Expoentes e Logaritmos
A história do logaritmo vem aparecer no final do século XVI e começo do século XVII, com a intenção de simplificar cálculos que antes eram conhecidos como desafios.
Em primeiro lugar, podemos tratar da abstração da matemática.
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Disciplina: Matemática – Aluno: Eduardo Rodolfo Assunção Bimestre 2
Atividade de Portfólio da Semana 5
Aulas 17 e 18
Exercício A
Expoentes e Logaritmos
A história do logaritmo vem aparecer no final do século XVI e começo do século
XVII, com a intenção de simplificar cálculos que antes eram conhecidos como desafios.
Em primeiro lugar, podemos tratar da abstração da matemática.
Como ela é uma matéria de difícil visualização, fica um pouco complicado
compreender quando falamos de grandezas numerais, tanto positiva como negativa.
É certo de que quando menor os números, sua compreensão fica mais facilitada,
exemplo é o uso de nossas mãos na realização de cálculo com os dedos. Até animais
tem mais compreensão com valores pequenos.
E o logaritmo chegou para exatamente sanar esta dificuldade. Seu uso
descomplicou tarefas que antes eram consideradas muito difíceis de serem realizadas. È
sem nenhuma dúvida um marco. Como diz os italianos “um Ovo de Colombo”.
Utilizandose do número 10 com expoentes diferenciados, através de uma tabela é
possível resolver vários problemas. Por exemplo, no passados para serviços de
navegação e atualmente para cálculos de ph da água à medidas de terremoto.
Sua aplicação é muito usada na informática, sendo o precursor no uso desta
tecnologia. Mesmo as tabelas mais antigas podem ser utilizadas atualmente.
O conceito de logaritmo trouxe cálculos complexos para uma forma mais simples e
usual.
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Exercício B
Texto A
Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito
grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associandoos a números
menores. Em vez de 107
ou 107
, penso nos expoentes 7 ou no 7.
O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa
o valor de N: log N = n quer dizer que 10n
= N.
Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base
10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando
a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se
N = ax
então x = logaritmo de N na base a = logaN.
De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm
logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria
números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os
valores aproximados de tais expoentes.
1. 1 Sendo dados os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, preencha a
tabela abaixo:
N N = 10n
n (log N)
1 1 = 100
0
2 2 = 100,30
0,30
3 3 = 100,47
0,47
4 4 = 100,60
0,60
5 5 = 100,69
0,69
6 6 = 100,77
0,77
8 8 = 100,90
0,90
9 9 = 100,95
0,95
10 10 = 101
1
12 12 = 101,079
1,079
15 15 = 101,176
1,176
18 18 = 101,255
1,255
20 20 = 101,301
1,301
27 27 = 101,431
1,431
30 30 = 101,477
1,477
32 32 = 101,505
1,505
36 36 = 101,556
1,556
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Atividade de Portfólio da Semana 5
Texto B
Escala Richter para medir intensidade de Terremotos
A intensidade de um terremoto é expressa pelo número R tal que R = log(A/Ao),
onde a razão A/Ao representa a comparação, medida por um aparelho chamado
sismógrafo, entre a amplitude A das ondas de destruição com uma amplitude de
referência Ao. Como esta razão costuma ser um número muito grande, ele é expresso por
uma potência de 10; o expoente de tal potência, ou seja, o logaritmo da razão, é a medida
R em graus na escala Richter.
A energia que provoca a destruição está diretamente relacionada com a amplitude
das vibrações. Empiricamente, é utilizada uma fórmula para relacionar o valor da medida
R e o montante da Energia destruidora E: R = 0,67.log E – 3,25. A consequência prática
é o fato de que a cada grau a mais na escala R, o valor de E cresce cerca de 31,6 vezes.
Um terremoto de 2 graus na escala Richter é, então, 10 vezes maior do que um
terremoto de 1 grau, uma vez que 2 e 1 são expoentes de potências de 10; entretanto, a
energia correspondente é 31,6 vezes maior a cada grau R a mais.
Os exercícios seguintes explorarão tais fatos.
1 Complete a tabela abaixo:
Escala Richter
(graus)
Amplitude
(n x valor de referência)
Energia
(n x valor de referência)
0 1 1
1 10 31,6
2 100 31,62
= 1000 (aprox.)
3 1000 31,63
4 10000 31,64
5 100000 31,65
6 1000000 31,66
7 10000000 31,67
8 100000000 31,68
9 1000000000 31,69
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Texto C
A fórmula química da água é H2O; entretanto, mesmo a mais pura, contém cátions
H+
dissociados de ânions OH
. A quantidade de tais íons dissociados é relativamente
pequena: cerca de 1 íon grama de H+
para cada 107
litros de água. (Apenas para
comparação, uma caixa d’água costuma ter 1000 litros de água; existiria, então, 1 íon
grama de H+
para cada 10 000 caixas d’água...)
É a atividade dos H+
que corresponde à sensação de acidez, quando se ingere um
líquido, por exemplo. Para baixas concentrações, tal atividade pode ser identificada com a
concentração de tais íons. Numa limonada, que é mais ácida do que a água, existe cerca
de 1 íon grama de H+
para cada 102
litros. Em uma substância básica, usada para
combater a acidez, como o leite de magnésia, ou um sal de frutas, existe muito menos:
cerca de 1 íon grama para cada 1012
litros. Ao se ingerir uma substância básica, o efeito
produzido é o da diluição dos H+
, com a diminuição da acidez.
O que se chama pH (potencial hidrogeniônico) é, então, o expoente de 10 na
concentração de H+
. O logaritmo é negativo, nessa concentração, uma vez que, no caso
da água, por exemplo, temos a razão 1/107
, ou 107
como concentração de H+
.
Na prática, no entanto, constróise uma escala que vai de 0 a 14, ou seja,
caracterizase a acidez pelo simétrico da concentração de H+
. Em tal escala, a água
encontrase no meio, tendo pH igual a 7. Entre 0 e 7, encontramse as substâncias
ácidas; entre 7 e 14, as básicas.
Os exercícios abaixo exploram tais fatos.
1 Complete a tabela abaixo:
Medida de Acidez: pH Natureza:
Substância
Ácida ou Básica
Concentração de H+
1 H+
para cada ...litros
1 Muito Acida 10
2 Muito Acida 102
3 Acida 103
5 Pouco Acida 105
7 Neutra 107
9 Pouco Básica 109
11 Básica 1011
13 Muito Básica 1013
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Exercício B
Questão 2 Suponha a existência de um fenômeno que ocorra regularmente, de tempos
em tempos, mantendo suas características, envolvendo uma grandeza M variando ao
longo do tempo t. Nessas condições, esse fenômeno é periódico e, vamos supor, que a
intensidade da grandeza M (medida em centímetros) varie em função do tempo t (dado
em minutos) de acordo com a equação:
Determine o período e a imagem dessa função
Período: > π/2=[4 ]
Imagem: eixo y [0.4 , 5.6]
Questão 3 O gráfico seguinte apresenta, de forma simplificada, as alturas das marés
altas em certo ponto do litoral. Nesse gráfico, y = 0 representa a linha sobre a qual estão
registradas observações da maré de altura média.
A equação que podemos escrever para representar esse gráfico é:
y = 0,5 cos
Nessa equação, x é o dia de observação e y é a altura, em metros, da maré alta
nesse dia de observação. Note que há uma linha horizontal traçada por y = 0,25 m, e que
essa linha cruza o gráfico em vários pontos. Quais são as abscissas desses pontos, ou,
em outras palavras, em quais dias, no período considerado, foram observadas marés com
0,25 m de altura acima da média?
0,25=0,5 cos [(2π/15)x]
cos [(2π/15)x]=0,25/0,5
cos [(2π/15)x]=0,5
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