Conjuntos

MATEMÁTICA
PRÉ-VESTIBULAR
LIVRO DO PROFESSOR
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detentor dos direitos autorais.

I229 IESDE Brasil S.A. / Pré-vestibular / IESDE Brasil S.A. —
Curitiba : IESDE Brasil S.A., 2009. [Livro do Professor]
660 p.

ISBN: 978-85-387-0571-0

1. Pré-vestibular. 2. Educação. 3. Estudo e Ensino. I. Título.

CDD 370.71

Disciplinas Autores
Língua Portuguesa Francis Madeira da S. Sales
Márcio F. Santiago Calixto
Rita de Fátima Bezerra
Literatura Fábio D’Ávila
Danton Pedro dos Santos
Matemática Feres Fares
Haroldo Costa Silva Filho
Jayme Andrade Neto
Renato Caldas Madeira
Rodrigo Piracicaba Costa
Física Cleber Ribeiro
Marco Antonio Noronha
Vitor M. Saquette
Química Edson Costa P. da Cruz
Fernanda Barbosa
Biologia Fernando Pimentel
Hélio Apostolo
Rogério Fernandes
História Jefferson dos Santos da Silva
Marcelo Piccinini
Rafael F. de Menezes
Rogério de Sousa Gonçalves
Vanessa Silva
Geografia Duarte A. R. Vieira
Enilson F. Venâncio
Felipe Silveira de Souza
Fernando Mousquer

Projeto e
Produção
Desenvolvimento Pedagógico


Lógica,
Conjuntos
Numéricos
e Relações
Negação
A negação de uma proposição p é indicada por
p (ou ~p) e tem sempre valor oposto ao de p.
Tabela –verdade:
O estudo da Lógica tem aplicação nas mais di-
versas áreas do conhecimento humano, pois trata das p p
“Leis do Pensamento”, título da primeira grande obra V F
sobre lógica de autoria de George Boole, em 1854.
F V
No campo da Matemática, esse estudo está
associado ao entendimento do significado de propo- `` Exemplo:
sições associadas por símbolos lógicos. A negação de 9 = 5 (F) é 9 ≠ 5 (V).
A “Teoria dos Conjuntos” é regida por regras
similares às da Lógica e tem aplicações em diversas É importante tomar cuidado ao negar uma proposição.
áreas, como análise combinatória e estatística. Atente para os casos a seguir:
p: todos os alunos usam óculos.
Noções de Lógica p: existe pelo menos um aluno que não usa óculos.
q: algum aluno usa óculos.

Proposição ou sentença q: nenhum aluno usa óculos.
r: 9 > 5
Toda oração declarativa pode ser classificada
r: 9 ≤ 5
em verdadeira ou falsa. Toda proposição apresenta
um, e somente um, dos valores lógicos: verdadeira
(V) ou falsa (F).
Conectivos
`` Exemplos:
A conjunção (e) p q (ou pq) é verdadeira se p e
São proposições verdadeiras 9 ≠ 5 e 2 ∈ Z.
q forem ambas verdadeiras. Se ao menos uma delas
São proposições falsas −1 ∈ N e 2 > 5. for falsa, então p q é falsa.
A disjunção (ou) p q (ou p+q) é verdadeira se
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ao menos uma das proposições p ou q for verdadeira.
Se p e q são ambas falsas, então p q é falsa.

1

Tabela–verdade: Tautologias (proposição
p q p∧q p∨q logicamente verdadeira)
V V V V
V F F V É a proposição que possui valor V (verdadeira)
independente dos valores lógicos das proposições
F V F V
das quais depende.
F F F F
`` Exemplo:
`` Exemplos: p q
1) (9 > 5) ∧ (0 ≥ 1) é falsa, pois V) ∧ F é falso.
2) (9 > 5) ∨ (0 ≥ 1) é verdadeira, pois V ∨ F é verdadeiro. Proposições logicamente falsas
É a proposição que possui valor F (falsa) inde-
Condicionais pendente dos valores lógicos das proposições das
quais depende.
O condicional p q é falso somente quando `` Exemplo:
p for verdadeiro e q falso; caso contrário, p qé
verdadeiro. p∧
O bicondicional p q é verdadeiro somente
quando p e q forem ambos verdadeiros ou ambos
falsos; se isso não acontecer p q será falso. Relação de implicação
Tabela –verdade: Diz-se que p implica q (p q) quando na tabela
p q p q p q de p e q não ocorre VF em nenhuma linha, isto é,
quando o condicional p q for verdadeiro. Nesse
V V V V caso, pode-se dizer que “p é condição suficiente para
V F F F q” ou que “q é condição necessária para p”.
F V V F Todo teorema é uma implicação da forma
F F V V hipotése tese. Assim, demonstrar um teorema
significa mostrar que não ocorre o caso da hipótese
ser verdadeira e a tese falsa.
`` Exemplos:
`` Exemplo:
1) p: 5 > 2 e q: 7 ≥ 3, temos p ⇒q é verdadeira, pois
x=2 x2 = 4.
V⇒ V é verdadeira.
Note que a volta (o contrário) não é necessariamente
2) p: 5 > 2 e q: 7 < 3, temos p⇒ q é falsa, pois V⇒
verdadeira.
F é falsa.
3) p: 5 < 2 e q: 7 ≥ 3, temos p⇒ q é verdadeira, pois
F⇒ V é verdadeira. Relação de equivalência
4) p: 5 < 2 e q: 7 < 3, temos p ⇒q é verdadeira, pois
Diz-se que p é equivalente a q (p q) quando
F⇒ F é verdadeira.
p e q têm tabelas-verdades iguais, isto é, quando p
5) p: 5 > 2 e q: 7 ≥ 3, temos p q é verdadeira, pois e q têm sempre o mesmo valor lógico, ou seja, p q
V V é verdadeira. é verdadeiro. Nesse caso, diz-se que “p é condição
necessária e suficiente para q”.
6) p: 5 > 2 e q: 7 < 3, temos p q é falsa, pois V F
é falsa. `` Exemplo:
7) p: 5 < 2 e q: 7 ≥ 3, temos p q é falsa, pois F V 3x + 1 = 4 3x = 4 − 1
é falsa.
Na resolução de equações e inequações deve-se
8) p: 5 < 2 e q: 7 < 3, temos p q é verdadeira, pois atentar para o significado das relações de implicação
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F F é verdadeira. e equivalência. Passagens relacionadas por equiva-
lência mantêm exatamente o mesmo conjunto-verda-
de, pois ambas são verdadeiras ou falsas, simultane-
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de, pois ambas são verdadeiras ou falsas, simultane- 3) A negação de “Se Juca é bom, então é honesto” é
amente. Já passagens relacionadas por implicação se “Juca é bom, e não é honesto”.
não garantem o mesmo conjunto-verdade. Nesse
caso, o novo conjunto-verdade contém o anterior,
devendo-se ter cuidado com a introdução de raízes Demonstração indireta ou
que não são válidas. Isso ocorre com frequência na
resolução de equações irracionais.
redução ao absurdo
`` Exemplo: Consiste em admitir a negação da conclusão q
e depois deduzir logicamente uma contradição qual-
quer c (uma proposição logicamente falsa como, por
exemplo, p ∧ ). Isso pode ser verificado observando
que (~q c) (~~q c) (q c).
`` Exemplo:
x y
Sendo x, y ∈ R+*, prove que
y + x ≥ 2.

Testando as raízes obtidas verifica-se que x = 0 `` Solução:
não é uma raiz válida. Essa raiz apareceu exatamente Supondo por absurdo a negação da proposição inicial
quando elevou-se ao quadrado ambos os membros x y
da equação, pois, nesse caso, não valia a relação de , teremos:
y + x <2
equivalência, somente a implicação. Como se pode x y
+ <2 x2 + y2 < 2 x2 + y2 2xy
notar, o novo conjunto-solução S = {0, 3} continha o y x xy
conjunto solução da equação inicial S = {3}.
(“pois xy > 0”) (x - y)2 0 Contradição
Quantificadores x +y
2
<2
2
x2 + y2 2xy
xy
Quantificador universal: indica “qualquer SOMENTE se xy for positivo.
que seja”, “ para todo”.
Logo, a proposição inicial é válida.
`` Exemplo:
( x R) (x2 ≥ 0)
Contraexemplo
Quantificador existencial: indica “existe”,
“existe pelo menos um”, “existe um”. ∃indica “exis- Para mostrar que uma proposição da forma ( x
te um único”, “existe um e um só”. A) (p(x)) é falsa (F) basta mostrar que a sua negação
( x A) (~p(x)) é verdadeira (V), isto é, que existe
`` Exemplo:
pelo menos um elemento xo A, tal que p(xo) é uma
( x N ) (x + 1 2) e ( | x N) (x + 1 2). proposição falsa (F). O elemento xo diz-se um contra-
exemplo para a proposição ( x A) (p(x)).
Negação de proposições `` Exemplo:
 
_______ __ __ Prove que a proposição (∀x ∈ N) (2n > n2) é falsa.
 p ∧ q ↔ p ∨ q
  `` Solução:
 
_______ __ __
Basta verificar que para n = 2 tem-se (22 > 22) é falsa.
 p ∨ q ↔ p ∧ q
  Logo, 2 é um contraexemplo para a proposição apresen-
 _______  __ tada que, em consequência, é falsa.
 p → q ↔ p ∧ q
 
`` Exemplo:
Princípio da indução finita (PIF)
1) A negação de “Juca é bom e honesto” é “Juca não
é bom ou não é honesto”. Axiomas de Peano
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2) A negação de “Juca é bom ou honesto” é “Juca não O conjunto N dos números naturais é caracteri-
é bom e não é honesto”. zado pelos seguintes fatos:

3

1) Existe uma função injetiva s: N N. A Como a propriedade é válida também para n = k + 1,
imagem s(n) de cada número natural n N ela é válida para todo natural C.Q.D.
chama-se o sucessor de n.
2) Existe um único número natural 1 N, tal que
1 s(n) para todo n N. Teoria dos Conjuntos
3) Se um conjunto X N é tal que 1 X e s(X)
X (isto é, n X s(n) X então X = N.
Noções primitivas
Interpretação São noções primitivas, ou seja, sem definição:
conjunto, elemento e pertinência entre elemento
1) Todo número natural tem um sucessor, que e conjunto.
ainda é um número natural; números diferen-
tes têm sucessores diferentes.
2) Existe um único número natural 1 que não é
Notação
sucessor de nenhum outro.
•• Conjunto geralmente letras maiúsculas.
3) Se um conjunto de números naturais contém
•• Elemento geralmente letras minúsculas.
o número 1 e contém também o sucessor de
cada um dos seus elementos, então esse •• Pertinência x A: elemento x pertence ao
conjunto contém todos os números naturais conjunto A,
(Princípio da Indução). x A : elemento x não pertence ao conjunto A.
`` Exemplo:
Método da indução finita
Seja o conjunto A = {1, 2, 3}, então 1∈A, 2∈A e 4∉A.
(recorrência)
Se uma propriedade P é válida para o número 1
e se, supondo P válida para o número n, isso resulta
Descrição de um conjunto
que P é válida também para seu sucessor s(n), então 1.°) Citação dos elementos: A = {a, e, i, o, u}.
P é válida para todos os números naturais.
2.°) Propriedade: A = {x | x é vogal}.
Aplicação do PIF
Conjunto vazio
•• Demonstrar que a afirmação é verdadeira
para um caso particular, por exemplo, n = 1 É aquele que não possui elementos. Notação: .
(ou o primeiro termo do conjunto).
`` Exemplo:
•• Supor que a afirmação é válida para n = k.
A= {x | x é ímpar e múltiplo de 2} = .
•• Demonstrar, a partir disso, que a afirmação
é válida para n = k + 1. Conjunto unitário
`` Exemplo:
É aquele que possui somente um elemento.
Demonstrar que 1 + 2 + ... + n = n . (n + 1) : 2
`` Exemplo:
`` Solução: A= {1}; B = {x  x é um número primo par e positivo};
Para n = 1, é válido 1 = 1.(1 + 1) : 2 C ={{2,3}} e D={∅}
Supondo que a propriedade é válida para n = k, então
1 + 2 + ... + k = k.(k + 1) : 2 Conjunto universo
Para n = k + 1, temos:
Quando os conjuntos em análise são todos
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1 + 2 + ... + k + (k + 1) = k.(k+1) : 2 + (k+1) = (k+1). subconjuntos de um mesmo conjunto, este recebe o
(k/ 2 + 1) = (k + 1).(k + 2) : 2 nome de conjunto universo. Notação: U.


Conjuntos iguais Reunião de conjuntos
A=B ( x) (x A x B) Dados dois conjuntos A e B, a sua reunião é o
conjunto formado por todos os elementos que per-
`` Exemplo:
tençam a A ou a B.
{a,b,c}={b,c,a} ; {a,b,c} ≠ {a,b,c,d}; {a, b, c, a, c} = {a, A B = {x | x A ou x B}
b, c}
`` Exemplo:
{a, b} {c, d, e} = {a, b, c, d, e}; {m, n} = {m, n}.
Subconjuntos
A união de dois conjuntos A e B também pode
Um conjunto A é subconjunto de um conjunto ser representada por diagramas chamados Diagra-
B se, e somente se, todo elemento de A é também mas de Venn, onde os conjuntos são em forma de
elemento de B. linhas fechadas.
Notação: A B. A B
A B = ( x) (x A x B)
`` Exemplo:
{a,b}⊂ {a,b,c,d} ; {a,b} {b,c,d}
Propriedades: sejam A, B e C conjuntos quais-
Propriedades da inclusão quer, vale:
1) A A = A idempotente
Para quaisquer conjuntos A, B e C, tem-se: 2) A = A elemento neutro
1) A
3) A B=B A comutativa
2) A A reflexiva
4) (A B) C=A (B C) associativa
3) (A BeB A) A=B antissimétrica
O número de elementos da união de 2 e 3 con-
4) (A BeB C) A C transitiva juntos pode ser obtido pelas relações a seguir:
A é subconjunto próprio de B quando A B n(A B) = n(A) +n(B) − n(A B)
e A ≠ B. n(A B C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A B) −
n(A C)− n(B C) + n(A B C)
`` Exemplo:
{1, 2} é subconjunto próprio de {1, 2, 3}.
Interseção de conjuntos
O conjunto vazio não tem subconjunto próprio. Qual-
quer conjunto não-vazio tem vazio como subconjunto Dados dois conjuntos A e B, a sua interseção é
próprio. formada pelos elementos que pertencem a A e B, ou
seja, pelos elementos comuns aos dois conjuntos.
A B = {x | x A e x B }
Conjunto das partes (ou
`` Exemplo:
conjunto potência)
{1, 2} {2, 3, 4} = { 2}; {a, b, c, d} {c, d, e} = {c, d};
É aquele formado por todos os subconjuntos de {m, n} {p, q} = .
um certo conjunto.
A interseção de A e B é representada em dia-
Notação: o conjunto das partes de A é repre- gramas de Venn pela figura a seguir.
sentado por ℘ (A). A B
`` Exemplo:
A={a,b} ⇒ ℘(A) = {∅,{a},{b},{a,b}}
A quatidade de elementos do conjunto das partes de um
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conjunto A pode ser calculada pela expressão a seguir.
Número de elementos de ℘(A) = 2n(A), onde n(A) é o Propriedades: sejam A, B e C conjuntos quais-
número de elementos do conjunto A. quer, vale:
5

1) A = C(A), A e A’ são notações que representam o
complementar de A com relação ao universo.
2) A A = A idempotente
3) A B=B A comutativa
4) (A B) C = A (B C) associativa
Conjuntos numéricos
O famoso matemático Kronecker supostamente
disse: “Deus criou os números naturais; todo o resto
Propriedade distributiva da é obra do homem.” Isso mostra bem que os números
união e da interseção naturais, conhecidos há mais tempo, surgiram do co-
tidiano do ser humano pela necessidade de contar.
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Outros conjuntos numéricos foram sendo utili-
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) zados para suprir determinadas necessidades. Os
racionais (frações), por exemplo, estavam ligados a
problemas de razões geométricas. Os irracionais, à
Conjuntos disjuntos polêmica diagonal do quadrado. Os números nega-
tivos foram inicialmente interpretados como dívidas
São aqueles que possuem interseção vazia, ou
e sua existência foi, por muito tempo, contestada,
seja, não possuem elementos comuns.
sendo, inclusive, chamados de números absurdos.
A e B são disjuntos A B= Os números complexos, necessários à solução de
equações, só conseguiram legitimidade após seu
Diferença de conjuntos desenvolvimento formal.
Como se pode notar, a evolução dos conjuntos
A diferença entre dois conjuntos A e B é o con- numéricos está intimamente ligada ao próprio de-
junto formado pelos elementos que pertencem a A senvolvimento da humanidade.
e não pertencem a B. Os conjuntos numéricos são apresentados,
A – B = {x | x A e x B } a seguir, do mais simples para o mais complexo.
A diferença entre A e B é representada em dia- Deve-se observar que os conjuntos são ampliações
gramas de Venn pela figura abaixo. dos anteriores para possibilitar a realização de de-
terminadas operações.
A B
Para uma melhor compreensão é importante
entender o siginificado da propriedade do fecha-
mento: um conjunto é fechado em relação a uma
determinada operação se quaisquer que sejam os
elementos do conjunto a serem operados, o resultado
`` Exemplo: pertencer ao conjunto. Por exemplo, a soma de dois
{1, 2, 3} – {1, 3} = {2}; {a, b, c} – {c, d, e} = {a, b}; {a, números naturais é sempre um número natural, logo,
b} – {a, b, c, d} = ∅ os naturais são fechados em relação à adição; já a
subtração de dois números naturais nem sempre
é natural, assim os naturais não são fechados em
Complementar de B em A relação à subtração.

Dados dois conjuntos A e B, tais que B A, Conjunto dos números naturais
chama- se complementar de B em relação à A o
conjunto A – B. São os números usados para contar.
B A CA = A – B
B N = {0, 1, 2, 3,....}
`` Exemplo: Fechamento: adição e multiplicação.
1) A = {a, b, c, d, e} e B = {c, d, e} O conjunto dos naturais positivos N - {0} é
denotado por N*
C B ={a,b};
A N* = {1, 2, 3, ...}
2) A = {a, b, c, d} e B = {a, b, c, d}⇒ Propriedades da adição e multiplicação:
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CB=
A
Associatividade: (m +n) +p = m + (n +p)
m . (n . p) = (m . n) . p

Distributividade: m . (n +p) = m . n + m . p Divisão de inteiros
Comutatividade: m +n = n +m
m⋅n=n⋅m Teorema: Se D , d ∈ Z e d > 0, existem inteiros
q e r, univocamente determinados, tais que D = d ⋅ q
Lei do corte: m + n = m +p ⇒ n = p
+ r, onde 0 ≤ r < d.
m ⋅ n = m ⋅ p ⇒ n = p (com m ≠ 0)
`` Exemplo:
Tricotomia: dados dois naturais m e n quais-
quer, tem-se que ou a < b ou a = b ou a > b. 37 = 8 ⋅ 4 + 5
Princípio da boa-ordenação: todo subconjunto Na expressão acima D é chamado dividendo; d,
não-vazio dos números naturais possui um menor divisor; q quociente e r, resto. Quando o resto r = 0
elemento. diz-se que a divisão é exata. Outra expressão útil é
a seguinte: d . q ≤ D < d . (q + 1).
Conjunto dos números inteiros
Valor absoluto ou
Surgiram a fim de garantir o fechamento em módulo de um inteiro
relação à subtração.
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
 a se a ≥ 0
Fechamento: adição, subtração e multiplicação. a =
 -a se < 0
Suconjuntos notáveis:
Conjunto dos inteiros não-nulos
`` Exemplo:
Z* = {..., 3, -2, -1, 1, 2, 3,...}
|1| = 1, |-1| = 1 e |0| = 0.
Conjunto dos inteiros não-negativos
Z+ = {0, 1, 2, 3,...} Propriedades:
Conjunto dos inteiros não-positivos 1) |x| ≥ 0
Z− = {..., -3, -2, -1, 0}
2) |x| |y| = |xy|
Conjunto dos inteiros positivos
3) |x|2 = x2
Z+* = {1, 2, 3,...}
Conjunto dos inteiros negativos 4) |x +y| ≤ |x| +|y|
Z−* = {..., -3, -2, -1} 5) |x -y| ≥ |x| -|y|
O conjunto dos números inteiros possui todas as
propriedades dos números naturais e adicionalmente
é fechado em relação à subtração.
Conjunto dos
Pode-se definir o simétrico ou oposto para a números racionais
adição da seguinte forma: ∀ a ∈ Z, ∃ -a ∈ Z tal que
a + (–a) = 0. É o conjunto dos números que podem ser escri-
tos sob forma de fração.
Com isso é possível definir a subtração em Z
como: a – b = a + (–b) a 
Q= a ∈ Z, b ∈ Z* e mdc (a,b)=1
Na subtração acima, a chama-se minuendo, b b 
subtraendo e o resultado da operação resto.
`` Exemplo:
O minuendo é igual à soma do subtraendo com
o resto. 2
1) 2
O produto ou divisão de dois inteiros de mesmo 1) 5
sinal é positivo. Para dois inteiros de sinais contrários, 5
-7
2) -7
o resultado é negativo. 2) 3
3 6 3
`` Exemplo: 3)0,6 = 6 = 3
3)0,6 = 10 = 5
(–2) ⋅ (–3) = 2 ⋅ 3 = 6 e (–2) ⋅ 3 = 2 ⋅ (–3) = –6 710 5
4)7 = 7
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4)7 = 1
1 6 2
5)0 ,666... = 6 = 2
5)0 ,666... = 9 = 3
9 3
7

Fechamento: adição, subtração, multiplicação `` Exemplo:
e divisão (denominador não-nulo).
1,25434343...
Nesse conjunto encontram-se as frações, deci-
mais exatos e as dízimas periódicas. parte inteira: 1
parte não-periódica: 25
período: 43

Geratriz de uma dízima periódica é fração
ordinária que dá origem à dízima periódica.
Considerando a decomposição em fatores
A geratriz de uma dízima periódica é uma fra-
primos do denominador de uma fração irredutível,
ção com:
tem-se:
Numerador – parte inteira seguida de parte
•• apenas fatores 2 e 5 a fração converte-se em
não-periódica e do período, menos a parte inteira
um decimal exato;
seguida da parte não-periódica.
•• apenas fatores diferentes de 2 e 5 a fração Denominador – número formado de tantos 9
converte-se em uma dízima periódica sim- quantos forem os algarismos do período , seguidos
ples; de tantos 0 quantos forem os algarismos da parte
•• fatores 2 ou 5 com outros diferentes deles a não-periódica.
fração converte-se em uma dízima periódica `` Exemplo:
composta.
3 1
Veja os exemplos abaixo: 0 ,333... = =
9 3
24 8
0 , 242424... = =
99 33
13 -1 12 2
0 ,133... = = =
90 90 15
213 - 21 192 32
2 ,133... = = =
90 90 15
12345 -123 1222 679
1, 23454545... = = =
9900 9900 550

Os números inteiros são também números
racionais, pois podem ser considerados frações de Conjunto dos números reais
denominador 1.
O conjunto dos números reais R é a união do
No conjunto dos racionais são adotadas as se- conjunto dos números racionais com o conjunto dos
guintes definições: números irracionais (dízimas não-periódicas).

Os números irracionais são representados por
I ou Q, são números que não podem ser escritos
sob forma de fração e constituem dízimas não-
periódicas.
`` Exemplo:

2 , 3 , π , e etc.

Dízima periódica Não é fechado para a adição, multiplicação e
divisão.
Nomenclatura: parte inteira, parte não-perió-
EM_V_MAT_003

dica e período.


Representação em diagramas [a, b[ = {x∈Ra ≤ x < b} → intervalo fechado
em a e aberto em b.
Como pôde ser observado pelas definições dos ]a, b] = {x∈Ra < x ≤ b} → intervalo aberto
conjuntos, vale a seguinte relação: em a e fechado em b.
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R e Q I=R ]a, b[ = {x∈Ra < x < b} → intervalo aberto
Isso pode ser representado pelo seguinte dia- em a e b.
grama. [a,+∞[ = {x∈Rx ≥ a}
]a,+∞[ = {x∈Rx > a}
]−∞, a] = {x∈Rx ≤ a}
]−∞, a[ = {x∈Rx < a}
Os intervalos reais podem ser representados
sobre a reta real como segue:
a b
] a, b [
a b
[ a, b ]

Reta real a b
[ a, b [
Entre o conjunto dos pontos de uma reta orien- a b
] a, b ]
tada e o conjunto dos números reais existe uma cor-
a
respondência biunívoca, ou seja, o conjunto R pode ] -∞ , a ]
ser representado por uma reta orientada que recebe a
o nome de reta real. ] a, +∞ [

É comum usar também parêntese no lugar do
colchete para fora para representar uma extremida-
- 1 0 1 de aberta de intervalo. Assim, ]2,3[ = (2,3). Deve-se
tomar cuidado, porém, para que essa notação não
O módulo de um número definido anteriormente cause confusão com a notação para par ordenado.
pode ser entendido como a distância entre o ponto As extremidades infinitas de intervalos são
correspondente ao número na reta real e a origem sempre representadas abertas como, por exemplo
da mesma. [2,+3[.
Os conjuntos numéricos podem ser representa- Na representação gráfica de intervalos sobre a
dos pelos seguintes símbolos: reta real, extremidades fechadas são sempre repre-
= Conjunto dos números naturais. sentadas por bolas cheias e extremidades abertas
por bolas não-preenchidas. Assim, o intervalo [2,3[
= Conjunto dos números inteiros.
pode ser representado como segue:
= Conjunto dos números reais.
2 3
 = Conjunto dos números complexos.
Em nossos estudos adotaremos os seguintes
símbolos: As operações entre intervalos são as mesmas
vistas no estudo dos conjuntos e podem ser mais
N = Conjunto dos números naturais. facilmente efetuadas com o auxílio de representa-
Z = Conjunto dos números inteiros. ções gráficas.
R = Conjunto dos números reais. `` Exemplo:
C = Conjunto dos números complexos.
Sejam os intervalos I = [2, 7] e J = ]5, 9[, determine
I∩J.
Intervalos Resolvendo:
Dados dois números reais a < b, define-se:
EM_V_MAT_003

[a,b] = {x∈Ra ≤ x ≤ b} → intervalo fechado
em a e b.

9

I
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 `` Exemplo:

5 9 A = {0, 2} e B = {1, 3, 5}
J
5 7 A B = {(0, 1); (0, 3); (0, 5); (2, 1); (2, 3); (2, 5)}
I∩J
B A = {(1, 0); (1, 2); (3, 0); (3, 2); (5, 0); (5, 2)}
I ∩ J = ] 5, 7 ]
n (A B) = n (B . A) = 2 ⋅ 3 = 6
O produto cartesiano A . A é denotado por A2.
A diagonal de A2 é ΔA={(x,y) ∈ A2  x = y}.
Par ordenado É possível representar o produto cartesiano
É um conceito primitivo representado por (a, b), graficamente por meio de um diagrama de flechas.
sendo um conjunto de dois elementos ordenados. Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, 2, 3, 4}, A . B = {(1,
1); (1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 2); (2, 3); (2, 4); (3, 1);
(3, 2); (3, 3); (3, 4)}terá a representação abaixo.
Igualdade B
A
Dois pares ordenados são iguais se, e somente 1• •1
se, as suas duas coordenadas são iguais.
(a,b) = (c,d) ⇔ a = c e b = d 2• •2
Os pares ordenados podem ser representados
no sistema cartesiano ortogonal, onde o primeiro 3• •3
elemento do par ordenado é representado no eixo ho-
rizontal Ox (eixo das abscissas) e o segundo elemento •4
do par ordenado é representado no eixo horizontal
Oy (eixo das ordenadas). Isso pode ser observado
na figura a seguir:
O produto cartesiano pode ser representado gra-
y ficamente no plano cartesiano ortogonal, através da
P(a,b) representação dos pares ordenados que o compõe.
b
A representação gráfica é útil também para
apresentar o resultado do produto cartesiano entre
intervalos reais.
`` Exemplo:
O a x A = {1, 2, 3} e B = {1, 2}

Produto cartesiano y A.B y
3
(1,3) (2,3) B . A

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B
é o conjunto de todos os pares ordenados que têm o (1,2) (2,2) (3,2) (1,2) (2,2)
2 2
primeiro termo em A e o segundo termo em B.
A B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B} (1,1) (2,1) (3,1) (1,1) (2,1)
1 1
Se um dos conjuntos for vazio, o produto carte-
siano é vazio.
O 1 2 3 O 1 2
∅ B = ∅, A ∅ = ∅ e ∅ ∅ = ∅ x x
O produto cartesiano não é comutativo, assim
A B ≠ B A, quando A ≠ B. A = [1, 3] e B = [1, 5]
O número de elementos do produto cartesiano
pode ser obtido multiplicando a quantidade de ele-
mentos de cada um dos conjuntos.
n(A B) = n(A) ⋅ n(B)
EM_V_MAT_003


y D (R) ⊂ A e Im (R) ⊂ B
A.B
5
1• •1
2• •2
3• •3
4• •4
2

1 A = {1,2,3,4} e B = {1,2,3,4}
R = {(x,y) ∈ A B | x = y}

O 1 2 3 x
Relação inversa
y B.A É a relação obtida a partir dos pares ordenados de
R, invertendo-se a ordem dos termos de cada par.
R-1 = {(y,x) ∈ B A  (x,y) ∈ R}
3 `` Notas:
1) D (R -1) = Im (R)
2) Im (R -1) = D (R)
3) (R -1)-1 = R
1

O 1 5 x

1. Três amigas foram para uma festa com vestidos azul, preto
Propriedades e branco, respectivamente. Seus pares de sapato apresen-
tavam essas mesmas três cores, mas somente Ana usava
1) A (B∪C) = (A B) ∪ (A C) vestido e sapatos de mesma cor. Nem o vestido nem os
sapatos de Júlia eram brancos. Marisa usava sapatos azuis.
2) A (B∩C) = (A B) ∩ (A C) Descreva a cor do vestido de cada uma das moças.
3) A (B – C) = (A B) – (A C)

Relação
Uma relação de A em B é qualquer subconjunto
de A B.
`` Nota:
Quando R é uma relação de A em A, diz-se apenas que
R é uma relação em A.
`` Solução:
Numa relação de A em B, A é chamado conjunto
de partida e B, conjunto de chegada. O conjunto de Vamos montar um quadro represntando as condições
todas as primeiras coordenadas que pertencem a R é apresentadas no problema:
chamado domínio e o conjunto de todas as segundas
coordenadas que pertencem a R é chamado imagem, Ana Júlia Marisa
ou seja, o domínio e a imagem são formados por Vestido cor X não branco 2 não azul
EM_V_MAT_003

elementos que efetivamente estão em algum par Sapato cor X não branco 1 azul
ordenado da relação.

11

Como os sapatos de Marisa eram azuis e os de Júlia c) quantas pessoas consomem só 2 produtos?
não eram brancos, conclui-se que os sapatos de Júlia
d) quantas pessoas não consomem A ou não conso-
eram pretos.
mem C?
Como os sapatos de Júlia eram pretos e o vestido de
cor diferente e não-branco, então o vestido de Júlia `` Solução:
era azul.
Deve-se começar colocando-se no diagrama de Venn o
Considerando que os sapatos de Marisa eram azuis e os valor correspondente à interseção dos 3 conjuntos.
de Júlia pretos, conclui-se que os sapatos de Ana eram
n(A∩B∩C) = 10
brancos e também o vestido.
Posteriormente, colocam-se os valores correspondentes
Finalmente, como o vestido de Ana era branco e o de
às interseções 2 a 2, atentando para a necessidade de
Júlia era azul, então o vestido de Marisa era preto.
se subtrair o valor da interseção dos 3.
Resposta: Ana estava de vestido branco, Júlia de vestido
Finalmente, colocam-se as quantidades de elementos
azul e Marisa de vestido preto.
que pertencem a somente um dos conjuntos, subtraindo
2. Sendo A = {∅, a, {b}}, com {b} ≠ a ≠ b ≠ ∅, então: os valores colocados anteriormente.
a) {∅, {b}} ⊂ A Tendo feito as operações acima, obtém-se o diagrama:
b) {∅, b} ⊂ A Basta agora procurar no diagrama os valores adequados:
c) {∅, {a}} ⊂ A a) soma de todos os valores do diagrama → n (U) = 500
d) {a, b} ⊂ A b) soma de todos os valores que não estão em B → n(U)
– n (B) = 350
e) {{a}, {b}} ⊂ A
c) 10 + 20 + 30 = 60
`` Solução: A
d) n(U) − n(A ∪ C) = 130 + 100 = 230
Devemos identificar os elementos de A que são: ∅, a e
A B
{b}.
Um subconjunto de A deve possuir somente elementos 60 100 U
10
que sejam de A. Logo, {∅,{b}} ⊂ A. 10
3. Numa comunidade são consumidos 3 produtos A, B e 20 30
C. Feita uma pesquisa de mercado sobre o consumo
130
desses produtos, foram colhidos os resultados da tabela 140
abaixo: C

Produtos n.º de consumidores 4. Projetar um circuito elétrico para um quarto com uma
lâmpada elétrica e dois interruptores, um junto à porta
A 100
e outro próximo à cabeceira da cama. Quando qualquer
B 150 um dos interruptores for acionado, o circuito deve tornar-
C 200 se aberto (desligado) se estiver previamente fechado
(ligado) e vice-versa, independentemente do estado
AeB 20 do outro interruptor.
BeC 40
`` Solução:
AeC 30
A, B e C 10 Chamemos os interruptores do circuito de A e B.
nenhum dos 3 130 O problema se reduz a projetar uma combinação C de
interruptores A e B, tal que a mudança de estado de
qualquer um dos dois interruptores mude o estado do
Pergunta-se: circuito C.
a) quantas pessoas foram consultadas?
Vamos considerar que a proposição c é o estado do
EM_V_MAT_003

b) quantas pessoas não consomem o produto B? circuito C e as proposições a e b, os estados dos inter-
ruptores A e B.


A condição apresentada é satisfeita quando c é uma pro- `` Solução:
posição que é verdadeira se a e b são simultaneamente
verdadeiras ou simultaneamente falsas, e que é falsa em -3 1
A
todos os outros casos. Assim, c = a – b + a – b -1 2
B
A construção desse circuito está representada na
-2 5/4
figura abaixo: C

Basta fazer a representação gráfica dos intervalos e
A
efetuar as operações indicadas.
B AB + AB
A a) A ∩ B ∩ C = [–1, 1[
B
b) (A – B) ∪ C = [–3, –1[ ∪ C = [–3, 5/4[
c) (A ∩ B) – C = [–1, 1[ – C = ∅
5. Calcule o valor numérico da expressão: d) B ∩ C = [–1, 5/4[
7. Um conjunto A possui 2 elementos e um conjunto B pos-
 1 sui 3 elementos. Quantas são as relações de A em B?
0, 625 -
 3  : 0, 777... é
 2  8
 -4  `` Solução:
 3 
Quantidade de elementos do produto cartesiano
a) –9 n (A B) = n(A) ⋅ n(B) = 2 ⋅ 3 = 6
b) –6 Qualquer subconjunto de A B é uma relação de A em
9 B. Assim, a quantidade de relações de A em B é igual
c) – à quantidade de subconjuntos de um conjunto de 6
10
elementos, ou seja, 26 = 64.
9
d) –
37 Logo, há 64 relações de A em B.
9 8. (UFCE) Considere os gráficos abaixo e assinale a afir-
e) –
45 mativa verdadeira:
`` Solução: C a) O ponto A tem como coordenadas geográficas 15º
625 5 lat. norte e 20º long. oeste de Greenwich.
0.625 = =
1000 8
7 b) O ponto B está situado no hemisfério meridional e
0,777... = na zona intertropical do globo.
9
 5 1  7 15 - 8 c) O ponto C está situado a oeste do ponto D.
-
8 3 9 24 7
2  : 8 = 2 -12 : 12 = d) Não existe diferença horária entre os pontos B e D.
 -4 
3  3 10º 35º 55º 30º
7 3 72 9
. . =- 5º 40º
24 ( -10 ) 7 10
B D
6. Sejam A = {x ∈ R |–3 ≤ x < 1}, B = [–1, 2[ e C = ]–2, 5/4[,
determine:
A
C
a) A ∩ B ∩ C
b) (A − B) ∪ C 30º 15º

c) (A ∩ B) − C
d) B ∩ C
`` Solução:
EM_V_MAT_003

A localização de pontos na superfície terrestre através de
latitude e longitude guarda muitas similaridades com a
representação de pares ordenados no plano cartesiano.
13

Analisando a localização do ponto B podemos observar que 6. (UNIRIO) Considerando os conjuntos A, B e C, a região
a latitude está crescendo para baixo o que indica que o ponto hachurada no diagrama abaixo representa:
está no hemisfério meridional (sul) e o valor de sua latitude é
de 10º S. Como o Trópico de Capricórnio está a 23º lat. sul, A
B
o ponto B encontra-se na zona intertropical (isto é, entre os
trópicos).

C
a) A ∪ (C − B)
1. A negação da proposição: “Todos os gatos são negros” é:
b) b) A ∩ (C − B)
a) nenhum gato é negro.
c) A ∩ (B −C)
b) alguns gatos não são negros.
d) d) (A ∪ B) − C
c) nenhum gato é branco.
e) A ∪ (B − C)
d) todos os gatos são brancos.
7. (UFF) Considere os conjuntos representados abaixo:
2. (UFF) Na cidade litorânea de Ioretin é rigorosamente
obedecida a seguinte ordem do prefeito: “Se não chover,
então, todos os bares à beira-mar deverão ser abertos .”
Pode-se afirmar que:
a) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então,
choveu.
b) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então,
não choveu.
c) se choveu, então, todos os bares à beira-mar não Represente, enumerando seus elementos, os conjuntos:
estão abertos.
a) P, Q e R
d) se choveu, então, todos os bares à beira-mar estão
abertos. b) (P ∩ Q) – R

e) se um bar à beira-mar não está aberto, então, cho- c) (P ∪ Q) ∩ R
veu. d) (Q ∪ R) – P
3. (PUC-RJ) Sejam x e y números tais que os conjuntos e) (Q ∩ R) ∪ P
{1, 4, 5} e {x, y, 1} sejam iguais. Então, podemos afirmar
que: 8. (UFF) Dados três conjuntos M, N e P não-vazios tais
que M – N = P, considere as afirmativas:
a) x = 4 e y = 5
b) x ≠ 4 I. P ∩ N = ∅
c) y ≠ 4 II. M ∩ P = P
d) x + y = 9 III. P ∪ (M ∩ N) = M
e) x < y Com relação a essas afirmativas conclui-se que:
4. (UFF) Dados os conjuntos A = {x ∈ R |x| > 2} e a) todas são verdadeiras.
B = {x ∈ R  x2 ≤ 16}, determine A ∩ ∩B.
b) somente a II e a III são verdadeiras.
5. (UFF) São subconjuntos do conjunto A = {{1}, 2, {1, 2},
∅} os seguintes conjuntos: c) somente a I e a II são verdadeiras.
a) {{2}}, {1, 2} d) somente a I e a III são verdadeiras.
b) A, ∅, {{2}} e) nenhuma é verdadeira.
c) A, ∅, {1, 2} 9. Entre 500 rapazes que estudam em uma escola,
d) A, ∅, {1}, {2} constatou-se que:
e) A, ∅, {2}, {{1}, 2} 1. 160 jogam futebol;
EM_V_MAT_003

2. 170 jogam vôlei;
3. 180 jogam basquete;

4. 50 jogam futebol e vôlei; d) N – (M ∪ P)
5. 80 jogam basquete e vôlei; e) N ∪ (P ∩ M)
6. 60 jogam futebol e basquete; 12. (ENEM) O número de indivíduos de certa população é
representado pelo gráfico abaixo.
7. 30 jogam futebol, basquete e vôlei.
Pergunta-se

Número de indivíduos (x 1000)
10
a) Quantos não jogam vôlei? 9
8
b) Quantos só jogam basquete? 7
6
c) Quantos praticam exatamente dois esportes?
5
d) Quantos só praticam um dos esportes? 4
3
e) Quantos jogam, somente, futebol e vôlei? 2
1
10. (UFF) Dado o conjunto P = {{0}, 0, ∅, {∅}}, considere 1940 1950 1960 1970 1980 1990
t (anos)
as afirmativas:
Em 1975, a população tinha um tamanho, aproximada-
I. {0} ∈ P
mente, igual ao de:
II. {0} ⊂ P a) 1960
III. ∅ ∈ P b) 1963
Com relação a essas afirmativas conclui-se que: c) 1967
a) todas são verdadeiras.
d) 1970
b) apenas a I é verdadeira.
e) 1980
c) apenas a II é verdadeira.
13. (ENEM) José e Antônio viajarão em seus carros com
d) apenas a III é verdadeira. as respectivas famílias para a cidade de Serra Branca.
Com a intenção de seguir viagem juntos, combinam um
e) todas são falsas.
encontro no marco inicial da rodovia, onde chegarão,
11. (UFF) Os conjuntos não-vazios M, N e P estão, isolada- de modo independente, entre meio-dia e 1 hora da
mente, representados abaixo. tarde. Entretanto, como não querem ficar muito tempo
esperando um pelo outro, combinam que o primeiro que
M N chegar ao marco inicial esperará pelo outro, no máximo,
P
meia hora; após esse tempo, seguirá viagem sozinho.
Chamando de x o horário de chegada de José e de y
o horário de chegada de Antônio, e representando os
pares (x; y) em um sistema de eixos cartesianos, a região
Considere a seguinte figura que esses conjuntos OPQR ao lado indicada corresponde ao conjunto de
formam. todas as possibilidades para o par (x; y):

A região hachurada pode ser representada por:
a) M ∪ (N ∩ P) Na região indicada, o conjunto de pontos que representa
EM_V_MAT_003

b) M – (N ∪ P) o evento “José e Antônio chegam ao marco inicial
exatamente no mesmo horário” corresponde:
c) M ∪ (N – P)

15

a) à diagonal OQ. a) 0,54
b) à diagonal PR. b) 0,65
c) ao lado PQ. c) 0,70
d) ao lado QR. d) 1,28
e) ao lado OR. e) 1,42
14. Segundo o combinado, para que José e Antônio viajem 3 12
17. (UERJ) Para calcular - , Paulo subtraiu os nume-
juntos, é necessário que y – x ≤ 1/2 ou que x – y ≤1/2. 2 5
radores e dividiu o resultado por 10 obtendo:
Antônio
2

3 12 3 - 12
1/

- = = -0, 9
x
x·

y=

2 5 10
y=

1 a) Determine de forma correta o valor da expressão
2
1/

I
x-

3 12
y=

II - .
1/2 2 5
III b) Considerando que Paulo tenha calculado com base
IV x y x-y
José na fórmula - = , onde x e y são reais,
0 1/2 1 2 5 10
identifique o lugar geométrico dos pontos (x, y) do
De acordo com o gráfico e nas condições combinadas, plano cartesiano que tornam essa igualdade verda-
as chances de José e Antônio viajarem juntos são de: deira. Esboce, também, o gráfico cartesiano.
a) 0%. 18. (CESGRANRIO) A interseção dos três conjuntos R∩C,
(N∩Z)∪Q e N∪(Z∩Q) é:
b) 25%.
a) N
c) 50%.
b)
d) 75%.
c) Q
e) 100%.
d) R
15. (ENEM) Considerando que o Calendário Muçulmano
teve início em 622 da era cristã e que cada 33 anos mu- e) Z
çulmanos correspondem a 32 anos cristãos, é possível
19. (UERJ) Um restaurante self-service cobra pela refeição
estabelecer uma correspondência aproximada de anos
R$6,00, por pessoa, mais uma multa pela comida deixada
entre os dois calendários, dada por:
no prato, de acordo com a tabela:
(C = Anos Cristãos e M = Anos Muçulmanos)
a) C = M + 622 – (M : 33). Intervalo do desperdício Multa
(em gramas) (em reais)
b) C = M – 622 + (C – 622 : 32).
[0,100[ 0
c) C = M – 622 – (M/33).
[100, 200[ 1
d) C = M – 622 + (C – 622 : 33). [200, 300[ 2
e) C = M + 622 – (M : 32). [300, 400[ 3
16. (ENEM 2004) Em quase todo o Brasil existem restau-
rantes em que o cliente, após se servir, pesa o prato de a) Se Julia pagou R$9,00 por uma refeição, indique
comida e paga o valor correspondente, registrado na a quantidade mínima de comida que ela pode ter
nota pela balança. Em um restaurante desse tipo, o preço desperdiçado.
do quilo era R$12,80. Certa vez, a funcionária digitou b) Y é o valor total pago em reais, por pessoa, e X ∈
por engano na balança eletrônica o valor de R$18,20 e é a quantidade desperdiçada, em gramas. Esboce
só percebeu o erro algum tempo depois, quando vários o gráfico de Y em função de X.
clientes já estavam almoçando. Ela fez alguns cálculos e
EM_V_MAT_003

verificou que o erro seria corrigido se o valor incorreto
indicado na nota dos clientes fosse multiplicado por:


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