Guia operaciones unitarias 1

Aux. José Luis Huanca P.
UMSA-FACULTAD DE INGENIERIA OPERACIONES UNITARIAS PET-245
Guía Página 1
A
F
P 
atmmanabs PPP 
hp *
CAPITULO 1
“PRESIONES”
1.1 INTRODUCCION.
La presión de fluido, (P) está definida como la cantidad de fuerza, (F), que se ejerce sobre
un área unitaria, (A), de una sustancia. La presión de fluidos se calcule a partir de:
1.2 PRESION ABSOLUTA Y MANOMETRICA
Cuando se realizan cálculos que implican la presión de un fluido, se debe hacer la
medición en relación con alguna presión de referencia. Normalmente, la presión de
referencia es la de la atmósfera y la presión resultante que se mide se conoce como presión
absoluta. La presión que se mide en relación con el vacío perfecto se conoce como presión
manométrica.
Una sencilla ecuación relaciona los dos sistemas de medición de presión:
Donde:
Pabs = Presión absoluta
Pman = Presión manométrica
Patm = Presión atmosférica
1.3 RELACION ENTRE PRESION Y ELEVACION
Cuando uno se sumerge cada vez más en un fluido como en una piscina, la presión
aumenta. Existen muchas situaciones en las que es importante saber exactamente de
qué manera varía la presión con un cambio de profundidad o de elevación.
El cambio de presión en un líquido homogéneo en reposo debido al cambio en elevación
se puede calcular a partir de:
DONDE:
Δp = Cambio de presión
γ = Peso especifico del liquido
h = Cambio de elevación
Nota: La ecuación es válida para un líquido homogéneo en reposo.

Guía Página 2
)1........(CB PP 
)2........(*38.0 2 atmB PP
)3........(*55.0 1 DC PP
)1......()3()2( eny
:Reemplazando
PROBLEMAS RESUELTOS
P-1.1 Un líquido de peso especifico 1.25 [g/cm3
], llena parcialmente el reservorio esférico
de la figura. ¿Cuál será la intensidad de la presión en un punto situado a 0.55 [m] debajo
del punto C (punto D)?
SOLUCION:
P-1.2 Calcular la diferencia de presiones entre los puntos 1 y 2 de la tubería de la figura
por la que circula agua, el líquido en el piezómetro tiene una densidad relativa de 2.96,
(Tome como datos adicionales h=0.6m, z=0.5m)
332
)81.9*1250(*55.0)81.9*13600(*38.0101325
m
N
mP
m
N
m
m
N
D 
absolutapresionKPaPD 37.57
12 *55.0*38.0   Datm PP

Guía Página 3
SOLUCION:
Balance entre los puntos A y B
Restando (1) – (2):
La diferencia de presiones entre A y B:
De la grafica:
Reemplazamos (4) y (5) en (3):
Reemplazando valores se tiene:
)1(..........*21 XPP OHA 
)2(..........*22 YPP OHB 
YPXPPP OHOHBA ** 22 21  
)3..().........(*221 YXPPPP OHBA  
)4(..........*ZPP BA 
)5(..........hZYXhYZX 
)(** 221 hZZPP OH  
m
m
N
m
m
N
PP )6.05.0(*)81.9*1000(5.0*)81.9*2960( 3321 
221 73.3
m
KN
PP 

Guía Página 4
P-1.3 Para el tanque que muestra la figura calcular el valor de H.
SOLUCION: (+↓,-↑)
aceiteHgaguaagua PgHggP  3.02.0 
HgggPP Hgaguaaceiteagua   3.02.0
g
gPP
H
Hg
aguaaceiteagua




 )3.02.0(
)(1743.0
98106.13
)3.092.098102.09810(1640
mH 



)(43.17 mH 
P-1.4 Encontrar la diferencia de presiones entre los puntos M y N en función de z, s,h;
(

 '
s )
SOLUCION:
Balance entre los puntos M y B
mPP BM * …..(1)
Balance entre los puntos C y N
nPP NC * …..(2)
Balance entre los puntos B y C
zPP CB '* …….(3)
(1) + (2)
nPmPPP
nPP
mPP
NBCM
NC
BM
**
*
*








)(* nmPPPP CBNM   ……….(4)
Por geometría: nmzhznmh  …..(5)
Agua
40(kPa)
Aceite
16(kPa)
92.0
H
30cm
20cm
mercurio
m
z
B
C

'
h
M
N
n

Guía Página 5
(5) en (4): )(* zhPPPP CBNM  
Con (3) )(** zhPzPPP CCNM  
)(*'* zhzPP NM  
Pero:  


*'
'
ss )(*** zhzsPP NM  
 )(** zhzsPP NM   
 hszPP NM  )1(**
P-1.5 Un piezómetro conectado a un tanque contenido agua como se muestra en la figura,
el liquido en el piezómetro es mercurio (Dr= 13.6). Cuando la superficie del tanque esta
en A, el valor de H es 0.6(m). Hallar el valor de H cuando la superficie del agua en el
tanque esta en B=5(m) sobre A.
SOLUCION:
Inicialmente en el nivel D se cumple:
hPatmzPatm **  
)(16.86.0*
1
6.13
*
1
mhz 


Luego en la situación final cuando el
nivel del agua en el tanque esta en B. el
punto D baja una distancia Y, lo mismo
ocurre con el punto C por lo tanto en el
nivel D se cumple.
z
m
B
A
A
h=0.6 (m)

Guía Página 6
)(***5* 1
yhyPatmyzPatm  
yyhz ***2**5* 11
 
)16.13*2(
6.0*6.13)16.85(*1
)*2(
*)5(*
1
1





yy
hz


)(19083.0 my 
Pero de la grafica:
Hf=h+y+y=.6+2*0.19083=0.982(m)
)(982.0 mH f 
P-1.6 En el sistema de manómetros, mostrado en la figura. Determinar al diferencia de
presiones en el punto A y B, es decir (A-B).
M N
H2
H1
A H3
SOLUCION:
Del gráfico: PM = PN………….. α
A
B
z
m
B
A
h
Df
Di
y
Cf
Ci
y

Guía Página 7
PA = H1 + H2 + PM PM = PA – H1 – 2…………………… (1)
PB = H3 + PN PN = PB – H3……………………………. (2)
REEMPLAZANDO (1) Y (2) EN *:
PA – H1 – H2 = PB – H3
R.- 332211BA H-H+H=P-P 
* Otra forma:
Empezamos del bolo izquierdo:
PA – H1 – H2 + H3 = PB
R. - H33-H22+H11=PB-PA 
P-1.7 En el sistema mostrado en la figura. Determinar la diferencia de presiones entre los
puntos A y B.
B
H3
A
H1
H2
SOLUCION:
(+) (-) PA + H1 – H2 – H3 = PB
R. - H-H+H=P-P 113322BA 

Guía Página 8
P-1.8 Un liquido A tiene un peso especifico de 9.4 KN/m3 y el liquido B tiene un peso
especifico de 11.4 KN/m3. El líquido manométrico es mercurio. Si la presión de B es de
210 KPa, halle la presión en A:
SOLUCION:
m
m
kN
PPB 4.5*4.11 31 
kPa
m
kN
m
kN
m
kN
PP B 44.14856.6121056.61 2221 
Donde:
21 PP 
Por otra parte se tiene P3:
kPakPakPam
m
kN
PP 15356.444.1484.0*4.11 323 
Donde:
43 PP 
Se tiene P5 bajo la siguiente relación:
m
m
kN
PP 4.0*81.9*6.13 354 
kPa
m
kN
m
kN
m
kN
PP 63.9937.5315337.53 22245 
Sabiendo que:
65 PP 
La presión en el manómetro A es:
m
m
kN
PPA 4.2*4.9 36 
 kPa
m
kN
m
kN
PA 19.12256.2263.99 22

 kPaPA 19.122

Guía Página 9
APF promR *







2
*
h
Pprom 
CAPITULO 2
“FUERZA SOBRE AREAS PLANAS”
2.1 INTRODUCCION.
En el presente capítulo se presenta los métodos de análisis utilizados para calcular la
fuerza ejercida sobre un área plana. También se analizarán las fuerzas sobre superficies
curvas.
En la figura de abajo se muestra la distribución de presión sobre el muro de contención
vertical. Como se indicó en la ecuación Δp=γh, la presión varía linealmente (como una
línea recta) con respecto de la profundidad en el fluido. La longitud de las fechas
punteadas representa la magnitud de la presión de fluido en diferentes puntos sobre la
pared. Debido a esta variación lineal en la presión, la fuerza resultante total puede ser
calculada con la ecuación:
Donde:
Pprom = es la presión promedio y
A = es el área total del muro que se encuentra en contacto con el fluido.
Pero la presión promedio es la que se encuentra en la parte media del muro y puede
calcularse mediante la ecuación:
En la que h es la profundidad total del fluido.
promedioP
h
3
2
h
3
1
2
h
h
presiones
deCentro

Guía Página 10
A
h
FR *
2
* 





 
A
h
FR *
2
* 





 
Por tanto, tenemos:
2.2 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PARED
RECTANGULAR:
1. Calcule la magnitud de la fuerza resultante, F., empleando la siguiente ecuación:
DONDE:
γ = Peso especifico del fluido
h = Profundidad total del fluido
A = Área total de la pared
2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de h/3 a partir del pie de la
pared ó en su caso a 2/3 h desde la superficie libre del fluido.
3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en forma
perpendicular a la pared.
2.3 PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA SOBRE UNA PARED RECTANGULAR
INCLINADA:
h
3
2
h
3
1
2
h
h
Ycg
Ycp
Y
3
Y
RF
presiones
deCentro


Guía Página 11
A
h
FR *
2
* 





 

Y
h
sen
sen
h
Y 
LYA *
3
Y
YYcp 
1. Calcule la magnitud de la fuerza resultante, FR, empleando la siguiente ecuación:
 Para calcular el área de la cortina, se necesita la altura de su cara, denotada
con “Y” como se observa en la figura anterior.
 Entonces el área de la cortina es:
2. Localice el centro de presión a una distancia vertical de h/3 o medido a partir del
pie de la pared sobre el largo de la superficie de la cortina.
3. Muestre la fuerza resultante que actúa en el centro de presión en forma
perpendicular a la pared.
2.4 AREAS PLANAS SUMERGIDAS GENERAL
El procedimiento que se analizara en esta sección se aplica a problemas que involucra
áreas planas, ya sean verticales o inclinadas, completamente sumergidas en el fluido.
Como en problemas anteriores, el procedimiento nos capacitara para calcular la magnitud
de la fuerza resultante sobre el área y la localización del centro de presión, en donde
podemos suponer que actúa la fuerza resultante.
En la figura se muestra un tanque que tiene una ventana en una pared inclinada. Los
símbolos utilizados en el procedimiento que se describirá mas adelante, se muestran en la
figura y se definen a continuación:

Guía Página 12
AhcgFR **
Donde:
FR = Fuerza resultante sobre el área, debida a la presión de fluido
θ = Ángulo de inclinación del área.
hcg = Profundidad del fluido desde la superficie libre hasta el centroide del área.
Ycg = Distancia existente desde la superficie libre del fluido al centroide del área,
medida a lo largo, del ángulo de inclinación del area.
γ = Peso especifico del fluido.
Mx = Momento de primer orden con respecto a su centro de gravedad.
Icg = Momento de Inercia respecto al centro de gravedad de la superficie ó
momento de segundo orden.
A = Área de la compuerta que se encuentra en contacto con el fluido.
La magnitud de la fuerza resultante, FR, se calcula empleando la siguiente ecuación:
2.5CENTRO DE PRESIÓN
Es aquel punto sobre un área en el que se puede suponer que actúa la fuerza resultante
para tener el mismo efecto que la fuerza distribuida sobre el área entera, debida a la
presión del fluido.
h
RF
Y
Ycg
Ycp
hcp
hcg
dF
CG
referencia
deLinea
fuerzalacalcularava
secuallasobrearea
delproyectadaVista
fluidodelSuperficie


Guía Página 13
Ycg
AYcg
Icg
Ycp 
*
NOTA. El momento de Inercia va difiriendo de la forma que presenta la superficie como se
puede demostrar en el siguiente Ejemplo, de base "b" y de altura "h" respecto a un eje
que pasa por el centro de gravedad y sea paralelo a la base:
2.6 FUERZAS SOBRE SUPERFICIES CURVAS
En la figura se muestra un muro de contención que contiene un líquido y cuya parte
superior está expuesta a la atmósfera, cuya superficie abc es una cuarta circunferencia y si
vemos con la profundidad es un segmento de un cilindro. En este caso interesa la fuerza
que actúa sobre la superficie curva debida a la presión del fluido.
2.6.1 COMPONENTE HORIZONTAL
La pared solida vertical que se encuentra a la derecha ejerce fuerzas horizontales sobre el
fluido que esté en contacto con ella, como reacción a las fuerzas debidas a la presión del
h
HF HF
HF
a
b c
W
W
3
h
x
L
RF
VF
Centroide Centroide
h
2
1
h
2
1
h
b b
d
2
d
3
h
h
hbA *
12
* 3
hb
Icg 
2
*hb
A 
36
* 3
hb
Icg 
4
* 2
d
A


64
* 4
d
Icg



Guía Página 14
)1.....(*
2
*** A
h
AhcgFF HHa  
)2..(........................................* LhA 
)*(*
2
* Lh
h
FH 
hhcp
3
2

VWFV *
LAFV **

R
x
3
4

22
VHR FFF 
fluido y se encuentra ubicada a una distancia h/3 del pie de la pared.
La magnitud de FH, y su posición se puede encontrar utilizando los procedimientos
desarrollados en superficies planas. Esto es:
Reemplazando (2) en (1) se tiene:
Su centro de presión desde la superficie libre líquido será:
2.6.2 COMPONENTE VERTICAL
La componente vertical de la fuerza ejercida por la superficie curva sobre el fluido puede
encontrarse sumando las fuerzas que actúan en dirección vertical. Únicamente el peso del
fluido actúa hacia abajo y solamente la componente vertical, Fv actúa hacia arriba.
Entonces, el peso y el fluido deben ser iguales entre sí en magnitud. El peso es
simplemente el producto de su peso específico por el volumen del cuerpo del fluido
aislado. El volumen es el producto del área de la sección transversal, que se muestra en la
figura anterior (a,b,c) y la longitud de interés es "L". Donde la Fv es:
Su centro de presión desde la superficie del muro será:
La fuerza total resultante, FR es:
La fuerza resultante actúa formando un ángulo θ; con respecto de la horizontal, y se le
puede calcular por medio de la ecuación:

Guía Página 15






 
H
V
F
F
tag 1

2
s
hhcg 
)
2
(*)*(***
s
hLshcgAFH  
hcg
hcg
s
hcg
sLhcg
s
L
hcg
Ahcg
I
hcp x

*12)*(*
12
*
*
2
3
22
VHR FFF 






 
H
V
F
F
tag 1

2.6.3 RESUMEN DEL PROCEDIMIENTO PARA CALCULAR LA FUERZA EN UNA SUPERFICIE
CURVA SUMERGIDA.
Dada una superficie curva sumergida en un líquido estático, se puede utilizar el siguiente
procedimiento para calcular la magnitud, dirección y localización de la fuerza resultante
sobre la superficie:
1. Aislar el volumen del fluido que está por encima de la superficie.
2. Calcular el peso del volumen aislado.
3. La magnitud de la componente vertical de la fuerza resultante es igual al peso del
volumen aislado. Actúa en línea con el centroide del volumen aislado.
4. Dibuje una proyección de la superficie curva en un plano vertical y determine su al
tura, en este caso representado por la letra "s".
5. Calcule la profundidad del centroide del área proyectada con la ecuación:
6. En la que h es la profundidad de la parte superior del área proyectada.
7. Calcule la magnitud ce la componente horizontal de la fuerza resultante, a partir de
de:
8. Calcule la profundidad de la línea de acción de la componente horizontal con la
ecuación:
9. Calcule la fuerza resultante con la ecuación:
10. Calcule el ángulo de inclinación de la fuerza resultante con respecto de la
horizontal, utilice la ecuación:
11. Muestre la fuerza resultante que actúa sobre la superficie curva en la dirección de
tal forma que su línea de acción pase por el centro de curvatura de la superficie.

Guía Página 16
PROBLEMAS RESUELTOS
P-2.1 Cuál es el empuje que se ejerce por el agua en una compuerta vertical de [ ]
cuyo tope se encuentra a [ ] de profundidad.
[ ]
SOLUCIÓN:
En el problema: ̅ ̅ [ ] [ ] [ ]
( )[ ] [ ]
̅ [ ] [ ] [ ]
P-2.2 Determine la posición del centro de presiones para el caso de la compuerta del
problema anterior.
̅
̅
( )
Donde: = momento de inercia con respecto al centro de gravedad
( )( ) [ ] ( )
P-2.3 Determine la coordenada del centro de presión (Cp) de las siguientes áreas situadas
en planos verticales y la magnitud de la fuerza F
Cg
Cp
[ ]
[ ]
̅
Cg
Cp
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
( )( )

Guía Página 17
a) Paralelogramo
SOLUCIÓN:
Sabemos:
̅ ̅ ̅
Entonces:
̅
̅
b) Rectángulo
̅ ̅ ̅
b ( superficie)
h
yp
Cp
Cg
Cp
h
̅
( ) ( )
( )

Guía Página 18
P-2.4 Un dique con 4[m] de altura y 10[m] de ancho presenta un perfil parabólico aguas
arriba. Calculé se la resultante de la acción del fluido. (Solución numérica).
SOLUCIÓN:
Componente Horizontal:
̅
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] *
Donde se aplica:
; [ ]
[ ] *
Componente Vertical:
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] *
Donde se aplica: (x)
̅ [ ]
[ ]
Para la resultante (R)
√
√( ) ( )
[ ] *
HF HF
W
3
h
x
RF
VF
m5.1
OH2
mh 4 Fx
Fy
m4
m10
m5.2
A

Guía Página 19
P-2.5 La compuerta de la figura. Tiene 3 [m] de longitud. Calculé se la magnitud y
ubicación de los componentes de la fuerza que actúan sobre ella.
Solución: Calculo de la Fuerza
Horizontal.
̅
( )
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] *
Calculo de :
( )
[ ]
[ ] *
Calculo de la fuerza Vertical:
( )
[ ]
( )
[ ] [ ]
[ ] *
Calculo del lugar donde se aplica (̅)
̅
̅
[ ]
̅ ̅ [ ]
m2
m3
b
h
W
Fx
Fy x
A
B
C




 3
1000
m
Kgf

m2
m3
py
Agua

Guía Página 20
P-2.6 El depósito de la figura contiene aceite y agua. Encontrar la fuerza resultante sobre
la pared ABC, que tiene 1.2m de anchura.
SOLUCION:
a) PAB =(0.800 x 1000)(1.5)(3 x 1.2)=4320 kg, que actúa en el punto (2/3)(3) m de A, o
sea, 2 m por debajo. Puede obtenerse este mismo aplicando la formula conocida,
como sigue:
( )
( )
b) El agua actúa sobre la cara BC y la acción del líquido superior puede tenerse en
cuenta por la altura o profundidad de agua equivalente. Se emplea en este
segundo cálculo la superficie de agua imaginaria (IWS), situando la IWS por cambio
de los 3 m de aceite en los 0.800 x 3 = 2.40 m de agua. Por tanto,
( )( )
( )
( )
La fuerza resultante total = 4320 + 7228 = 11.448 kg, que actúa en el centro de presión
que corresponde al área total. El momento de esta resultante = la suma de los momento
de las dos fuerzas parciales anteriores. Tomando momentos respecto de A,
Pueden emplearse para este cálculo otros métodos, pero el presentado aquí reduce los
errores tanto en el planteamiento como en los cálculos.
m8.1
m3
Agua
)8.0( Dr
Aceite
A
B
C
La fuerza total sobre ABC es igual a (PAB +PBC). Hay que encontrar
cada una de las fuerzas, situar su posición y aplicar el principio de
momentos y por ultimo hallar la posición de la fuerza total
resultante sobre la pared ABC.

Guía Página 21
P-2.7 Refiriéndose en la figura, calcular la fuerza de presión que ejerce el fluido de
benceno sobre la compuerta y localice la fuerza de presión. Muestre la fuerza resultante
sobre el área y señale claramente su localización.
Ubicando su punto de acción de la FR
( )
m50.0
m50.1
m80.0
º70
)88.0( SG
Benceno
RF
( )
( )
( )
( )
(
( )
)
SOLUCION:
Calculo de la Fuerza Resultante:
Donde:
Sustituyendo en (1)

Guía Página 22
P-2.8 Para el tanque de agua que se muestra en la figura, calcule la magnitud de la fuerza
de presión que ejerce el fluido de agua sobre la compuerta y localice la fuerza de presión
Ubicando la fuerza resultante:
( )
P-2.9 Determine el peso específico de una esfera que flota entre dos líquidos de
densidades: 0,8 y 1. La línea de separación de los líquidos pasa por el centro de la esfera:
"18
"6
"20
"30
FR
cpy
AGUA
º50
( )
(
)
SOLUCION:
Calculo de la Fuerza Resultante:
Donde su centro de gravedad es:
Por otra parte el área se obtiene:
Sustituyendo hcg y el área de la compuerta en (1):

Guía Página 23
SOLUCIÓN:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
P-2.10 Un tronco cilíndrico tiene un diámetro de 450 mm y una longitud de 6.75 m.
Cuando el tronco está flotando en agua dulce con su eje más largo horizontal, 110 mm de
su diámetro está por encima de la superficie. ¿Cuál es el peso específico de la madera del
tronco?
SOLUCION:
d
V
wT
V
woodb
Fw   ;
Θ=Arcsen(150/225)=30.74º
Β=

Guía Página 24
T
d
V
V
wwood  
  3
074.1750.64
2450
4
2
mLD
TV 

   LX
D
Vd 





 1152
2
1
3604
2

     33
2
8703.075.6115.01934.0
2
1
360
5.241
4
45.0
mmVd 







   33
/95.7074.1/8703.0/81.9 mkNmkNwood 
3
/95.7 mkNwood 
P-2.11 En la siguiente figura, un cilindro de 2,4 m de diámetro cierra un agujero
rectangular en un depósito de 0,9 m ¿Con que fuerza queda presionado el cilindro contra
el fondo dl deposito por la acción de los 2.7 m de profundidad de agua?
























abjohaciakg
BEyCAarribahaciafuerzaCDEsobreabajohaciafuerzaPv
16908102500
038,1*6,0*
2
1
2,1*
12
1
162,0*1,222,1*
2
1
4,2*1,29.0*1000 22


Guía Página 25
)/,(
)/,(
2
2
smgravedadladenaceleraciog
smrecipientedellinealnaceleracioa
tg 







g
a
hp 1*
2
2
2
x
g
y


CAPITULO 3
“TRASLACIÓN Y ROTACIÓN DE MASAS LÍQUIDAS”
3.1 INTRODUCCION.
Un fluido puede estar animado de un movimiento de traslación o rotación, sometido a
una aceleración constante, sin movimiento relativo entre sus partículas. Esta es una de las
condiciones del equilibrio relativo y el fluido está libre de tensiones cortantes. En general
no existirá movimiento entre el fluido y el recipiente que lo contiene. Son aplicables aún
los principios de la estática, modificados para tener en cuenta los efectos de la
aceleración.
3.2 MOVIMIENTO HORIZONTAL
En el caso de un movimiento horizontal la superficie libre del líquido adopta una posición
inclinada y plana. La pendiente del plano se determina mediante:
3.3 MOVIMIENTO VERTICAL
Para el movimiento vertical la presión (kgf/m2
o Pa) en un punto cualquiera del líquido
viene dada por:
en la que el signo positivo se aplica cuando la aceleración es hacia arriba y el negativo
cuando la aceleración constante es hacia abajo.
3.4 ROTACION DE MASAS FLUIDAS
 RECIPIENTES ABIERTOS
La forma de la superficie libre de un líquido que gira con el recipiente que lo contiene es
un paraboloide de revolución. Cualquier plano vertical que pasa por el eje de revolución
corta a la superficie libre según una parábola. La ecuación de esta parábola es:

Guía Página 26
2
2
2
x
g
p


2
2
2
x
g
y
p 


donde x e y son las coordenadas, en metros, de un punto genérico de la superficie,
medidas con el origen en el vértice situado en el eje de revolución, y “ω” la velocidad
angular constante, medida en radianes por segundo. La demostración de esta fórmula se
da más adelante.
 RECIPIENTES CERRADOS
En los recipientes cerrados aumenta la presión al girar los recipientes. El aumento de
presión entre un punto situado en el eje y otro a una distancia de x metros del eje, en el
mismo plano horizontal, es:
y el aumento de la altura de presión (m) será
que es una ecuación análoga a la aplicable a recipientes abiertos en rotación. Como la
velocidad lineal v=x*ω, el término x2
ω 2
/2g = v2
/2g da la altura de velocidad, en m, como
se verá más adelante.
PROBLEMAS RESUELTOS
P-3.1 Problema: Un vaso de 1.22[m] de diámetro está abierto y lleno de un liquido como
muestra la figura. Determinar el volumen derramado del liquido cuando el cilindro gira
sobre su eje vertical simétrico.
SOLUCIÓN:
[ ]
[ ]
[ ]
( )
[ ⁄ ]
( )
[ ] Altura del paraboloide

Guía Página 27
( )[ ]
[ ]
( )
( )
Rpta.
P-3.2 Un vaso cilíndrico abierto está lleno de líquido. ¿A qué velocidad deberá girar sobre
un eje vertical para el liquido deje descubierto en el fondo un circulo en el fondo de radio
(3R/4) del cilindro. ¿Cuál será el volumen del líquido derramado con esta relación? El vaso
tiene 1.6 (m) de diámetro y 2(m) de altura:
SOLUCIÓN:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ⁄
√
( ⁄ )
( ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )

Guía Página 28
P-3.3 Un paraboloide de revolución cuyo diámetro es “d” la base es igual a su altura, flota
con su eje vertical y vértice hacia abajo, determine la densidad relativa mínima del
paraboloide con respecto al líquido para que la flotación sea estable.
SOLUCIÓN:
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
√
√ ( )
̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅

Guía Página 29
̅
( )
( )
̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
√ ( )

Guía Página 30
VAQ *
QW *
vAW **
QM *
vAM **
CAPITULO 4
“FLUJO DE FLUIDOS Y LA ECUACION DE BERNOULLI”
4.1 RAPIDEZ DE FLUJO DE FLUIDO
Es la cantidad de flujo que fluye en un sistema por unidad de tiempo, se puede expresar
mediante los tres términos que definimos a continuación.
La Rapidez de Flujo Volumétrico (Q), es el volumen de flujo de fluido que pasa por una
sección por unidad de tiempo y esta es la más importante entre los tres términos que se
menciona y se calcula empleando la siguiente ecuación:
Donde:
A = es el área de la sección
V = es la velocidad promedio del fluido
4.2 LA RAPIDEZ DE FLUJO DE PESO (W), es el peso de fluido que fluye por una sección
por unidad de tiempo y está relacionada con Q mediante la ecuación:
DONDE:
W = es el peso específico del fluido
Q = es la rapidez de flujo de volumen
4.3 LA RAPIDEZ DE FLUJO DE MASA (M), es la masa de fluido que fluye por una
sección por unidad de tiempo y está relacionada con Q mediante la ecuación:
Donde:
ρ = es la densidad del fluido
Q = es la rapidez de flujo de volumen

Guía Página 31
21 MM 
222111 vAvA  
2211 ** vAvA 
21 QQ 
)1...(..........** zgmPE 
)2(....................* gmw 
zwPE *
4.4 ECUACION DE CONTINUIDAD
Esto es, la cantidad de fluido que pasa por cualquier sección en un cierto tiempo dado, es
constante. En este caso decimos que se tiene un flujo constante, entonces la masa de fluido que
pasa por la sección 2 en un tiempo dado, debe ser la misma que la que fluye por la sección 1, en el
mismo tiempo. Lo anterior se puede expresar en términos de la rapidez de flujo de masa como:
Considerando que el fluido que se encuentra en tubo es un líquido que puede ser incomprensible,
entonces los términos ρ1 y ρ2, son iguales, entonces la ecuación anterior resulta:
Esta ecuación de continuidad es aplicada a líquidos; establece que para un fluido estable, la
rapidez de flujo de volumen “Q” es la misma en cualquier sección.
4.5 CONCERVACION DE LA ENERGIA – ECUACION DE BERNOULLI
En un problema de flujo en conductos toma en cuenta la energía del sistema. En física usted
aprendió que la energía no puede ser creada ni destruida, sino que puede ser transformada de un
tipo a otro. Este es el enunciado de la “ley de conservación de la energía”.
Cuando se analizan problemas de flujos en conductos, existen tres formas de energía que siempre
se tiene que tomar en consideración. Tome un elemento de fluido, como en el que se muestra en
la figura adjunta. Puede estar localizado a una cierta elevación ”z”, tener una cierta velocidad “v” y
una presión “p”. El elemento de fluido tendría las siguientes formas de energía:
4.5.1. ENERGÍA POTENCIAL (PE): Es debido a su elevación, la energía potencial del elemento
con respecto de algún nivel de referencia es:
Reemplazando (2) en (1)
4.5.2. ENERGÍA CINÉTICA (KE): Es debido a su velocidad, la energía cinética del fluido es:

Guía Página 32
)2...(....................
g
w
m 
g
v
wKE
*2
2

)1.....(..........
2
1 2
mvKE 
)1........(* )()( LONGITUDFUERZA LFTrabajo 
)2(..........*)( ApF
A
F
p PRESION 
)3.......(....................** LAPTrabajo 
)4......(....................*)( LAvolumenV 
)5..(..............................*VpTrabajo 
)6.......(........................................
V
w

w
p
TrabajoFE


KEPEFEE 
g
v
wwz
p
wE
2
2


4.5.3. ENERGÍA DE FLUJO (FE): En ocasiones conocida corno energía de energía de presión o
trabajo de flujo, está presentada por la cantidad de trabajo necesario para mover el
elemento de fluido a través de una cierta sección en contra de la presión “p”. La energía
de flujo se abrevia FE (Flow Energy) y se calcule a partir de la siguiente ecuación:
Sustituyendo (2) en (1)
Sustituyendo (6) en (5)
La cantidad total de energía de estas tres formas que posee el elemento de fluido será la suma,
representada con E.
Considerando en la siguiente figura que el fluido se mueve de la sección 1 a la sección 2.
Los valores de p, z y v son diferentes en las dos secciones.

Guía Página 33
g
v
wwz
p
wE
2
2
1
1
1
1 
 g
v
wwz
p
wE
2
2
2
2
2
2 

21 EE 
g
v
wwz
p
w
g
v
wwz
p
w
22
2
2
2
2
2
1
1
1


g
v
z
p
g
v
z
p
22
2
2
2
2
2
1
1
1


En la sección 1, la energía total es: En la sección 2, la energía total es:
Si no se agrega energía al fluido o se pierde entre las secciones 1 y 2, entonces el principio
de conservación de la energía requiere que:
El peso del elemento, w, es común en todos los términos y se le puede cancelar. Le ecua-
ción, entonces, resulta:
A ésta se la conoce como ecuación de Bernoulli.
4.6 INTERPRETACION DE LA ECUACION DE BERNOULLI
Cada término de la ecuación Bernoulli es el resultado de dividir una expresión de la energía
entre el peso de un elemento del fluido. Las unidades de cada término pueden ser
newton-metro por Newton (N-m/N) en el Sistema Internacional y libras-pies por libra (Ib-
pie/lb) en el Sistema Británico de Unidades. Pero la unidad de peso, el newton (N) o la
libra (lb), pueden cancelarse, dejando solamente una unidad de longitud, el metro (m) o el
pie.
FluidodeElemento
FluidodeElemento
1
2

Guía Página 34
2211 ** vAvA 
2
1
12 *
A
A
vv 
Por tanto, los términos de la ecuación de Bernoul!i se conocen, a menudo como
"cabezas”; refiriéndose a una altura por encima de un nivel de referencia. El término “p/γ”
se conoce como cabeza de presión; a “z” se le llama cabeza de elevación; y al término
“V2
/2g” se le conoce como cabeza de velocidad. La suma de las tres se conoce como
cabeza total. Observe que debido a la suposición de que no se pierde o se agrega energía,
la cabeza total permanece a un nivel constante, por consiguiente la altura relativa de cada
término varía según lo establecido por la ecuación de Bernoulli.
En la figura adjunta usted verá que la cabeza de velocidad en la sección 2 será menor que
en la sección 1. Esto se puede mostrar mediante la ecuación de continuidad:
Puesto que A1<A2, V2 debe ser menor que V1, y como la velocidad está al cuadrado en el
término correspondiente a la cabeza de velocidad, V2
2
/2g es mucho menor que V1
2
/2g.
Consiguientemente, cuando el tamaño de la sección se expande como lo hace en la figura
anterior, la cabeza de presión aumenta debido a que disminuye le cabeza de velocidad.
Sin embarco el cambio real también se ve afectado por el cambio en la cabeza de
elevación.
En resumen, la ecuación de Bernoulli explica el cambio en las cabezas de elevación, de
presión y de velocidad entre dos puntos, en un sistema de flujo de fluido. Se supone que
Línea de alturas piezométricas
Flujo
Línea de alturas totales
Plano de referencia
DD
elevaciondeCabezaZ 1
presióndeCabeza
p


2
presióndecabeza
p


1
velocidaddeCabeza
g
V

2
2
1
velocidaddeCabeza
g
V

2
2
2
elevaciondeCabezaZ 2

Guía Página 35
no existen pérdidas o ganancias de energía entre los dos puntos, de modo que la cabeza
total permanece constante.
4.7 RESTRICCIONES A LA ECUACION DE BERNOULLI
Aunque la ecuación de Bernoulli es aplicable a una gran cantidad de problemas prácticos,
existen limitaciones que deben tenerse en cuenta con el fin de aplicar la ecuación de
manera correcta. Entre estas limitaciones se tiene las siguientes:
 Es válida solamente para fluidos incomprensibles, puesto que el peso específico
del fluido se tomó como el mismo en las dos secciones de interés.
 No puede haber dispositivos mecánicos entre las dos secciones de interés que pu-
dieran agregar o eliminar energía del sistema, ya que la ecuación establece que la
energía total del fluido es constante.
 No puede haber transferencia de calor hacia dentro o fuera del fluido.
 No puede haber pérdidas de energía debido a la fricción.
En realidad, ningún sistema satisface todas estas restricciones. Sin embargo, existen
muchos sistemas para los cuales solamente se tendrá un error despreciable cuando se les
aplica la ecuación de Bernoulli. Por otro lado, el uso de tal ecuación puede permitir una
rápida estimación de un resultado, cuando eso es todo lo que se necesita.

Guía Página 36
PROBLEMAS RESUELTOS
P-4.1. En la siguiente figura, están circulando 0.370m3
/s de agua de A a B, existiendo en A
una altura de presión de 6.6 m. Suponiendo que no existen perdidas de energía entre A y
B determinar la altura de presión en B. Dibujar la altura de líneas totales.
Donde: 30V = Q/ 30A = 0,370    sm/24,53.04/1 2
 y
  smV /31,124,5
2
1
2
60 





 Sustituyendo,
Y 41,3

Bp
m de agua
Puede representarse la energía total en una sección cualquiera como altura sobre un
plano horizontal de referencia. Utilizando en este caso el plano que pasa por D-D.
Altura total en
Altura total en
Línea de alturas piezométricas
A 30cm
B 60cm
Línea de alturas totales
Plano de referencia
DD
m
g
Va
4.1
2
2

m
g
Vb
09.0
2
2

m
pA
6.6

m
pB
41.3

mZA 0.3 mZB 5.7
FIGURA












 B
B
A
A
Z
g
Vp
Z
g
Vp
22
60
2
30
2

mzgVpA AA 0,110,34,16,6230
2
 
   
















 5,4
2
31,1
0
2
24,5
6,6
22
g
p
g
B

mzgVpB BB 0,115,709,041,3260
2
 
m
pB
41.3


Guía Página 37
s
m
m
s
m
DVAVQ BB
3
22
021.0)05.0(
4
*85.10
4
** 

B
BB
C
CC
Z
g
VP
Z
g
VP

22
22

)(0
2
0)4,26,3(.)(0
2
referenciadenivel
g
V
desprec B






s
m
gVB 85.10)4,26,3(*81.9*2)4,26,3(*2
s
m
Q
3
021.0
QQQ BA 
Nota: Se observa que tiene lugar la transformación de una forma de energía en otra
durante el flujo. En el caso presente, parte de la energía de presión y de la energía cinética
en A se transforma en energía potencial en B.
P-4.2 Según la figura mostrada determinar el caudal y la presión en el punto A. (Sin tomar
en cuenta las perdidas menores) D1=150mm D2=50mm
Datos: SOLUCION:
D1=150mm
D2=50mm
γ=9810[N/m3
]
Incógnitas:
a) Q=?
b) PA=?
Despejando la velocidad en el punto B
Según la siguiente ecuación se calculara el caudal en la tubería:
b) Para cálculo de la presión analizando la variable PB/γ=0 (da a la
atmosfera).
Ecuación de energía entre los puntos A y B
A B
C
m4,2
m6,3
2D1D
OH2
a) La velocidad de las partículas en C es tan pequeña que puede
despreciarse. Para calcular el caudal Primero:
Ecuación de energía entre C y B:

Guía Página 38
B
BB
A
AA
Z
g
VP
Z
g
VP

22
22

0
2
00
2
22

g
V
g
VP BAA

);1(....
2
22
Ec
g
VVP ABA 

 )2(.......
4
*
4
*
**
2
2
22
Ec
D
D
VV
DVDV
AVAV
A
B
BA
BBAA
BBAA




m
g
D
D
V
P A
B
B
A
93.5
81.9*2
150
50
1*85,10
2
1*
4
2
4
2


































23
3.581739810*93.5
m
N
m
N
mPA 
][17,58 KPaPA 
Despejando PA/γ
Reemplazando 2 en 1 se tiene:
P-4.3. Un tubo de pitot con un coeficiente de 0,98 se utiliza para medir la velocidad v del
H2O en el eje en una tubería, la altura de presión de estancamiento es 5,67 (m) y la altura
de presión estática de la tubería es de 4,73(m). ¿Cuál es la velocidad del flujo?
SOLUCIÓN:
De la ecuación de Bernoulli entre el punto 1
y 2
g
vP
g
vP
22
2
22
2
11


……………..(*)
Supongamos como un fluido ideal sin
rozamiento en (*):

12
2
1
2
PP
g
v 


)(2 12
1
PPg
v



Guía Página 39
1
)73.467.5)(81.9(2 2
1
mm
s
m
v


 s
mv 29,41  (Teórico)
Para la velocidad del agua será:
 s
mv real 29.498,0)(1   s
mv real 21,4)(1 
P-4.4. En el venturímetro la lectura del manómetro diferencial, en el fluido es 35,8 (cm)
determine el caudal de agua a través del venturímetro si se desprecia las pérdidas entre
los puntos A y B.
SOLUCIÓN:
Aplicando la ecuación de Bernoulli
B
BB
A
AA
z
g
vP
z
g
vP

22
22

 mzB 75,0
75,0
22
22

g
vP
g
vP BBAA

…………………. (1)
Sabemos que: Dc PP 
358.0 h
P
P A
C


B
D
P
hP  6,13358.075,0
Entonces:

BA P
hh
P
 6,13358.075,0358.0

BA PP
 2608,5 ……………………………… (2)
(2) en (1)
75,0
22
2608,5
22

g
vP
g
vP BBAB

71,4
22
22

g
v
g
v BA
………………………………… (3)
De la ecuación de conductividad tenemos: BBAA vAvA 

Guía Página 40
BBAA vDvD  22
44

Entonces:
AA
B
A
B vv
D
D
v 












22
15
30
AB vv 4
  71,4
2
4
2
22

g
v
g
v AA
 s
mvA 43,2
Por lo tanto
   s
mvDAvQ AAAA 43,230,0
44
22


 s
mQ
3
172,0
P-4.5 Para el sistema se presenta en la figura calcule a) la rapides de flujo de volumen de
aceite que sale de la boquilla y b) la presion en los puntos A y B
SOLUCION:
a) Aplicando Bernoulli en los puntos S y C
Considerando PS=PC=0 y despejando la velosidad en C:
√ ( ) √ ( ) ( )
( )
A
B
m1
m3
eriordiametro
demm
int
100
eriordiametro
demm
int
35
S
C
85.0SG
Aceite

Guía Página 41
b) Empleando Bernoulli en los puntos S y A:
Despejado la presión en A
[ ( )] ( )
Donde la VA se la obtiene empleando la ecuación de continuidad:
( )
( )
Sustituyendo VA en (1):
[
( )
( )]
Empleando Bernoulli entre los puntos S y B:
Considerando PS=0 y despejando PB:
[ ( )] ( )
Sustituyendo la VB en (2) se tiene:
[
( )
( )] ( )
kpa24.64=pB
P-4.6 Para el sifón que se muestra en la figura calcule a) la rapidez de flujo de volumen de
aceite del tanque y b) la presión en los puntos A, B, C, D.

Guía Página 42
SOLUCION:
a)
√ ( ) √
donde
( )
[ ] ( )
[( ) ] ( )
[( ) ] ( )
P-4.7 En la figura se muestra un manómetro que se utiliza para indicar la diferencia de
presión entre dos puntos de un sistema de conductos. Calcule la rapidez de flujo de
volumen del agua del sistema si la desviación en el manómetro es h de 250 mm (A este
2
1

Guía Página 43
dispositivo se le conoce como medidor Venturi, que se utiliza a menudo para mediciones
de flujo).
SOLUCION:
BA
B
B
w
BA
A
w
A
ZZ
g
v
Z
P
g
v
Z
P
 ;
22
22

     
g
vDDv
g
vAAv
g
vvPP ABAAABAAAB
w
BA
2
/
2
/
2
2222222








g
v
g
vv AAA
2
15
2
16
222



Del manómetro:
BwHgwwA PyhhyP  
   wwwwHgwHgBA hhhhhPP  54.1254.13)( 
g
vPP A
w
BA
2
15
2



g
vh A
w
w
2
1554.12
2



h
g
vA
54.12
2
15
2

sm
msmhg
vA /025.2
15
250.054.12/81.92
15
54.122 2





    smsmmvDvAQ AAA /1098.3/025.2050.0
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smQ /1098.3 33


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