Apuntes De Econometria Ii

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR
APUNTES DE ECONOMETRÍA II
ECONOMISTA LINCOLN MAIGUASHCA
Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Juan C. Serrano. Página 1 31/01/2008
Fecha: 2007- 09- 06
Análisis de la regresión múltiple: problema de la estimación
Se analiza el modelo de tres variables: una dependiente y dos explicativas; y con
modelos lineales en los parámetros, que puedan ser o no lineales en las variables.
“Cabe anotar que el texto de Damodar Gujarati, posee un diferenciación con la
notación universal”.
Modelo de tres variables: notación y supuestos
La FRP: iiii uXXY  22110  en donde 21  y son los cocientes de regresión
parcial. Los supuestos fundamentales son:
Supuesto 1: El valor medio de las perturbaciones iu es igual a cero.
iuE( ), 21 ii XX = 0 Se habla de las perturbaciones, es decir distancias.
Supuesto 2: No existe autocorrelación entre las distribuciones iu .
iuCov( )ju = 0 Cuando se habla de distribuciones queremos referirnos a una
curva de distribuciones.
Supuesto 3: Homoscedasticidad o igual varianza en las distribuciones de iu .
)( iuVar = 2

Supuesto 4: La covarianza entre la distribución iu y cada variable X es igual a
cero.
),( 1ii XuCov = ),( 2ii XuCov = 0
Supuesto 5
El modelo de regresión está correctamente especificado
Supuesto 6
No hay multicolinealidad perfecta entre 1X y 2X .
“Cuando hay multicolinealidad, el software no nos proporciona un resultado”
“En matrices para obtener los reagresores hay que dividir para los
determinares de esa matriz.”

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Linealmente Independientes:
Linealmente Dependientes:
Cuando dos vectores utilizan la misma línea de acción los dos son linealmente
dependientes.
Multicolinealidad perfecta existe cuando las variables 1X y 2X son linealmente
dependientes.
02211  ii XX 
ii XX 2
1
2
1 








Por ejemplo: si ii XX 12 2
  iiii XXY   12110 2
1v
2v
2???1 vv
1v
2v
12 2vv 
02 12  vv

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
 
iii
iii
iiii
XY
XY
XXY






10
1210
12110
2
2
Donde  21 2  , no hay forma de estimar la influencia separada de
iX1 y iX 2 sobre Y.
En la práctica, en los datos para el análisis empírico siempre habrá un nivel de
correlación entre las variables explicativas; lo que re requieres es que no sean
exactas.
Fecha: 2007- 09-11
Estimación de los Coeficientes de Regresión Parcial
Traer el ejercicio de la tabla 6.4
La FRP en este caso es la siguiente: iiii uXXY  22110 
“Notación Universal: 1 y 2 corresponden a la primera y segunda variable
respectivamente. En el texto de Damodar Gujarati existe una diferencia, en cuanto a la
notación”.
La FRM es la siguiente:
iiii uXXY ˆˆˆˆ
22110   ,
donde iii XXY 22110
ˆˆˆˆ   ,
y iii YYu ˆˆ  .
Entonces, mediante la utilización del método de Gauss:













iii
iii
iii
iii
i
iiiiii
XXnY
XXnY
XXY
XXY
u
XXYYYu
22110
22110
22110
22110
0
2
2
22110
22
ˆˆˆ
0ˆˆˆ
0)ˆˆˆ(
0)1)(ˆˆˆ(2
ˆ
)ˆ(
)ˆˆˆ()ˆ()ˆ(






Primera Ecuación Normal
Es necesario igualar a cero.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.











iiiiii
iiiiii
iiii
iiii
i
XXXXXY
XXXXXY
XXXY
XXXY
u
122
2
11101
122
2
11101
122110
122110
1
2
ˆˆˆ
0ˆˆˆ
0))(ˆˆˆ(
0))(ˆˆˆ(2
ˆ
)ˆ(
















2
22211202
2
22211202
222110
222110
2
2
ˆˆˆ
0ˆˆˆ
0))(ˆˆˆ(
0))(ˆˆˆ(2
ˆ
)ˆ(
iiiiii
iiiiii
iiii
iiii
i
XXXXXY
XXXXXY
XXXY
XXXY
u





Resolviendo el sistema de ecuaciones llegamos a:
“En el semestre pasado teníamos dos ecuaciones con dos incógnitas, ahora tenemos tres ecuaciones y tres
incógnitas su resolución es imposible. Para resolver se debe hacer desviaciones con respecto a la media.”
22110
ˆˆˆ XXY  
     
    2
21
2
2
2
1
212
2
21
1
ˆ
iiii
iiiiiii
xxxx
xxxyxxy





     
    2
21
2
2
2
1
211
2
12
2
ˆ
iiii
iiiiiii
xxxx
xxxyxxy





Varianzas y errores estándar de los coeficientes de regresión parcial
     
    
2
2
21
2
2
2
1
2121
2
1
2
2
2
2
2
1
0
21
)ˆ(  













iiii
iiii
xxxx
xxXXxXxX
n
Var
 
    
2
2
21
2
2
2
1
2
2
1)ˆ(  












iiii
i
xxxx
x
Var
 
  










2
2
2
1
2
212
12
ii
ii
xx
xx
r
Segunda Ecuación Normal
Tercera Ecuación Normal
 2
2ix va a ser pasado a dividir.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
   
     
   











































 2
2
2
1
2
212
1
2
2
1
2
212
1
2
1
1*
)ˆ(
ii
ii
i
i
ii
i
xx
xx
x
x
xx
x
Var


  









 2
12
2
1
2
1
1
)ˆ(
rx
Var
i


 
    
2
2
21
2
2
2
1
2
1
2 )ˆ(  












iiii
i
xxxx
x
Var
  









 2
12
2
2
2
2
1
)ˆ(
rx
Var
i


    











2/12
2
2/12
1
2
12
22
12
21
)1(
)ˆ,ˆ(
ii xxr
r
Cov


)3(
ˆ
ˆ
2
2



n
ui

Propiedades de los estimadores de MCO
1. La recta de regresión pasa por las medias de 21,, XXY ; en general:
ikikii uXXXYi   ...22110
kk XXXY  ˆ...ˆˆˆ
22110 
2. La media de Yˆ es igual a la media de los Y observados Y .
ii XXiY 22110
ˆˆˆˆ  
ii XXXXYiY 22112211
ˆˆ)ˆˆ(ˆ  
   222111
ˆˆˆ XXXXYiY ii  
ii xxYiY 2211
ˆˆˆ  
  ii xxYniY 2211
ˆˆˆ 
Es 3 por que tenemos tres regresores.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
00 21   ii xx
YniY  ˆ
  YY
n
i
ˆ1
Nota:
  iii xxYY 2211
ˆˆˆ  
iii xxy 2211
ˆˆˆ  
iii uyy ˆˆ 
iiii uxxy ˆˆˆ
2211  
3. La media de los residuos iuˆ es cero.
  




















2
22110
2
iiiiii XXYYY 
  012 22110
0
2



















 


iii
i
XXY 


 











iii XXY 22110 
 







0ii YY
  0ˆiu

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
4. Los residuos iuˆ no están correlacionados con los residuos iX1 y iX2
  02 122110
1
2
















 


iiii
i
XXXY
u


  0122110 







iiii XXXY 
  01 







iii XYY
01 

ii Xu
  02 222110
2
2
















 


iiii
i
XXXY
u


  0222110 







iiii XXXY 
  02 







iii XYY
02 

ii Xu
5. Los residuos iuˆ no están correlacionados con  ii Yy ˆ

iii xxy 2211

 







 iiiii xxy  2211


 iiii xxy 2211 
011 

ix

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
022 

ix
0

iiy 
6. De las ecuaciones para obtener las varianzas de 21
ˆ,ˆ  se observa que a medida que
2
12r se
acerca a 1, las varianzas aumentan y tienden hacia el infinito, que es el caso de la
multicolinealidad perfecta.
Fecha: 2007- 09-15
Coeficiente de Determinación R2
: Mide el porcentaje de explicación de las variables
independientes sobre la dependiente, es decir indica cuán cerca está Yˆ de Y:
STC = SEC +SRC
  222
ˆˆ iii uyy

 2
2
2
ˆ
i
i
y
y
STC
SEC
R
Si SRC = 0 SEC = STC 12
R Ajuste perfecto.
Si SRC ≠ 0 SEC < STC 12
R Porcentaje de ajuste.
10 2
 R



 2
2
2
ˆ
11
i
i
y
u
STC
SRC
STC
SRCSTC
R
)3(
ˆ
ˆ
2
2



n
ui
 22
ˆ)3(ˆ  nui
)1(
2
2



n
y
Sy
i 22
)1( Synyi 
2
2
2
)1(
ˆ)3(
1
Syn
n
R




La raíz cuadrada de R2
es el coeficiente de correlación, que es una medida del grado de
asociación entre Y, y todas las variables explicativas conjuntamente, que en la práctica
tiene poca importancia.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
El R2
ajustado ( 2
R )
Una propiedad importante del R2
es que a medida que aumenta el número de variables
explicativas, aumenta casi invariablemente hacia 1.

 2
2
2
ˆ
11
i
i
y
u
STC
SRC
R
La   
22
YYy ii , es independiente del número de variables explicativas; es decir
si en un modelo aumenta, la  2
iy permanece constante. Pero la  2
ˆiu a medida que
aumenta el número de variables explicativas, disminuye.
Para comparar dos R2
se debe tomar en cuenta el número de variables explicativas en el
modelo; esto se puede hacer con el R2
ajustado ( 2
R ).





)1/(
)/(ˆ
1 2
2
2
ny
knu
R
i
i
Donde k es igual al número de regresores en el modelo incluyendo la intersección. El
término ajustado significa ajustado por los grados de libertad.
2
2
2 ˆ
1
Sy
R


Donde 2
ˆ es la varianza homocedástica de la regresión y 2
Sy es la varianza muestral
de Y.
)1/(
)/()(
1
)1/(
)/(
12






nSTC
knSECSTC
nSTC
knSRC
R
 
 














kn
n
STC
SEC
R
1
112
  
 








kn
n
RR
1
11 22
Si k=1es decir el modelo sin intersección de la regresión simple 22
1 );0ˆ( RR 

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Si k>1 a medida que aumenta el número de variables explicativas el 2
R aumenta
menos que el R2
.
En términos generales, la finalidad de un modelo de regresión no es maximizar el R2
.
Un R2
elevado no es evidencia en favor del modelo, y un R2
bajo no es evidencia en su
contra.
Ejemplo: Considerando la información de la tabla 6.4:
EQ01: MI C PIB TAF
MI = 263,6416 – 0,005647PIB – 2,231586TAF
(11,59318) (0,002003) (0,209947)
22,74109 -2,818703 -10,62927
R2
= 0,707665 2
R = 0,698081
Incrementos en el PIB y en el TAF ejercen impactos negativos en la MI. Si el PIB se
incrementa en 100usd, manteniendo a la TAF constante, el número de muertes de niños
menores de 5 años se reducirá 5,6 por cada 1000 nacimientos vivos.
Si la TAF sube en un 1% manteniendo al PIB constante, el número de muertes de niños
menores de 5 años disminuirían a 2,23 por cada 1000 nacimientos vivos. 1 y 2
se conocen como los coeficientes de regresión parcial, veamos como se puede
visualizar.
Eliminemos la influencia que TAF ejerce sobre la mortalidad infantil y el PIB.
EQ02: MI C TAF
MI = 263,8635 – 2,390496TAF
(12,22499) (0,213263)
21,58395 -11,20917
R2
= 0,669590 2
R = 0,664261
EQ03: PIB C TAF
PIB = -39,30328 + 28,14268TAF
(734,9526) (12,82111)
-0,053477 2,195027
R2
= 0,072108 2
R = 0,057142
Si ahora se hace la regresión de R02 SOBRE R03, que están purificadas de la
influencia de TAF.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
EQ04: R02 R03
R02 = -0,005647R03
(0,001971)
-2,864538
R2
= 0,115238 2
R = 0,115238
Que es el regresor del PIB en la regresión multivariada (EQ01). Por otro lado,
eliminando la influencia que el PIB ejerce sobre la MI y TAF.
EQ05: MI C PIB
MI = 157,4244+ 0,011364PIB
(9,845583) (0,003233)
15,98935 -3,515661
R2
= 0,166217 2
R = 0,152769
EQ06: TAF C PIB
TAF = 47,59716 + 0,002562PIB
(3,555330) (0,001167)
13,38755 2,195027
R2
= 0,072108 2
R = 0,057142
EQ07: R05 R06
R05 = -2,231586 R06
(0,206588)
-10,80212
R2
= 0,649388 2
R = 0,649388
Que es el regresor de la TAF en el caso multivariado. Ya que la regresión de R05 sobre
R06 están purificadas de la influencia del PIB.
Fecha: 2007- 09 -18
Si realizamos el modelo con varaibles estandarizadas con el ejercicio 7.1, tenemos:
series mi1=(mi-@mean(mi))/@stdev(mi)
series pib1=(pib-@mean(pib))/@stdev(pib)
series taf1=(taf-@mean(taf))/@stdev(taf)

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
EQ08: mi1 pib1 taf1
mi1= -0,0202570pib1 – 0,76388taf1
(0.071285) (0.071285)
-2.841713 -10.71604
R2
= 0.707665 2
R = 0.702950
Si TAF permanece constante, un incremento de una desviación estándar del PIB, propicia una
disminución de 0.02026 desviaciones estándar de MI, si PIB permanece constante; un
incremento de una desviación estándar de TAF propicia una disminución de 0.7639
desviaciones estándar de MI.
Volviendo a la regresión original EQ01.
 2
2
2
2
2
97807.7563
)74780.41(61
1
)1(
)3(
1 




Syn
n
R

El numerador viene del S.E. of regresios y el denominador S.D.Dependent var.
Examen con 5 cifras decimales.
707665.02
R
2
2
2
2
2
)97807.75(
)74780.41(
11 

Sy
R

698081.0
2
R
    












61
63
707665.011
)(
)1(
11 22
kn
n
RR
698081.0
2
R
.
“Cobb Douglas, es una relación entre la remuneración del trabajador y la inversión en
activos fijos” La única manera de obtener la elasticidad, es mediante la utilización de las
funciones Cobb Douglas.
Introducción al sesgo de especificación: Control de lectura
Comparación de dos valores de R2
: Control de lectura, incluyendo el ejemplo 7.2
La función de producción COBB-DOUGLAS:
i
eXAXY iii
 21
21

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
En donde Y= producto, 1X = trabajo, 2X = capital,  perturbación estocástica y e=
base del logaritmo natural.
Y
X
X
Y
X
X
Y
Y
EYX
1
1
1
*/1





1
21
12
1
11
21
21






i
i
eXAX
XeXXA
ii
iii
Y
X
X
Y
X
X
Y
Y
EYX
2
2
2
2
*2






2
221
2221
**
**
121
121




 

i
u
ii
i
u
ii
XeXAX
XeXAX
i
i
iiii uXXAY  2211 lnlnlnln 
iiii uXXY  22110 lnlnln 
1 es la elasticidad del producto respecto al insumo trabajo; mide el cambio porcentual
en la producción debido a una variación del 1% en el insumo trabajo, manteniendo el
insumo capital constante. 2 es la elasticidad del producto respecto al insumo capital,
manteniendo constante al insumo trabajo.
Por otro lado, si ( 1 + 2 )<1, rendimientos decrecientes; si ( 1 + 2 )=1, rendimientos
constantes a escala; si ( 1 + 2 )>1, rendimientos crecientes.
Ejemplo: Consideremos la información de la tabla 7.3.
Y = 4874.204, X1 = 14.80656, X2 = 7335.481
EQ01: LY C LX1 LX2
LY = -3.337389 + 1.498783 LX1 + 0.48975 LX2
(2.453107) (0.540596) (0.102193)
-1.360474 2.772465 4.79231
R2
= 0.888713 2
R = 0.870165
En el sector agrícola taiwanes, manteniendo constante el capital, un aumento del 1% en
el trabajo condujo a un incremento de 1.5% del producto. De igual manera con el
capital. La suma de las elasticidades es 1.9885. lo que ubica a Taiwán en la región de
rendimientos crecientes. “Modelos de regresión polinomial: Control de lectura,
incluyendo los ejemplos 7.4 y 7.5.”

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
FECHA: 2007- 09- 20
Coeficientes de Correlación Parcial
Recordemos que el coeficiente de correlación es una medida del grado de asociación lineal entre dos (2)
variables. En el modelo con tres variables se pueden obtener tres coeficientes de correlación:
- 01r , entre Y y 1X (Y es la variable 0 y 1X la variable1)
- 02r , entre Y y 2X (Y es la variable 0 y 2X la variable2)
- 12r , entre 1X y 2X
Si la definición es grado de definición es de forma binaria tengo tres coeficientes de correlación.
Indicadores que se denominan coeficientes de correlación simple o de orden cero. Los coeficientes de
correlación de orden cero pertenecen a la correlación simple. Los cuales permiten el cálculo de los
coeficientes de correlación de primer orden (u órdenes mayores). Los coeficientes de correlación de
orden cero poseen una utilidad práctica.
 
 
  2/12
02
2
01
020112
0.12
2/12
12
2
01
120102
1.02
2/12
12
2
02
120201
2.01
)1)(1(
)1)(1(
)1)(1(
rr
rrr
r
rr
rrr
r
rr
rrr
r









2.01r = coeficiente de correlación parcial entre Y y 1X manteniendo a 2X constante
1.02r = coeficiente de correlación parcial entre Y y 2X manteniendo a 1X constante
0.12r = coeficiente de correlación parcial entre 1X y 2X manteniendo a Y constante
Ejemplo.- consideremos la información de la tabla 7.3
 
 
 
187343.0
)817428.01)(675718.01(
)904117.0(822020.0486671.0
810445.0
)486671.01)(675718.01(
)697618.0(822020.0904117.0
624858.0
)486671.01)(817428.01(
)697618.0(904117.0822020.0
2/10.12
2/11.02
2/12.01












r
r
r
En el examen final se debe hace grupo con el software e-views.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Además, se procede con:
equation eq01.ls ly c lx2
Dependent Variable: LY
Method: Least Squares
Date: 09/20/07 Time: 09:15
Sample: 1958 1972
Included observations: 15
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 3.146467 0.911302 3.452714 0.0043
LX2 0.687405 0.090102 7.629200 0.0000
R-squared 0.817428 Mean dependent var 10.09660
Adjusted R-squared 0.803384 S.D. dependent var 0.207922
S.E. of regression 0.092196 Akaike info criterion -1.806242
Sum squared resid 0.110500 Schwarz criterion -1.711835
Log likelihood 15.54682 F-statistic 58.20470
Durbin-Watson stat 0.539611 Prob(F-statistic) 0.000004
equation eq02.ls lx1 c lx2
Dependent Variable: LX1
Date: 09/20/07 Time: 09:16
Sample: 1958 1972

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
C 4.326081 0.379931 11.38648 0.0000
LX2 0.131877 0.037564 3.510685 0.0038
Nociones Básicas de Algebra Matricial (Leer el Apéndice B)
Operaciones con vectores:
1. Dado un vector columna u de (m,1) el producto u’u es la suma de cuadrados de los
elementos de u.
Ejemplo: los residuos de MCO.
A la sumatoria de los residuos al cuadrado sacamos la primera derivada e igualamos a
cero.
2. Dado un vector columna u de (m, 1), el producto uu’ es una matriz simétrica de (m,m).
Ejemplo: las perturbaciones estocásticas u.
 




























2
21
2
2
221
121
2
1
21
2
1
...*´
nnn
n
n
n
n uuuuu
uuuuu
uuuuu
uuu
u
u
u
uu






uu´ = 























 



 22
2
2
1
2
1
21 .... n
n
n uuu
u
u
u
uuu 

Propiedades de la transpuesta:
1) (A´ )´=A
2) (A+B)´= A´+B´
3) (AB)´ = B´A´; (ABC)´=C´B´A´

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
4) Si A=A´ es una matriz simétrica.
),(),(),(),(),(),(
´*´´*)**(
mnnppqqpPNnm
ABCCBA 
Propiedades de la inversa:
1)   AA 
 11
2)     1111111
; 
 ABCABCABAB
3)   )´(´ 11 
 AA
4) Si una matriz no tiene inversa, se llama “singular”; el determinante de la matriz es igual a cero
porque sus vectores filas o columnas son linealmente dependientes.
5) Si una matriz tiene inverso, se llama, “no singular”; el determinante de la matriz es diferente
de cero porque sus vectores filas o columnas son linealmente independientes.
Vectores dependientes son los que están en la misma línea de acción.
Vectores independientes cuando utilizan distintas líneas de acción.
6) La inversa es:
).(
)det(
11
Aadj
A
A 
Derivación de matrices:
Sea Y = nn XaXaXa  2211













n
n
a
a
a
a

2
1
)1,(













n
n
X
X
X
X

2
1
)1,(
1) Si Y = a X
a
X
Y



´
´
a
X
Y



2) Si Y=X´X
´2´´
´
XXX
X
Y



XXX
X
Y
2


´
´
X
a
Y



X
a
Y




Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Sea:





























nmnmm
n
n
n
X
X
X
aaa
aaa
aaa
XXXAXX





2
1
21
22221
11211
21 ),...,,(´
3) Si Y = X´AX A es simétrica : A = A´
AXAXAXAXAXAXAX
X
Y
´2´´´'´´)´( 


AXAXAXXAAXAXAX
X
Y
2')'´(
´



FECHA: 2007- 09- 25
Enfoque Matricial en el Modelo de Regresión Lineal
Modelo de Regresión de k variables explicativas
La FRP con k variables explicativas:
ikikiii uXXXY   .........22110 que es una expresión abreviada del siguiente
conjunto de n ecuaciones simultaneas:
nknknnn
kk
kk
uXXXY
uXXXY
uXXXY






.........
..........................................................................
.........
.........
22110
2222212102
1121211101
Que en forma matricial


















































nk
kn
Esta matriz representa al sistema de ecuaciones.
Donde k es el número de variables explicativas y (k+1) es el número de regresores.
)1,()1,1)(1,()1(
Ejemplo: Con la muestra 1
Si es que yo no incluyo la columna de unidades yo estoy haciendo un modelo que le estoy forzando a que
pase por el origen. Si yo le quito la unidad.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.






































































































nu
u








1
1
0
ˆ
ˆ
2601
2401
2201
2001
1801
1601
1401
1201
1001
801
150
155
140
120
115
110
95
90
65
70


(10,1) (10,2) (2,1) (10,1)
(10,1)
Supuestos del Modelo.
1. El valor esperado del vector de perturbaciones u es cero.
Algebraicamente: 0)( iuE La expectativa de E ( iu )=  iu
n
1
Matricialmente: 0)( uE
 0
0
0
0
)(
)(
)(
*)( 2
1
2
1


































nn uE
uE
uE
u
u
u
EuE
Nota: 1u en el primer nivel de ingreso, 2u en el segundo nivel de ingreso. El promedio
de las perturbaciones estocásticas en todos los niveles de ingreso es igual a cero. Los
promedios están sobre la función de regresión poblacional, si tenemos un promedio
igual a cero, ese punto está sobre la regresión de población.
2. Ausencia de “autocorrelación” entre las perturbaciones y presencia de la homoscedasticidad:
Algebraicamente: 0);();(  jiji uuEuuCov 22
)()(  ii uEuVar
Matricialmente: IuuE 2
)',( 
La varianza de las distribuciones de las perturbaciones se define como:
    )',()()()( '
uuEuEuuEuEuVar 

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
 
IuuEuVar
I
uEuuEuuE
uuEuEuuE
uuEuuEuE
uuuuu
uuuuu
uuuuu
Euuu
u
u
u
EuuE
uuEuVar
nnn
n
n
nnn
n
n
n
n
2
22
2
2
2
2
21
2
2
221
121
2
1
2
21
2
2
221
121
2
1
21
2
1
)',()(
100
010
001
00
00
00
)()()(
)()()(
)()()(
)',(
)',()(































































































Es la matriz de varianza covarianza de las distribuciones de las perturbaciones.
Es la matriz de var-cov de las distribuciones de las perturbaciones iu
3. Se establece que la matriz X consta de números fijos.
4. Las columnas de la matriz X son linealmente independientes, es decir no hay multicolinealidad
perfecta. Puede existir multicolinealidad casi perfecta.
Estimación del Modelo:
Los regresores:
La transpuesta de una suma es la suma de las transpuestas.
En matrices, no se aplica el enunciado algebraico sobre el orden de los factores no altera al producto.
Se debe mantener el orden de multiplicaciones.
La función de regresión de la muestra con k variables explicativas:
ikikiii XXXY  ˆ...22110 


 XY

  XY
Para obtener los regresores:

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Alg: minimizar 

2
i
Mat: minimizar

'














 XYXY
´
'























 XYXY
'
''














 XYXY ''''
Nota: el orden es importante, no equivocarse.








 XXYXXYYY '''''''
  0)´´´ˆ(ˆ´´)´´(
ˆ
ˆ´ˆ



XXXXYXXY
uu


0ˆ´ˆ´´´   XXXXYXYX
0ˆ´2´2  XXYX
ˆ´´ XXYX 
       YXXXXXXX ´´ˆ´´
11 

   YXXXI ´´ˆ 1

   YXXX ´´ˆ 1

)´)(´.(
)´det(
1
YXXXAdj
XX



La Matriz Var (β)
El promedio de todos los ˆ es igual a  .
)´()´( 1
YXXX 

 uXY  
  uXXXXXXXuXXXX ´)´()´()´(´)´( 111 

 
Identidad

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
uXXX ´)´( 1

 
 uXXXEEuXXXEE ´)´()(´)´()( 11 







 
)(´)´()( 1
uEXXXE 

 
 

)(E







 















)()()(  EEEVar







 












 

 uXXXuXXXEVar ´)´(´)´()( 11
  
 

uXXXuXXXEVar ´)´(´)´()( 11

       ´11
´´´´ˆ 
 XXXUUXXXEVar 
Nota:
        111
´´´´

 XXXXXX
      11
´´´´ˆ 
 XXXUUXXXEVar 
        11
´´´´ˆ 
 XXXUUEXXXVar 
      121
´´´ˆ 
 XXXXXXVar 
       112
´´´ˆ 
 XXXXXXVar 
    12
´ˆ 
 XXVar 
kn 





'
2
Donde n es el número de observaciones y k es el número de regresores, no de variables
explicativas, cambia la dimensión de la k.
O

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.




















































































kkk
k
k
VarCovCov
CovVarCov
CovCovVar
Var




...
...
...
10
1110
0100

FECHA: 2007-09-27
Ejemplo: Con la muestra uu ˆ'ˆ .







322001700
170010
)´( XX 






205500
1110
)´( YX
Det (X´X)=330000

















0000303.00051515.0
0051515.09757575.0
10700.1
700.1322000
330000
1
)´( XX




























 


1
0
508485.0
457575.24
205500
1110
0000303.00051515.0
0051515.09757575.0



XY 5085.0457575.24 
493.615909.42
8
2727.337'
2









kn





















 
001278.0217183.0
0217183.13705.41
0000303.00051515.0
0051515.09757575.0
45909.42var 
Var( )ˆ( o =41.13705 ee )ˆ( o =6.413817
Var( )ˆ( 1 =0.001278 ee )ˆ( 1 =0.035743
Cov )ˆ,ˆ( 10  =0.217183
Propiedades de los residuos:

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
La FRP: uXY  
La FRM:

 uXY 

 XYu

 XY

 XY
1.- Los errores estimados son ortogonales (perpendiculares) a las variables explicativas.
0)ˆ()ˆ(  XuuX
)())((ˆ)ˆ(ˆ 1
YXXXXXYXXXYXXYXuX  

YXYXuX ˆ
0ˆ uX
XXXYXXYXXYXu   ˆ)ˆ()ˆ(ˆ
     )()(ˆ 11
XXXXXYXYXXYXXXXYXu 

 
0ˆ  XYXYXu
SRCSECSTCSECSTCSRC  ****
.2
ˆˆˆˆXY uYu  
  ˆˆ´ˆ´ˆ)ˆˆ()ˆˆ(YY' '
uYuYuYuY 
uuuu ˆ'ˆYˆ'ˆˆYˆYˆ'YˆYY' '

uˆˆuˆ)ˆ(uˆY' ´´´
XX   = 0
0ˆuˆYuˆ ´´
 X
uuYYYY ˆˆˆˆ´ ´´

3.-SRC = STC – SEC STC = SEC + SRC
uXY ˆˆ  
ˆXY 
  uYYuXXYY ˆ)ˆ(ˆˆˆ  
     uuYYYYYYYY ˆˆˆˆ)ˆ( ´´´

Para el examen: Al final del apéndice C, existe un ejercicio con tres variables.
In sesgados quiere decir que son simétricos.
4) **
SECSTCSECSTCSRC 

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
))(())(()()()()(
_
''
_
'''
_
'
_
'

 YYYYYYYYYYYYYYYY
__
'
_
'
_
''
__
'
_
'
_
'''
YYYYYYYYYYYYYYYY 




























YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY
_
'
_'
''
_
'
_
'''''


 
_
'
_
''''
YYYYYY
0ˆˆˆ  XuYu 0ˆ''ˆˆ)ˆ(ˆ 

uXuXuY 
YYYYuu ˆˆˆˆ 
*NOTA: el orden es importante, no cambiarlo.
Propiedades de los estimadores de MCO:
1.- Son lineales con la variable Y:
Por definición: )()(ˆ 1
YXXX  

2.-Son insesgados:
YXXX  1
)(ˆ uXY  
uXXXXXXXuXXXX   111
)()()()()(ˆ 
uXXX  1
)(ˆ 
         0''''





 
 EEXXXXXXEE
 




 
E
3.-GAUSS MARKOV.- los estimadores de MCO son eficientes, es decir, tienen varianza
mínima
Supongamos que * es cualquier otro estimador lineal de  .
 YCXXX  
')'(* 1

Donde C es una matriz de constantes, y recordando que uXY  
  
CuCXuXXX
CuCXuXXXXXXX
uXCXXX









')'(*
')'(')'(*
')'(*
1
11
1

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Para que * sea un estimador insesgado de  debe darse que CX=0 porque:
 
     
CuuXXX
E
uCECXEuEXXXE
CuECXEuXXXEEE
CuCXuXXXEE









')'(*
*)(
)()()(')'(*)(
')'()(*)(
')'(*)(
1
1
1
1





Ahora se analiza la varianza
   
   
  
  
 
 
')ˆ(*)(
')'(*)(
0)'(''
'')'(''')'(')'(')'('*)(
')'('')'()'(')'(*)(
')'()'()'(')'(')'()'()'(')'(*)(
'')'('''')'()'('')'(*)(
'')'('')'(*)(
'')'(')'(*)(
'')'(')'(*)(
*)(**)(**)(
2
212
21212112
21221121
1111
1111
11
11
11
'
CCVarVar
CCXXVar
CXCX
CCXXCXCXXXXXXXXXVar
CCXXXCCXXXXXXXXXVar
CuuCEXXXuuCECuuEXXXXXXuuEXXXVar
CCuuXXXcuuCuuXXXXXXuuXXXEVar
CuXXXuCuuXXXEVar
CuuXXXCuuXXXEVar
CuuXXXCuuXXXEVar
EEEVar





























)ˆ(*)(  VarVar 
SEGUNDA PARTE
FECHA: 2007 - 10 - 02
Análisis de regresión múltiple: el problema de la inferencia
Aunque los conceptos desarrollados en los capítulos anteriores pueden ser aplicados al
modelo de regresión múltiple estos modelos poseen características adicionales que le
son únicas.
Se mantiene el supuesto que los i sigue la distribución normal con media cero y
varianza constante 2
 . Con el supuesto de normalidad, se asegura que

210 ,, 
también están normalmente distribuidos.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Pruebas de hipótesis: coeficiente individual de regresión parcial
ikikiii XXXY   ...22110













 

i
ii
i
ee
t


Lo que se desea probar es la hipótesis de que iX , manteniendo el resto de las variables
explicativas constantes no tiene influencia alguna sobre Y:
0: 10 H 0: 11 H






 

i
i
i
ee
t


Si 2t : se rechaza 0H , se acepta 1H
Si 2t : no se rechaza 0H
Prueba de significación global de la regresión:
Examina la significación de todas las pendientes en conjunto, simultáneamente; la
intersección, queda fuera de la prueba.
ikikiii uXXXY   22110
0: 210  kH   0: 210  kH  
)(
)1(
...
...
kn
SRC
k
SEC
ldeg
SRC
ldeg
SEC
F



Donde k= #de regresores
Si F> valor crítico de de la tabal F, se rechaza 0H y se acepta 1H .
Si F< valor crítico de de la tabal F se acepta 0H .
En otras palabras, la prueba F mide si Y está relacionada o no linealmente con 1X y 2X
simultáneamente. El valor P, tiene el mismo significado que en el caso de la t de
Student.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
)1(1
)(
)1)((
)(
)1(
)(















k
STC
SEC
kn
STC
SEC
kSECSTC
knSEC
kSRC
knSEC
F
)(
)1(
)1(
2
2
kn
R
k
R
F




La F tiene relación con el 2
R , de donde se deduce que la prueba F también mide la
significación de 2
R ; en consecuencia:
0: 2
0 RH 0: 2
1 RH
Si 02
R F=0
Si 2
R = 1 F=
Cuanto mayor sea el 2
R , mayor será el valor de la F. Lo anterior saca a relucir una
importante observación empírica respecto a los datos transversales, donde por lo general
se obtiene un 2
R bajo; si pasa la prueba F no se debe preocupar.
En una regresión con series de tiempo por lo general se tiene un 2
R alto, ahí viene la
importancia de esta prueba, si se hace la prueba F y si no pasa (por lo geneal no suele
pasar por el problema de la auto correlación).
En los cortes transversales, por lo general el 2
R es bajo, si pasa la prueba F el 2
R está
bien.
La contribución “incremental” de una var. Explic.
En la mayoría de las investigaciones empíricas, el investigador no puede estar seguro si
se justifica agregar una variable X al modelo. Lo que se desea es saber si al añadir una
variable al modelo se aumenta la SEC (y por tanto 2
R ) significativamente en relación
con la SRC; es lo que se denomina la contribución incremental tal de una var.explic.
)(
)(
kn
SRC
m
SECSEC
F
n
Vn



Donde m= #de nuevas variables y (n-k)= g. de l. del nuevo modelo.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
 
)( kn
STC
SECSTC
m
STC
SEC
STC
SEC
F
n
vn










F=
)(
)1(
)(
2
22
kn
R
m
RR
n
vn



Ejemplo: consideremos el caso de la M.I
MI= 263.8635 – 2.390496(TAF)
(12.22499) (0.213263)
20.58395 -11.20917
2
R = 0.669590 F=125.6455
MI= 157.4244 – 0.011364(PIB)
(9.845583) (0.003233)
15.98935 -3.515661
2
R =0.166217 F=12.35987
MI= 263.6416 – 0.005647(PIB) – 2.231586(TAF)
(11.59318) (0.002003) (0.209947)
22.74109 -2.818703 -10.62927
2
R =0.707665
61
)707665498.01(
2
707665498.0

F =73.83254
El valor crítico de la F al 95% con 2 y 6.1 g. de l. es 3,15; se aceptan 1H .
La contribución incremental de TAF es:
61
)707665498.01(
)166216985.0707665498.0(


F
Que es justamente: 9814.112)62927.10( 2

La contribución del PIB es:

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
61
)707665498.01(
1
)669589717.0707665498.0(


F
Que es justamente: 9451.7)818703.2( 2

En ambos casos, el valor crítico de la F al 95% con 61 g. de l. es 4,00; el aumento de la
nueva variable es significativo.
FECHA: 2007-10-09
Pruebas de igualdad de los coeficientes
iiiii uXXXY  3322110 
320 :  H   032  
321 :  H   032  
Por ejemplo si Y= cantidad demandada de un bien, 1X =precio del bien; 2X =ingreso
del consumidor y 3X =riqueza del consumidor; la 0H significa que los coeficientes de
ingreso y riqueza son los mismos.
Si Y y los X s están expresadas en forma logarítmica, la 0H implicaría que las
elasticidades son iguales.
Para probar la 0H , recordemos que:
  2
1






























i
ii
i
ii
i
Var
ee
t




 
2
1
32
32
2
1
32
3232


















































VarVar
t








32 Var = 




 
2Var + 




 
3Var -2cov 




 
32 ,

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Si :2t se rechaza 0H , se acepta 1H
Se :2t no se rechaza 0H
Ejemplo: consideremos la información de la tabla 7.4:
P = Producción, CT= Costo Total
P2 = 3^2
3^ PPP 
CT = 141.7667 + 63.47766(P) – 12.96154( 2
P ) + 0.939588( 3
P )
(6.375322) (4.778607) (0.985665) (0.059106)
22.23678 13.28372 -13.15005 15.89677
998339.02
R
“A medida que aumentan los regresores el 2
R tiene a 1”
 
   5.0
057642.02003493.0971535.0
939588.096154.12


t
t = -12.81082
Se rechaza 0H , se acepta 1H : son diferentes
Dependent Variable: CT
Date: 10/08/07 Time: 07:54
Sample: 1 10
C 141.7667 6.375322 22.23678 0.0000
P 63.47766 4.778607 13.28372 0.0000
P2 -12.96154 0.985665 -13.15005 0.0000
P3 0.939588 0.059106 15.89677 0.0000
S.E. of regression 3.284911 Akaike info criterion 5.505730
Sum squared resid 64.74382 Schwarz criterion 5.626764
Log likelihood -23.52865 F-statistic 1202.220

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Prueba sobre restricciones lineales
i
eXAXY iii
 21
21
iiii XXAY   2211 lnlnlnln
iiii XXY   22110 lnlnln No Restringida.
Y= producción capitalXtrabajoX  21
Si existe rendimientos constates a escala
  121  
El método de la prueba t:
Se estima la regresión con MCO, lo que se llama “regresión no restringida” y se realiza
la siguiente prueba de hipótesis:
1: 210  H 1: 211  H
 
2
1
21
21
2
1
21
2121 1


















































VarVar
t


























212121 ,cov2  VarVarVar
Si 2t : se rechaza la 0H , se acepta 1H
Si 2t : no se rechaza 0H .
El método de la prueba f:
La idea es incorporar la restricción en la estimación de la regresión original:
21 1   12 1  
i2i21i20 uXln)lnX1(ln  iY
i1i2i21i0 u)XlnlnX(lnXln  iY Restringida
i1i2i201i u)XlnlnX()lnX(ln  iY
i1i2i201i u)X/X(ln)/Xln(  iY

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Donde, )/X( 1iiY es la razón producto/trabajo, que son indicadores económicos
importantes. Una vez que se estima 2 , 1 es de fácil acceso.
Este procedimiento es conocido como “mínimos cuadrados restringidos” y tiene la
cualidad de asegurar que la suma de las elasticidades es igual a 1.
La suma total de cuadrados no tienes nada que ver con las variables explicativas.
 
 kn
SRC
m
SRCSRC
F
NR
NRR



    
   knSECSTC
mSECSTCSECSTC
F
NR
NRR



/
/
 
mSECSTCSECSTC
F
NR
NRR



/
/
 
mSECSEC
F
NR
RNR



/
/
 kn
STC
SEC
m
STC
SEC
STC
SEC
F
NR
RNR















/1
/
 
   knR
mRR
F
NR
RNR



/1
/
2
22
Donde 22
RRNR  de la regresión no restringido.
22
RRR  de la regresión restringida
m=k de restricciones lineales
(n-k)= g de l de la regresión no restringida
Si F> valor crítico de la F, se rechaza 0H , se acepta 1H
Si F< valor crítico de la F, se acepto 0H (se confirma que la sumatoria de las 2
elasticidades es igual a 1)

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
FECHA: 2007-10-16
Consideremos la información de la tabla 8.8:
P= Producto interno bruto, T= trabajo, K= capital
LP = -1.652419 + 0.339732 (LT) + 0.845997 (LK)
(0.606198) (0.185692) (0.093352)
-2.725873 1.829548 9.062488
R2
= 0.995080 SRC = 0.013604
2/1
)]017034.0(2008715.0034481.0[
1)845997.0339732.0(


t
t = 1.943981
equation eq01.ls lp c lt lk
Dependent Variable: LP
Date: 10/15/07 Time: 07:26
Sample: 1955 1974
C -1.652419 0.606198 -2.725873 0.0144
LT 0.339732 0.185692 1.829548 0.0849
LK 0.845997 0.093352 9.062488 0.0000
Lo que quiere decir que no se rechaza la Ho; es decir, estadísticamente la suma de las
dos elasticidades es 1. Existen rendimientos constantes a escala.
iuKT  lnlnlnP 210 
iuKT  lnln)1(lnP 220 

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Nota= Mas adelante se revisará la prueba F, en ella hay un rango de tres a cinco, en
caso de tener se tiene una gran número de observaciones caso contrario si es cercana a
cinco hay número pequeño de observaciones.
io uTKTP  )ln(lnlnln 2
io uTKTP  )ln(ln)ln(ln 2
iuTKTP  )/ln()/ln( 20 
LPT=log(P/T) LKT=log(K/T)
LPT=-0.494718+1.015301(LKT)
(0.121816) (0.036124)
-4.061175 28.10564
977721.02
R SRC=0.016629
equation eq02.ls LPT C LKT
Dependent Variable: LPT
Date: 10/16/07 Time: 09:27
Sample: 1955 1974
C -0.494718 0.121816 -4.061175 0.0007
LKT 1.015301 0.036124 28.10564 0.0000
Para la prueba F no podemos utilizar la relación que involucra al 2
R porque la variable
dependiente de la regresión no restringida es diferente a la de la restringida; por tanto,
usamos la que involucra a las SRC.
  780138.3
17/013604.0
1/013604.0016629.0


F
El valor critico de la F con 1 g. de l en el numerador y 17 grados de libertad en el
denominador es 4.45 al 96% de confianza. 5 pocas observaciones 3 muchas

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
observaciones. En consecuencia, se acepta 0H , estadísticamente la suma de las dos
elasticidades es 1, existen rendimientos constantes a escala.
Prueba F global: control de lectura
Econometría de series de tiempo: algunas ideas básicas
El Problema:
1) El trabajo empírico como series de tiempo supone que éstas son estacionarias; de no
ser el caso, las pruebas de hipótesis es una regresión
Notas Extra:
Estacionalidad= es un fenómeno que se encuentra persistentemente en fenómenos de cada año, por ejemplo
las ventas en febrero, mayo y las fechas de entrega de obsequios.
No se debe confundir estacionalidad con estacionariedad.
En el trabajo para la tercera nota debemos revisar más de tres años de información. El año 2000 es el año de
transición la información estadística no sirve para nada. Desde el 2002 a la fecha se debe tomar en cuenta.
El tercer parcial se debe hacer aplicaciones desde el tema del problema. La primera hora de clase del 2008
debe ser entregado el trabajo. Se debe buscar información mensual de una empresa.
2) La autocorrelación se origina debido a que las series de tiempo involucradas son no
estacionarias.
3) En las regresiones con series de tiempo con frecuencia se obtiene un R2
muy
elevado, superior a 0.9, aunque no haya una relación significativa entre ellas.
Situación que se conoce como el problema de la regresión espuria.
4) Los modelos de regresión con series de tiempo se utilizan para pronósticos; por
tanto se desea saber si tal predicción es válida, cunado dichas series son no
estacionarias.
Producto Interno Bruto (PIB) = 630.0349
Ingreso Personal Disponible (IPD) = 477.3675
Gasto Consumo Personal (GCP) = 463.1134
Ganancias Corporativas después de impuestos (GCP) = 463.1134
Dividendos Corporativos Netos ( DIV) = 38.36447
En los exámenes se debe hacer ejercicios del GAN y el DIV.
FECHA: 2007-10-23
Procesos Estocásticos
Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias ordenadas en el tiempo.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Si Y es una variable aleatoria continua se denota como )(tY ; ejemplo, un
electrocardiograma. Si Y es una variable aleatoria discreta, se denota como tY ; ejemplo
el PIB. Si Y representa al PIB, entonces se tiene 8887321 ,........,, YYYYY ; cada una de estas
Y es una variable aleatoria.
El PIB o cualquiera de las variables macroeconómicas, es un proceso estocástico porque
cada valor de cada trimestre es la realización particular de una infinidad de
posibilidades económicas y políticas.
La distinción entre un proceso estocástico y su realización es semejante a la diferencia
entre población y muestra en datos transversales. Si en datos transversales, la muestra
sirve para inferir en la población, de la misma forma, en las series de tiempo se emplea
la realización para inferir respecto al proceso estocástico subyacente.
Proceso Estocástico Estacionario
Se dice que un proceso estocástico es estacionario si su media, su varianza y su
autocovarianza (en los diferentes rezagos) permanecen iguales sin importar el momento
en el cual se midan; caso contrario el proceso estocástico es no estacionario.
Vamos a usar las imperfecciones de las series estacionarias para armar los modelos,
posteriormente. La media y la varianza oscilan entren valores.
Covarianza = correlación. Autocovarianza = autocorrelación.
Sea tY una serie de tiempo estocástica:
Media:   uYE t )(
Varianza:     22
)()(  uYEYVar tt
Autocovarianza:    uYuYE kttk  )( Si k = 0, 2
0  
La autocovarianza es el producto de dos desviaciones con respecto a la media.
Donde k , es la autocovarianza al rezago k, y es la covarianza entre los valores de tY y
ktY  ; es decir, entre dos valores Y que están separados k periodos.
El problema de las series de tiempo no estacionarias es que solo se puede estudiar su
comportamiento durante ese periodo particular y no se puede generalizar para los otros
periodos. Para propósitos de pronósticos, las series de tiempo no estacionarias tendrán
un valor práctico insignificante.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Un proceso puramente aleatorio o “ruido blanco” es aquel que tiene una media igual a
cero, una varianza constante 2
 y no está autocorrelacionada. Si el término de error tu
del modelo de una regresión lineal es ruido blanco, se dice que dicha regresión no
adolece de autocorrelación y está correctamente estimada.
Trabajo:
1.-Antecedentes, descripción de la variable macroeconómica, parte de que es.
Explicación de la variable (al menos dos páginas). En el caso de ser una
empresa se debe poner en contexto el marco de la empresa visión, misión,
objetivos, entre otras.
2.- Marco teórico, todas las fórmulas.
3.-Marco empírico. No se escribe las fórmulas. Cuadros y gráficos analizados.
La explicación (muy importante).
4.- Conclusiones. Comparación entre septiembre, octubre, noviembre
comparación con el campo real. Diciembre, octubre y febrero proscripción.
Revisar capítulo 21 y 22 para la realización del trabajo.
Notas:
 Para le prueba hay un entrelazamiento entre el e-views y el Excel.
 Es mejor obtener la primera y segunda diferencia en el software Excel.
 Una serie no estacionaria es una serie que aumenta paulatinamente o que
disminuye paulatinamente.
 Si una serie va disminuyendo también es no estacionario.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Ejemplo de una serie no estacionaria:
La serie no estacionaria está plagada de autocorrelación.
2800
3200
3600
4000
4400
4800
5200
70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90
PIB

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Ejemplo de una serie estacionaria:
No hay gran oscilación de la media de los valores.
Otra serie más estacionaria:
-120
-80
-40
0
40
80
120
70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90
D1PIB
-120
-80
-40
0
40
80
120
70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90
D2PIB

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Media
70Q1-74Q4 75Q1-79Q4 80Q1-84Q4 85Q1-89Q4
PIB 3091,78 3527,21 3886,98 4555,94
D1PIB 18,61 29,41 18,98 32,27
D2PIB -0,01 0,99 1,04 -0,68
Varianza
PIB 161,24 219,46 152,23 211,8
D1PIB 32,75 36,95 50,03 17,53
D2PIB 43,99 47,52 55,03 24,1
FECHA: 2007-10-25
Pruebas de Estacionariedad:
Prueba Gráfica:
El primer paso para analizar una serie de tiempo, es el gráfico, lo cual, proporciona una
clave inicial sobre naturaleza de esa serie.
Función de autocorrelación y correlograma:
Una prueba sencilla de estacionariedad está la basada en la “función de de
autocorrelación muestral”.
La ACF muestral al rezago K es:
ianza
arianzaauto
YY
YYYY
t
kttk
k
var
cov
)(
))((
ˆ
ˆ
ˆ 2
0





 



Donde kˆ = coeficiente de autocoerrelación kˆ = autocovarianza y 0
ˆ = varianza y Y =
media muestral.
PAC= Promedios móviles.
Ejemplo:
En el correlograma del PIB está plagada de barras grises es decir de autocorrelación.
Los d1 y d2 PIB, no existe correlación. La primera es no estacionaria, mientras la
segunda y tercera son estacionarias.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Si se grafica k

 frente a k se obtiene el correlograma muestral.
La elección del número de rezagos es totalmente empírica, una buena costumbre es
escoger un valor entre el tercio o cuarto de la longitud de la serie de tiempo. En nuestro
ejemplo, escogemos 25 que se encuentra entre 22 y 29.
La significación estadística de cualquier k

 puede juzgarse mediante su error
estándar.Según Barlet los coeficientes de autocorrelación muestrales son
aproximadamente.
)1,0(
N
Nk 

Donde u es el tamaño de la muestra; al 95% del nivel de confianza.
2
1
2
1
)1(96.1)1(96.1
nn k 


2
1
2
1
)
88
1(96.1)
88
1(96.1 

k
209.0209.0 

k
0:0 

kH  0:1 

kH 
Si k

 esta dentro del intervalo se acepta 0H ; no hay autocorrelación. Si k

 está fuera
del intervalo se acepta la 1H ; hay autocorrelación.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
    2
1
2
1
87
196.1
87
196.1 

k
210.0210.0 

k
    2
1
2
1
86
196.1
86
196.1 

k
211.0211.0 

k
El coeficiente de Bartlett es la diferencia entre la línea central y la línea segmentada. Si
la franja no cruza la línea entrecortada no hay autocorrelación. En la primera diferencia
el coeficiente varia por que no disminuye en 1.
En la segunda diferencia se pierden dos observaciones y por eso varia de nuevo el
coeficiente de Bartlett.
FECHA: 2007- 10 - 30
Análisis de LJUN-BOX
Si se desea probar la hipótesis conjunta de que todos los kˆ son simultáneamente
iguales a cero, se recurre al estadígrafo LJUN-BOX:









m
k
k
LB
kn
nnQ
1
2
ˆ
)2(

Donde n es el tamaño de la muestra y m es la longitud del rezago. LBQ es
aproximadamente una distribución 2
 con g de l.
H0: todos los 0k H1: todos los 0k
Si LBQ > valor crítico de la tabla 2
 , se acepta H1, la serie es no estacionaria.
Si LBQ < valor crítico de la tabla 2
 , se acepta H0, la serie es estacionaria.
- El PAC mide los promedios móviles
.
- El q stat es el Ljun Box.
-Mientras se disminuye el valor deL Ljung Box sube el valor probabilístico de
igual forma que con la F.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
6114.142
%95,25 
LBQ
LBQ
PIB
891.25 No estacionaria IPD 940.50 No estacionaria
D(PIB)
38.406 No estacionaria 1era IPD 28.130 No estacionaria
D
(PIB,2) 54.861 No estacionaria 2da IPD 65.266 No estacionaria
La diferencia entre 38.406 y 14.6114 es reducida. Por lo que podemos tener la idea de
que tiene niveles de estacionariedad.
En software e - views se visualiza de la siguiente manera en el caso del PIB:
Prueba de Raíz Unitaria
Dickey-Fuller desarrollaron la prueba de raíz unitaria; el punto de inicio es el proceso
estocástico de raíz unitaria.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
ttt uYY  1
Si 1 se dice que tY tiene problema de raíz unitaria, y por tanto la serie es no
estacionaria. Sin embargo, para concluir que 1 , el estadígrafo t no tiene una
distribución normal asintótico; por tanto, Mac-Kimmer construyó el estadígrafo Tau
)( a cuyos valores hay que referirse.
H0: 1 H1: todos los 1
Si   crítico, se acepta Ho; hay problemas de raíz unitaria y la serie es no
estacionaria. Pero si hay la sospecha de que la serie es estacionaria, se sigue la prueba
usual de la t de Student.
EQ01 PIB PIB (-1) no estacionara RPIB = PIB (-1)
EQ02 D (PIB) D (PIB (-1)) estacionara R1PIB = D (PIB (-1))
EQ03 D (PIB,2) D(PIB(-1),2) estacionara R2PIB = D (PIB(-1),2)
EQ04 IPD IDP (-1) no estacionaria
EQ05 D (IPD) D (IDP (-1)) estacionaria
EQ06 D (IPD, 2) D (IDP (-1),2) estacionaria
FECHA: 2007-10-31
Por razones teóricas, Dickey y Fuller dan un paso adelante, se resta 1tY , en ambos lados
de la ecuación anterior.
ttt uYY  1
ttttt uYYYY   111)( 
ttt uYY  1 1 
m=1
45° Yt-1
Yt

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
0: Ho 0:1 H
Si  >  crítico, se acepta la 0: Ho , 1 hay problemas de raíz unitaria y la
serie es no estacionaria. Pero si se sospecha de que la serie es estacionaria se sigue la
prueba de la t student.
Hacer Gráficos
PIB RPIB
D1PIB R1PIB
D2PIB R2PIB
Si se le obliga a pasar por el origen los mínimos cuadrados no se cumplen.
Esa la razón para que la prueba de hipótesis este distorsionada.
Se deben considerara los procesos no estocásticos que se debe incluir en el
marco teórico de la investigación.
En el ejemplo:
Analizando el PIB:
d(pib) pib(-1) no estacionaria
equation eq01.ls d(pib) pib(-1)
Dependent Variable: D(PIB)
Date: 10/31/07 Time: 09:03
Sample (adjusted): 1970Q2 1991Q4
Included observations: 87 after adjustments
PIB(-1) 0.005765 0.000994 5.798077 0.0000
R-squared -0.015192 Mean dependent var 22.93333
Adjusted R-squared -0.015192 S.D. dependent var 35.93448
Log likelihood -435.2083 Durbin-Watson stat 1.340574
Vamos ahora a revisar la estacionariedad de la primera diferencia:
d(pib,2) d(pib(-1)) Por lo tanto es estacionaria. Asi que -5.181149 es estadísticamente
significativo, es decir verdadero y representa a la T student. No hay necesidad de irse al Unit
Root Test.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
equation eq02.ls d(pib,2) d(pib(-1))
Dependent Variable: D(PIB,2)
Date: 10/31/07 Time: 09:13
D(PIB(-1)) -0.479621 0.092570 -5.181149 0.0000
Existe la sospecha de estacionariedad.
Ahora a revisaremos la estacionariedad de la tercera diferencia:
equation eq03.ls d(pib,3) d(pib(-1),2)
Como el estadígrafo no es cero tenemos una t de Student.
Date: 10/31/07 Time: 09:20
D(PIB(-1),2) -1.396111 0.099348 -14.05278 0.0000
R-squared 0.701542 Mean dependent var -0.770588
Con respecto al IPD:
equation eq04.ls d(IPD,2) IPD(-1) es no estacionaria.
Dependent Variable: D(IPD)

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Date: 10/31/07 Time: 09:26
IPD(-1) 0.006115 0.001072 5.705903 0.0000
R-squared -0.026675 Mean dependent var 17.89540
Es no estacionaria. El delta es cero, por lo tanto es  .
Analizando con los calores críticos de MacKinnon. Advertimos que los valores críticos
dependen de los valores de confianza.
Con el UNIT ROOT TEST
Null Hypothesis: IPD has a unit root
Exogenous: None
Lag Length: 0 (Fixed)
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic 5.705903 1.0000
Test critical values: 1% level -2.591813
5% level -1.944574
10% level -1.614315
*MacKinnon (1996) one-sided p-values.
Con respecto al IPD2
equation eq05.ls d(IPD,2) D(IPD(-1)) es estacionaria.
Dependent Variable: D(IPD,2)
Date: 10/31/07 Time: 09:31

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
D(IPD(-1)) -0.745190 0.104404 -7.137588 0.0000
Con respecto al IPD3
equation eq06.ls d(IPD,2) D(IPD(-1)) es estacionaria
Dependent Variable: D(IPD,3)
Date: 10/31/07 Time: 09:33
D(IPD(-1),2) -1.502741 0.094321 -15.93217 0.0000
Por razones de inconsistencia en las dos pruebas de hipótesis anteriores
Dickey y Fuller introducen dos cambios:
1.-Inclusión de la intersección:
ttt uYY  11 
2.- El acerca de la tendencia:
ttt uYTY  121 
Y para ambos casos:
1,0:  Ho 0: Ho ; 1
Si  >  crítico, se acepta la 1H , no hay problemas de raíz unitaria y la serie es
estacionaria.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Si  <  crítico, se acepta la 0H , hay problemas de raíz unitaria y la serie es no
estacionaria.
Siguiendo con el ejemplo:
 equation eq07.ls d(pib) c pib(-1) se acepta la hipótesis nula, es decir la serie es no
estacionara.
Date: 10/31/07 Time: 09:47
C 28.20542 24.36532 1.157605 0.2503
PIB(-1) -0.001368 0.006242 -0.219165 0.8270
Null Hypothesis: PIB has a unit root
Exogenous: Constant
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -0.219165 0.9310
5% level -2.895109
10% level -2.584738
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Date: 10/31/07 Time: 09:47

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
PIB(-1) -0.001368 0.006242 -0.219165 0.8270
C 28.20542 24.36532 1.157605 0.2503
 equation eq08.ls d(pib,2) c d(pib(-1)) es estacionaria.
Date: 10/31/07 Time: 09:50
C 16.00498 4.396717 3.640211 0.0005
D(PIB(-1)) -0.682762 0.102975 -6.630339 0.0000
 equation eq09.ls d(pib,3) c d(pib(-1),2) estacionaria
Date: 10/31/07 Time: 09:54
C -0.203950 4.198389 -0.048578 0.9614
D(PIB(-1),2) -1.396064 0.099948 -13.96796 0.0000

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
 Analizando el IPD, tenemos:
IPD no estacionaria.
D(IPD) estacionaria.
D(IPD,2) estacionaria.
Continuando con el ejercicio:
D(PIB) C T(-1) PIB(-1)
PIB No estacionaria.
D (PIB) No estacionaria.
D (PIB, 2) estacionaria.
IPD No estacionaria.
D (IPD) No estacionaria.
D (IPD, 2) No estacionaria.
FECHA: 2007-11-06
Si el término de error tu sigue autocorrelacionado, la última ecuación se modifica y
toma el nombre de Dickey-Fuller Aumentada.
tttt YYTY    11121
ttttt YYYTY    2211121
El número de términos en diferencia rezagadas se determina empíricamente hasta que
el término de error sea ruido blanco. La prueba de hipótesis es la misma que la anterior.
El Dikey F. es menor que todos los valores críticos de Mackinnon.
En el ejercicio:

 
m
i
ttitt YYTY
1
1121 

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
t-Statistic Prob.*
Augmented Dickey-Fuller test statistic -3.407420 0.0574
5% level -3.465548
10% level -3.159372
Quiere decir que existe hasta el 95% del nivel de confianza estacionariedad
PIB:
0 -0.685320
1 0.085875
2 -0.035363
3 -0.090404
4 -0.027794 * 2.735240
Serie no estacionaria.
))4(())3(())2(())1(()1()( 43221  PIBDPIBDPIBDPIBDPIBPIBD 
D (PIB):
0 0.035932
1 -0.055398
2 -0.096699
3 -0.054741
4 0.000229 * 3,407420
Estacionaria hasta el 90 % de confianza.
)2),4(()2),3(()2),2(()2),1(())1(()2,( 43221  PIBDPIBDPIBDPIBDPIBPIBD 
D (PIB, 2):
0 0.113511
1 -0.009876 * 9.104147 estacionaria
2 0.011534
3 0.033473
4 0.018194
Estacionaria hasta el 90 % de confianza.
)3),1(()2),1(()3,( 21  PIBDPIBDPIBD 

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
FECHA: 2007-11-08
EL PROBLEMA:
1) ¿Cómo se diseña un modelo con una serie de tiempo estacionaria?
2) ¿Cómo se utiliza el modelo para fines de pronóstico?
Enfoques para la predicción económica:
- Modelos de alisamiento exponencial: ajustan una curva apropiado a datos históricos de
una serie de tiempo. Este tipo de ecuaciones tiene aplicaciones microeconómicas.
- Modelos uniecuacionales: Tienen el problema que los errores de predicción aumentan
rápidamente en el futuro. Es un modelo con una regresión. Solo sirve para obtener
estadígrafos. No sirve para pronóstico.
- Modelos de ecuaciones simultáneas: Tuve vigencia hasta la crítica de Lucas. Además
su apogeo perduró a lo largo de las décadas de los sesenta y setenta.
Cuando la economía se calienta = La tasa de inflación al alza.
Los parámetros de un modelo econométrico dependen de la política prevaleciente y
cambiaran s hay un cambio de política los parámetros no son constantes ante cambios
de política.
La crítica de Lucas se pone en vigencia con los cambios estructurales.
-Metodología de Box-Jenkins: Sus propulsores son llamadas “ateórico”. También es
conocida como ARIMA, enfatiza el análisis de las propiedades probabilísticas de las
series de tiempo bajo la filosofía de permitir que la información hable por si misma. Yt
puede ser explicada por valores rezagados de si mismo y por términos estocásticos de
error (am) por esta razón, reciben el nombre de modelos “a-teóricos”. Por enfatizar la
estadística.
- Metodología VAR: Propuesta por Cristopher Sims, que considera diversas variables
endógenas de manera conjunta. ; pero cada variable endógena es explicada por sus
valores agregados de las demás varables endógenas. No hay variables exógenas en el
modelo.
Enuncio acerca de:
y=f(x)
x=f(y)
Además critico al análisis con la de t Student.
Elaboración de los modelos de Proceso autoregresivo:
Elaboración de los modelos
Proceso autoregresivo (AR)

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Si tY es una serie de tiempo estacionaria y se puede modelar como:
    ttt YY   11
Donde  es la media de tY y t es el vector de errores no correlacionados con media
cero y varianza 2
 (ruido blanco); entonces, tY sigue un proceso autoregresivo de 1er
orden, AR (1).
  ttt YY   1111
Si tY es una serie de tiempo estacionaria se puede modelar como:
      tttt YYY    2211
tttt uYYY    22211
tttt uYYY   221121 )1( 
En general:
tptpttt uYYYY   )()()()( 2211  
tY sigue un proceso autorregresivo de valores p,AR(p).
tppttpt uYYYY   1221121 )1(  
Ejercicio de E views:
D(PIB) k=1 k=8 k=8
equation eq01.ls d(pib) c d(pib(-1)) d(pib(-8)) d(pib(-12))
)3:884:88(ˆ)3:894:89(ˆ)2:913:91(ˆˆ)3:914:91( 321  O
)3:884:88(ˆ)3:894:89(ˆ)2:913:91(ˆˆ)3:91()4:91( 321  O
)4:881:89(ˆ)4:891:90(ˆ)3:914:91(ˆˆ)4:91()1:92( 321  O
(92:1)=4868.0+28.19371+0.342768(4868.0-4862.7)-0.299466(4880.8-4859.7)-0.264371(4809.8-4779.7)
(92:1)=4883.734
D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12)

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Date: 11/08/07 Time: 09:35
C 28.19371 5.576752 5.055578 0.0000
D(PIB(-1)) 0.342768 0.098794 3.469531 0.0009
D(PIB(-8)) -0.299466 0.101599 -2.947523 0.0043
D(PIB(-12)) -0.264371 0.098582 -2.681742 0.0091
Variables significativas
3.469531
-2.947523
-2.681742
FECHA: 2007-11-13
EQUATION EQ01.LS D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12)
Cambiamos la fecha:

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Date: 11/13/07 Time: 08:50
Convergence achieved after 3 iterations
C 23.08936 2.980356 7.747181 0.0000
AR(1) 0.342768 0.098794 3.469531 0.0009
AR(8) -0.299466 0.101599 -2.947523 0.0043
AR(12) -0.264371 0.098582 -2.681742 0.0091
Inverted AR Roots .92-.28i .92+.28i .61-.59i .61+.59i
.31+.87i .31-.87i -.25+.88i -.25-.88i
-.57-.59i -.57+.59i -.85+.28i -.85-.28i
Observamos a las celdas vacías
Last updated: 11/13/07 - 08:52
1970Q1 2872.8
1970Q2 2860.3
1970Q3 2896.6
1970Q4 2873.7
1971Q1 2942.9
1971Q2 2947.4
1971Q3 2966
1971Q4 2980.8
1972Q1 3037.3
1972Q2 3089.7
1972Q3 3125.8
1972Q4 3175.5
1973Q1 3253.3
1973Q2 3267.6
1973Q3 3264.3
1973Q4 3289.1
1974Q1 3259.4
1974Q2 3267.6

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
1974Q3 3239.1
1974Q4 3226.4
1975Q1 3154
1975Q2 3190.4
1975Q3 3249.9
1975Q4 3292.5
1976Q1 3356.7
1976Q2 3369.2
1976Q3 3381
1976Q4 3416.3
1977Q1 3466.4
1977Q2 3525
1977Q3 3574.4
1977Q4 3567.2
1978Q1 3591.8
1978Q2 3707
1978Q3 3735.6
1978Q4 3779.6
1979Q1 3780.8
1979Q2 3784.3
1979Q3 3807.5
1979Q4 3814.6
1980Q1 3830.8
1980Q2 3732.6
1980Q3 3733.5
1980Q4 3808.5
1981Q1 3860.5
1981Q2 3844.4
1981Q3 3864.5
1981Q4 3803.1
1982Q1 3756.1
1982Q2 3771.1
1982Q3 3754.4
1982Q4 3759.6
1983Q1 3783.5
1983Q2 3886.5
1983Q3 3944.4
1983Q4 4012.1
1984Q1 4089.5
1984Q2 4144
1984Q3 4166.4
1984Q4 4194.2
1985Q1 4221.8
1985Q2 4254.8
1985Q3 4309
1985Q4 4333.5
1986Q1 4390.5
1986Q2 4387.7
1986Q3 4412.6
1986Q4 4427.1

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
1987Q1 4460
1987Q2 4515.3
1987Q3 4559.3
1987Q4 4625.5
1988Q1 4655.3
1988Q2 4704.8
1988Q3 4734.5
1988Q4 4779.7
1989Q1 4809.8
1989Q2 4832.4
1989Q3 4845.6
1989Q4 4859.7
1990Q1 4880.8
1990Q2 4900.3
1990Q3 4903.3
1990Q4 4855.1
1991Q1 4824
1991Q2 4840.7
1991Q3 4862.7
1991Q4 4868
1992Q1
1992Q2
1992Q3
1992Q4
Y obtenemos una serie PIB F.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
Hacemos un grupo con el PIB Y EL PIB F y completamos las cuatro predicciones.
Nota: La aplicaciones de “Dynamic” son para convergencia. El test de convergencia no
es infalible.
En el static se utiliza los valores digitados.
Según Chistopher Sims el 1.79 es válido EL CASO DEL ipd.
El mejor es el promedio.
D(PIB) C AR(1) AR(8) AR(12)
D(PIB,2) C AR(1) AR(8) AR(12)
D(IPD) C AR(25)
D(IPD) C AR(5)
D(IPD) C AR(21) AR(25)
D(IPD) D(IPD,2)
AR(25) AR(5) AR(21,25) AR(1) AR(20) AR(25)
Q1 3566,306 3574,018 3561,018
Q2 3591,854 3599,857 3588,737
Q3 3618,695 3616,657 3601,634
Q4 3629,643 3638,328 3617,329

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
D(PIB) D(PIB,2)
AR(1,8,12) AR(1,8,12)
Q1 4883,734 4877,902
Q2 4905,506 4889,48
Q3 4936,774 4909,662
Q4 4986,392 4947,918
FECHA: 2007-11-20
Proceso de Media Móvil
Si tY es una serie de tiempo estacionaria, y se puede modelar como:
110  ttt uuY 
Donde  es una constante y tu es el vector de errores estocásticos, ruido blanco, se dice
que tY sigue un proceso de media móvil de primer orden, MA (1).
Si tY es una serie de tiempo estacionaria, y se puede modelar como:
22110   tttt uuuY 
Se dice que tY sigue un proceso de media móvil de segundo orden MA (2).
En general:
ktktttt uuuuY    ........22110
Se dice que tY sigue un proceso de media móvil de q orden MA (q).
EQ01: D(PIB) c MA(1) MA(8) MA(12)
EQ02: D(PIB,2) c MA(1) MA(2) MA(8) MA(12) MA(24)
EQ03: (PIB,2) c MA(1) MA(8) MA(24)
FECHA: 2007-11-27
Proceso Autorregresivo y de Media Móvil (ARMA)
Se debe tomar en cuenta que el análisis es al nivel cuando es estacionaria.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
En ocasiones una serie de tiempo tY es estacionaria al nivel y puede tener
características de AR y MA, simultáneamente; entonces es un proceso ARMA.
Si tY es una serie de tiempo estacionaria al nivel y se puede modelar como:
11011   tttt uuYY 
tY sigue un proceso autorregresivo de 1er orden y media móvil de 1er orden ARMA
(1,1).
En general, en un proceso ARMA (p, q) habrá p términos autorregresivos y q términos
de media móvil.
Proceso Autorregresivo Integrado de Media Móvil (ARIMA)
La diferencia entre el ARMA y el ARIMA consiste en que en el segundo se trabaja con
la primera y la segunda diferencia.
Se incerta la d, para conocer si se trata de la primera o la segunda diferencia.
Si tY es una serie de tiempo que en (d) diferencias se vuelve estacionaria, se dice que la
original es ARIMA (p, d, q), un proceso autorregresivo integrado de media móvil donde
p es el número de términos autorregresivos, (d) es el número de veces que debe ser
diferenciada para volverse estacionaria y (q) es el número de términos de media móvil.
El objetivo de Jenkins es identificar un modelo estadístico que pueda ser interpretado
como generador de la información muestral.
Si ese modelo se utiliza para predicción, se debe suponer que sus características son
estables o constantes en el tiempo, especialmente en el futuro.
Si tenemos una serie descendente o ascendente es no estacionaria.
Si la serie va ascendiendo sabemos que las características de cada trama son
cambiantes, por lo tanto no podemos trabajar de ese modo.
En el caso de que sea estacionara los estadígrafos probabilísticas son semejantes y las
características en el futuro se van a mantener.
FECHA: 2007-11-29
Vectores Autorregresivos (VAR):
En los modelos uniecuacionales y de ecuaciones simultáneas las variables deben ser
identificadas como endógenas o exógenas, decisión que según Christopher Sims, a
menudo es subjetiva y más bien no debe haber ninguna distinción.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
“Toda teoría económica responder a una decisión política”. “Las diferentes personas
que trabaja en un tema pueden tener criterios encontrados”
En los modelos VAR el término autorregresivo se refiere a la aparición de los valores
rezagados de la variable dependiente en el lado derecho de la regresión.
Supongamos el caso de GCP e IPD.
t
i
iti
i
itit uIPDGCPGCP   



4
1
4
1
1 
t
i
iti
i
itit uIPDGCPIPD   



4
1
4
1
2 
En los modelos VAR no cuenta la significación individual (t de student), solamente la
conjunta, es decir, la prueba F. Los valores críticos de la F, es de 3 a 5.
En el ejemplo:
VAR (GCP-IPD)
Los modelos ARIMA son totalmente separados de los modelos autoregresivos.
Con diez informaciones no se debe hacer un VAR, ya que con cinco grados libertad no
se hace nada.
Con veinte informaciones se hace con dos rezagos. Con más de treinta se hace con
cuatro rezagos.

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
GCP IPD PIB
Var(GCP-IDP) VAR(GCP-IPD) VAR(IPD-PIB)
Q1 3283,89 3558,195 4884,667
Q2 3298,663 3574,498 4897,425
Q3 3314,122 3590,785 4911,712
Q4 3329,653 3607,223 4926,612
VAR(GCP-PIB) VAR(IPD-PIB) VAR(GCP-PIB)
Q1 3286,835 3563,151 4881,596
Q2 3302,772 3575,642 4899,013
Q3 3315,812 3585,408 4920,299
Q4 3331,637 3597,378 4940,254
En el caso del PIB:
Nota Adicional:
Friedman expone a las expectativas adaptativas. Sin embargo Sims realiza algunas
modificaciones llegando a:

Daniel Carrasco.
Felipe Lemarie.
Jorge Salgado.
...)2()1(...)2()1( 23210  iiiii YYXXY 

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