Dokumen tersebut membahas metode induksi matematika untuk membuktikan tebakan bahwa jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n kuadrat. Metode ini terdiri dari langkah basis, langkah induktif, dan kesimpulan. Sebagai contoh, dokumen tersebut memperlihatkan bukti tebakan tersebut dengan menggunakan metode induksi matematika.

1. Berapakah jumlah dari n bilangan
ganjil positif pertama?
1=1
1+3=4
1+3+5=9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25
Tebakan:
“Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.”
Metoda apa yang dapat dipakai untuk membuktikan bahwa
tebakan ini benar, jika memang pada kenyataannya benar?

2. Induksi matematika
• merupakan teknik pembuktian yang sangat
penting
• dipergunakan secara luas untuk membuktikan
pernyataan yang berkaitan dengan obyek diskrit.
(kompleksitas algoritma, teorema mengenai
graf, identitas dan ketidaksamaan yang melibatkan
bilangan bulat, dsb).
• tidak dapat digunakan untuk menemukan rumus
atau teorema, tetapi hanya untuk melakukan
pembuktian.

3. Ilustrasi
Sederetan orang
menyebarkan suatu rahasia.
Domino

4. Induksi matematika
Teknik untuk membuktikan proposisi dalam bentuk n
P(n), dengan semesta pembicaraan adalah himpunan bilangan
bulat positif.
Suatu bukti dengan menggunakan induksi matematika bahwa
“P(n) benar untuk setiap n bilangan bulat positif “
Terdiri dari tiga langkah:
1. Langkah basis:
Menunjukkan bahwa pernyataan itu berlaku untuk bilangan 1
2. Langkah induktif:
Menunjukkan bahwa jika pernyataan itu berlaku untuk
bilangan n = k, maka pernyataan itu juga berlaku untuk
bilangan n = k + 1
3. Konklusi: n P(n) bernilai benar.

5. Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil
positif pertama?
Tebakan:
“Jumlah dari n bilangan ganjil positif pertama adalah n2.”
Bukti:
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2
1. Langkah Basis:
Untuk n = 1, jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah
(2n – 1) = n2
(2.1 – 1) = 12
1=1
Ini benar karena jumlah satu buah bilangan ganjil positif pertama adalah 1.
2. Langkah induksi
mengasumsikan bahwa pernyataan tersebut benar untuk n = k, yaitu:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k2
adalah benar (hipotesis induksi) [catatlah bahwa bilangan ganjil positif ke-
k adalah (2k – 1)].

6. Berapakah jumlah dari n bilangan ganjil
positif pertama?
Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2(k + 1) - 1) = (k + 1)2
1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2
juga benar. Hal ini dapat kita tunjukkan sebagai berikut:
1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + (2k + 1) = [1 + 3 + 5 + … + (2k – 1)] + (2k + 1)
= k2 + (2k + 1)
= k2 + 2k + 1
= (k + 1)2
3. Konklusi:
Karena langkah basis dan langkah induksi keduanya telah diperlihatkann
benar, maka jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n2.
Akhir dari bukti.

8. Contoh:
Untuk semua , buktikan dengan induksi
matematika bahwa habis dibagi 3.
Solusi:
(i) Langkah Basis: untuk n = 1 benar karena
13 + 2(1) = 3 habis dibagi 3
(ii) Langkah Induksi: untuk n = k benar, yaitu:
k habis dibagi 3
diasumsikan benar (hipotesis induksi).
Kita harus memperlihatkan bahwa n = k +1 juga benar, yaitu :
habis dibagi 3
Hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut:

9. Karena adalah habis dibagi 3 (dari hipotesis induksi)
dan juga habis dibagi 3, maka
adalah jumlah dua buah bilangan yang habis
dibagi 3, karena itu juga habis
dibagi 3. Jadi, untuk , habis dibagi 3.
(iii) Kesimpulan
Karena langkah (i) dan (ii) sudah diperlihatkan benar, maka
terbukti bahwa untuk semua , habis dibagi 3.