logica

1. Ho il pomeriggio libero………
?
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?
?
?

2. Nessun problema, prima mi alleno un poco e poi vado
a vedere un film
Mamma, vado in palestra e al cinema

3. Ops… gli orari coincidono
Mamma, vado in palestra oppure al
cinema

4. Potrei… gli orari non coincidono, ma se poi sono
troppo stanco?
Mamma, vado in palestra oppure al
cinema, ma… forse farò entrambe le
cose

5. Le frasi: vado in palestra e al cinema
vado in palestra oppure al cinema
vado in palestra oppure al cinema, ma forse farò entrambe le cose
vado in palestra
Hanno significati diversi
vado al cinema
e
e
Indica che si compieranno entrambe le azioni

6. Le frasi: vado in palestra e al cinema
vado in palestra oppure al cinema
vado in palestra oppure al cinema, ma forse farò entrambe le cose
vado in palestra
Hanno significati diversi
vado al cinemaoppure
Indica che si compierà solo una delle due azioni
oppure

7. Le frasi: vado in palestra e al cinema
vado in palestra oppure al cinema
vado in palestra oppure al cinema, ma forse farò entrambe le cose
vado in palestra
Hanno significati diversi
vado al cinemaoppure
Indica che si compierà o un’azione o l’altra o entrambe
ma anche entrambe le cose
oppure entrambe le cose

8. Le frasi: vado in palestra e al cinema
vado in palestra oppure al cinema
vado in palestra oppure al cinema, ma forse farò entrambe le cose
descrivono tre diverse situazioni nel linguaggio naturale.
Non sempre però la traduzione del pensiero in parole è inequivocabile
Mamma, vado in palestra o al cinema
L’informazione
Può lasciare qualche
dubbio alla mamma:
Farà una sola o
entrambe le attività?

9. Per evitare gli equivoci che
possono essere determinati
dall’uso della lingua naturale è
opportuno costruire un
linguaggio artificiale preciso
non ambiguo

10. Il primo passo verso la costruzione di un linguaggio
artificiale è il concetto di proposizione elementare
Una proposizione è un enunciato
che può essere vero (V) oppure
falso (F)
La verità o falsità di una frase deve
essere verificabile da chiunque:
essa non può dipendere dalle idee o
dai gusti personali.

11. Non possiamo considerare proposizioni una
domanda, un ordine, oppure un’esclamazione.
Per esempio:
• Che ore sono?
• E’ vietato fumare.
• Se fossi un mago!
• Mi piace. E’ bello. E’ buona. Lo amo.
Non sono proposizioni

12. •Anche la frase:
“Io sono bugiardo”
Non è una proposizione.
Se infatti è vero che sono bugiardo, la frase è
vera, ma mentre la dico sto mentendo, quindi
non sono bugiardo. Se non è vero che sono
bugiardo, la frase è falsa, ma mentre la dico
sto mentendo, quindi sono bugiardo.

13. Per le proposizioni devono poi valere i seguenti
principi fondamentali che esprimono il fatto che la
logica delle proposizioni è una logica bivalente:
PRINCIPIO DI NON CONTRADDIZIONE:
Una proposizione non può essere
contemporaneamente vera e falsa.
PRINCIPIO DEL TERZO ESCLUSO:
Una proposizione o è vera o è falsa, non
esiste una terza possibilità

14. Esempi
Sono proposizioni:
1. Il Sole è una stella;
2. Parigi è la capitale dell’Olanda;
3. 15 è un numero primo

15. Esempi
NON sono proposizioni:
1. L’hamburger è buonissimo;
2. Viva l’Italia;
3. Che cosa farai domani;
4. La Juve è la squadra più forte!

16. Definizione
• Di definisce VARIABILE LOGICA ogni
lettera utilizzata al posto di una
proposizione
Ad esempio, per indicare cha la lettera
p rappresenta la proposizione
“Il Po è il fiume più lungo d’Italia”,
si scrive:
p: “Il Po è il fiume più lungo d’Italia”

17. Altri esempi
• p: “Il numero 5 non è primo”
• q: “Il numero 6 è multiplo di 3”
E si scriverà:
p [F] e q [V]p [F] e q [V]
Per attribuire il valore di verità alle due
proposizioni.

18. LE TAVOLE DI VERITA’
Nei due esempi precedenti abbiamo potuto
attribuire il valore di verità alle proposizioni.
Se invece consideriamo una proposizione
generica p, dobbiamo esaminare i casi
possibili:
p è vera, oppure p è falsa

19. LE TAVOLE DI VERITA’
Useremo una tabella, chiamata
tavola della verità,
formata, nel caso di una sola proposizione,
da una sola colonna:
p
V
F

20. LE TAVOLE DI VERITA’
p q
v v
v F
F V
F F
Se le proposizioni da analizzare sono due,
p e q, si possono presentare 4 casi (22
);
Se le proposizioni sono 3, p, q ed s, si
avranno 8 casi (23
); con le relative tabelle:
p q r
v V V
v V F
v F V
v F F
F V V
F V F
F F V
F F F

21. ENUNCIATO significa:
“insieme di parole o simboli dotato di senso”
"": uovapolloesempioPer ×
Oppure: “Pape satàn aleppe”
Non sono enunciati.
“Canti molto bene”, o “ a + b * c”
Sono enunciati

22. Si possono costruire proposizioni composte collegando due
o più proposizioni semplici
Si possono definire operazioni sulle proposizioni
che permettono di ottenerne nuove a partire da
quelle date
Tali operazioni si chiamano operazioni logiche
e si indicano con segni detti
Connettivi logici

23. Disgiunzione
Congiunzione
Negazione
prof.
Passaro

24. A tali connettivi ne corrispondono alcuni della lingua
italiana e della lingua inglese
Operazioni
logiche
Connettivo
logico
Connettivo
Lingua
italiana
Connettivo
Lingua
inglese
Negazione ~ non not
Congiunzione ∧ e and
Disgiunzione V o or

25. A partire dalle proposizioni semplici, senza preoccuparci
di stabilire se siano vere o false, con l’uso dei connettivi
logici si possono formare proposizioni composte
La logica delle proposizioni definisce
regole mediante le quali si può stabilire la
verità o la falsità di una proposizione
composta per ogni valore di verità delle
sue proposizioni componenti
Queste regole vengono descritte dalle cosiddette tavole
di verità dei connettivi logici, nelle quali si considerano
tutti i possibili valori di verità delle proposizioni e, in
corrispondenza di ciascuno di essi, si definisce il valore
di verità delle proposizioni composte

26. La negazione logica ~
Il connettivo ~ corrisponde alla negazione “non” nella lingua italiana
e “not” nella lingua inglese
La definizione di valore di verità di ~ p per ciascuna delle
due possibilità è espressa dalla seguente tavola di verità:
p ~ p
V F
F V
Indicando con p una proposizione semplice

27. La negazione logica cambia il
valore di verità della
proposizione

28. Per negare una proposizione semplice bisogna
aggiungere “non” davanti al predicato, oppure
aggiungere all’inizio della proposizione la frase
“ non è vero che”
p: “Rimini è una città di mare” [v]
~ p: “Rimini non è una città di mare”
[F]
~ p: “Non è vero che Rimini è una città
di mare” [F]

29. N.B. Non si nega una proposizione
cambiando il predicato in un altro.
p: la macchina è nera
~p: “La macchina non è nera ” è corretto;
~p: “La macchina è gialla ” è sbagliato;

30. La congiunzione logica ∧
Il connettivo ∧ corrisponde, in genere, alla congiunzione “e” nella
lingua italiana e “and” nella lingua inglese
La tavola di verità deve riportare i valori di verità di p ∧ q
per quatto casi possibili:
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F
Indicando con p e q due proposizioni semplici

31. La congiunzione di due
proposizioni è vera solo quando
le due proposizioni componenti
sono entrambe vere
E’ falsa in tutti gli altri casi

32. La disgiunzione logica V
(disgiunzione inclusiva)
Il connettivo V corrisponde, in genere, al connettivo “o” nella lingua
italiana e “or” nella lingua inglese
La tavola di verità deve riportare i valori di verità di p V q
per quatto casi possibili:
p q p V q
V V V
V F V
F V V
F F F
Indicando con p e q due proposizioni semplici,
si legge p o q, o anche “p vel q”.

33. La disgiunzione di due
proposizioni è vera tranne nel
caso in cui le due
proposizioni componenti
sono entrambe false

34. Le frasi: vado in palestra e al cinema
vado in palestra o al cinema
vado in palestra vado al cinema
Sono proposizioni composte,
formate dalle proposizioni:

35. Indica che si compieranno entrambe le azioni
Mamma, vado in palestra e al cinema
e corrisponde alla congiunzione:
p io vado al cinema
q io vado in palestra
p ∧ q io vado al cinema e io vado in
palestra
La congiunzione è vera se entrambe le proposizioni
sono vere

36. Indica che si compierà o un’azione o l’altra o entrambe
Mamma, vado in palestra o al
cinema
e corrisponde alla disgiunzione inclusiva:
p io vado al cinema
q io vado in palestra
p V q io vado al cinema o io vado in
palestra
La disgiunzione è vera se una delle proposizioni è vera o se
entrambe le proposizioni sono vere

37. La disgiunzione esclusiva
o…o..
Il disgiunzione corrisponde, in genere, al connettivo “o…o…”
nella lingua italiana e “aut” nella lingua latina, e si legge “o p o q”;
si usa anche il termine XOR, dall’inglese eXclusiveOR
La tavola di verità deve riportare i valori di verità di p q
per quatto casi possibili:
p q p q
V V F
V F V
F V V
F F F
Indicando con p e q due proposizioni semplici
.
∨

38. La disgiunzione esclusiva:
alcuni esempi.
p: “10 è minore di 100”
q: “10 è maggiore di 100”
La proposizione: p q:
“10 o è minore di 100 o è maggiore di 100
è vera