1. RELASI , FUNGSI & GRAPH Mata Kuliah : Teori Bahasa dan Otomata Pertemuan : 3 (Tiga) UNIVERSITAS PUTERA BATAM

7. Definisi Relasi Contoh 1: Via: aku senang permen dan coklat Andre: aku senang coklat dan es krim Ita: aku suka es krim Dari contoh di atas dapat dibuat dua himpunan, yaitu : -Himpunan A adalah himpunan nama orang A = { Via, Andre, Ita } -Himpunan B adalah himpunan makanan kesukaan B = { es krim, coklat, permen } Relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah "makanan kesukaan" dan dapat dinyatakan dengan 3 cara

8. Definisi Relasi a. Diagram panah b.Himpunan pasangan berurutan (Relasi biner) { (Via,permen) , (Via,coklat) , (Andre,coklat) , (Andre,es krim) , (Ita,es krim)} c. Diagram Cartesius D(R) = {a | (∍ b)(a,b) ∈ S)}

9. Definisi Relasi Contoh 2: Relasi “kurang dari’”dilambangkan “<” Sesungguhnya “<” adalah nama himpunan dengan anggota-anggotanya pasangan berurutan atau relasi “<”, yaitu : < = {(a,b)  a,b adalah bilangan real dan x kurang dari y} R = {(1,2), (2,10), (⅓,⅔)} Contoh 3: Misalkan A = {2, 3, 4} dan B = {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasi R dari A ke B dengan ( a, b)  R jika a habis membagi b maka kita peroleh R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15)}

10. Sifat-sifat Relasi 1. Reflexive Jika untuk setiap a ∈ A, aRa, maka (a,a) ∈ R 2. Symmetric Jika untuk setiap a dan a dalam A, ketika aRb, maka bRa. 3. Transitive Jika untuk setiap a, b, c dalam A, ketika aRb dan bRc, maka aRc 4. Irreflexive Jika untuk setiap a ∈ A, maka (a,a) ∉ R 5. Antisymmetric Jika untuk setiap a dan b dalam A, ketika aRb dan bRa, maka a = b.

13. Contoh 6: Misalkan Relasi didefinisikan sebagai Periksa apakah transitif? Penyelesaian : Jadi transitif. Sifat-sifat Relasi

14. Sifat-sifat Relasi Contoh 7: Jika A = {1, 2, 3, 4}, berikut diberikan relasi atas A: R1 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} R2 = {(1, 1), (1, 2), (2, 1)} R3 = {(1, 1), (1, 2), (1, 4), (2, 1), (2,2), (3, 3), (4, 1), (4,4)} R4 = {(2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (4, 3)} R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3,4), (4, 4)} R6 = {(3, 4)} R7 = {(1, 1)} R8 = {(1, 1), (1, 2), (3, 4), (4, 3)} Manakah dari kedelapan relasi di atas yang masing-masing bersifat: refleksif, simetri, anti simetri, transitif, dan yang bukan simetri sekaligus bukan antisimetri.

16. Sifat-sifat Relasi Tinjauan: Untuk melihat R3 tidak bersifat transitif, dapat menggunakan tabel berikut: (a,b) (b,c) (a,c) Keterangan (1,1) (1,2) (1,2) Anggota R3 (1,2) (2,2) (1,2) Anggota R3 (1,4) (4,1) (1,1) Anggota R3 (2,1) (1,4) (2,4) Bukan Anggota R3 (2,2) (2,1) (2,1) Anggota R3

17. Komposisi Relasi R o S = {(x,z) x ∈ X ∧ z ∈ Z ∧ (∍ y)(y ∈ Y ∧ (x,y) ∈ R ∧ (y,z) ∈ S)} Untuk komposisi dengan relasi itu sendiri, ditunjukkan dengan: R o R = R 2 R o R o R = R o R 2 = R 3 … . … . R o R m-1 = R m

19. Komposisi Relasi Contoh : f(x) = 2x + 5 dan g(x) = x 2 – 1, maka f o g (x) = 2 (x 2 – 1) + 5 = 2x 2 – 2 + 5 = 2x 2 + 3 g o f (x) = (2x+5) 2 – 1 = 4x 2 + 20x + 25 – 1 = 4x 2 + 20x + 24 Kata kunci : # f o g (x) artinya untuk setiap variable fungsi f disubtitusikan dengan fungsi g(x) # g o f (x) artinya untuk setiap variable fungsi g disubtitusikan dengan fungsi f(x)

21. ILUSTRASI FUNGSI A f B Input Kotak hitam Output Ditulis f : A -> B, dibaca f adalah fungsi dari A ke B. A disebut domain, B disebut kodomain. Elemen a ∈ A disebut argumen dan f ( a ) ∈ B dise- but bayangan(image) dari a . Himpunan R f := { y ∈ B : y = f(x) untuk suatu x ∈ A } disebut daerah jelajah (range) fungsi f dalam B. Bila S ⊂ A maka himpunan f(S) := { f(s) : s ∈ S } disebut bayangan ( image ) himp S oleh fungsi f. Fungsi

22. ILUSTRASI FUNGSI (LANJ) Fungsi Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang mempunyai 2 kawan. Bukan fungsi, sebab ada elemen A yang tidak mempunyai kawan. A B Fungsi

34. Graph

38. Graph G 1 G 2 G 3

54. Jenis-jenis graph [ROS99] Jenis Sisi Sisi ganda dibolehkan? Sisi gelang dibolehkan? Graph sederhana Tak-berarah Tidak Tidak Graph ganda Tak-berarah Ya Tidak Graph semu Tak-berarah Ya Ya Graph berarah Bearah Tidak Ya Graph-ganda berarah Bearah Ya Ya

81. Upagraph ( Subgraph ) dan Komplemen Upagraph (a) Graph G 1 (b) Sebuah upagraph (c) komplemen dari upagraph

94. Graph Bipartite ( Bipartite Graph ) H 2 H 3 W G E

112. Graph Isomorfik ( Isomorphic Graph ) (a) G 1 (b) G 2 (c) G 3 G 1 isomorfik dengan G 2, tetapi G 1 tidak isomorfik dengan G 3

113. Graph Isomorfik ( Isomorphic Graph ) (a) G 1 (b) G 2 Graph (a) dan graph (b) isomorfik

114. Dua buah graph isomorfik

115. Tiga buah graph isomorfik

161. Contoh Jadi χ(H) = 4 Graph H V7 V6 V5 V4 V3 V2 V1 Simpul V1 V4 V5 V6 V2 V3 V7 Derajat 5 4 4 4 3 3 3 Warna a b c d b c a