1. Действительные числа как рациональные дроби. 2. Представление с фиксированной точкой. 3. Фиксированная точка и двоично-десятичный код. 4. Числа с плавающей точкой. Binary32, binary64, битовое устройство числа, варианты хранимых чисел. 5. Пример кодирования числа. 6. Возможные проблемы плавающей арифметики. 7. Пример проблем: сравнение двух "равных" чисел. 8. Пример проблем: вычисление числа π по двум формулам. 9. Иерархия структур и типов данных.

1. ОСНОВЫ ПРОГРАММНОГО
КОНСТРУИРОВАНИЯ
Лекция № 4
12 марта 2013 г.

2. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА
Возможны ли точные вычисления с ними?

3. СПОСОБЫ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
• Рациональныедроби с числителем и знаменателем
неограниченного размера.
• 22/7 = 3,1428571428571428
• 884279719003555 /
281474976710656 = 3,1415926535897931

4. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С
ФИКСИРОВАННОЙ ТОЧКОЙ
0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1
7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8
• 1.010100012= 20+2-2+2-4+2-8 = 1+1/4+1/16+1/256 =
1.3164062510=337/256.

5. ФИКСИРОВАННАЯ ТОЧКА.
ОСОБЕННОСТИ
• Больше точность – меньше диапазон.
Больше диапазон – меньше точность.
• Округление при представлении чисел (отбрасывание дробной части).
• Умножение и деление могут привести к потере точности.
• Вычисления так же быстры, как вычисления с целыми числами.
• Sony Playstation, Nintendo Gameboy.
• Кодирование звука: GSM Full rate, Ogg Vorbis.

6. FIXED-POINT BCD
• $1 = 30,7576 руб. (курс ЦБ РФ с 12.03.2013).
• 30,7576 → 307576 → 30757616 → 76 75 30 00 (в памяти,
little endian).
• Метод часто используется для хранения денежных
величин (COBOL).

7. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ С
ПЛАВАЮЩЕЙ ТОЧКОЙ
•x = m⋅be. • 3,1415
= 0,31415⋅101.
400 = 4⋅102 = 0,4⋅103.
•m – мантисса (значащая
часть, significand). • Нормализация: |m|<1.
•b – основание степени
(обычно 2 или 10).
•e – экспонента
(порядок).

8. СТАНДАРТ IEEE 754
binary32
± (S) Экспонента (E) Мантисса (M)
1 8 бит 23 бита
binary64
S E M
1 11 бит 52 бита

9. ВИДЫ ХРАНИМЫХ ЧИСЕЛ
Тип Экспонента Мантисса
±0 0 0
Денормализованные числа 0 0.mmmmmmm
Нормализованные числа 1…254 (1…2046) 1.mmmmmmm
±∞ 255 (2047) 0
Не-числа (NaN) 255 (2047) любая

10. НОРМАЛИЗОВАННЫЕ
ЧИСЛА
• Для binary32:
•F = (−1)S⋅2E−127⋅1.mm…m.
•1 ≤ M < 2.
• |F|min = 21−127⋅1.00…0 = 2−126 ≈1,18⋅10−38.
• |F|max = 2254−127⋅1.11…1 = 2127⋅(2−2−23) ≈3,4⋅1038.

11. ДЕНОРМАЛИЗОВАННЫЕ
ЧИСЛА
• Для binary32:
•D = (−1)S⋅2−126⋅0.mm…m.
• |D|min = 2−126⋅0.00…01 = 2−126⋅2−23 = 2−149 ≈1,4⋅10−45.
• |D|max = 2−126⋅0.11…11 = 2−126⋅(1−2−23) ≈1,18⋅10−38.
• |D|max + |D|min = |F|min.

12. ТОЧНОСТЬ
• Десятичных знаков:
• log10(223+1) ≈ 7,225 (binary32).
• log10(252+1) ≈ 15,955 (binary64).

13. ПАРАМЕТРЫ BINARY64
• |D|min ≈ 5⋅10−324.
• |D|max ≈ 2,23⋅10−308.
• |F|min ≈ 2,23⋅10−308.
• |F|max ≈ 1,80⋅10308.

14. ПРОЧИЕ ЧИСЛА
• ±∞ • NaN (Not a Number):
• Деление на 0. • Корень из −1.
• arctg(π/2). • ∞/∞, 0/0, 0⋅∞.
• ∞-∞
• func(NaN)
• NaN ≠ NaN!

15. ПРИМЕР КОДИРОВАНИЯ
• −118.625:
• Знак отрицательный: S = 1.
• Двоичная запись 118.625: 1110110.101
• Сдвиг влево: 1.110110101 × 26.
• Отбрасываем старшую 1; E = 127+6 = 133.
S E, 8 bits M, 23 bits
1 10000101 11011010100000000000000

16. ПРОБЛЕМЫ
• Округление: tg π ≠ 0; tg(π/2) ≠ ∞.
• Накопление ошибок: a⊕(b⊕с) ≠ (a⊕b)⊕с.
• a⊖bпри близких значениях a и b приводит к потере
точности.
• Сравнение чисел.

17. ПРОБЛЕМА СРАВНЕНИЯ
float x = 0.1f;
float y1 = x*x;
float y2 = 0.01f;
y1 == y2; // => 0

18. ПРОБЛЕМА СРАВНЕНИЯ
float x = 0.1f; // 0.100000001490
float y1 = x*x;
// 0.010000000708 = 0 01111000 01000111101011100001011
float y2 = 0.01f;
// 0.009999999776 = 0 01111000 01000111101011100001010
y1 == y2; // => 0
один бит
отличается

19. ПРОБЛЕМА СРАВНЕНИЯ
// float.h
/* Difference between 1.0 and
the minimum float greater than 1.0 */
#define FLT_EPSILON 1.1920929e-07F
/* Difference between 1.0 and
the minimum double greater than 1.0 */
#define DBL_EPSILON 2.2204460492503131e-16

20. ПРОБЛЕМА СРАВНЕНИЯ
#include <float.h>
#include <math.h>
int almostEqual(float a, float b) {
float A = fabs(a);
float B = fabs(b);
float largest = (B > A) ? B : A;
return (fabs(A - B)/largest <= FLT_EPSILON);
}
almostEqual(y1, y2); // => 1

21. ВЫЧИСЛЕНИЕ π
π≈ 6⋅2 i
i⋅t при i→∞.
или
i 1-я формула 2-я формула
0 3.4641016151377543863 3.4641016151377543863
10 3.1415929278733740748 3.1415929273850979885
16 3.1415926717412858693 3.1415926536566394222
17 3.1415810075796233302 3.1415926536065061913
20 3.1405434924008406305 3.1415926535900560168
24 3.2245152435345525443 3.1415926535897968907

22. ПРИМИТИВНЫЕ ТИПЫ
ДАННЫХ
• Числа (целые, дробные).
• Символы (строки?).
• Булевы переменные (True / False, Истина / Ложь).

23. Данные предметной области
Списки
Сложные типы данных Деревья
Хеш-таблицы
Массивы
Составные типы данных Записи
(структуры)
Примитивные типы данных
Числа, символы, перечисления
ПИРАМИДА ДАННЫХ

24. КОНЕЦ ЧЕТВЕРТОЙ ЛЕКЦИИ