 5

  • 1.             Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2  Atividade de Portfólio da Semana 5  Aulas 17 e 18    Exercício A    Expoentes e Logaritmos    A história do logaritmo vem aparecer no final do século XVI e começo do século                              XVII, com a intenção de simplificar cálculos que antes eram conhecidos como desafios.  Em primeiro lugar, podemos tratar da abstração da matemática.  Como ela é uma matéria de difícil visualização, fica um pouco complicado                        compreender quando falamos de  grandezas numerais, tanto positiva como negativa.  É certo de que quando menor os números, sua compreensão fica mais facilitada,                          exemplo é o uso de nossas mãos na realização de cálculo com os dedos. Até animais                                tem mais compreensão com valores pequenos.  E o logaritmo chegou para exatamente sanar esta dificuldade. Seu uso                      descomplicou tarefas que antes eram consideradas muito difíceis de serem realizadas. È                        sem nenhuma dúvida um marco. Como diz os italianos “um Ovo de Colombo”.  Utilizando­se do número 10 com expoentes diferenciados, através de uma tabela é                        possível resolver vários problemas. Por exemplo, no passados para serviços de                      navegação e atualmente para cálculos de ph da água à medidas de terremoto.  Sua aplicação é muito usada na informática, sendo o precursor no uso desta                          tecnologia. Mesmo as tabelas mais antigas podem ser utilizadas atualmente.  O conceito de logaritmo trouxe cálculos complexos para uma forma mais simples e                          usual.                      1
  • 2.             Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2  Atividade de Portfólio da Semana 5  Exercício B    Texto A  Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito                          grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associando­os a números                    menores. Em vez de 107  ou 10­7 , penso nos expoentes 7 ou no ­7.  O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa                                o valor de N: log N = n   quer dizer que    10n  = N.  Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base                          10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando                              a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se  N = ax   então x = logaritmo de N na base a = logaN.  De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm                          logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria                      números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os                        valores aproximados de tais expoentes.  1. 1 ­ Sendo dados os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, preencha a                                    tabela abaixo:  N  N = 10n  n    (log N)  1  1 = 100  0  2  2 = 100,30  0,30  3  3 = 100,47  0,47  4  4 = 100,60  0,60  5  5 = 100,69  0,69  6  6 = 100,77  0,77  8  8 = 100,90  0,90  9  9 = 100,95  0,95  10  10  = 101  1  12  12 = 101,079  1,079  15  15 = 101,176  1,176  18  18 = 101,255  1,255  20  20 = 101,301  1,301  27  27 = 101,431  1,431  30  30 = 101,477  1,477  32  32 = 101,505  1,505  36  36 = 101,556  1,556  2
  • 3.             Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2  Atividade de Portfólio da Semana 5  40  40 = 101,602  1,602  60  60 = 101,778  1,778  100  100 = 102  2  300  300 = 102,477  2,477  400  400 = 102,602  2,602  1000  1000 = 103  3  3000  3000 = 103,477  3,477  9000  9000 = 103,954  3,954  10000  10000 = 104  4  50000  50000 = 104,698  4,698  100000  100000 = 105  5                                      3
  • 4.             Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2  Atividade de Portfólio da Semana 5  Texto B  Escala Richter para medir intensidade de Terremotos  A intensidade de um terremoto é expressa pelo número R tal que R = log(A/Ao),                              onde a razão A/Ao representa a comparação, medida por um aparelho chamado                        sismógrafo, entre a amplitude A das ondas de destruição com uma amplitude de                          referência Ao. Como esta razão costuma ser um número muito grande, ele é expresso por                              uma potência de 10; o expoente de tal potência, ou seja, o logaritmo da razão, é a medida                                    R em graus na escala Richter.  A energia que provoca a destruição está diretamente relacionada com a amplitude                        das vibrações. Empiricamente, é utilizada uma fórmula para relacionar o valor da medida                          R e o montante da Energia destruidora E: R = 0,67.log E – 3,25. A consequência prática                                  é o fato de que a cada grau a mais na escala R, o valor de E cresce cerca de 31,6 vezes.  Um terremoto de 2 graus na escala Richter é, então, 10 vezes maior do que um                                terremoto de 1 grau, uma vez que 2 e 1 são expoentes de potências de 10; entretanto, a                                    energia correspondente é 31,6 vezes maior a cada grau R a mais.  Os exercícios seguintes explorarão tais fatos.  1 ­ Complete a tabela abaixo:  Escala Richter  (graus)  Amplitude  (n x valor de referência)  Energia  (n x valor de referência)  0  1  1  1  10  31,6  2  100  31,62  = 1000  (aprox.)  3  1000  31,63  4  10000  31,64  5  100000  31,65  6  1000000  31,66  7  10000000  31,67  8  100000000  31,68  9  1000000000  31,69  4
  • 5.             Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2  Atividade de Portfólio da Semana 5  Texto C    A fórmula química da água é H2O; entretanto, mesmo a mais pura, contém cátions                            H+ dissociados de ânions OH­ . A quantidade de tais íons dissociados é relativamente                          pequena: cerca de 1 íon grama de H+ para cada 107 litros de água. (Apenas para                                comparação, uma caixa d’água costuma ter 1000 litros de água; existiria, então, 1 íon                            grama de H+  para cada 10 000 caixas d’água...)  É a atividade dos H+ que corresponde à sensação de acidez, quando se ingere um                              líquido, por exemplo. Para baixas concentrações, tal atividade pode ser identificada com a                          concentração de tais íons. Numa limonada, que é mais ácida do que a água, existe cerca                                de 1 íon grama de H+ para cada 102 litros. Em uma substância básica, usada para                                combater a acidez, como o leite de magnésia, ou um sal de frutas, existe muito menos:                                cerca de 1 íon grama para cada 1012 litros. Ao se ingerir uma substância básica, o efeito                                  produzido é o da diluição dos H+ , com a diminuição da acidez.  O que se chama pH (potencial hidrogeniônico) é, então, o expoente de 10 na                            concentração de H+ . O logaritmo é negativo, nessa concentração, uma vez que, no caso                            da água, por exemplo, temos a razão 1/107 , ou 10­7  como concentração de H+ .    Na prática, no entanto, constrói­se uma escala que vai de 0 a 14, ou seja,                              caracteriza­se a acidez pelo simétrico da concentração de H+ . Em tal escala, a água                            encontra­se no meio, tendo pH igual a 7. Entre 0 e 7, encontram­se as substâncias                              ácidas; entre 7 e 14, as básicas.  Os exercícios abaixo exploram tais fatos.  1 ­ Complete a tabela abaixo:  Medida de Acidez: pH  Natureza:  Substância  Ácida ou Básica  Concentração de H+  1 H+  para cada ...litros  1    Muito Acida  10  2  Muito Acida  102  3  Acida  103  5  Pouco Acida  105  7  Neutra  107  9  Pouco Básica  109  11  Básica  1011  13  Muito Básica  1013  5
  • 6.             Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2  Atividade de Portfólio da Semana 5  Aulas 19 e 20    Exercício A    Questão 1 ­ Observe a representação da circunferência trigonométrica com a                      extremidade final do arco de medida x assinalado.                                        Determine o valor de:  a) cos x = 0,6 b) sen x = 0,8                                  6
  • 7.             Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2  Atividade de Portfólio da Semana 5    Questão 2 ­ Observe os gráficos das funções y = senx e y = cosx. Neles, é possível                                    observar os valores dos senos e cossenos dos arcos notáveis e também de seus                            simétricos em relação aos eixos horizontal e vertical.                      7
  • 9.             Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção ­ Bimestre 2  Atividade de Portfólio da Semana 5  Exercício B    Questão 2 ­ Suponha a existência de um fenômeno que ocorra regularmente, de tempos                            em tempos, mantendo suas características, envolvendo uma grandeza M variando ao                      longo do tempo t. Nessas condições, esse fenômeno é periódico e, vamos supor, que a                              intensidade da grandeza M (medida em centímetros) varie em função do tempo t (dado                            em minutos) de acordo com a equação:      Determine o período e a imagem dessa função    Período: ­> π/2=[4 ]  Imagem: eixo y [0.4 , 5.6]      Questão 3 ­   O gráfico seguinte apresenta, de forma simplificada, as alturas das marés  altas em certo ponto do litoral. Nesse gráfico, y = 0 representa a linha sobre a qual estão  registradas observações da maré  de altura média.      A equação que podemos escrever para representar esse gráfico é:  y = 0,5 cos   Nessa equação, x é o dia de observação e y é a altura, em metros, da maré alta                                    nesse dia de observação. Note que há uma linha horizontal traçada por y = 0,25 m, e que                                    essa linha cruza o gráfico em vários pontos. Quais são as abscissas desses pontos, ou,                              em outras palavras, em quais dias, no período considerado, foram observadas marés com                          0,25 m de altura acima da média?    0,25=0,5 cos [(2π/15)x]  cos [(2π/15)x]=0,25/0,5  cos [(2π/15)x]=0,5    9