Ecuaciones diferenciales-jaime-escobar

as
atic
atem
ECUACIONES
DIFERENCIALES eM
o. d
con aplicaciones en Maple
ept
a, D

1
Jaime Escobar A.
qui
tio
An
de
dad
ersi
iv
Un

1 Profesor Titular de la Universidad de Antioquia, Magister en
Matem´ticas de la Universidad Nacional. Texto en la
a p´gina Web:
a
http://matematicas.udea.edu.co/ jescobar/

ii

Un
iversi
dad
de
An
tioqui
a, D
ept
o. d
eM
atem
atic
as

´
INDICE GENERAL

as
atic
atem
eM
o. d
1. INTRODUCCION 1
ept

1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . 5
´
1.2. ECUACION DE CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . 6
a, D

´
2. METODOS DE SOLUCION ´ 7
qui

2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . . . . . . . . . . . . 7
´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS . . . . . . . . . . . . . . 10
tio

2.3. E.D. CON COEFICIENTES LINEALES . . . . . . . . . 14
An

2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION . . . . . . . . . . . . . 20
de

2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . 26
dad

2.7. ECUACION DIFERENCIAL DE BERNOULLI . . . . 31
2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN . . . . . . 33
ersi

2.9. OTRAS SUSTITUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.10. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 45
iv
Un

3. APLIC. DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN 49
´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales . . . . . . . 49
3.1.2. Problemas de Persecuci´n: . . . . . . . .
o . . . . . . 51
3.1.3. Aplicaciones a la geometr´ anal´
ıa ıtica . . . . . . . 54
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION . . ´ . . . . . . 55
3.2.1. Desintegraci´n radioactiva . . . . . . . .
o . . . . . . 56

iii

iv ´
INDICE GENERAL

3.2.2. Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . 57
3.2.3. Ley de absorci´n de Lambert . .
o . . . . . . . . . . 57
3.2.4. Crecimientos poblacionales . . . . . . . . . . . . . 58
´
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5. APLICACIONES A LA FISICA . . . . . . . . . . . . . . 73

4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES 81

as
4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

atic
´
4.2. DIMENSION DEL ESP. VECT. SOL. DE UNA E.D.O. 90
´ ´
4.3. METODO DE REDUCCION DE ORDEN . . . . . . . 97

atem
4.4. E.D. LINEALES CON COEFICIENTES CONST. . . . 101
4.4.1. E.D. LINEALES DE ORDEN DOS . . . . . . . . 101

eM
4.4.2. E.D. LINEALES DE ORDEN MAYOR QUE
DOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
o. d
4.5. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.6. COEFICIENTES INDETERMINADOS . . . . . . . . . 109
ept

´ ´
4.7. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . 112
´ ´
a, D

4.7.1. GENERALIZACION DEL METODO DE
´ ´
VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . 120
qui

4.8. OPERADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.9. OPERADORES INVERSOS . . . . . . . . . . . . . . . . 125
tio

4.10. E.D.O. DE EULER - CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . 137
An

4.11. APLICAC. DE LA E.D. DE SEGUNDO ORDEN . . . 141
´
4.11.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE . . . . . 141
de

4.11.2. MOVIMIENTO AMORTIGUADO . . . . . . . . 143
4.11.3. MOVIMIENTO FORZADO. . . . . . . . . . . . . 146
dad

ersi

5. SOLUCIONES POR SERIES 165
iv

5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Un

5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS . . . . . . . . 167
5.3. SOLUCIONES EN TORNO A PUNTOS SING. REG. 178
5.3.1. CASO II: r1 − r2 = entero positivo . . . . . . . . . 184
´
5.3.2. FUNCION GAMMA: Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.3. CASO III: r1 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
´
5.3.4. ECUACION DE BESSEL DE ORDEN p : . . . . 194
5.3.5. PUNTO EN EL INFINITO . . . . . . . . . . . . . 202

´
INDICE GENERAL v

6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 211
6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE . . . . . 215
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANS. DE LAPLACE . . 218
6.4. APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA A LAS E.D. 234
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC . . . . . 239

as
7. SIST. LINEALES DE PRIMER ORDEN 247

atic
7.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
´
7.2. CONJUNTOS FUND. Y SIST. HOMOGENEOS . . . 250

atem
´
7.3. METODO DE LOS VALORES Y VECT. PROPIOS . 251
´ ´
7.4. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . 271

eM
7.5. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS276
7.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . 279 o. d
8. INTROD. A LA TEORIA DE ESTABIL. 281
ept

´
8.1. SISTEMAS AUTONOMOS, EL PLANO DE FASE . . 281
8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. . . 286
a, D

8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. . . . . . . . . . 287
8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTAB. . . 296
qui

8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV . 309
tio

8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES . . 318
´
8.6. CICLOS LIMITES: TEOREMA DE POINCARE-BENDIXSON 339
An

de

A. F´rmulas
o 355
dad

A.1. F´rmulas Aritm´ticas .
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
A.2. F´rmulas Geom´tricas
o e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
ersi

A.3. Trigonometr´ . . . . . .
ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
A.4. Tabla de Integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
iv
Un

B. TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD 363
B.1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
B.2. TEOREMA LOCAL DE EXIST. Y UNICID., CASO UNIDIMENSIONAL 365
B.3. TEOREMAS LOCAL Y GLOBAL PARA SISTEMAS DE E. D. LINEALES 372

C. EXPONENCIAL DE OPERADORES 377
´
D. TEOREMA DE LIENARD 381

vi ´
INDICE GENERAL

E. FRACCIONES PARCIALES 387
E.1. Factores lineales no repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . 387
E.2. Factores Lineales Repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
E.3. Factores Cuadr´ticos. . . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . 390
E.4. Factores Cuadr´ticos Repetidos.
a . . . . . . . . . . . . . . 391

as
atic
atem
eM
o. d
ept
a, D
qui
tio
An
de
dad
ersi
iv
Un

CAP´
ITULO 1

as
atic
INTRODUCCION

atem
eM
o. d
Definiciń 1.1. Si una ecuaciń contiene las derivadas o las diferenciales
o o
ept

de una o m´s variables dependientes con respecto a una o m´s variables
a a
independientes, se dice que es una ecuaciń diferencial (E.D.).
o
a, D

Si la ecuaciń contiene derivadas ordinarias de una o m´s variables depen-
o a
qui

dientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaciń o
se dice que es una ecuaciń diferencial ordinaria (E.D.O.).
o
tio
An

dy
Ejemplo 1. 3 dx + 4y = 5
de

Ejemplo 2. (x2 − y)dx + 5 sen y dy = 0
dad

Ejemplo 3. u du + v dx = x
dx
dv
ersi

Si la ecuaciń contiene derivadas parciales de una o m´s variables depen-
o a
iv

dientes con respecto a una o m´s variables independientes, se dice que es una
a
Un

ecuaciń en derivadas parciales.
o

∂u ∂v
Ejemplo 4. ∂y
= − ∂x

∂2u
Ejemplo 5. ∂x∂y
=y−x

Definiciń 1.2. (Orden). La derivada o la diferencial de m´s alto orden
o a
determina el orden de la E.D.
1

2 CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION

d3 y 2
Ejemplo 6. dx3
+ x2 dxy + x dx = ln x, es de orden 3.
d
2
dy

dy y
Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dx
= x , la cual es de orden 1.

Definiciń 1.3 (E.D.O. lineal). Una E.D. es lineal si tiene la forma:
o

as
d yn d y n−1 dy

atic
an (x) dxn + an−1 (x) dxn−1 + . . . + a1 (x) dx + a0 (x)y = g(x)

atem
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente
uno y cada coeficiente a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g(x), depende solo de x. Si no
se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal.

eM
3 2
o. d
Ejemplo 8. x2 dxy + cos x dxy + sen x dx + x2 y = ex es lineal de orden 3.
d
3
d
2
dy
ept

3
Ejemplo 9. sen x dxy + xy 2 = 0 no es lineal.
d
3
a, D

2
Ejemplo 10. y 2 dxy + y dx + xy = x no es lineal.
d
2
dy
qui

Definiciń 1.4. . Se dice que una funciń f con dominio en un intervalo I
o o
tio

es soluciń a una E.D. en el intervalo I, si la funciń satisface la E.D. en el
o o
An

intervalo I.
de

Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluciń de y (x + y) = y
o
dad

dy 1 dy
En efecto, derivando impl´
ıcitamente: 1 = ln(cy) + y cy c dx
ersi

dx

dy dy 1
iv

1= dx
(ln(cy) + 1), luego dx
= ln(cy)+1
Un

Sustituyendo en la ecuaciń diferencial:
o
y ln(cy) + y y(ln (cy) + 1)
= = y,
ln (cy) + 1 ln (cy) + 1
luego y = y
por tanto x = y ln (cy) es soluciń.
o

3

Una E.D. acompaãda de unas condiciones iniciales se le llama un pro-
n
blema de valor inicial (P.V.I.). Con frecuencia es importante saber si un pro-
blema de valor inicial tiene soluciń y tambiń deseamos saber si esta soluciń
o e o
es unica, aunque no podamos conseguir expl´
´ ıcitamente la soluciń. El si-
o
guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este
teorema lo enunciamos y demostramos con m´s profundidad en el Apńdice
a e
al final del texto.

as
Teorema 1.1. (Picard)

atic
Sea R una regiń rectangular en el plano XY definida por
o
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior.

atem
Si f (x, y) y ∂f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen-
∂y
tro en x0 y una unica funciń y(x) definida en I que satisface el problema
´ o

eM
de valor inicial y = f (x, y), y(x0 ) = y0 .
o. d
Ejemplo 12. Para la E.D. y = x2 + y 2 , se tiene que f (x, y) = x2 + y 2
y ∂f = 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier
ept

∂y
punto (x0 , y0 ) del plano XY pasa una y solo una soluciń de la E.D. anteri-
o
a, D

or. Es importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluciń
o
expl´ıcita; s´lo con m´todos num´ricos se puede hallar la soluciń.
o e e o
qui

Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluciń de y + 25y = 0.
o
tio

2 x t2 2
An

Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x 0
e dt + c1 e−x es soluciń de
o
y + 2xy = 1.
de

x sen t
Ejercicio 3. Demostrar que y = x dt es soluciń de
o
dad

0 t
xy = y + x sen x.
ersi

x
Ejercicio 4. Demostrar que y = e− 2 es soluciń de 2y + y = 0, tambiń
o e
iv

y = 0 es soluciń.
o
Un

Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y , . . . , y (n) ) = 0 en un in-
tervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1 , . . . , Cn ) mediante valores apropia-
dos de Ci , entonces a G se le llama la soluciń general; una soluciń que no
o o
contenga los par´metros Ci se le llama la soluciń particular; una soluciń
a o o
que no pueda obtenerse a partir de la soluciń general se le llama soluciń
o o
singular.
Veremos m´s adelante que la soluciń general a una E.D. lineal de orden n
a o

4 CAP´

tiene n par´metros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener
a
expl´
ıcitamente una soluciń general.
o

Ejemplo 13. y = Cx4 es soluciń general de xy − 4y = 0.
o
Con C = 1 entonces la soluciń particular es y = x4 .
o

Tambiń
e
x4 x≥0

as
f (x) =
−x4 x<0

atic
atem
es una soluciń singular, porque no se puede obtener a partir de la soluciń
o o
general.

eM
1
Ejercicio 5. Si y − xy 2 = 0, demostrar o. d
2
a). y = ( x + C)2 es soluciń general.
o
ept

4

x4
a, D

b). Si C = 0 mostrar que y = 16
es soluciń particular.
o

c). Explicar porqu´ y = 0 es soluciń singular.
e o
qui

Ejercicio 6. Si y = y 2 − 1, demostrar
tio
An

1+Ce2x
a). y = 1−Ce2x
es soluciń general.
o
de

b). Explicar porqu´ y = −1 es soluciń singular.
e o
dad

Ejercicio 7. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluciń
o
general.
ersi

Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0, comprobar que x2 y + y 2 = C1
iv
Un

es soluciń general.
o

Ejercicio 9. Si (x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0, comprobar que
y
C1 (x + y)2 = xe x , es soluciń general.
o

Ejercicio 10. Si xy + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluciń
o
general.

1.1. CAMPO DE DIRECCIONES 5

1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
Dada la E.D. y = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa
una direcciń en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto
o
(x, y) una direcciń. A este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de
o
direcciones o campo pendiente de la E.D. y = f (x, y). Este campo de di-
recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como
por ejemplo si son asint´ticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc..
o

as
Con el paquete Maple haremos un ejemplo.

atic
Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y = −2x2 + y 2 y

atem
cuatro curvas soluciń de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1),
o
(0, −1) respectivamente.

eM
> with(DEtools):
DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black,
o. d
{[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);
ept
a, D

2
qui
tio
An

1
de
dad

y(x)0
-2 -1 0 1 2
ersi

x
iv

-1
Un

-2

Figura 1.1

6 CAP´

1.2. ´
ECUACION DE CONTINUIDAD
Para finalizar este Cap´ ıtulo, es importante hacer un corto comentario so-
bre la ecuaciń de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´menos
o o
en diferentes areas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como
´
resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaciń de continuidad
o
nos dice que la tasa de acumulaciń de una variable x en un recipiente (el
o

as
cual puede ser un tanque, un organo humano, una persona, una ciudad, un
´

atic
banco, una universidad, un sistema ecol´gico, etc.) es igual a su tasa de en-
o
trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida

atem
pueden ser constantes o variables.

Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t)

eM
entonces la tasa de acumulaciń es
o
o. d
dx
= E(t) − S(t).
dt
ept

Ejemplo 15. La concentraciń de glucosa en la sangre aumenta por ingesta
o
a, D

de comidas ricas en azucares, si se suministra glucosa a una razń constante
o
R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina
qui

a una tasa proporcional a la concentraciń presente de glucosa. Si C(t) re-
o
presenta la concentraciń de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y
o
tio

S(t) = kC(t), entonces por la ecuaciń de continuidad, la Ecuaciń Diferen-
o o
An

cial que rige este fen´meno es
o
de

dC(t)
= E(t) − S(t) = R − kC(t).
dt
dad
ersi
iv
Un

CAP´
ITULO 2

as
atic
´ ´

atem
METODOS DE SOLUCION

eM
o. d
2.1. VARIABLES SEPARABLES
ept
a, D

dy g(x)
Definiciń 2.1. Se dice que una E.D. de la forma:
o = es separable
dx h(y)
qui

o de variables separables.
tio

La anterior ecuaciń se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-
o
An

do:
h(y) dy = g(x) dx + C,
de
dad

obtenińdose as´ una familia uniparam´trica de soluciones.
e ı e
ersi

Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de
a
iv

otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constantes
u
Un

o exponenciales de constantes o si aparece la suma de varias constantes re-
unirlas en una sola constante.

dy
Ejemplo 1. dx
= e3x+2y
Soluciń:
o

dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx

7

8 CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION

separando variables

dy
2y
= e3x dx
e
e integrando

1 e3x
− e−2y + C =

as
2 3

atic
la soluciń general es
o

atem
e3x e−2y
+ =C
3 2

eM
dy 1
Ejemplo 2. dx
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1 o. d
Soluciń: separando variables
o
ept

2x
a, D

y −3 dy = √ dx
2 1 + x2
qui

1 d(1 + x2 ) u = 1 + x2
tio

= √ haciendo
2 1 + x2 du = 2xdx
An

obtenemos
de

1 du
= √
dad

2 u
1
y −2 1 (1 + x2 ) 2
ersi

e integrando = 1 +C
−2 2 2
iv
Un

soluciń general
o

1 √
− = 1 + x2 + C.
2y 2

Cuando x = 0, y = 1

1 √
− = 1 + 02 + C
2×1

2.1. VARIABLES SEPARABLES 9

luego C = −32
La soluciń particular es
o
−1 √ 3
2
= 1 + x2 −
2y 2
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaciń de variables:
e o

Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0

as
(Rta. 2 + y 2 = C(4 + x2 ))

atic
Ejercicio 2. y + y 2 sen x = 0

atem
(Rta. y = − cos 1 )
x+c

eM
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
(Rta. (2 − ex )3 = C tan y) o. d
π
Ejercicio 4. y sen x = y ln y, si y =e
ept

2
(Rta. ln y = csc x − cot x)
a, D

dy xy + 3x − y − 3
Ejercicio 5. =
dx xy − 2x + 4y − 8
qui

y+3
(Rta. ( x+4 )5 = Cey−x )
tio

Ejercicio 6. x2 y = y − xy, si y(−1) = −1
An

1
(Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
de

dy
Ejercicio 7. Hallar la soluciń general de la E.D. dx − y 2 = −9 y luego
o
dad

hallar en cada caso una soluciń particular que pase por:
o
1
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1
ersi

(Rta. a) y−3 = −e6x , b) y = 3, c) y−3 = − 1 e−2 e6x )
y+3 y+3 2
iv

Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaciń o
Un

de protozoarios a una razń constante µ. Se ha observado que las bacterias
o
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es
la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en
funciń de c(0); ¿cu´l es la concentraciń de equilibrio de las bacterias, es
o a o
decir, cuando c (t) = 0√ ?
√ √ √ √
µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraciń de equilibrio c = µ )
o k

10 CAP´ ´ ´

dy dy
Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx en
y = a y x = 2a.
3 y
(Rta.: yx2 = 4a e a )
e

2.2. ´
ECUACIONES HOMOGENEAS
Definiciń 2.2. f (x, y) es homogńea de grado n si existe un real n tal que
o e

as
n
para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y).

atic
atem
Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homogńea de grado dos.
e

eM
Definiciń 2.3. Si una ecuaciń en la forma diferencial :
o o
o. d
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
ept

tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), en-
tonces decimos que es de coeficientes homogńeos o que es una E.D. ho-
e
a, D

mogńea.
e
qui

Siempre que se tenga una E.D. homogńea podr´ ser reducida por medio
e a
tio

de una sustituciń adecuada a una ecuaciń en variables separables.
o o
An

M´todo de soluciń: dada la ecuaciń
e o o
de

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
dad

donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homogńeas del mismo grado; me-
e
ersi

diante la sustituciń y = ux o x = yv (donde u o v son nuevas variables
o ´ ´
iv

dependientes), puede transformarse en una ecuaciń en variables separables.
o
Un

Nota: si la estructura algebraica de N es m´s sencilla que la de M , en-
a
tonces es conveniente usar las sustituciń y = ux.
o
Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente
a
usar la sustituciń x = vy.
o

Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homogńeas, la siguiente E.D.:
e e
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.

´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 11

Soluciń:
o
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0 donde
homogńea de grado 1
e homogńea de grado 1
e
y y
M (x, y) = x + ye x y N (x, y) = −xe x

Como N es m´s sencilla que M , hacemos la sustituciń: y = ux, por tanto
a o
dy = u dx + x du

as
Sustituyendo en la E.D.

atic
ux ux
(x + uxe x ) dx − xe x (u dx + x du) = 0

atem
o sea que

eM
x dx − x2 eu du = 0
o. d
luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obte-
nemos,
ept

dx
= eu du ⇒ ln x = eu + C
x
a, D

Por lo tanto la soluciń general es
o
qui

y
ln x = e x + C
tio

Para hallar la soluciń particular que pasa por el punto y(1) = 0, susti-
o
An

tuimos en la soluciń general y obtenemos:
o
0
de

ln 1 = e 1 + C ⇒ 0 = 1 + C de donde C = −1
dad

Por lo tanto, y
ln x = e x − 1
ersi

es la soluciń particular
o
iv
Un

Ejemplo 5. (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z α y calcular
α para convertirla en homogńea)
e
Soluciń:
o
No es homogńea; hagamos y = z α y hallemos α de tal manera que la E.D.O.
e
se vuelva homogńea:
e

dy = αz α−1 dz

12 CAP´ ´ ´

(x2 z 2α − 1)αz α−1 dz + 2xz 3α dx = 0
α(x2 z 3α−1 − z α−1 )dz + 2xz 3α dx = 0 (2.1)

suma de exponentes en los t´rminos: 2+3α−1, α−1 y 1+3α respectivamente.
e

An´lisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:
a

as
1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = −1

atic
Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x2 z −2 − 1)z −2 dz + 2xz −3 dx = 0

atem
(−x2 z −4 + z −2 ) dz + 2xz −3 dx = 0

eM
Es homog´nea de orden −2.
e o. d
La sustituci´n m´s sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du.
o a
ept
a, D

(−u2 z 2 z −4 + z −2 ) dz + 2uzz −3 (u dz + z du) = 0
qui

(−u2 z −2 + z −2 + 2u2 z −2 ) dz + (2uz −1 ) du = 0
tio
An

(u2 z −2 + z −2 ) dz + 2uz −1 du = 0
de
dad

z −2 (u2 + 1) dz + 2uz −1 du = 0
ersi

z −2 dz 2u
+ 2 du = 0
iv

z −1 u +1
Un

dz 2u
+ 2 du = 0
z u +1
Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C

ln |z(u2 + 1)| = ln C ⇒ z(u2 + 1) = C
x
reemplazo u = z
y tenemos, tomando z = 0

´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS 13

x2
+z =C
z
x2
Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces y −1
+ y −1 = C
luego
x2 y 2 + 1 = Cy,
es la soluciń general.
o

as
atic
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de las homogńeas, o con-
e e ´
vertirla en homogńea y resolverla segń el caso:
e u

atem
y
Ejercicio 1. y + x cot x dx − x dy = 0.

eM
y
(Rta.: C = x cos x )
dy
o. d
Ejercicio 2. (x + y 2 − xy) dx = y , con y(1) = 1.
(Rta.: ln2 |y| = 4( y−x ))
ept

y

y y
Ejercicio 3. x − y cos x dx + x cos x dy = 0.
a, D

y
(Rta.: ln |x| + sen x = C)
qui

Ejercicio 4. (x2 − 2y 2 ) dx + xy dy = 0.
tio

(Rta.: x4 = C(x2 − y 2 ))
An

−y
Ejercicio 5. xy = y + 2xe x .
y
de

(Rta.: ln x = 1 e x +c )
2
dad

Ejercicio 6. (x + y 3 ) dx + (3y 5 − 3y 2 x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z α ).
3
(Rta.: ln |C(x2 + y 6 )| = 2 arctan yx )
iv ersi

Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2 ) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z α ).
Un

(Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 )

Ejercicio 8. y cos x dx + (2y − sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x).
sen x
(Rta.: y 2 = Ce− y )
y y
Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx − x ln x dy = 0.
(Rta.: ln |x| − 1 ln2 x = C)
2
y

14 CAP´ ´ ´

dy y y
Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x .
y y
(Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx)

Ejercicio 11. Hallar la soluciń particular de la E.D.
o

yx2 dx − (x3 + y 3 )dy = 0,

donde y(0) = 1

as
(Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 )
3 y

atic
o

atem
xy 2 dy − (x3 + y 3 )dx = 0,

eM
donde y(1) = 0
y
(Rta.: ln |x| = 1 ( x )3 )
3 o. d
√
Ejercicio 13. (y + xy)dx − 2xdy = 0
ept

y y
(Rta.: x( x − 1)4 = C, si x > 0, y > 0 y x( x
+ 1)4 = C , si x < 0, y < 0)
a, D

o
qui

y(ln y − ln x − 1)dx + xdy = 0,
tio

donde y(e) = 1
An

y
(Rta.: x ln | x | = −e)
de
dad

2.3. E.D. DE COEFICIENTES LINEALES:
ersi

(ax + by + c) dx + (αx + βy + γ) dy = 0
iv

Se presentan dos casos:
Un

1. Si (h, k) es el punto de intersecciń entre las rectas:
o

ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0

entonces se hace la sustituciń: x = u + h y y = v + k y se consigue la
o
ecuaciń homogńea:
o e

(au + bv)du + (αu + βv)dv = 0

2.4. ECUACIONES EXACTAS 15

2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces

αx + βy = n(ax + by)

y por tanto se hace la sustituci´n z = ax + by, lo cual quiere decir
o
que αx + βy = nz, esta sustituci´n convierte la E.D. en una E.D. de
o
variables separables.

as
Ejercicios: resolver por el m´todo anterior:
e

atic
1. (x − y + 1) dx + (x + 2y − 5) dy = 0
√

atem
2 arctan √ x−1
(Rta.: (x − 1)2 + 2(y − 2)2 = Ce 2(y−2) )

eM
2. = 2y−x+5
dy
dx 2x−y−4
(Rta.: (x + y + 1)3 = C(y − x + 3))
o. d
3. (x − 2y + 4) dx + (2x − y + 2) dy = 0
ept

(Rta.: (x + y − 2)3 = C 2 (x − y + 2))
a, D

4. (x + y + 1)2 dx + (x + y − 1)2 dy = 0
(Rta.: 4x = − 1 (x + y)2 + 2(x + y) − ln |x + y| + C)
qui

2
tio

5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0
(Rta.: 4 − x − 2y = 3 ln |2 − x − y| + C)
An

6. (x + y − 2) dx + (x − y + 4) dy = 0
de

(Rta.: C = 2(x + 1)(y − 3) + (x + 1)2 − (y − 3)2 )
dad

7. (x − y − 5) dx − (x + y − 1) dy = 0
(Rta.: (x + y − 1)2 − 2(x − 3)2 = C)
ersi

8. (2x + y) dx − (4x + 2y − 1) dy = 0
iv

(Rta.: x = 2 (2x + y) − 25 − ln |5(2x + y) − 2| + C)
4
Un

5

2.4. ECUACIONES EXACTAS
Si z = f (x, y), entonces

∂f ∂f
dz = dx + dy
∂x ∂y

16 CAP´ ´ ´

es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas uni-
param´tricas en el plano XY ), entonces
e
∂f ∂f
dz = 0 = dx + dy.
∂x ∂y
Definiciń 2.4. La forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy es una dife-
o
rencial exacta en una regiń R del plano XY si corresponde a la diferencial
o

as
total de alguna funciń f (x, y).
o

atic
La ecuaciń M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial
o

atem
total de alguna funciń f (x, y) = c.
o

eM
Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas).
Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer
o. d
orden continuas en una regiń R del plano XY , entonces la condiciń nece-
o o
saria y suficiente para que la forma diferencial
ept

M (x, y) dx + N (x, y) dy
a, D

sea una diferencial exacta es que
qui

∂M ∂N
tio

= .
∂y ∂x
An
de

Demostraciń: como M (x, y) dx + N (x, y) dy es una diferencial exacta, en-
o
tonces existe una funciń f (x, y) tal que:
o
dad

∂f ∂f
ersi

M (x, y) dx + N (x, y) dy = dx + dy = d f (x, y)
∂x ∂y
iv

luego
Un

∂f
M (x, y) =
∂x
y
∂f
N (x, y) =
∂y
por tanto,
∂M ∂2f ∂2f ∂N
= = = .
∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x


La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son
continuas con derivadas de primer orden continuas.
M´todo. Dada la ecuaciń M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0, hallar una funciń
e o o
f (x, y) = C tal que
∂f ∂f
=M y =N
∂x ∂y
∂M ∂N
i) Comprobar que es exacta, es decir, verificar que = .

as
∂y ∂x

atic
∂f
ii) Suponer que = M (x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a

atem
∂x
y constante:

eM
f (x, y) = M (x, y) dx + g(y) (2.2)
o. d
iii) Derivar con respecto a y la ecuaciń (2.2)
o
ept

∂f ∂
a, D

= M (x, y) dx + g (y) = N (x, y)
∂y ∂y
qui

despejar
tio

∂
g (y) = N (x, y) − M (x, y) dx (2.3)
An

∂y
de

Esta expresiń es independiente de x, en efecto:
o
dad

∂ ∂ ∂N ∂ ∂
N (x, y) − M (x, y) dx = − M (x, y) dx
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
ersi

∂N ∂ ∂ ∂N ∂
= − M (x, y) dx = − M (x, y) = 0
iv

∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
Un

iv) Integrar la expresiń (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar
o
a C.
∂f
Nota: en ii) se pudo haber comenzado por ∂y
= N (x, y).

Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.:
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0

18 CAP´ ´ ´

Soluciń:
o
paso i) 
∂M x
= 4xy + e 
∂y ∂M ∂N
de donde =
∂N  ∂y ∂x
= 4xy + ex 

∂x
paso ii)

as
atic
f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex − 1) dy + h(x)

atem
= x2 y 2 + yex − y + h(x)

paso iii)

eM
∂f
= M = 2xy 2 + yex o. d
∂x
∂f
= 2xy 2 + yex + h (x) ⇒ h (x) = 0
ept

∂x
a, D

paso iv) h(x) = C
paso v) sustituyo h(x) en el paso ii):
qui

x2 y 2 + yex − y + C1 = C
tio

x2 y 2 + yex − y = C2 Soluciń general
o
An

Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.:
de

(xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0.
dad

Soluciń:
o
ersi

Como ∂M = 2xy + bx2 y
∂y
∂N
∂x
= 3x2 + 2xy entonces b = 3 , por lo tanto
iv

∂f
= xy 2 + 3x2 y (2.4)
Un

∂x
∂f
= x3 + x2 y (2.5)
∂y
integramos (2.4) :

x2
f (x, y) = (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y) = y 2 + x3 y + g(y) (2.6)
2


derivamos (2.6) con respecto a y
∂f
= yx2 + x3 + g (y) (2.7)
∂y
igualamos (2.5) y (2.7)

x3 + x2 y = yx2 + x3 + g (y) ⇒ g (y) = 0

as
(2.8)

atic
luego g(y) = K y reemplazando en (2.6)

atem
x2
f (x, y) = y 2 + x3 y + K = C 1
2

eM
y por tanto la soluciń general es
o
o. d
y 2 x2
+ x3 y = C
2
ept

Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas :
e
a, D

(tan x − sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0.
qui

(Rta.: f (x, y) = cos x sen y − ln |cos x| = C)
tio

Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas:
e
An

(y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e.
de

(Rta.: f (x, y) = y 2 sen x − x3 y − x2 + y(ln y − 1) = 0)
dad
ersi

Ejercicio 3. Determinar la funciń M (x, y) de tal manera que la siguiente
o
E.D.O sea exacta:
iv

1
Un

M (x, y) dx + xex y + 2xy + dy = 0
x
y
(Rta.: M (x, y) = 1 y 2 ex (x + 1) + y 2 −
2 x2
+ g(x))

Ejercicio 4. Determinar la funciń N (x, y) para que la siguiente E.D.
o
sea exacta:
1 1 x
y 2 x− 2 + 2 dx + N (x, y) dy = 0
x +y

20 CAP´ ´ ´

1 1 1
(Rta.: N (x, y) = x 2 y − 2 + 2 (x2 + y)−1 + g(y))

Ejercicio 5. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = y(x2 y + ex − 1) = C)

e

as
atic
(2x − y sen xy − 5y 4 ) dx − (20xy 3 + x sen xy) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = x2 + cos(xy) − 5y 4 x = C)

atem
e

eM
( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0
o. d
(Rta.: f (x, y) = x sen (xy) = C)
ept

e
a, D

(yexy + 4y 3 ) dx + (xexy + 12xy 2 − 2y) dy = 0, con y(0) = 2
(Rta.: f (x, y) = exy + 4xy 3 − y 2 = −3)
qui
tio

e
An

(1 − sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0
(Rta.: f (x, y) = cos x tan y + x = C)
de
dad

´
ersi

2.5. FACTORES DE INTEGRACION
iv

Deﬁnici´n 2.5 (Factor Integrante F.I.). Sea la E.D.
o
Un

M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Si µ(x, y) es tal que
µ(x, y) M (x, y) dx + µ(x, y) N (x, y) dy = 0
es una E.D. exacta, entonces decimos que µ(x, y) es un factor integrante
(F.I.).

´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION 21

Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas.
Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 1 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2 ) =
2 2
x dx + y dy.

An´logamente: para x dy + y dx = d(xy).
a

Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresi´n µ(x, y) = xp−1 y q−1 es un
o
factor integrante.

as
atic
Para y dx − x dy, las expresiones:

atem
1 1 1 1 1
µ= ; µ= 2; µ= ; µ= 2 ; µ= 2

eM
y 2 x xy x +y 2 ax + bxy + cy 2
son factores integrantes. o. d
Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante).
ept

Sea M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 una E.D. y µ(x, y) un factor integrante, con
M , N y µ continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces
a, D

∂M ∂N dµ dµ
qui

µ − =N = −M
∂y ∂x dx dy
tio
An

Demostraci´n: si µ es tal que µM dx + µN dy = 0 es exacta y µ, M, N
o
tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:
de

∂ ∂
dad

(µM ) = (µN )
∂y ∂x
o sea que
ersi

∂M ∂µ ∂N ∂µ
µ +M =µ +N
∂y ∂y ∂x ∂x
iv
Un

luego
∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂µ M ∂µ
µ − =N −M =N −
∂y ∂x ∂x ∂y ∂x N ∂y
dy
como dx
= − M , entonces:
N

∂M ∂N ∂µ dy ∂µ dµ dµ
µ − =N + =N = −M
∂y ∂x ∂x dx ∂y dx dy

22 CAP´ ´ ´

ya que si µ = µ(x, y) y y = y(x) entonces:

∂µ ∂µ
dµ = dx + dy
∂x ∂y
y por tanto
dµ ∂µ ∂µ dy
= +
dx ∂x ∂y dx

as
Nota.

atic
∂M
− ∂N
1. Si ∂y N ∂x = f (x),

atem
entonces µf (x) = dµ y por tanto f (x)dx = dµ ,
dx µ
R R
f (x)dx
luego µ = ke ; tomando k = 1 se tiene µ = e f (x)dx .

eM
∂M
− ∂N
∂y ∂x
o. dR
g(y)dy
2. Similarmente, si −M
= g(y), entonces µ = e .
ept

Ejemplo 8. (2xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − 4x) dy = 0.
a, D

Soluci´n:
o
qui

∂M
M (x, y) = 2xy 2 − 2y ⇒ = 4xy − 2
∂y
tio

∂N
An

N (x, y) = 3x2 y − 4x ⇒ = 6xy − 4
∂x
de

luego
∂M ∂N
dad

− = −2xy + 2
∂y ∂x
ersi

por tanto
∂M ∂N
∂y
− ∂x −2xy + 2 2(−xy + 1)
= =
iv

−M −2xy 2 + 2y 2y(−xy + 1)
Un

luego
1 R 1
dy
g(y) = ⇒ F.I. = µ(y) = e y = eln |y| = y
y
multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 − 2y 2 ) dx + (3x2 y 2 − 4xy) dy = 0

el nuevo M (x, y) = 2xy 3 − 2y 2 y el nuevo N (x, y) = 3x2 y 2 − 4xy

´

Paso 1.
∂M
= 6xy 2 − 4y
∂y
y
∂N
= 6xy 2 − 4y
∂x
luego es exacta.

as
Paso 2.

atic
atem
f (x, y) = (2xy 3 − 2y 2 )dx + g(y) = x2 y 3 − 2xy 2 + g(y)

eM
Paso 3. Derivando con respecto a y:

∂f o. d
N = 3x2 y 2 − 4xy = = 3x2 y 2 − 4xy + g (y)
∂y
ept

luego g (y) = 0
a, D

Paso 4. g(y) = k
qui

Paso 5. Reemplazo en el paso 2.
tio

f (x, y) = x2 y 3 − 2xy 2 + k = c
An

luego x2 y 3 − 2xy 2 = k1 que es la soluci´n general.
de

o
dad

Ejemplo 9. x dy − y dx = (6x2 − 5xy + y 2 ) dx
Soluci´n:
o
ersi

y x dy − y dx
iv

como d( ) =
x x2
Un

entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego

x dy − y dx 6x2 − 5xy + y 2
= dx
x2 x2

luego
y y y
d( ) = 6 − 5( ) + ( )2 dx,
x x x

24 CAP´ ´ ´

y
hagamos u = x
⇒ du = (6 − 5u + u2 )dx

du du
luego = dx ⇒ = dx
6 − 5u + u2 (u − 3)(u − 2)
1 A B
pero por fracciones parciales = +
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
o sea que A = 1 y B = −1, por tanto

as
atic
du du du
= dx ⇒ − = ln |u−3|−ln |u−2|+ln c = x
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2

atem
luego
(u − 3) (y − 3x)

eM
c = ex , si x = 0 ⇒ c = ex
(u − 2) (y − 2x)
o. d
Obs´rvese que x = 0 es tambiń soluciń y es singular porque no se desprende
e e o
de la soluciń general.
o
ept

En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el
a, D

m´todo de las exactas:
e
qui

Ejercicio 1. (cos(2y) − sen x) dx − 2 tan x sen (2y) dy = 0.
tio

1
(Rta.: sen x cos(2y) + 2 cos2 x = C)
An

Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C)
de
dad

Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0.
1 3
(Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C)
ersi

Ejercicio 4. (2wz 2 − 2z) dw + (3w 2 z − 4w) dz = 0.
iv
Un

(Rta.: w 2 z 3 − 2z 2 w = C)

Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0
(Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C)

Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy).
1
(Rta.: xy = 4 (x + y)4 + C)

´

Ejercicio 7. x dy − y dx = (2x2 + 3y 2 )3 (2xdx + 3ydy).
2 3 y 1
(Rta.: 3
tan−1 ( 2 x
) = 3 (2x2 + 3y 2 )3 + C)

Ejercicio 8. y dx + (2x − yey ) dy = 0.
(Rta.: y 2 x − y 2 ey + 2yey − 2ey = C)

Ejercicio 9. (xy − 1)dx + (x2 − xy)dy = 0.

as
2
(Rta.: f (x, y) = xy − ln |x| − y2 = C)

atic
Ejercicio 10. ydx + (x2 y − x)dy = 0.

atem
2
(Rta.: f (x, y) = − x + y2 = C)
y

eM
Ejercicio 11. (2xy − e−2x )dx + xdy = 0.
(Rta.: f (x, y) = ye2x − ln |x| = C) o. d
Ejercicio 12. ydx + (2xy − e−2y )dy = 0.
ept

(Rta.: f (x, y) = xe2y − ln |y| = C)
a, D

Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C)
qui
tio

Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular que pasa por el punto
o
y(1) = −2, de la E.D.
An

dy 3x2 y + y 2
=− 3
de

dx 2x + 3xy
(Rta.: x3 y 2 + y 3 x = −4)
dad
ersi

Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy.
(Rta.: x2 + y 2 = y 3 + C)
iv
Un

Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx.
1 1
(Rta.: yx4 − 3x3 = C)

Ejercicio 17. Si
My − N x
= R(xy),
yN − xM
Rt
R(s) ds
entonces µ = F.I. = e , donde t = xy

26 CAP´ ´ ´

Ejercicio 18. Bajo que condiciones M dx + N dy = 0 tendr´ un F.I.=
a
µ(x + y)

Ejercicio 19. Si M dx + N dy = 0 es homogńea, entonces µ(x, y) =
e
1
xM +yN

as
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN

atic
atem
Definiciń 2.6. Una E.D. de la forma:
o
dy
a1 (x) + a0 (x)y = h(x),

eM
dx
o. d
donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama
E.D. lineal en y de primer orden.
ept
a, D

Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuaciń en forma canńica
o o
´
o forma estandar:
qui

dy
+ p(x)y = Q(x),
dx
tio

a0 (x) h(x)
An

donde p(x) = y Q(x) = .
a1 (x) a1 (x)
de

Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden).
dad

La soluciń general de la E.D. lineal en y, de primer orden:
o
ersi

y + p(x)y = Q(x)
iv

es :
Un

R R
p(x) dx p(x) dx
ye = e Q(x) dx + C.

Demostraciń:
o
dy
+ p(x)y = Q(x) (2.9)
dx
⇒ p(x)y dx + dy = Q(x) dx

2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 27

∂M ∂N
o sea que (p(x)y − Q(x)) dx + dy = 0, como ∂y
= p(x) y ∂x
= 0, entonces
∂M ∂N
∂y
− ∂x
= p(x)
N
R
p(x) dx
y por tanto µ = e = F.I.; multiplicando (2.9) por el F.I.:

p(x) dx dy
R R R
p(x) dx p(x) dx

as
e + p(x)ye = Q(x)e
dx

atic
R R
d
o sea dx
(ye p(x) dx ) = Q(x)e p(x) dx
e integrando con respecto a x se tiene:

atem
R R
p(x) dx p(x) dx
ye = Q(x)e dx + C

eM
Obs´rvese que la expresiń anterior es lo mismo que:
e o o. d
y F.I. = Q(x) F.I. dx + C
ept
a, D

dν
Ejemplo 10. Hallar la soluciń general de la E.D.:(6 − 2µν) dµ + ν 2 = 0
o
qui

Soluciń:
o
dν ν2
tio

=−
dµ 6 − 2µν
An

dµ 6 2µ
=− 2 +
de

dν ν ν
dad

dµ 2µ 6
− =− 2
dν ν ν
ersi

que es lineal en µ con
iv

2 6
Un

p(ν) = − , Q(ν) = − 2
ν ν
R R 2
− ν dν −2 1
F.I. = e p(ν)dν
=e = e−2 ln |ν| = eln |ν| = ν −2 =
ν2
La soluciń general es
o
1 1 6
µ= (− 2 )dν + C
ν2 ν 2 ν

28 CAP´ ´ ´

1 ν −3
µ = −6 ν −4 dν + C = −6 +C
ν2 −3
µ 2 2
2
= 3 + C ⇒ µ = + Cν 2
ν ν ν
que es la soluciń general.
o

as
dy
Ejemplo 11. Hallar una soluciń continua de la E.D.:
o dx
+ 2xy = f (x)

atic
x, 0≤x<1
donde f (x) =

atem
0, x≥1
y y(0) = 2

eM
Soluciń:
o o. d
2 2 2
R
2xdx
F.I. : e = ex ⇒ ex y = ex f (x)dx + C
ept
a, D

2 2
a). si 0 ≤ x < 1 : ex y = ex x dx + C
2 2 1 2
ex y = 1 ex 2x dx+C = 2 ex +C, que es la soluciń general. Hallemos
2
o
qui

C con la condiciń incial
o
2 2
y(0) = 2 ⇒ e0 2 = 1 e0 + C ⇒ C = 3
tio

2 2
2
luego y = 1 + 3 e−x , soluciń particular.
2 2
o
An

b). si x ≥ 1 : F.I.y = F.I. 0 dx + C
de

2 2
ex y = 0 + C ⇒ y = Ce−x
dad

1 2
2
+ 3 e−x
2
0≤x<1
Soluciń general: f (x) =
o
ersi

2
Ce−x x≥1
iv

Busquemos C, de tal manera que la funciń f (x) sea continua en x = 1.
o
Un

Por tanto
1 3 2
l´ ( + e−x ) = f (1) = y(1)
ım
x→1 2 2
1 3
1 3 −1 + 2 e−1 1 3
+ e = Ce−1 , ⇒ C = 2 −1 = e+
2 2 e 2 2
Ejemplo 12. Con un cambio de variable adecuado transformar la E.D.:
2
y + x sen 2y = xe−x cos2 y

2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN 29

en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla.
Soluciń. Lo trabajamos mediante cambios de variable.
o
Dividiendo por cos2 y:
1 dy x(2 sen y cos y) 2

2 y dx
+ 2y
= xe−x
cos cos

dy 2
sec2 y
+ 2x tan y = xe−x

as
dx

atic
hagamos el siguiente cambio de variable: t = tan y, por lo tanto

atem
dt dy
= sec2 y .
dx dx

eM
Sustituyendo
dt 2
+ 2xt = xe−x ,
o. d
es lineal en t con
dx
ept

2
p(x) = 2x, Q(x) = xe−x
a, D

2
R
2x dx
F.I. = e = ex
qui

Resolvińdola
e
tio

t F.I. = F.I.Q(x) dx + C
An

2 2 2
tex = ex (xe−x ) dx + C
de
dad

x2 2
⇒ tan y ex =
+C
2
ersi

Ejercicio 1. Hallar una soluciń continua de la E.D.:
o
iv

dy
(1 + x2 ) dx + 2xy = f (x)
Un

x, 0≤x<1
donde f (x) =
−x , x≥1
con y(0) = 0.
x2
2(1+x2 )
, si 0 ≤ x < 1
(Rta.: y(x) = x2 1
)
− 2(1+x2 ) + 1+x2
, si x ≥ 1

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