1. Raciocínio Lógico – ISS SP
Aula Demonstrativa – Professora Karine Waldrich
1. Apresentação Pessoal ................................................................................... 2
2. Raciocínio Lógico para ISS-SP: Objetivo do Curso e Público-Alvo ................ 2
3. Programação do Curso .................................................................................. 3
4. Mensagem Final ............................................................................................. 4
5. Aula Demonstrativa – Estruturas Lógicas....................................................... 6
5.1 Apelidos dos conectivos ......................................................................... 13
5.2 Símbolos dos conectivos ........................................................................ 15
5.3 Negação de proposições ........................................................................ 17
5.4 Proposições Equivalentes....................................................................... 18
6. Exercícios de fixação comentados ............................................................... 21
7. Memorex ...................................................................................................... 27
8. Lista das questões abordadas em aula ........................................................ 28
9. Gabarito........................................................................................................ 29

2. 1. Apresentação Pessoal
Oi, futuro colega! Seja bem vindo ao mundo dos concursos!!
Meu nome é Karine Waldrich, sou graduada em Engenharia Química (UFSC-
2008) e em Administração (ESAG-UDESC-2007). Atualmente estou
trabalhando no cargo de Auditor-Fiscal da Receita Federal do Brasil, cujo
concurso ocorreu entre 2009-2010 e em que logrei aprovação em 39º lugar,
dentre os mais de 70.000 candidatos. Além disso, fui aprovada no concurso
para Analista-Tributário da Receita Federal do Brasil (61º lugar) e para o cargo
de Gestor de Projetos, do Centro de Informática e Automação de Santa
Catarina (4º lugar).
Estudei para o concurso da Receita Federal na minha cidade natal, Blumenau-
SC, durante 8 meses. Utilizei, por diversas vezes, os cursos do Ponto na minha
preparação, tanto antes como depois do edital do concurso. Acredito muito no
projeto dos professores que idealizaram o curso e, não a toa, estou aqui
ministrando este curso para vocês.
Acredito que qualquer pessoa possa ser aprovada em concursos públicos –
não importa o tempo de estudo, o fato de morar longe de um grande centro,
etc. O que realmente interessa é a força de vontade.
Meu e-mail, para dúvidas e sugestões, é
karinewaldrich@pontodosconcursos.com.br.
2. Raciocínio Lógico para ISS-SP: Objetivo do Curso e Público-Alvo
O objetivo deste curso é ensinar Raciocínio Lógico para os concurseiros que
buscam aprovação no concurso da Secretaria Municipal de Finanças de São
Paulo (costumeiramente chamado de ISS-SP).
O público-alvo são alunos sem base alguma na matéria, como também alunos
que já estudaram Raciocínio Lógico para outros concursos. Os assuntos serão
tratados com o maior detalhamento possível, ao mesmo tempo de maneira
sucinta. Não me apegarei a teorias desnecessárias para a resolução das
questões: o que eu pretendo é fazer com que vocês consigam resolver com
tranquilidade a prova de RL que o concurso do ISS-SP apresentar!
O formato do curso está bem completo. Como base, adotamos um edital que
inclui praticamente todos os tópicos possíveis de serem cobrados na disciplina
de Raciocínio Lógico. Portanto, falaremos de Lógica propriamente dita, de
Matemática, de Estatística Descritiva, de Estatística Inferencial, de Matemática
Financeira, e de questões que não envolvem conteúdo algum, simplesmente
raciocínio e treino. Posso garantir que será muito difícil o edital do concurso
contemplar algum tópico da matéria que não tenha sido contemplado em nosso
curso.
2

3. Sei que Raciocínio Lógico é uma das matérias que mais assusta. São muitos
assuntos, e as bancas vêm inovando e fazendo questões cada vez mais
capciosas. Por isso, para ajudar vocês a enfrentar essa fera, utilizarei todos os
recursos possíveis e que deixem a aula mais interessante: gráficos, desenhos,
esquemas. Nada ficará “subentendido”.
Durante o meu estudo para concurso, preferia um professor que deixasse tudo
bem esmiuçado do que o contrário. Então, essa será a linha que adotarei para
o ensino.
O curso se propõe a ensinar a base teórica de Raciocínio Lógico, sem, no
entanto, esquecer as questões, pois são elas que efetivamente fixam o
conteúdo! Ao final de cada aula, será apresentada a lista de questões
abordadas na aula, bem como um esquema dos pontos mais importantes –
uma espécie de Memorex – para que vocês revisem o assunto de forma
rápida!
3. Programação do Curso
O curso seguirá a estrutura básica abaixo:
1) Estruturas lógicas; Lógica de argumentação; Diagramas lógicos;
2) Matrizes e Determinantes; Álgebra linear;
3) Geometria Básica; Trigonometria;
4) Combinações, Arranjos e Permutação; Probabilidade;
5) Estatística Descritiva, Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de
Regressão; Variáveis Aleatórias, Principais Distribuições de
Probabilidade;
6) Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros, Desconto, Equivalência de
Capitais, Anuidades e Sistemas de Amortização;
7) Compreensão e elaboração da lógica das situações por meio de:
raciocínio matemático (que envolvam, entre outros, conjuntos numéricos
racionais e reais - operações, propriedades, problemas envolvendo as
quatro operações nas formas fracionária e decimal; conjuntos numéricos
complexos; números e grandezas proporcionais; razão e proporção;
divisão proporcional; regra de três simples e composta; porcentagem);
raciocínio sequencial; orientação espacial e temporal; formação de
conceitos; discriminação de elementos.
Esses assuntos serão distribuídos em 4 aulas, além desta aula demonstrativa.
Teremos uma aula por semana. São elas:
AULA DATA ASSUNTO
AULA 0 Estruturas lógicas;
AULA 1 15/03/2011 Estruturas lógicas (continuação);
Lógica de argumentação;
Diagramas lógicos;
Exercícios comentados.
3

4. AULA 2 22/03/2011 Matrizes e Determinantes;
Exercícios comentados.
Álgebra linear;
Exercícios comentados.
AULA 3 29/03/2011 Geometria Básica; Trigonometria;
Exercícios comentados.
AULA 4 05/04/2011 Combinações, Arranjos e Permutação;
Probabilidade;
Exercícios comentados.
AULA 5 12/04/2011 Estatística Descritiva;
Exercícios comentados.
AULA 6 19/04/2011 Amostragem, Teste de Hipóteses e Análise de
Regressão; Variáveis Aleatórias, Principais
Distribuições de Probabilidade;
Exercícios comentados.
AULA 7 26/04/2011 Juros Simples e Compostos, Taxas de Juros,
Desconto, Equivalência de Capitais, Anuidades e
Sistemas de Amortização;
Exercícios comentados.
AULA 8 03/04/2011 Compreensão e elaboração da lógica das situações
por meio de: raciocínio matemático (que envolvam,
entre outros, conjuntos numéricos racionais e reais
- operações, propriedades, problemas envolvendo
as quatro operações nas formas fracionária e
decimal; conjuntos numéricos complexos; números
e grandezas proporcionais; razão e proporção;
divisão proporcional; regra de três simples e
composta; porcentagem); raciocínio sequencial;
orientação espacial e temporal; formação de
conceitos; discriminação de elementos.
PS: esta aula não possui aspectos teóricos.
Para tirar dúvidas sobre as aulas, teremos o Fórum de Dúvidas, tradicional nos
cursos do Ponto.
4. Mensagem Final
Pessoal, sei que para muitos de vocês esta é uma oportunidade de resolver a
vida, de garantir um futuro não só para si próprio, como também para a família.
Então, queria deixar uma mensagem especial.
Prá cima!!! Entrem nessa batalha para vencer!! Não se deixem levar pelas
adversidades que vão aparecer. ESTUDEM, muito!! Se organizem, optem
pelos melhores materiais, façam muitos exercícios... Na hora da prova, vai ser
só você com seu conhecimento. Ninguém vai perguntar qual sua idade,
quantos filhos você tem, se é rico, é pobre, bonito ou feio... O que vale é o seu
esforço!
4

5. Posso garantir que, se a minha vida mudou muito e para melhor depois de ter
sido aprovada num bom concurso, a sua também pode mudar.
RUMO À APROVAÇÃO!
Agora vamos para a Aula Demonstrativa. Nela, vamos aprender sobre
Estruturas Lógicas. Preparados??
5

6. 5. Aula Demonstrativa – Estruturas Lógicas
O Mano Menezes é o técnico da Seleção
Brasileira
Já que estamos falando de ISS-SP, me sinto à vontade para declarar meu time:
sou Corinthians! Sem piadinhas com a Libertadores, pessoal... Por favor! Rs...
Vamos começar essa aula falando de futebol, tudo bem? Afinal um ex-técnico
corinthiano é o atual técnico da seleção brasileira...
Desta forma, a frase acima é verdadeira ou falsa? Resposta: Verdadeira.
Há alguma dúvida de que a frase acima é verdadeira? Resposta: Não.
Haveria como alguém dizer “é mais ou menos verdadeira”? Resposta: Não. O
Mano Menezes é o técnico da nossa seleção, e ponto final.
Ou seja, estamos diante de uma proposição!
Proposição é uma frase, ou uma equação, ou uma expressão, cujo conteúdo
pode ser considerado Verdadeiro ou Falso.
Esse “considerado Verdadeiro ou Falso” é o valor lógico da proposição, ou
seja, no caso da nossa frase futebolística acima, o valor lógico é verdadeiro,
pois sabemos que o Mano Menezes é efetivamente o nosso técnico.
Há dois tipos de proposições: as simples e as compostas.
PROPOSIÇÕES SIMPLES PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
Apenas uma proposição Várias proposições ligadas por um
conectivo.
Ex: O Mano Menezes é o técnico da Ex: O Mano Menezes é o técnico da
Seleção Brasileira Seleção Brasileira e o Alexandre Pato
é jogador da Seleção
Na proposição composta da tabela acima, aparece o conectivo e ligando as
duas proposições. Porque ele está ali?
É importante que fique claro que o nosso objetivo é sempre conhecer o valor
lógico de uma proposição, simples ou composta.
Algumas proposições e conectivos são intuitivos. Na frase acima, por exemplo,
fica fácil perceber que o e está com uma função aditiva, e que a frase toda só
será verdadeira se as duas proposições isoladas também forem verdadeiras. E
como sabemos que o Mano Menezes é efetivamente o nosso técnico e que o
6

7. Alexandre Pato é efetivamente nosso jogador, percebemos claramente que a
proposição composta (formada pelas duas proposições simples ligadas pelo e)
é verdadeira.
Mas não existe apenas este conectivo, e não é sempre assim tão “evidente” o
significado deles. Então, cabe a nós aprender o que cada um deles significa,
para que quando eles aparecerem numa proposição composta seja possível
identificar claramente o valor lógico dessa proposição. Ou seja, se a
proposição composta é verdadeira ou falsa.
Vamos aprender cada um deles nas páginas seguintes! Utilizei exemplos
relacionados ao time brasileiro na Copa. Então, apesar de eu imaginar que
todos nós sabemos um pouquinho sobre a nossa Seleção, não custa reforçar
algumas informações futebolísticas para ninguém ficar perdido, ok??
Partiremos do princípio que:
1) O Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira.
2) O Alexandre Pato é jogador da Seleção.
3) O Zagallo não é o técnico da Seleção Brasileira.
4) O Rogério Ceni não é jogador da Seleção.
Vamos lá??
7

8. CONECTIVO e
“NOME
CONECTIVO DE SIGNIFICADO EXEMPLOS
GUERRA”
EXEMPLO 1:
O Mano Menezes é o técnico
da Seleção Brasileira e o
Alexandre Pato é jogador da
Seleção da Seleção
Valor lógico: V e V = V
(ou seja, a proposição
composta é Verdadeira)
EXEMPLO 2:
O Mano Menezes é o técnico
da Seleção Brasileira e o
A proposição Rogério Ceni é jogador da
composta só será Seleção
verdadeira se
ambas as
proposições Valor lógico: V e F = F
simples forem (ou seja, a proposição
verdadeiras. composta é Falsa)
e Conjunção
EXEMPLO 3:
Ou seja:
O Zagallo é o técnico da
Seleção Brasileira e o
VeV=V
Alexandre Pato é jogador da
VeF=F Seleção
FeV=F
FeF=F Valor lógico: F e V = F
(ou seja, a proposição
composta é Falsa)
EXEMPLO 4:
O Zagallo é o técnico da
Seleção Brasileira e o Rogério
Ceni é jogador da Seleção
Valor lógico: F e F = F
(ou seja, a proposição
composta é Falsa)
8

9. CONECTIVO ou
“NOME
CONECTIVO DE SIGNIFICADO EXEMPLOS
GUERRA”
EXEMPLO 1:
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira ou o Alexandre
Pato é jogador da Seleção
Valor lógico: V ou V = V
(ou seja, a proposição
composta é Verdadeira)
Se uma das
proposições EXEMPLO 2:
simples for O Mano Menezes é o
verdadeira, a técnico da Seleção
proposição Brasileira ou o Rogério
composta já será Ceni é jogador da Seleção
verdadeira. Dessa
forma, ela só será
falsa se ambas as Valor lógico: V ou F = V
proposições (ou seja, a proposição
simples forem composta é Verdadeira)
falsas – em todos
ou Disjunção os outros casos, a EXEMPLO 3:
proposição O Zagallo é o técnico da
composta será Seleção Brasileira ou o
sempre verdadeira! Alexandre Pato é jogador
da Seleção
Ou seja:
Valor lógico: F ou V = V
V ou V = V (ou seja, a proposição
V ou F = V composta é Verdadeira)
F ou V = V EXEMPLO 4:
F ou F = F O Zagallo é o técnico da
Seleção Brasileira ou o
Rogério Ceni é jogador da
Seleção
Valor lógico: F ou F = F
(ou seja, a proposição
composta é Falsa)
9

10. CONECTIVO ou... ou
“NOME
CONECTIVO DE SIGNIFICADO EXEMPLOS
GUERRA”
EXEMPLO 1:
Ou o Mano Menezes é o
técnico da Seleção Brasileira
ou o Alexandre Pato é jogador
da Seleção
Se as proposições
simples tiverem
Valor lógico: ou V ou V = F
mesmo valor lógico
(ou seja, a proposição
(Verdadeiro/Falso),
composta é Falsa)
a proposição será
sempre Falsa.
EXEMPLO 2:
Dessa forma, a
proposição Ou o Mano Menezes é o
composta só será técnico da Seleção Brasileira
verdadeira se uma ou o Rogério Ceni é jogador
das proposições da Seleção
simples for
verdadeira e a outra
Valor lógico: ou V ou F = V
falsa (e vice-versa).
(ou seja, a proposição
composta é Verdadeira)
Disjunção Ou seja:
ou... ou Exclusiva
EXEMPLO 3:
ou V ou V = F Ou o Zagallo é o técnico da
ou V ou F = V Seleção Brasileira ou o
ou F ou V = V Alexandre Pato é jogador da
ou F ou F = F Seleção
OBS: Reparem que Valor lógico: ou F ou V = V
a diferença para o (ou seja, a proposição
caso anterior (o ou composta é Verdadeira)
simples, é que no
EXEMPLO 4:
caso de ou V ou V
a proposição será Ou o Zagallo é o técnico da
Falsa!! Nos outros Seleção Brasileira ou o
casos... nada muda! Rogério Ceni é jogador da
Seleção
Valor lógico: ou F ou F = F
(ou seja, a proposição
composta é Falsa)
10

11. CONECTIVO Se...então
“NOME DE
CONECTIVO SIGNIFICADO EXEMPLOS
GUERRA”
EXEMPLO 1:
Se o Mano Menezes é o técnico
da Seleção Brasileira então o
Alexandre Pato vai à Copa
Valor lógico: Se V então V = V
(ou seja, a proposição composta
é Verdadeira)
A primeira proposição
simples exprime uma EXEMPLO 2:
condição para a Se o Mano Menezes é o técnico
segunda.
da Seleção Brasileira então o
Rogério Ceni vai à Copa
Ou seja:
Valor lógico: Se V então F = F
Se V então V = V (ou seja, a proposição composta
Se V então F = F é Falsa)
Se F então V = V
Se...então Condicional
Se F então F = V EXEMPLO 3:
Se o Zagallo é o técnico da
OBS: Reparem que Seleção Brasileira então o
neste conectivo, o único Alexandre Pato vai à Copa
caso de proposição
composta Falsa ocorre
Valor lógico: Se F então V = V
no caso Se V então (ou seja, a proposição composta
F – quando a primeira é Verdadeira)
proposição é
Verdadeira e a EXEMPLO 4:
segunda é Falsa.
Se o Zagallo é o técnico da
Seleção Brasileira então o
Rogério Ceni vai à Copa
Valor lógico: Se F então F = V
(ou seja, a proposição composta
é Verdadeira)
11

12. CONECTIVO se e somente se
“NOME DE
CONECTIVO SIGNIFICADO EXEMPLOS
GUERRA”
A primeira proposição
simples exprime uma EXEMPLO 1:
condição para a O Alexandre Pato vai à Copa se e
segunda, e a somente se o Mano Menezes é o
segunda também técnico da Seleção Brasileira
exprime uma
condição para a
primeira. Valor lógico: V se e somente se V
=V
Ou seja: (ou seja, a proposição composta é
Verdadeira)
V se e somente EXEMPLO 2:
se V = V O Alexandre Pato vai à Copa se e
V se e somente somente se o Zagallo é o técnico da
se F = F Seleção Brasileira
F se e somente
se V = F Valor lógico: V se e somente se F
=F
se e F se e somente (ou seja, a proposição composta é Falsa)
somente Bicondicional se F = V
EXEMPLO 3:
se OBS: Reparem que O Rogério Ceni vai à Copa se e
este conectivo é o
somente se o Mano Menezes é o
contrário do ou... técnico da Seleção Brasileira
ou! Vejam só:
Valor lógico: F se e somente se V
ou... ou: =F
valor lógico igual: (ou seja, a proposição composta é Falsa)
Falso
valor lógico diferente: EXEMPLO 4:
Verdadeiro O Rogério Ceni vai à Copa se e
somente se o Zagallo é o técnico da
se e somente Seleção Brasileira
se:
valor lógico igual: Valor lógico: F se e somente se F
Verdadeiro =V
valor lógico diferente: (ou seja, a proposição composta é
Falso Verdadeira)
O “significado”, que vimos acima, é também denominado “tabela-verdade”.
12

13. 5.1 Apelidos dos conectivos
Pessoal, na minha experiência estudando para concurso aprendi algo que é de
suma importância, e que comento a seguir. É o ensinamento do mundo dos
concursos: a banca organizadora do concurso adora uma novidade! Isso
mesmo... ela adora um detalhe diferente, uma nova maneira de chamar algo
que todos conhecem por outra denominação. Enfim, podemos dizer que a
banca é um “hacker”, na arte de vasculhar coisinhas diferentes para colocar na
prova... E fazer quem não está “ligado” errar a questão.
Neste sentido, a banca adora maneiras diferentes de chamar os conectivos que
vimos acima. Não é nada complicado, só que é importante que a gente
conheça, ok? Digamos que sejam os “apelidos” dos conectivos! Não são todos
os conectivos que possuem apelidos... Apenas alguns. São eles:
APELIDOS DOS CONECTIVOS
CONECTIVO APELIDOS EXEMPLOS SIGNIFICADO
Se o Mano Menezes
é o técnico da
Se... (sem o “então”) Seleção Brasileira, o
Alexandre Pato vai à
Copa
O Alexandre Pato vai
...se (invertido e sem o à Copa, se o Mano
“então”) Menezes é o técnico
da Seleção Brasileira
Quando o Mano
Menezes é o técnico
da Seleção
Quando... Brasileira, o
Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Se...então Alexandre Pato vai à
Copa Brasileira então o
O Mano Menezes ser Alexandre Pato vai à Copa
o técnico da Seleção
...implica... Brasileira implica
o Alexandre Pato ir à
Copa
O Mano Menezes ser
o técnico da Seleção
Brasileira é
...condição condição
suficiente... suficiente para o
Alexandre Pato ir à
Copa
13

14. O Alexandre Pato ir à
Copa é condição
...condição necessária para
necessária... o Mano Menezes ser
o técnico da Seleção
Brasileira.
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
...somente se... (não Brasileira
tem o “se” antes”) somente se o
Alexandre Pato vai à
Copa
Toda vez que o
Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Toda vez que... Brasileira o
Alexandre Pato vai à
Copa
O Mano Menezes ser
o técnico da Seleção
O Alexandre Pato vai à
Brasileira é
se e ...condição Copa se e somente
condição
somente necessária e se o Mano Menezes é o
necessária e
se suficiente... técnico da Seleção
suficiente para o Brasileira
Alexandre Pato ir à
Copa
Vocês viram que eu coloquei três apelidos com fundo verde? É porque verde,
amarelo e azul são as cores da nossa Seleção campeã... E essas três
maneiras diferentes de chamar os conectivos também são campeãs de prova!!
Por isso daremos um enfoque maior a elas. Para “guardá-las” melhor na
memória, apresento-lhes uma regrinha campeã... O Macete do Sol e da
Nuvem!
Na frase “O Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira é condição
suficiente para o Alexandre Pato ir à Copa”, o significado é simples: é só
substituir pelo Se...então e temos o significado da nossa frase de maneira
usual (sem o apelido). Comparando com o tempo, temos uma frase em dia de
Sol, cuja transcrição para a maneira usual é muito simples.
Já na frase “O Alexandre Pato ir à Copa é condição necessária para o
Mano Menezes ser o técnico da Seleção Brasileira”, para transcrever a maneira
usual temos que inverter os temos, para depois substituir pelo Se...então.
Ou seja, o trabalhinho é maior – temos uma frase em dia de Nuvem!!!
14

15. Vamos esquematizar:
MACETE DO SOL E NUVEM
Basta substituir
Condição pelo
Suficiente Se...então!!
Dia de
Sol
Primeiro deve-se
inverter as proposições,
Condição para depois substituir
Necessária pelo Se...então!!
Dia de
Nuvem
No caso de ...condição necessária e suficiente..., a ordem dos
termos não importa. Então é só substituir pelo se e somente se! A frase
está sempre em dia de sol...
5.2 Símbolos dos conectivos
Sim... Não bastassem os apelidos, as bancas organizadoras adoram substituir
as proposições e os conectivos por símbolos! Eles são simples.
As proposições são normalmente representadas por letras minúsculas. As mais
usadas são p e q.
Por exemplo:
p: Se o Mano Menezes é o técnico da Seleção Brasileira
q: então o Alexandre Pato vai à Copa
15

16. Já os símbolos são:
SÍMBOLOS DOS CONECTIVOS
CONECTIVO SÍMBOLO EXEMPLOS SIGNIFICADO
peq
O Mano Menezes é o
e ^ p^q técnico da Seleção
Brasileira e o Alexandre
Pato vai à Copa
p ou q
O Mano Menezes é o
ou v pvq técnico da Seleção
Brasileira ou o Alexandre
Pato vai à Copa
Ou p ou q
ou... ou v pvq Ou o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira ou o Alexandre
Pato vai à Copa
Se p então q
Se...entã
o → p→q Se o Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira então o
Alexandre Pato vai à Copa
p se e somente se
q
se e
somente ↔ p↔q
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
se Brasileira se e
somente se o
Alexandre Pato vai à Copa
Sugiro que, ao resolver uma questão, vocês substituam as frases pelos
símbolos, para não ter que ficar escrevendo o tempo todo (além de ajudar a
memorizar os símbolos para a prova!).
16

17. 5.3 Negação de proposições
Quando falamos “O Zagallo não é o técnico da Seleção Brasileira”, estamos
simplesmente negando uma proposição, invertendo o seu significado (já
sabemos que quando uma proposição não é verdadeira, ela é
automaticamente falsa, certo?).
Cuidado para não confundir! O fato de se estar negando uma proposição não
significa torná-la falsa. Na sentença acima, por exemplo, sem o não a frase
estaria Falsa. O não torna a frase verdadeira.
A negação de proposições também possui um símbolo para designá-la. Trata-
se de colocar um til (~) na frente da proposição, ou uma cantoneira (¬).
Esquematizando na tabela abaixo:
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES SIMPLES
NEGAÇÃO SÍMBOLO EXEMPLOS SIGNIFICADO
não p
não ~ ou ¬ ~p
O Mano Menezes não é o
técnico da Seleção
Brasileira
A maioria das questões sobre negação de proposições trata da negação de
proposições compostas. Por exemplo: Qual a negação da proposição p ^ q?
Isso é o mesmo do que perguntar: Qual o valor de ~(p ^ q)? Fazendo uma
analogia, é como se “multiplicássemos uma equação por -1” (lembram das
equações do colégio)? Na negação de proposições compostas, estamos
multiplicando a proposição por -1, invertendo o seu sentido.
Vejamos na tabela abaixo:
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS
COMO FAZER
NEGAÇÃO EXEMPLO RESULTADO
(Passo-a-passo)
Negação de Negação de (O O Mano Menezes não é
conjunção Mano Menezes é o o técnico da Seleção
1º: Negar a primeira (p)
técnico da Seleção
2º: Negar a segunda (q) Brasileira ou o
= Brasileira e o Alexandre Pato não vai
3: Trocar o e por ou à Copa
Alexandre Pato vai à
~(p ^ q) Copa)
=
17

18. ~p v ~q
O Mano Menezes não é
o técnico da Seleção
Negação de Negação de (O Brasileira ou o
disjunção Mano Menezes é o Alexandre Pato não vai
1º: Negar a primeira (p)
técnico da Seleção à Copa
2º: Negar a segunda (q)
= Brasileira ou o
3: Trocar o ou por e
Alexandre Pato vai à
=
~(p v q) Copa)
~p ^ ~q
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Negação de Brasileira se e
disjunção Negação de (Ou o 1º: Substituir o v por ↔
exclusiva Mano Menezes é o somente se o
técnico da Seleção Alexandre Pato vai à
OBS: vocês se lembram
Copa
= Brasileira ou o que já vimos isso, quando
Alexandre Pato vai à falamos sobre o conectivo
~(p v q) Copa) Se e somente se? =
p↔q
O Mano Menezes é o
Negação de técnico da Seleção
Negação de (Se o
condicional Brasileira e o Alexandre
Mano Menezes é o 1º: Manter a primeira (p)
Pato não vai à Copa
técnico da Seleção 2º: Negar a segunda (q)
= Brasileira então o
Alexandre Pato vai à
3: Trocar o → por e =
~(p → q) Copa)
p ^ ~q
Ou o Mano Menezes é
Negação de (O o técnico da Seleção
Negação de
Mano Menezes é o 1º: Substituir o ↔ por v Brasileira ou o
bicondicional
técnico da Seleção Alexandre Pato vai à
Brasileira se e OBS: reparem que estamos Copa
= fazendo o inverso do que
somente se o fizemos acima (na negação
~(p ↔ q) Alexandre Pato vai à da disjunção exclusiva) =
Copa)
pvq
5.4 Proposições Equivalentes
18

19. Proposições equivalentes são maneiras diferentes de se dizer a mesma coisa.
Como assim?
Já sabemos o que significa p → q. Será que não existe outra maneira de
dizer esta proposição, exprimindo exatamente o mesmo significado? Sim!
Isso não ocorre com todas as proposições, apenas com algumas, as quais
esquematizei na tabela abaixo.
PROPOSIÇÕES EQUIVALENTES
PROPO PROPOSIÇÃO
EXEMPLO RESULTADO
SIÇÃO EQUIVALENTE
Se o Alexandre Pato
não vai à Copa então
Se o Mano ~q → ~p o Mano Menezes não é
Menezes é o técnico o técnico da Seleção
p→q da Seleção Brasileira Brasileira.
O Mano Menezes não é
então o Alexandre o técnico da Seleção
Pato vai à Copa
~p v q Brasileira ou o
Alexandre Pato vai à
Copa
Se o Mano Menezes é
o técnico da Seleção
O Mano Menezes é
o técnico da Seleção Brasileira então o
Alexandre Pato vai à
Brasileira se e
p↔q (p → q) ^ (q ← p) Copa e Se o Alexandre
somente se o Pato vai à Copa
Alexandre Pato vai à
Copa então o Mano
Menezes é o técnico da
Seleção Brasileira
O Mano Menezes é o
técnico da Seleção
Brasileira se e
p ↔ ~q
Ou o Mano somente se o
Alexandre Pato não vai
Menezes é o técnico
à Copa
pvq da Seleção Brasileira
O Mano Menezes não é
ou o Alexandre o técnico da Seleção
Pato vai à Copa
Brasileira se e
~p ↔ q
somente se o
Alexandre Pato vai à
Copa
19

20. Você não precisa se preocupar em memorizar isso agora. Com a resolução de
exercícios, tudo ficará muito mais simples de ser solucionado!
Vamos a alguns deles??
20

21. 6. Exercícios de fixação comentados
OBS: Na próxima aula iremos comentar diversos outros exercícios, inclusive
sobre os assuntos já abordados. Hoje iremos comentar duas questões, para
que vocês avaliarem a didática no comentário das questões.
Questão 1 – FCC/TCE-SP/2010
Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do
Estado de São Paulo − Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e
Esmeralda − foram convocados para uma reunião em que se discutiria
a implantação de um novo serviço de telefonia. Após a realização
dessa reunião, alguns funcionários do setor fizeram os seguintes
comentários:
– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também
participou”;
– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;
– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não
participou”;
– “Esmeralda não participou da reunião”.
Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários
eram verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, além de
Esmeralda, não participaram de tal reunião
(A) Amarilis e Benivaldo.
(B) Amarilis e Divino.
(C) Benivaldo e Corifeu.
(D) Benivaldo e Divino.
(E) Corifeu e Divino.
Uma clássica questão de Estruturas Lógicas, em que se pede uma conclusão
sobre várias proposições.
A grande chave para a resolução de questões como essa é perceber que uma
das frases é simplesmente uma afirmação verdadeira (como frisa o enunciado).
Leia novamente a questão... e perceba a frase: “Esmeralda não participou da
reunião”. Ou seja, a Esmeralda sem dúvida alguma, não participou da reunião!
Vamos resolver a questão passo a passo. Na hora da prova, bem como
durante a resolução de questões como essas em casa, sugiro que vocês
marquem, acima das frases do enunciado mesmo, os termos “V” (verdadeiro)
ou “F” (falso), da seguinte forma (lembrando que já sabemos que a última
proposição é verdadeira):
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22. – “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;
– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;
– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”;
V
– “Esmeralda não participou da reunião”.
Agora, vamos analisar as demais proposições. Repare que a primeira
proposição também fala em Esmeralda, dizendo que ela participou da reunião.
Isso é verdadeiro? Não!! Já sabemos que com certeza ela não participou!
Então, vamos acrescentar um F sobre o respectivo termo.
F
– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;
– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;
– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”;
V
– “Esmeralda não participou da reunião”.
Agora, vamos pensar... que tipo de conectivo está presente na primeira
afirmação? Sim, o “Se... então”. E qual é a “peculiaridade” desde conectivo?
Voltando à tabela já apresentada:
Se V então V = V
Se V então F = F
Se F então V = V
Se F então F = V
Podemos perceber que a única possibilidade de uma proposição deste tipo ser
falsa é quando o último termo é falso e o primeiro é verdadeiro. Opa!! Será que
isso não nos dá uma dica?
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23. Sim! Vejam que o enunciado diz que todas as proposições são verdadeiras. Ou
seja, elas não podem assumir a forma:
Se V então F = F
Como o último termo da primeira proposição é falso, o primeiro só pode ser
falso, para que a proposição composta resultante seja verdadeira! Dessa
forma:
F F
– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;
– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;
– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”;
V
– “Esmeralda não participou da reunião”.
Se é falso que o Divino participou da reunião, como extraímos da primeira
proposição, então é verdadeiro que ele não participou, certo? Já sabemos,
então, que é verdadeiro o primeiro termo da segunda proposição! Vamos
completar:
F F
– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;
V
– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;
– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”;
V
– “Esmeralda não participou da reunião”.
Agora chegamos a uma situação semelhante à anterior! Se a primeira parte da
proposição condicional é verdadeira, a segunda tem que ser verdadeira,
obrigatoriamente!!! Com isso, chegamos à conclusão de que Corifeu participou
da reunião, o que podemos completar também na terceira proposição.
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24. F F
– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;
V V
– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;
V
– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”; V
V
– “Esmeralda não participou da reunião”.
A terceira proposição também é condicional (com o “Se... então”). Mas
percebam que o primeiro termo desta proposição também apresenta uma
proposição composta, a disjunção (com o “ou”). Relembrando (abaixo),
percebemos que basta um dos termos da disjunção serem verdadeiros para a
disjunção ser verdadeira.
V ou V = V
V ou F = V
F ou V = V
F ou F = F
Assim, como já sabemos que se o primeiro termo da condicional é verdadeiro,
o segundo também deve ser, temos:
F F
– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;
V V
– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;
V
V
V
– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”;
V
– “Esmeralda não participou da reunião”.
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25. Com base nas frases acima, chegamos às seguintes conclusões:
• Amarílis não participou;
• Corifeu participou;
• Divino não participou;
• Esmeralda não participou.
Quanto à Benivaldo, não sabemos! Em termos lógicos, ele poderia ou não ter
participado, pois isso não afetaria a correção das frases do enunciado.
Mas já podemos responder à questão. Vamos para as alternativas:
“além de Esmeralda, não participaram de tal reunião
(A) Amarilis e Benivaldo (Amarílis não participou, Benivaldo não sabemos)
(B) Amarilis e Divino (Amarílis não participou, Divino não participou) –
VERDADEIRA
(C) Benivaldo e Corifeu (Benivaldo não sabemos, Corifeu participou) - FALSA
(D) Benivaldo e Divino (Benivaldo não sabemos, Divino não participou)
(E) Corifeu e Divino (Corifeu participou, Divino não participou).
Assim, a letra B é o gabarito, pois temos certeza de que nem Amarílis nem
Divino participaram da reunião.
Resposta: Letra B.
Questão 2 – ESAF/ATRFB/2009
A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale
logicamente a:
a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.
Questão de Equivalência de proposições, que sabemos como solucionar.
Vamos fazer as seguintes substituições:
p = João chegou (ou seja, teremos uma negação ~p)
q = Maria está atrasada
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26. Além disso, substituiremos o ou pelo seu símbolo (v). Temos, então:
“João não chegou ou Maria está atrasada” = ~p vq
Já vimos que a proposição ~p v q é equivalente à p → q, o que resulta na
seguinte afirmação:
“Se João chegou então Maria está atrasada”, cujo apelido é:
“Se João chegou, Maria está atrasada”.
Resposta: Letra D.
Pessoal, finalizamos por aqui nossa aula demonstrativa.
Até a próxima!
Karine
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27. 7. Memorex
ESTRUTURAS LÓGICAS
CONECTIVO SIGNIFICADO SÍMBOLOGIA NEGAÇÃO EQUIVALENTE
VeV=V
e VeF=F
FeV=F p^q ~p v ~q
conjunção FeF=F
V ou V = V
ou V ou F = V
F ou V = V pvq ~p ^ ~q
Disjunção F ou F = F
ou... ou ou V ou V = F p ↔ ~q
ou V ou F = V
ou F ou V = V pvq p↔q
Disjunção
Exclusiva ou F ou F = F ~p ↔ q
Se...então Se V então V = V ~p → ~q
Se V então F = F
Se F então V = V p→q p ^ ~q
Condicional Se F então F = V ~p v q
V se e somente se
V=V
se e V se e somente se
somente F=F
(p → q) ^
se F se e somente se p↔q pvq
V=F (q ← p)
F se e somente se
Bicondicional F=V
MACETE DO SOL E NUVEM
Condição Basta substituir
pelo
Suficiente Se...então!!
Dia de
Sol
Condição Primeiro deve-se inverter
as proposições, para
Necessária depois substituir pelo
Se...então!!
Dia de
Nuvem
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28. 8. Lista das questões abordadas em aula
Questão 1 – FCC/TCE-SP/2010
Certo dia, cinco Agentes de um mesmo setor do Tribunal de Contas do
Estado de São Paulo − Amarilis, Benivaldo, Corifeu, Divino e Esmeralda −
foram convocados para uma reunião em que se discutiria a implantação
de um novo serviço de telefonia. Após a realização dessa reunião, alguns
funcionários do setor fizeram os seguintes comentários:
– “Se Divino participou da reunião, então Esmeralda também participou”;
– “Se Divino não participou da reunião, então Corifeu participou”;
– “Se Benivaldo ou Corifeu participaram, então Amarílis não participou”;
– “Esmeralda não participou da reunião”.
Considerando que as afirmações contidas nos quatro comentários eram
verdadeiras, pode-se concluir com certeza que, além de Esmeralda, não
participaram de tal reunião
(A) Amarilis e Benivaldo.
(B) Amarilis e Divino.
(C) Benivaldo e Corifeu.
(D) Benivaldo e Divino.
(E) Corifeu e Divino.
Questão 2 – ESAF/ATRFB/2009
A afirmação: “João não chegou ou Maria está atrasada” equivale
logicamente a:
a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.
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29. 9. Gabarito
1-B
2–D
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