Este documento explica conceptos básicos sobre igualdades y desigualdades, incluyendo ecuaciones e inecuaciones. Define los signos de igualdad y desigualdad, y describe cómo resolver ecuaciones e inecuaciones aplicando propiedades como sumar, restar, multiplicar y dividir en ambos lados. Incluye ejemplos para ilustrar cada concepto y ejercicios de práctica al final.

1. Desigualdades
por: Dra. Luz M. Rivera
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por
ejemplo:
6 + 4 = 10
x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama
ecuación. Por ejemplo:
x + 6 = 10

2. Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de
desigualdad. Los signos de desigualdad son:
- no es igual
< - menor que
> - mayor que
- menor o igual que
- mayor o igual que
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x+3<7
(La punta del signo < siempre señala el menor)
Ej. 3 < 4, 4 > 3
¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar
propiedades de las desigualdades. Por ejemplo:
1<6
1+5<6+5
¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una
desigualdad y sigue cierta.
Otro ejemplo:
2<6
2 + -9 < 6 + -9
Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos
lados un número negativo.
Otro ejemplo con resta:
7>4
7-3>4-3
La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.

3. Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos
lados de la desigualdad:
2<8
2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto.
2+3<8+3
5 < 11
La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados
Multiplicación con números positivos:
3<7
3·6<7·6
La desigualdad es cierta al multiplicar un números positivos en ambos
lados.
Multiplicación con números negativos:
4>1
4 · -2 > 1 · -2
-8 > -2 falso
Nota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -
2. En el caso que se multiplique por un número negativos en ambos
lados de una desigualdad, el signo se invierte:
-8 < - 2
Ahora, la desigualdad es cierta.
División con positivos:
3<9
3 < 9 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3
33
1<3

4. La desigualdad es cierta.
División con negativos:
4 < 12
4 < 12 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2
-2 -2
-2 < -6 falso
La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo.
-2 > -6
Ahora la desigualdad es cierta.
En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una
desigualdad por un número negativo.
Ejemplos:
Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es
solución.
Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5
x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]
5 + 3<6 [ Simplificar]
8<6
¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.
Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 11
11 - 3 8
8 8
¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la
inecuación y podemos concluir que x=11 es una solución.
Ejemplos:

5. Resolver la inecuación.
Ejemplo 1:
x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuación
x < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.
Encontrar los valores de x.
x<3
Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7,
1, 0, etc. Todos los números menores que 3 son soluciones de esta
inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de esta
inecuación es un conjunto infinito.
Ejemplo 2:
x-9 8
x 9+8
x 17
x es mayor o igual a 17 es la solución.
Ejemplo 3:
3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3,
3x < 12 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuación
33
x<4
Entonces, x es menor que 4 es la solución.
Ejemplo 4:
-2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se
-2x -6 divide ambos lados de la inecuación por -2.
-2 -2
x 3
Como el número dividido era negativo, se invierte el signo.

6. Ejemplo 5:
3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes.
3x + -2x 1 + 4 Resolver.
x 5
Ejemplo 6:
4x + 9 6x - 9
4x + 9 6x + - 9
4x + -6x -9 + -9
-2x -18
-2 -2
x 9
Resolviendo Desigualdades
Ejemplo: Resolver x - 3 > 2.
x-3>2
x + - 3 >2
Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.
x + -3 + 3 > 2 + 3
x+0>5
x>5
Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los
signos > , < , , , . y las propiedades de la desigualdades.
Ejemplo:
2x - 4 3x + 1
2x + -4 3x + 1
2x + -3x 4 + 1
-x 5
x -5

7. Ejemplo:
Resolver -2x -34.
-2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo
-2 -2 de se invierte a .
x 17
Ejercicios de Práctica:
A. Verificar que el número dado hace cierta la ecuación.
1. x > 3 ; 5
2. x + 7 2 ; -8
3. 2x + 3 7x + 1 ; 2
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
5. 6x 18 ; 3
C. Resuelva.
1. x + 7 > 9
2. 2x + 3 x + 6
3. -6x + 7 x + 9
4. -6x -72
5. 1 x - 9 > 2 x + 6
33
6. -6x + 9 < -2x + 8
7. -2x + 8 12
Soluciones:
A.
1. x > 3 ; 5
5 > 3 Esto hace cierta la ecuación.
2. x + 7 2 ; -8
-8 + 7 2
-1 2 Esto no hace cierta la ecuación.

8. 3. 2x + 3 7x + 1; 2
2(2) + 3 7(2) + 1
4 + 3 14 + 1
7 15 Esto no hace cierta la ecuación.
4. 3x - 2 x + 7 ; 1
3(1) - 2 1 + 7
3-2 1+7
1 8 Esto hace cierta la ecuación.
5. 6x 18 ; 3
6(3) 18
18 18 Esto no hace cierta la ecuación.
B. Resuelva.
1. x + 7 > 9
x + 7 + -7 > 9 + - 7
x+0>2
x>2
2. 2x + 3 x + 6
2x + - x -3 + 6
x 3
3. -6x + 7 x + 9
-6x + -x -7 + 9
-7x 2
-7 -7
x -2
7
4. -6x -72
-6x -72
-6 -6
x 12
5. 1 x - 9 > 2 x + 6
33

9. 1 x + -9 > 2 x + 6
33
1x + - 2 > 9 + 6
33
-1 x > 15
3
(3) -1 x > 15(3)
3
-x > 45 (divide por -1 en ambos lados y se invierte el signo)
x < -45
6. - 6x + 9 < - 2x + 8
-6x + 2x < -9 + 8
-4x < -1
-4 -4
x>1
4
7. -2x + 8 12
-2x 12 + -8
-2x 4
-2 -2
x -2