AULAMais Alguns Aspectos daDerivação Complexa                                                  4META:Introduzir o conceito...
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Variáveis Complexas                               AULApor outro lado, derivando as expressões para x e y em função de z   ...
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Variáveis Complexas                                 AULAtemos:             ∂r         x               r cos(θ)            ...
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa     Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por cos(θ) e da equação     eqn 4.33 ...
Variáveis Complexas                                    AULALevando em conta que                            1              ...
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa     Daí, derivando eqn 4.40.1 com relação a x e eqn 4.40.2 com     relação a y ...
Variáveis Complexas                        AULAy duas vezes temos:                           ∂u                           ...
Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa     e integrando temos:                               h (x) = 2x               ...
Variáveis Complexas                            AULADefinição de Função Holomorfa em um ponto.                             4...
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  1. 1. AULAMais Alguns Aspectos daDerivação Complexa 4META:Introduzir o conceito de funções holomorfas.OBJETIVOS:Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de:Definir funções holomorfas edeterminar se uma dada função de variáveis complexas é holo-morfa.PRÉ-REQUISITOSAula03 de Variáveis Complexas e os conhecimentos básicos, da dis-ciplina Cálculo II.
  2. 2. Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa 4.1 Introdução Caros alunos em nossa aula de hoje veremos mais alguns as- pectos da derivação de funções complexas. Em particular funções holomorfas e mostraremos algumas funções holomorfas. Veremos também, a ligação de funções harmônicas com a derivação com- plexa. Para concluir veremos a forma polar das equações de Cauchy- Riemann. 4.2 Funções Holomorfas Iniciaremos pela definição de função holomorfa. Definição 4.1. Sejam D ⊂ C aberto, f : D ⊂ C → C uma função e z0 ∈ D. Dizemos que f (•) é holomorfa em z0 ∈ D se, somente se existe δ > 0 tal que f (z) existe para todo z ∈ Bδ (z0 ). e também, Definição 4.2. Sejam D ⊂ C aberto e f : D ⊂ C → C uma função. Dizemos que f (•) é holomorfa em D se, somente se f (z) existe para todo z ∈ D. OBS 4.1. Para que uma função seja holomorfa em um ponto não é suficiente que seja derivável neste ponto. É necessário que seja derivável em uma vizinhança do ponto em questão. OBS 4.2. Dada uma função complexa f : D ⊂ C → C, z = x+yı , ı f (z) = u(x, y) + v(x, y)ı . Como z = x − yı podemos escrever: ı ¯ ı z+z ¯ z−z ¯ x= ey= . Dai, para f (z) temos: 2 2ıı z+z z−z ¯ ¯ z+z z−z ¯ ¯ f (z) = u , +v , ı (4.25) 2 ı 2ı 2 ı 2ı54
  3. 3. Variáveis Complexas AULApor outro lado, derivando as expressões para x e y em função de z 4e z temos: ¯ ∂x = 1/2 ∂z ∂x ı = 1/2ı ∂z ¯ (4.26) ∂y = 1/2 ∂z ∂i = −1/2ı ı ∂z ¯Derivando a equação 4.25 com relação a z , usando a regra da ¯ 1cadeia, as equações 4.26 e levando em conta que = −ı temos: ı ı ∂ ∂u ∂x ∂u ∂y ∂v ∂x ∂v ∂y f (z) = + + + ı ∂z ¯ ∂x ∂ z ¯ ∂y ∂ z¯ ∂x ∂ z ¯ ∂y ∂ z ¯ 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂v 1 ∂v = − + − ı ı 2 ∂x 2ı ∂y 2 ∂x 2ı ∂yı (4.27) 1 ∂u 1 ∂u 1 ∂v 1 ∂v = + ı+ ı− 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂x 2 ∂y 1 ∂u ∂v 1 ∂u ∂v = − + + ı 2 ∂x ∂y 2 ∂y ∂xSe f (•) for holomorfa satisfaz as equações de Cauchy-Riemann ∂u ∂v ∂u ∂vem todos os pontos de D i.e. − = 0 e + = 0. ∂x ∂y ∂y ∂xDai, da equação 4.27 concluímos que: se f (•) for holomorfa então ∂ f (z) = 0 em todo z ∈ D. Em outras palavras uma função é∂z¯holomorfa quando não depende de z .¯OBS 4.3. As equações de Cauchy-Riemann oferecem uma condiçãosuficiente pa identificação de funções holomorfas i.e. se em f (z) =u(x, y) + v(x, y)ı , u(•, •), v(•, •) e suas derivadas são contínuas ıe satisfazem as equações de Cauchy-Riemann então f (•) é umafunção holomorfa.Exemplo 4.1. A função f : C → C dada por f (z) = z n , n ∈ N éuma função holomorfa. Senão vejamos: 55
  4. 4. Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa É fácil verificar que: n−2 n−1 z n − z0 = (z − z0 )(z n−1 + z n−2 z0 + · · · + zz0 + z0 ) n Dai, temos: z n − z0 n n−2 n−1 = z n−1 + z n−2 z0 + · · · + zz0 + z0 z − z0 Passando o limite z → z0 e usando a definição de derivada temos: z n − z0 n f (z0 ) = lim z→z0 z − z0 n−2 n−1 = lim (z n−1 + z n−2 z0 + · · · + zz0 + z0 ) z→z0 n−1 n−2 n−2 n−1 = z0 + z0 z0 + · · · + z 0 z0 + z 0 n−1 n−1 n−1 n−1 = z0 + z0 + · · · + z0 + z0 n vezes n−1 = nz0 Daí, f (z) = z n é uma função holomorfa em C i.e. f (z) existe em todo o plano complexo. Por outro lado.   z2  ¯ ,z = 0 Exemplo 4.2. A função f : C → C dada por f (z) = z  0  ,z = 0 não é holomorfa em ponto nenhum de C. Pois, da observação acima temos: ∂f z ¯ = 2 = 0, z = 0 ∂z ¯ z Por outro lado no ponto z = 0 temos: f (z) − f (0) f (z) z2 ¯ f (0) = lim = lim = lim 2 z→0 z−0 z→0 z z→0 z Se a derivada existe em z = 0 ela terá que ser independente do caminho com que z → 0. Vamos escolher três caminhos distintos:56
  5. 5. Variáveis Complexas AULACaminho 1: ao longo do eixo real x. Daí, z = x + 0ı , z = x − 0ı ı ¯ ı 4e z → 0 equivale a x → 0. z2 ¯ (x − 0ı )2 ı x2 f (0) = lim = lim = lim 2 = 1 z→0 z 2 x→0 (x + 0ı )2 ı x→0 xCaminho 2: ı ao longo do eixo imaginário y. Daí, z = 0 + yı ,z = 0 − yı e z → 0 equivale a y → 0.¯ ı z2 ¯ (0 − yı )2 ı −y 2 f (0) = lim = lim = lim =1 z→0 z 2 y→0 (0 + yı )2 ı x→0 −y 2Como a avaliação da derivada de f (•) no ponto zero seguindoos caminhos 1 e 3 são iguais temos que as equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em z = 0 pois, as equações de Cauchy-Riemann são obtidas de derivações seguindo os eixos real e imag-inário. No entanto para o caminho 3 temos:Caminho 3: ao longo da reta y = x. Daí, z = x + xı , z = x − xı ı ¯ ıe z → 0 equivale a x → 0. z2 ¯ (x − xı )2 ı x(1 − ı )2 (1 − ı )2f (0) = lim = lim = lim = = −1 z→0 z 2 x→0 (x + xı )2 ı x→0 x(1 + ı )2 (1 + ı )2Vemos daí, que f (•) também não é derivável em z = 0.Vamos agora a mais uma definição.Definição 4.3. Seja f : C → C uma função complexa. Dizemosque f é uma função inteira se holomorfa em todo C.OBS 4.4. A função f (z) = z n , n ∈ N, conforme o exemplo acimaé uma função inteira.Vamos encerrar esta seção com um teorema que será usado maistarde.Teorema 4.1. Seja D ⊂ C um aberto, f : D ⊂ C → C umafunção holomorfa em D e z0 ∈ D então: f (z) = f (z0 )(z − z0 ) + η(z − z0 ) 57
  6. 6. Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa onde lim η = 0. z→z0 PROVA: Definindo η por: f (z) − f (z0 ) η= − f (z − 0) z − z0 temos que: f (z) = f (z0 )(z − z0 ) + η(z − z0 ) Por outro lado, como f (•) é holomorfa em D é , em particular, holomorfa em z0 e: f (z) − f (z0 ) lim η = lim − f (z − 0) = f (z0 ) − f (z0 ) = 0 z→z0 z→z0 z − z0 4.3 Forma Polar das Equações de Cauchy-Rie- mann Podemos expressar as equações de Cauchy-Riemann usando coor- denadas polares (forma polar de números complexos). A saber: Teorema 4.2. As equações de Cauchy-Riemann, em coordenadas polares, são dadas por: ∂u 1 ∂v = ∂r r ∂θ (4.28) ∂v 1 ∂u =− ∂r r ∂θ PROVA: Em coordenadas polares temos: x = r cos(θ) e y = r sin(θ) e suas inversas: r = x2 + y 2 e θ = tan−1 (y/x). derivando58
  7. 7. Variáveis Complexas AULAtemos: ∂r x r cos(θ) 4 = = = cos(θ) ∂x x2 + y2 r ∂r y r sin(θ) = = = sin(θ) ∂y x2 + y2 r (4.29) ∂θ x r cos(θ) cos(θ) = 2 2 = 2 = ∂x x +y r r ∂θ y r sin(θ) sin(θ) =− 2 2 =− 2 =− ∂y x +y r rUsando a regra da cadeia para funções de duas variáveis reais e asequações eqn 4.29 para a função u(•, •) temos: ∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂u 1 ∂u = cos(θ) + sin(θ) ∂r r ∂θ (4.30) ∂u ∂u ∂r ∂u ∂θ = + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂u 1 ∂u = sin(θ) + cos(θ) ∂r r ∂θDo mesmo modo para a função v(•, •) temos: ∂v ∂v ∂r ∂v ∂θ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂v 1 ∂v = cos(θ) − sin(θ) ∂r r ∂θ (4.31) ∂v ∂v ∂r ∂v ∂θ = + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂v 1 ∂v = sin(θ) + cos(θ) ∂r r ∂θ ∂u ∂vDa equação de Cauchy-Riemann = , usando as equações ∂x ∂yeqn 4.30.1 e eqn 4.31.2 temos: ∂u 1 ∂v ∂v 1 ∂u − cos(θ) − + sin(θ) = 0 (4.32) ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ ∂u ∂vDa mesma forma, da equação de Cauchy-Riemann = − , ∂y ∂xusando as equações eqn 4.30.2 e eqn 4.31.1 temos: ∂u 1 ∂v ∂v 1 ∂u − sin(θ) + + cos(θ) = 0 (4.33) ∂r r ∂θ ∂r r ∂θ 59
  8. 8. Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por cos(θ) e da equação eqn 4.33 por sin(θ) e somando temos: ∂u 1 ∂v − =0 (4.34) ∂r r ∂θ Fazendo o produto da equação eqn 4.32 por sin(θ) e da equação eqn 4.33 por cos(θ) e subtraindo temos: ∂v 1 ∂u + =0 (4.35) ∂r r ∂θ As equações eqn 4.34 e eqn 4.35 constituem-se a forma polar das equações de Cauchy-Riemann. OBS 4.5. Veremos aqui como derivar uma função complexa dada na forma polar. Seja f : D ⊂ C → C dada na forma polar: ı ı f (z) = f (r(cos(θ) + sin(θ)ı )) = u(r, θ) + v(r, θ)ı (4.36) Derivando a equação eqn 4.36 com relação a r e usando em f (•) a ∂ regra da cadeia lembrando que ı (r(cos(θ) + sin(θ)ı )) = cos(θ) + ∂r ı sin(θ)ı temos: ∂u ∂v ı ı f (r(cos(θ) + sin(θ)ı )).(cos(θ) + sin(θ)ı ) = (θ) + ı (r, θ)ı ∂r ∂r Fazendo o produto da equação acima por cos(θ) − sin(θ)ı e lem- ı brando que (cos(θ) + sin(θ)ı ).(cos(θ) − sin(θ)ı ) = 1 e cos(θ) − ı ı ı ı sin(θ)ı = cos(−θ) + sin(−θ)ı temos: ∂u ∂v ı f (z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ı ). (r, θ) + ı (r, θ)ı (4.37) ∂r ∂r Por outro lado, derivando a equação eqn 4.36 com relação a θ e ∂ usando em f (•) a regra da cadeia lembrando que (r(cos(θ) + ∂θ ı ı sin(θ)ı )) = r(− sin(θ) + cos(θ)ı ) temos: ∂u ∂v ı ı f (r(cos(θ)+sin(θ)ı )).(r(− sin(θ)+cos(θ)ı )) = ı (r, θ)+ (r, θ)ı ∂θ ∂θ60
  9. 9. Variáveis Complexas AULALevando em conta que 1 ı = −ı temos: r(− sin(θ) + cos(θ)ı ) = ı ı 4 ı ır(cos(θ) + sin(θ)ı ).ı e a equação acima pode ser reescrita como: ∂u ∂v ı ı ıf (r(cos(θ) + sin(θ)ı )).(r(cos(θ) + sin(θ)ı ))ı = (r, θ) + ı (r, θ)ı ∂θ ∂θ 1Fazendo o produto da equação acima por (cos(θ) − sin(θ)ı ) e ı rıılembrando que (cos(θ) + sin(θ)ı ).(cos(θ) − sin(θ)ı ) = 1 e cos(θ) − ı ı ı ısin(θ)ı = cos(−θ) + sin(−θ)ı temos: 1 ∂u ∂v f (z) = ı (cos(−θ) + sin(−θ)ı ). (θ) + ı (r, θ)ı (4.38) ı rı ∂θ ∂θ4.4 Funções HarmônicasNesta seção veremos que as componentes de uma função complexaholomorfa são funções harmônicas. Começando pela definiçãoDefinição 4.4. Seja u : D ⊂ R2 → R uma função real. Dizemosque u(•, •) é harmônica em D se, somente se suas derivadas parciaisde primeira e segunda ordem são contínuas em D e satisfazem: ∂2u ∂2u + 2 =0 (4.39) ∂x2 ∂yOBS 4.6. A equação eqn 4.39 é conhecida com equação de Laplaceno plano.Seja f : D ⊂ C → C uma função complexa holomorfa em D.Veremos em uma aula mais adiante que neste caso tanto f (z) = ıu(x, y) + v(x, y)ı quanto suas componentes u(x, y) e v(x, y) pos-suem derivadas contínuas de qualquer ordem em D. Além de quesatisfazem as equações de Cauchy-Riemann. A saber: ∂u ∂v = ∂x ∂y (4.40) ∂u ∂v =− ∂y ∂x 61
  10. 10. Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa Daí, derivando eqn 4.40.1 com relação a x e eqn 4.40.2 com relação a y temos: ∂2u ∂2v = ∂x2 ∂x∂y (4.41) ∂2u ∂2v 2 =− ∂y ∂y∂x Levando em conta que as derivadas parciais de u(•, •) e v(•, •) são ∂2v ∂2v contínuas temos que = . Daí, somando as equações ∂x∂y ∂y∂x eqn 4.41.1 e eqn 4.41.2 temos: ∂2u ∂2u + 2 =0 (4.42) ∂x2 ∂y Do mesmo modo podemos mostrar que: ∂2v ∂2v + 2 =0 (4.43) ∂x2 ∂y E portanto, u(•, •) e v(•, •) são funções harmônicas. OBS 4.7. Se u(x, y) e v(x, y) são componentes de uma função f (z) = u(x, y) + v(x, y)ı holomorfa em algum domínio D ⊂ C ı dizemos que u e v são funções harmônicas conjugadas. Veremos agora um exemplo, de como partindo de uma função har- mônica u(x, y) determinar sua harmônica conjugada v(x, y) e re- construir a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y). Exemplo 4.3. Dada u(x, y) = 2x(1 − y). Mostre que u(x, y) é harmônica, determine sua harmônica conjugada v(x, y) e a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y). SOLUÇÃO: derivando parcialmente u(x, y) com relação a x e a62
  11. 11. Variáveis Complexas AULAy duas vezes temos: ∂u 4 = 2(1 − y) ∂x2u ∂ =0 ∂x2 (4.44) ∂u = −2x ∂y ∂2u =0 ∂y 2Somando as equações eqn 4.44.2 e eqn 4.44.4 temos: ∂2u ∂2u + 2 =0 ∂x2 ∂yLogo u(x, y) é uma função harmônica.Vejamos agora como utilizar as equações de Cauchy-Riemann paradeterminar a harmônica conjugada de u(x, y). As equações deCauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são: ∂u ∂v = ∂x ∂y (4.45) ∂u ∂v =− ∂y ∂xDas equações eqn 4.45.1 e eqn 4.44.1 e integrando temos: ∂v = 2(1 − y) ∂y v(x, y) = 2(1 − y)dy (4.46) = 2y − y 2 + h(x)onde h(x) é uma função a ser determinada.Derivando a equação eqn 4.46.3 com relação a x temos: ∂v = h (x) (4.47) ∂xSubstituindo as equações eqn 4.47 e eqn 4.44.3 em eqn 4.45.2 63
  12. 12. Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa e integrando temos: h (x) = 2x h(x) = 2xdx (4.48) = x2 Substituindo a equação eqn 4.48.3 em eqn 4.46.3 temos: v(x, y) = 2y + x2 − y 2 (4.49) A equação eqn 4.49 é a harmônica conjugada de u(x, y). a função ı f (z) = u(x, y) + v(x, y)ı é portanto holomorfa e é dada por: f (z) = f (x + yı ) = 2x(1 − y) + (2y + x2 − y 2 )ı ı ı (4.50) Fazendo em eqn 4.49 y = 0 temos: f (x + 0ı ) = f (x) = 2x + x2ı ı Logo temos: f (z) = 2z + ı z 2 4.5 Conclusão Na aula de hoje, vimos que derivação de funções complexas em alguns aspectos é semelhante à derivação de funções reais enquanto que em outros aspectos diferem sensivelmente. RESUMO No nosso resumo da Aula 04 constam os seguintes tópicos: Funções Holomorfas64
  13. 13. Variáveis Complexas AULADefinição de Função Holomorfa em um ponto. 4DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto, f : D ⊂ C → C uma funçãoe z0 ∈ D. Dizemos que f (•) é holomorfa em z0 ∈ D se,somente seexiste δ > 0 tal que f (z) existe para todo z ∈ Bδ (z0 ).Definição de função holomorfa.DEFINIÇÃO: Sejam D ⊂ C aberto e f : D ⊂ C → C umafunção. Dizemos que f (•) é holomorfa em D se,somente se f (z)existe para todo z ∈ D.Definição de função inteira.DEFINIÇÃO: Seja f : C → C uma função complexa. Dizemosque f é uma função inteira se holomorfa em todo C.Forma Polar das Equações de Cauchy-RiemannAs equações de Cauchy-Riemann, em coordenadas polares, sãodadas por: ∂u 1 ∂v = ∂r r ∂θ (4.51) ∂v 1 ∂u =− ∂r r ∂θDerivação de Funções Complexas na Forma PolarDerivação com relação a r: ∂u ∂v ı f (z) = (cos(−θ) + sin(−θ)ı ). (r, θ) + ı (r, θ)ı ∂r ∂rDerivação com relação a θ: 1 ∂u ∂v f (z) = ı (cos(−θ) + sin(−θ)ı ). (θ) + ı (r, θ)ı ı rı ∂θ ∂θ PRÓXIMA AULA Em nossa próxima aula vamos começar o estudo da extensãoda definição de algumas funções do campo real para o campo com- 65
  14. 14. Mais Alguns Aspectos da Derivação Complexa plexo. Em particular as funções exponencial e sua inversa a função logaritmo. ATIVIDADES Deixamos como atividades as seguintes questões: ATIV. 4.1. Dada u(x, y) = y 3 − 3x2 y. Mostre que u(x, y) é harmônica, determine sua harmônica conjugada v(x, y) e a função holomorfa f (z) cujos componentes são u(x, y) e v(x, y). Comentário: Volte ao texto e reveja com calma e atenção os exemplos eles lhes servirão de guia. ATIV. 4.2. Seja f : C → C dada por f (z) = an z n + an−1 z n−1 + · · · + a1 + a0 , onde an , an−1 , . . . , a1 , a0 ∈ C. Mostre que f (•) é uma função holomorfa Comentário: Use o fato de que f (z) = z n , ∀n ∈ N é uma função holomorfa. LEITURA COMPLEMENTAR SPIEGEL, Murray R., Variáveis Complexas, Coleção Schaum, Ed- itora McGraw-Hill do Brasil, 1973. SOARES, Márcio G., Cálculo em uma Variável Complexa, Coleção Matemática Universitária, Editora SBM, 2009. BROWN, James W. and CHURCHILL, Ruel R., Complex Vari- ables and Applications Editora McGraw Hill, 2008.66
  15. 15. Variáveis Complexas AULAFERNANDEZ, Cecília S. e BERNARDES Jr, Nilson C. Introdução 4às Funções de uma Variável Complexa. Editora SBM, 2006. 67

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