La geometría analítica estudia líneas y figuras geométricas aplicando técnicas de álgebra y análisis en un sistema de coordenadas. Fue inventada por Descartes y Fermat en el siglo XVII y relaciona matemáticas, álgebra y geometría mediante correspondencias entre puntos y pares ordenados de números. Permite representar figuras mediante ecuaciones del tipo f(x,y)=0, lo que unificó análisis y geometría.

1. GEOMETRIA ANALITICA
LILIA MARIA OSSA
ACERO
10-02

2.  Se conoce como geometría analítica al estudio de ciertas
líneas y figuras geométricas aplicando técnicas básicas del
análisis matemático y del álgebra en un determinado
sistema de coordenadas.
 Descartes le dio impulso a la geometría analítica.
 Lo novedoso de la geometría analítica es que permite
representar figuras geométricas mediante fórmulas del tipo
f(x, y) = 0, donde f representa una función u otro tipo de
expresión matemática.
 La idea que llevó a la geometría analítica fue: a cada punto
en un plano le corresponde un par ordenado de números y a
cada par ordenado de números le corresponde un punto en
un plano.
 Fue inventada por René Descartes y por Pierre Fermat, a
principios del siglo XVII, y como vimos, relaciona la
matemática y el álgebra con la geometría por medio de las
correspondencias anteriores.

3.  Además, Descartes y Fermat observaron, y esto es crucial, que las
ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso
significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden
expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden
graficarse como líneas o figuras geométricas.
 En particular, las rectas pueden expresarse como ecuaciones
polinómicas de primer grado y las circunferencias y el resto de cónicas
como ecuaciones polinómicas de segundo grado. (Ver: Ecuación de la
circunferencia).
Por lo expresado anteriormente, podemos
aventurar una definición más sencilla para la
geometría analítica:
Rama de la geometría en que las líneas rectas,
las curvas y las figuras geométricas se
representan mediante expresiones algebraicas y
numéricas usando un conjunto de ejes y
coordenadas.

4.  Por ejemplo, en la figura 1, el punto A está a 1 unidad hacia la
derecha en el eje horizontal (x) y a 4 unidades hacia arriba en el
eje vertical (y). Las coordenadas del punto A son, por tanto, 1 y
4, y el punto queda fijado con las expresiones x = 1, y = 4.
 Los valores positivos de x están situados a la derecha del eje y, y
los negativos a la izquierda; los valores positivos de y están por
encima del eje x y los negativos por debajo. Así, el punto B de la
figura 1 tiene por coordenadas x = 5, y = 0.
 En general, una línea recta se puede representar siempre
utilizando una ecuación lineal con dos variables, x e y, de la
forma ax + by + c = 0. (Ver: Ecuación de la recta).
 De la misma manera, se pueden encontrar fórmulas para la
circunferencia, la elipse y otras cónicas y curvas regulares.

6. Ahora tenemos claro que la geometría analítica se desenvuelve en el
llamado Plano cartesiano, y si recordamos, como ya dijimos, que
Descartes y Fermat observaron la correspondencia entre las
ecuaciones algebraicas y las figuras geométricas, podemos colegir que
los dos objetivos (o problemas) fundamentales de la geometría
analítica son:
A cada punto le corresponde un par ordenado, y a cada par ordenado le
corresponde un punto.
1.- Dada la descripción geométrica de un conjunto de puntos o lugar
geométrico (una línea o una figura geométrica) en un sistema de
coordenadas, obtener la ecuación algebraica que cumplen dichos
puntos.
Para este objetivo, siguiendo con el ejemplo anterior, todos los puntos que
pertenecen a la línea recta que pasa por A y B cumplen la ecuación
lineal x + y = 5; lo que expresado de modo general es ax + by = c.
2.- El segundo objetivo (o tipo de problema) es: dada una expresión
algebraica, describir en términos geométricos el lugar geométrico de
los puntos que cumplen dicha expresión.

7.  Invirtiendo el ejemplo anterior, dada la ecuación algebraica x + y
= 5, podemos calcular todos los valores para x e y que la
cumplan y anotados esos valores en el Plano cartesiano
veremos que corresponden a la recta AB.
 Usando ecuaciones como éstas, es posible resolver
algebraicamente esos problemas geométricos de construcción,
como la bisección de un ángulo o de una recta dados, encontrar
la perpendicular a una recta que pasa por cierto punto, o dibujar
una circunferencia que pasa por tres puntos dados que no estén
en línea recta.
 La geometría analítica ha tenido gran importancia en el
desarrollo de las matemáticas pues ha unificado los conceptos
de análisis (relaciones numéricas) y geometría (relaciones
espaciales).
Ver: Plano Cartesiano

8. CONTRUCCIONES FUNDAMENTALES
En un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano
queda determinado por dos números, llamados abscisa y
ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto
del plano corresponden siempre dos números reales ordenados
(abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de
números corresponde un único punto del plano.
Consecuentemente el sistema cartesiano establece una
correspondencia biunívoca entre un concepto geométrico como
es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como
son los pares ordenados de números. Esta correspondencia
constituye el fundamento de la geometría analítica.
Con la geometría analítica se puede determinar figuras
geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuaciones
con dos incógnitas. Éste es un método alternativo de
resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona un
nuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

9. LOCALIZACION DE UN PUNTO EN UN PLANO
CARTESIANO
 Como distancia a los ejes
En un plano traza dos rectas orientadas perpendiculares entre sí (ejes) —que por convenio
se trazan de manera que una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, y cada punto
del plano queda unívocamente determinado por las distancias de dicho punto a cada
uno de los ejes, siempre y cuando se dé también un criterio para determinar sobre qué
semiplano determinado por cada una de las rectas hay que tomar esa distancia,
criterio que viene dado por un signo. Ese par de números, las coordenadas, quedará
representado por un par ordenado , siendo la distancia a uno de los ejes (por
convenio será la distancia al eje horizontal) e la distancia al otro eje (al vertical).
En la coordenada , el signo positivo (que suele omitirse) significa que la distancia se toma
hacia la derecha sobre el eje horizontal (eje de las abscisas), y el signo negativo
(nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada
, el signo positivo (también se omite) indica que la distancia se toma hacia arriba
sobre el eje vertical (eje de ordenadas), tomándose hacia abajo si el signo es negativo
(en ningún caso se omiten los signos negativos).
A la coordenada se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la se la
denomina ordenada del punto.
Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a , así que serán de la
forma , mientras que los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a , por lo que
serán de la forma .
El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia a cada uno de los ejes,
luego su abscisa será y su ordenada también será . A este punto —el — se le
denomina origen de coordenadas.

10.  Como proyección sobre los ejes
Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, x e y, con
un origen común, el punto O de intersección de ambas rectas.
Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede
de la siguiente forma:
Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la
intersección con los mismos dos puntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x)
y el punto P´´ ( el punto ubicado sobre el eje y).
Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.
A los Puntos P' y P´´ le corresponden por número la distancia desde ellos al
origen, teniendo en cuenta que si el punto P'se encuentra a la izquierda de O,
dicho número será negativo, y si el punto P´´ se encuentra hacia abajo del
punto O, dicho número será negativo. Los números relacionados con P' y P´´,
en ese orden son los valores de las coordenadas del punto P.
Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P´´
se encuentra hacia arriba de O, una distancia igual a 3 unidades. Por lo que
las coordenadas de P son (2 ; 3)